2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册9月学情自测卷（测试范围：第28章：相似三角形）

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第28章：相似三角形） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正五边形 2．已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 3．如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 5．若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 6．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 7．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 8．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 9．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 12．已知线段，则线段a和b的比例中项为_____． 13．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 14．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 15．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 16．如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 18．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 20．如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 21．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 23．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 24．如图，在梯形中，，点在边上且，点在边上且，联结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第28章：相似三角形） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、两个直角三角形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个矩形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个等腰梯形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个正五边形所有内角均为，对应角相等；所有边成比例，故一定相似，该选项符合题意； 故选：D． 2．已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 3．如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 4．如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 5．若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 6．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，再利用平行线分线段成比例定理建立线段比例关系求解，即可解题． 【详解】解：过点作交于点， 是的中点，， ∴ ， ，即是的中点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 7．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 8．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 9．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 【答案】400 【分析】本题主要考查比的性质，熟练掌握比例尺是解题的关键；根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离成比例，通过比例关系计算实际距离，然后进行单位换算． 【详解】解：设这两地的实际距离是，根据题意得， 解得， ∵， ∴这两地的实际距离是， 故答案为400． 12．已知线段，则线段a和b的比例中项为_____． 【答案】6 【分析】本题考查成比例线段，掌握比例中项的定义是解题关键．根据比例中项的定义列比例式即可得解，注意线段不能为负． 【详解】解：设线段a和b的比例中项为c， ∴， 解得：，（舍）， 故答案为：6． 13．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，对应点的坐标之比等于位似比，确定位似中心为原点，位似比为，且点对应点，利用坐标运算求解． 【详解】解： 以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段 ∴点与点是对应点，且位似比为 ∴点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的 ∵ ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴． 14．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 15．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 16．如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由等边三角形性质得出及三角形的边长，结合利用外角性质证明，从而证得，利用对应边成比例求解． 【详解】解： ∵为等边三角形， ∴， ，， ∴， ， ∵是的外角， ∴ ， 又∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 在和中， ， ∴ ， ∴ ； 即 ， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 18．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 【答案】(1)9 (2)10 【分析】（1） 先由推出线段比例关系，进而得到相似比求出DE； （2）利用相似三角形周长比等于相似比算出大三角形周长，再通过线段和差求出． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． ， ， ． ， ； （2）解：， （相似三角形周长之比等于相似比）． ， ， ， ， ． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 【答案】(1)如图所示即为所求 (2)， 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）原点为位似中心放大2倍，坐标同乘2；再利用网格中的水平、竖直线段，借助勾股定理求出两点间线段长． 【详解】（1）略 （2）解： ∵ 以原点为位似中心，放大为原来的倍，在第二象限， ∴ 对应点坐标为原坐标乘． ∵， ，． 根据勾股定理得 ． 20．如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 21．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 22．如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据运动情况得到，，再根据求解，即可解题； （2）分两种情况：①当时，②当时，结合相似三角形性质列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∵点是的中点，， ∴． ∴ ． （2）解：当运动时间为时，，． ①当时， 则， 即． 解得：． ②当时， 则时， 即． 解得：，． 综上所述，或或． 23．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 24．如图，在梯形中，，点在边上且，点在边上且，联结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接并延长与延长线交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)3 【分析】（1）连接并延长与延长线交于点，由得，进而可证，由相似三角形的性质得，可证； （2）由得，通过对应线段成比例可求出的长，再根据即可求解； 本题主要考查了平行线分线段成比例，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，连接并延长与延长线交于点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $