2027届江苏高三物理一轮复习-抛体运动 专题

抛体运动 考点一　平抛运动的规律及应用 基础回扣 平抛运动 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向． 技巧点拨 1．平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示． 2．两个重要推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有tan θ＝2tan α. 推导：→tan θ＝2tan α (2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图3所示，即xB＝. 推导：→xB＝ 例1　在某次乒乓球发球练习中，球从球桌边沿的正上方高度水平抛出，初速度垂直于球桌边沿，恰好擦着网落至对方桌边沿处，如图所示。下列操作中仍可能使乒乓球落到对方一侧桌面上的是（不计空气阻力和乒乓球的转动）（　　） A. 只增大发球的高度 B. 只增大发球的初速度 C. 同时减小发球的高度和发球的初速度 D. 同时增大发球的高度和发球的初速度 【答案】C【详解】A．只增大发球的高度，则球在球网左侧的落点更接近球网，则球可能不过网，选项A错误； B．只增大发球的初速度，则球在球网左侧的落点更接近球网，则球可能不过网，选项B错误； C．同时减小发球的高度和发球的初速度，可使球在球网左侧的落点更远离球网，可使球落在右侧台面上，选项C正确； D．同时增大发球的高度和发球的初速度，则球在球网左侧的落点更接近球网，则球可能不过网，选项D错误； 故选C。 变式：某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能与水平位移x的关系图像正确的是（　　） A. B. C. D. 【参考答案】A 【命题意图】本题考查动能定理及其相关知识点。 【解题思路】 设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知，运动员在沿斜面下滑过程中，根据动能定理有Ek=mgxtanθ，即Ek=mgtanθ×x，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳，下滑过程中开始阶段倾角θ不变，Ek-x图像为一条倾斜的直线；经过圆弧轨道过程中θ先减小后增大，即图像斜率先减小后增大，所以运动员的动能与水平位移x的关系图像正确的是图A。 1.如图所示，在水平地面上O点正上方的A、B两点水平抛出两个相同小球，两小球同时落在水平面上的C点，不计空气阻力．则两球(　　) A．可能同时抛出 B．落在C点的速度方向可能相同 C．落在C点的速度大小一定不同 D．落在C点时重力的瞬时功率一定不同 答案　D 解析　平抛运动的时间由竖直高度决定，根据h＝gt2可知两小球抛出高度不同，运动时间不同，不可能同时抛出，A错误；平抛运动的末速度方向的反向延长线必过水平位移的中点，两小球的水平位移相同，竖直位移不同，所以在C点的末速度方向不同，B错误；平抛运动的末速度：v＝＝＝， 若vA＝vB，则代入上述公式解得：＝4，有解，说明末速度大小可以相等，C错误；落在C点时重力的瞬时功率：P＝mgvy＝mg2t， 两小球运动时间不同，落在C点时重力的瞬时功率不同，D正确． 2.由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c距地面高度相等，下列说法正确的是（　　） A. 到达b点时，炮弹的速度为零 B. 炮弹到达b点时的加速度为重力加速度g C. 炮弹经过a、c两点时的速度大小相等 D. 炮弹由O点运动到b点的时间小于由b点运动到d点的时间 【答案】D 【详解】A．到达b点时，炮弹水平方向速度不为零，故A错误； B．因为存在空气阻力，则炮弹到达b点时的加速度不为重力加速度g，故B错误； C．过a、c两点重力势能相等，但从a到c过程中，空气阻力做负功，动能减小，则a点速度更大，故C错误； D．在竖直方向上，上升过程 下降过程 得 即上升过程的竖直加速度更大，根据 可知，上升过程的时间更短，故D正确。 故选D。 3、疫情防控期间，某同学在家对着竖直墙壁练习打乒乓球。某次斜向上发球，球垂直在墙上后反弹落地，落地点正好在发球点正下方，球在空中运动的轨迹如图，不计空气阻力，关于球离开球拍到第一次落地的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 球在空中上升和下降过程时间相等 B. 球落地时的动量一定比抛出时大 C. 球落地时和抛出时的动能可能相等 D. 球撞击墙壁过程可能没有机械能损失 【答案】C 【详解】A．斜上抛运动看作反向的平抛运动，根据 可得 由于两种情况下竖直方向运动的高度不同，则运动时间不相等，反弹后运动的时间长，故A错误； B．虽然反弹落地时乒乓球竖直方向速度大于原来抛出时竖直方向的速度，但水平方向的速度是斜上抛时的大，所以球落地时的速率不一定比抛出时大，则球落地时的动量不一定比抛出时大，故B错误； C．虽然碰撞过程中有能量损失，但反弹后下落的高度大，从开始抛出到落地过程中重力做正功，如果整个过程中重力做的功等于乒乓球与墙碰撞过程中损失的能量，则球落地时和抛出时的动能相等，故C正确； D．若反弹的速度大小与碰撞墙时的速度大小相等，则乒乓球原路返回，根据图象可知，乒乓球与墙碰撞过程中有能量损失，使得碰撞后速度减小，故D错误。 故选C。 4、如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）求滑雪者运动到P点的时间t；（2）求滑雪者从B点飞出的速度大小v； （3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）滑雪者从A到P根据动能定理有 根据动量定理有 联立解得 （2）由于滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点，故从P点到B点合力做功为0，所以当从A点下滑时，到达B点有 （3）当滑雪者刚好落在C点时，平台BC的长度最大；滑雪者从B点飞出做斜抛运动，竖直方向上有 水平方向上有 联立可得 考点二　平抛运动的临界、极值问题 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向． 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 例1　如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d ＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2.则可以实现上述要求的速度大小是(　　) A．2 m/s B．4 m/s C．8 m/s D．10 m/s 答案　B 解析　小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大．此时有：L＝vmaxt1，h＝gt12 代入数据解得：vmax＝7 m/s 小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小， 则有：L＋d＝vmint2，H＋h＝gt22， 代入数据解得：vmin＝3 m/s，故v的取值范围是 3 m/s≤v≤7 m/s，故B正确，A、C、D错误． 1.(平抛运动的极值问题)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　　) A．0 B．0.1 m C．0.2 m D．0.3 m 答案　C 解析　小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有mg(H－h)＝mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确． 考点三　与斜面或半圆有关的平抛运动 　　　　　 与斜面有关的平抛运动 1.顺着斜面平抛 (1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下 处理方法：分解位移． x＝v0t y＝gt2 tan θ＝ 可求得t＝. (2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下 处理方法：分解速度 vx＝v0，vy＝gt tan θ＝ t＝. 2.对着斜面平抛 垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图) 处理方法：分解速度． vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 可求得t＝. 1．(顺着斜面抛)如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上．若不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则A和B两小球的运动时间之比为(　　) A．16∶9 B．9∶16 C．3∶4 D．4∶3 答案　B 解析　小球A落到坡面上时，有tan 37°＝，即tA＝，小球B落到坡面上时，有tan 53°＝，即tB＝，所以＝＝，B正确． 2．(对着斜面抛)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，击中坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，重力加速度为g，由此不能算出的是(　　) A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度 C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能 答案　D 解析　设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为x，则H－h＝vyt，x＝v0t，得＝·，因为＝，x＝，联立解得H＝h＋，故A正确；根据H－h＝gt2可求出炸弹的飞行时间，再由x＝v0t可求出轰炸机的飞行速度，故B、C正确；因不知道炸弹的质量，不能求出炸弹投出时的动能，故D错误． 　　　　　 与圆弧面有关的平抛运动 1．落点在圆弧面上的三种常见情景 (1)如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t. (2)如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等． (3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等． 2．与圆弧面有关的平抛运动，题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水平位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解． 例1　如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内．现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法中正确的是(　　) A．两球抛出的速率之比为1∶ B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中 答案　B 解析　由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等，x1＝v1t，x2＝v2t，由几何关系可知x2＝3x1，所以两球抛出的速率之比为1∶3，故A错误；由2R＝(v1＋v2)t可知，若仅增大v1，时间减小，所以两球将在落入坑中之前相撞，故B正确；要使两小球落在坑中的同一点，必须满足v1与v2之和与时间的乘积等于半球形坑的直径，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以两球抛出的速度之和不是定值，故C错误；由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误． 1．(轨迹与圆弧内切)如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α.由tan α＝，x＝v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x＝，选项A正确． 2.(轨迹与圆弧外切)如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为(　　) A．R B. C. D. 答案　D 解析　设小球平抛运动的初速度为v0，由题意知小球通过D点时的速度与圆柱体相切，则有＝tan 60°，即＝；小球平抛运动的水平位移：x＝Rsin 60°＝v0t，联立解得：v＝，v＝，设平抛运动的竖直位移为y，v＝2gy，解得：y＝，则CB＝y－R(1－cos 60°)＝，故D正确，A、B、C错误． 考点四　斜抛运动 基础回扣 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) (1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0；(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg. 技巧点拨 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 例1　罚球是篮球比赛的重要得分手段，如图所示，运动员进行两次罚球，第一次篮球出手瞬间速度沿a方向，第二次沿b方向，两次出手位置相同且都从同一位置进入篮筐，忽略空气阻力影响。下列说法正确的是（　　） A. 篮球上升至最高点时处于超重状态 B. 每次重力对篮球做功的功率均先减小后增大 C. 篮球两次落入篮筐时的速度方向相同 D. 篮球出手后到投入篮筐的时间可能相等 【答案】B 【详解】A．篮球上升至最高点时，重力加速度向下，是完全失重，A错误； B．篮球做斜抛运动，竖直方向上速度先减小后增大，根据 则重力的功率先减小后增大，B正确； C．两次做斜抛运动的出手瞬间的速度方向不同，则两次运动的轨迹不同，瞬时速度的方向是该点的轨迹的切线方向，都从同一位置进入篮筐，所以两次落入篮筐时的速度方向不同，C错误； D．两次做斜抛运动出手瞬间的速度方向不同，两次运动的轨迹不同，到达最高点的高度不同，从最高点到进入篮筐做平抛运动，则下落的时间不同，从抛出到最高点的逆过程也是平抛运动，则运动的时间也是不同，即篮球出手后到投入篮筐的时间不可能相等，D错误。故选B。 课时精练 1．两个完全相同的小球A、B，在某一高度处以相同大小的初速度v0分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力。如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 两小球落地时，动量相同 B. 两小球落地时，重力的瞬时功率不相同 C. 从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同，重力对两小球做功的平均功率也相同 D. 从开始运动至落地，重力对两小球的冲量相同，两小球的动量变化量也相同 【答案】B 【详解】A．由题意可知，两球空中运动过程中，重力做功相同，所以机械能守恒，根据机械能守恒定律 可知，两小球落地时，速度的大小相同，但是方向不同，则动量不相同，故A错误； B．小球A竖直方向做自由落体运动，小球B竖直方向做竖直上抛运动，所以两小球落地时，B的竖直速度大于A的竖直速度，根据 可知，重力的瞬时功率不相同，故B正确； C．从开始运动至落地，根据 可知，重力对两小球做的功相同，但是B先上升后下落，所以B运动时间较长，则根据 可知，重力对两小球做功的平均功率不相同，故C错误； D．从开始运动至落地，B物体运动时间较长，根据 可知，重力对两小球的冲量不相同，根据动量定理可知，两小球的动量变化量也不相同，故D错误。故选B。 2．如图所示，从地面上同一位置抛出两个质量不同小球A、B，分别落在地面上的M、N点。两小球运动过程中的最大高度相同，且mA<mB。空气阻力不计，下列物理量中，小球B比小球A大的是（　　） A. 飞行时间 B. 抛出时的速率 C. 飞行过程中的速度变化率 D. 最大高度处重力的瞬时功率 【答案】B 【详解】A．两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，两球上升和下落的时间相等，而下落过程，由知下落时间相等，则两球运动的时间相等，故A不符合题意； B．最大高度和时间相同，则知竖直方向的初速度大小相等，由于A球的水平位移小于B球的水平位移，则知B球水平分初速度较大，根据速度的合成可知，B的初速度大于A球的初速度，故B符合题意； C．不计空气阻力，两球的加速度都为重力加速度，运行过程中的速度变化率相同，故C不符合题意； D．最高点时速度方向与重力方向垂直，重力的功率均为0，故D不符合题意。 故选B。 3.某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一目标O发射炮弹A、B，要求同时击中目标，炮弹轨迹如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A. A先发射 B. A、B同时发射 C. A在最高点的速度比B的大 D. A、B在最高点的速度相同 【答案】C 【详解】AB．斜上抛运动在竖直方向为竖直上抛运动，在水平方向是匀速直线运动，设上升的高度为H，运动的时间为t，根据竖直上抛运动的规律可得 解得 由图可知，B上升的高度比A高，故B运动时间比A运动时间长，为了同时击中目标，则B先发射，故AB错误； CD．由图可知，A的水平位移更大，而时间更短，故A水平方向的速度更大，根据斜上抛运动的规律可知，在运动的最高点只有水平方向的速度，故A在最高点的速度比B的大，故C正确，D错误。故选C。 4.如图所示，A、B两篮球先后从相同高度抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（　　） A. A、B从抛出到落入篮筐所用时间相同 B. A在最高点的速度比B在最高点的速度大 C A、B落入篮筐时速度大小相同 D. A、B上升过程中，在任意相同高度时的速度方向均相同 【答案】B 【详解】A．若研究两个过程的逆过程，可看做是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的AB两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A错误； BC．因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误，B正确； D．由斜抛运动的对称性可知，A、B上升过程中，在任意相同高度时的速度方向不都相同，D错误。故选B。 5.如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹．A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力．则(　　) A．两球抛出时A的速度大小为B的两倍 B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍 C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍 D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍 答案　D 解析　设台阶的宽度为L，当A球运动到B球正上方时，B球水平抛出，两球从该时刻到相遇时间相等，A、B球水平位移均为L，由L＝v0t得两球水平速度相等，A错；由于台阶等宽，A球运动总时间tA为B球运动总时间tB的2倍，即tA＝2tB，根据vy＝gt，知vyA＝2vyB，故vA≠2vB，B错；由tA＝2tB知h12＝3h23，由tan θ＝＝知tan θA＝2tan θB，C错，D对． 6．如图所示，质量为m的小球以正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则小球落到斜面时重力的瞬时功率为（重力加速度为g）（　　） A. B. C. D. 【答案】A【详解】依题意小球到达斜面的位移最小，则由平抛运动位移公式，有 整理，可得 则小球落到斜面时重力的瞬时功率为 联立，可得 故选A。 7.在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率．如图，在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为9.8 m，不考虑空气阻力，g取10 m/s2.则(　　) A．篮球出手的速度大小为7 m/s B．篮球在空中运动的时间为0.7 s C．篮球进筐的速度大小为7 m/s D．篮球投出后的最高点相对地面的竖直高度为2.45 m 答案　C 解析　设投球的初速度为v0，水平分速度为vx，竖直分速度为vy， vx＝v0cos 45°，vy＝v0sin 45°，故vx＝vy，可以将全程的运动视为从最高点向右、向左的两个平抛运动，2x＝9.8 m， x＝vxt＝4.9 m，vx＝vy＝gt，得x＝gt2，解得t＝0.7 s，故运动总时间为2t＝1.4 s，v0＝7 m/s，进筐速度为v′＝v0＝7 m/s，A、B错，C对；最高点相对于投球点的竖直高度h＝gt2＝2.45 m，故最高点相对地面的高度大于2.45 m，D错． 8.如图所示，某同学将一篮球斜向上抛出，篮球恰好垂直击中篮板反弹后进入球筐，忽略空气阻力，若抛射点远离篮板方向水平移动一小段距离，仍使篮球垂直击中篮板相同位置，且球不会与篮筐相撞，则下列方案可行的是（　　） A. 增大抛射速度，同时减小抛射角 B. 减小抛射速度，同时减小抛射角 C. 增大抛射角，同时减小抛出速度 D. 增大抛射角，同时增大抛出速度 【答案】A 【详解】根据题意可知，抛射点远离篮板方向水平移动一小段距离，篮球竖直方向上的位移不变，水平方向上的位移增大，由公式和可得，应保持不变，变大，设抛出的初速度为，抛射角为，则有 ， 可知，需要增大抛射速度，同时减小抛射角。故选A。 9.如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则(　　) A.＝2 B.＝2 C．tan θ1tan θ2＝2 D.＝2 答案　C 解析　做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．由题知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C. 10.发球机从O处先后以相同的速率v0沿不同的方向斜向上发出两只相同的网球P和Q，它们的运动轨迹如图所示，不计空气阻力．下列说法正确的是(　　) A．在最高点时，P、Q速度相等 B．P运动的加速度比Q的大 C．两只网球落地时速度大小相同 D．两只网球到达最高点所用的时间相同 答案　C 解析　设任意一个网球初速度与水平方向的夹角为θ，两球水平方向上都做匀速直线运动，在最高点时的速度为斜抛时的水平速度，vx＝v0cos θ，P球的θ较小，所以在最高点的速度vx较大，故A错误；斜抛运动只受重力，故两球运动的加速度均为g，相等，故B错误；设抛出点离地高度为h，斜抛运动过程中，机械能守恒，根据机械能守恒定律得mv＋mgh＝mv2， 则得v＝， 可知落地速度大小相等，故C正确；网球到达最高点的时间t＝ P球的θ角较小，所以到达最高点所用的时间短，故D错误． 11、如图为跳伞者在下降过程中速度随时间变化的示意图（取竖直向下为正），箭头表示跳伞者的受力。则下列关于跳伞者的位移y和重力势能Ep随下落的时间t，重力势能Ep和机械能E随下落的位移y变化的图像中可能正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】A．由图可知跳伞运动员开始时所受重力大于阻力，向下加速运动，随着速度的增大，阻力在增大，加速度逐渐减小； 打开降落伞后阻力大于重力，加速度向上，运动员向下做减速运动；随着速度的减小，阻力也在减小，向上的加速度逐渐减小；当阻力和重力相等时向下做匀速运动。 则位移先增加得越来越快，后增加得越来越慢，然后均匀增加，选项A错误； BC．重力势能Ep=mgh 其随高度下降均匀减小，随时间变化规律应与位移随时间变化规律相关，先减小得越来越快，然后减小得越来越慢，最后均匀减小，选项BC错误； D．机械能E=E0-fy 开始时阻力先慢慢增大，开伞后阻力瞬间变大，最后运动员匀速运动，阻力不变，根据y的变化规律可知选项D正确。故选D。 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 抛体运动 考点一　平抛运动的规律及应用 基础回扣 平抛运动 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向． 技巧点拨 1．平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示． 2．两个重要推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有tan θ＝2tan α. 推导：→tan θ＝2tan α (2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图3所示，即xB＝. 推导：→xB＝ 例1　在某次乒乓球发球练习中，球从球桌边沿的正上方高度水平抛出，初速度垂直于球桌边沿，恰好擦着网落至对方桌边沿处，如图所示。下列操作中仍可能使乒乓球落到对方一侧桌面上的是（不计空气阻力和乒乓球的转动）（　　） A. 只增大发球的高度 B. 只增大发球的初速度 C. 同时减小发球的高度和发球的初速度 D. 同时增大发球的高度和发球的初速度 变式：某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能与水平位移x的关系图像正确的是（　　） A. B. C. D. 1.如图所示，在水平地面上O点正上方的A、B两点水平抛出两个相同小球，两小球同时落在水平面上的C点，不计空气阻力．则两球(　　) A．可能同时抛出 B．落在C点的速度方向可能相同 C．落在C点的速度大小一定不同 D．落在C点时重力的瞬时功率一定不同 2.由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c距地面高度相等，下列说法正确的是（　　） A. 到达b点时，炮弹的速度为零 B. 炮弹到达b点时的加速度为重力加速度g C. 炮弹经过a、c两点时的速度大小相等 D. 炮弹由O点运动到b点的时间小于由b点运动到d点的时间 3、疫情防控期间，某同学在家对着竖直墙壁练习打乒乓球。某次斜向上发球，球垂直在墙上后反弹落地，落地点正好在发球点正下方，球在空中运动的轨迹如图，不计空气阻力，关于球离开球拍到第一次落地的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 球在空中上升和下降过程时间相等 B. 球落地时的动量一定比抛出时大 C. 球落地时和抛出时的动能可能相等 D. 球撞击墙壁过程可能没有机械能损失 4、如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）求滑雪者运动到P点的时间t；（2）求滑雪者从B点飞出的速度大小v； （3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。 考点二　平抛运动的临界、极值问题 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向． 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 例1　如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d ＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2.则可以实现上述要求的速度大小是(　　) A．2 m/s B．4 m/s C．8 m/s D．10 m/s ． 1.(平抛运动的极值问题)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　　) A．0 B．0.1 m C．0.2 m D．0.3 m 考点三　与斜面或半圆有关的平抛运动 　　　　　 与斜面有关的平抛运动 1.顺着斜面平抛 (1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下 处理方法：分解位移． x＝v0t y＝gt2 tan θ＝ 可求得t＝. (2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下 处理方法：分解速度 vx＝v0，vy＝gt tan θ＝ t＝. 2.对着斜面平抛 垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图12) 处理方法：分解速度． vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 可求得t＝. 1．(顺着斜面抛)如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上．若不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则A和B两小球的运动时间之比为(　　) A．16∶9 B．9∶16 C．3∶4 D．4∶3 2．(对着斜面抛)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，击中坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，重力加速度为g，由此不能算出的是(　　) A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度 C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能 　　　　　 与圆弧面有关的平抛运动 1．落点在圆弧面上的三种常见情景 (1)如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t. (2)如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等． (3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等． 2．与圆弧面有关的平抛运动，题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水平位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解． 例1　如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内．现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法中正确的是(　　) A．两球抛出的速率之比为1∶ B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中 1．(轨迹与圆弧内切)如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A. B. C. D. 2、如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为(　　) A．R B. C. D. 考点四　斜抛运动 基础回扣 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) (1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0；(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg. 技巧点拨 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 例1　罚球是篮球比赛的重要得分手段，如图所示，运动员进行两次罚球，第一次篮球出手瞬间速度沿a方向，第二次沿b方向，两次出手位置相同且都从同一位置进入篮筐，忽略空气阻力影响。下列说法正确的是（　　） A. 篮球上升至最高点时处于超重状态 B. 每次重力对篮球做功的功率均先减小后增大 C. 篮球两次落入篮筐时的速度方向相同 D. 篮球出手后到投入篮筐的时间可能相等 课时精练 1．两个完全相同的小球A、B，在某一高度处以相同大小的初速度v0分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力。如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 两小球落地时，动量相同 B. 两小球落地时，重力的瞬时功率不相同 C. 从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同，重力对两小球做功的平均功率也相同 D. 从开始运动至落地，重力对两小球的冲量相同，两小球的动量变化量也相同 2．如图所示，从地面上同一位置抛出两个质量不同小球A、B，分别落在地面上的M、N点。两小球运动过程中的最大高度相同，且mA<mB。空气阻力不计，下列物理量中，小球B比小球A大的是（　　） A. 飞行时间 B. 抛出时的速率 C. 飞行过程中的速度变化率 D. 最大高度处重力的瞬时功率 3.某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一目标O发射炮弹A、B，要求同时击中目标，炮弹轨迹如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A. A先发射 B. A、B同时发射 C. A在最高点的速度比B的大 D. A、B在最高点的速度相同 4.如图所示，A、B两篮球先后从相同高度抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（　　） A. A、B从抛出到落入篮筐所用时间相同 B. A在最高点的速度比B在最高点的速度大 C A、B落入篮筐时速度大小相同 D. A、B上升过程中，在任意相同高度时的速度方向均相同 5.如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹．A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力．则(　　) A．两球抛出时A的速度大小为B的两倍 B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍 C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍 D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍 6．如图所示，质量为m的小球以正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则小球落到斜面时重力的瞬时功率为（重力加速度为g）（　　） A. B. C. D. 7.在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率．如图，在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为9.8 m，不考虑空气阻力，g取10 m/s2.则(　　) A．篮球出手的速度大小为7 m/s B．篮球在空中运动的时间为0.7 s C．篮球进筐的速度大小为7 m/s D．篮球投出后的最高点相对地面的竖直高度为2.45 m 8.如图所示，某同学将一篮球斜向上抛出，篮球恰好垂直击中篮板反弹后进入球筐，忽略空气阻力，若抛射点远离篮板方向水平移动一小段距离，仍使篮球垂直击中篮板相同位置，且球不会与篮筐相撞，则下列方案可行的是（　　） A. 增大抛射速度，同时减小抛射角 B. 减小抛射速度，同时减小抛射角 C. 增大抛射角，同时减小抛出速度 D. 增大抛射角，同时增大抛出速度 9.如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则(　　) A.＝2 B.＝2 C．tan θ1tan θ2＝2 D.＝2 10.发球机从O处先后以相同的速率v0沿不同的方向斜向上发出两只相同的网球P和Q，它们的运动轨迹如图7所示，不计空气阻力．下列说法正确的是(　　) A．在最高点时，P、Q速度相等 B．P运动的加速度比Q的大 C．两只网球落地时速度大小相同 D．两只网球到达最高点所用的时间相同 11、如图为跳伞者在下降过程中速度随时间变化的示意图（取竖直向下为正），箭头表示跳伞者的受力。则下列关于跳伞者的位移y和重力势能Ep随下落的时间t，重力势能Ep和机械能E随下落的位移y变化的图像中可能正确的是（　　） A. B. C. D. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $