2026年吉林省长春市中考数学试题

长春市中考数学2026.06.28 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的绝对值是（ ） A． B． C． D． 2．2025年我国新能源汽车年产量超过16000000辆，产品出口到多个国家和地区，成为中国制造的一张“亮丽名片”．其中16000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，是的一个外角．若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 5．如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（ ） A． B． C． D． 6．已知一次函数，随的增大而增大．当时，下列选项中，的值可能是（ ） A． B． C． D． 7．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．函数图象过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 8．如图，点为正方形的中心，，分别为边，的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（ ） A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点逆时针旋转 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9．计算：________． 10．分解因式：________． 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为________． 12．如图，，直线与这三条平行线分别交于点，，．若直线与，与之间的距离分别为1和2，且，则的长是________． 13．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 14．如图，已知的面积为3，且．将沿方向平移长度得到，连接，，交于点，给出下面四个结论：①四边形的面积是9；②；③；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15．（6分）先化简，再求值：，其中． 16．（6分）长春2027年第33届世界大学生冬季运动会的会徽主体形态是中国书法草书“长”字的抽象变形，吉祥物为“吉冰”“吉雪”．将三张分别印有会徽（记为A）、“吉冰”（记为B）、“吉雪”（记为C）图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中任意取出1张卡片记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用画树状图（或列表）的方法，求取出的两张卡片图案相同的概率． 17．（6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中，以格点为顶点画一个三边长分别为，，的三角形； （2）在图②中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是； （3）在图③中，以格点为顶点画一个面积为12的菱形． 18．（7分）甲、乙两个植树队参加植树造林活动．已知乙队每小时比甲队多种3棵树．甲队种60棵树与乙队种66棵树所用的时间相同．求甲队每小时种多少棵树？ 19．（7分）如图，在中，是边的中点，且．求证：四边形是矩形． 20．（7分）为落实教育部《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，多地中小学进一步将“健康第一”的教育理念贯穿学习生活日常．某校对七年级学生开展了体能测试，为了解学生的测试情况，现从七年级随机抽取了两组学生的测试成绩（满分100分，每组10人），并将这两组记为A组、B组． 整理数据： 分析数据： 平均数 中位数 众数 A组成绩 85 80 B组成绩 83 80 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）根据以上数据，体能测试成绩更好的是________组（填“A”或“B”）； （3）已知该校七年级共有300名学生，成绩为满分的学生可以获得“体能达人”的称号，估计该校七年级获得“体能达人”称号的学生人数． 21．（8分）某水库一天的水位监测记录显示：前4个小时的水位没有变化，随后的20个小时，水位每小时上升的高度相同．水库内的水位高度与时间之间的函数关系如图所示． （1）随后的20个小时，水位每小时上升________； （2）求所在直线对应的函数关系式； （3）当水位达到警戒水位时，求的值． 22．（9分）【问题提出】如图①，以的边为直径作．若经过边的中点，求证：． 【问题解决】证明：如图②，连接． 四边形是平行四边形，，． 是的中点，是的中点，，．． 四边形是平行四边形．．点在上，． ．． 【结论应用】 （1）在【问题提出】的条件下，若点也在上，且，则的面积为________； （2）如图③，以正方形的边为直径的圆经过的边的中点，连接．若，则长度的最大值为________． 23．（10分）如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧． （1）________； （2）连接，求证：； （3）当点在边上时，求的长； （4）是边上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．点在轴上，横坐标为，点在直线上，横坐标为． （1）点的坐标为（ ），点的坐标为（ ），点的坐标为______________； （2）当点在抛物线上时，求的值； （3）当时，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①若直线将的面积分成两部分，求的值； ②当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $长春市中考数学2026.06.28 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.-2026的绝对值是 (B) A.-2026 B.2026 C.-2026 .2025 2.2025年我国新能源汽车年产量超过16000000辆，产品出口到多个国家和地区，成为中国制造的 一张“亮丽名片”.其中16000000用科学记数法表示为 (A) A.1.6×10 B.16×10 C.1.6×10 D.0.16×10 3.不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是 (B) 012 01 B 4.如图，∠ACD是△ABC的一个外角.若∠ACD=75°，∠B=40,则∠A的度数是 (D) A.65° B.45° C.40° D.35° 49° -34cm- (第4题图) (第5题图) 5.如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度AB=34cm.已知篮球的直径 EF与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是49°，则该篮球的直径可表示为 (A) A.34sin49°cm B.34cos49°cm C物u D.34 cos 496 cm 6.已知一次函数y=x+1(k≠0)，y随x的增大而增大当x=2时，下列选项中，y的值可能是(D） A-克 B.0 c.1 D.2 7关于反比例函数y=一名，下列说法正确的是 (D) A.函数图象过点(2,3) B.函数图象位于第一、三象限 C.当<0时，y随x的增大而减小 D.当-6<x<-1时，1<y<6 第1页 8.如图，点O为正方形ABCD的中心，E,F分别为边AB,BC的中点，若△DAE经过一次变换后会得 到△ABF,下列变换方式中能实现的是 (D) A.沿直线AC翻折 B.沿直线OE翻折 C向右平移2个单位 0 D.绕点0逆时针旋转90° 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 9.计算：(-3)×（-2)=6 （第8题图) 10.分解因式：ab2-5ab=ab(b-5)_ 11.若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为 4 12.如图，a∥b∥c,直线l与这三条平行线分别交于点A,B,C.若直线a与b,b与c之间的距离分别 为1和2，且AB=号，则BC的长是 3 60 (第12题图) (第13题图) （第14题图) 13.如图，点A,B在⊙0上，连接OA,OB,AB.若AB=OA=6,则AB的长是 2T 14.如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC.将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA,连接 BF,BE,BE交AF于点M,给出下面四个结论：①四边形BCEF的面积是9；②∠CBE=90°； ③片8BC2+B=AC2;④若LBBC=15°，则AC=23.上述结论中，正确结论的序号 有①②④ 【详解】由平移的性质得BF∥AE,AF∥BC,BF=AE,BC=AF,AE=AC,△EFA≌△ABC.·四 边形AEFB是平行四边形.AB=AC.AB=AE.四边形AEFB是菱形.S△MB那=S△MBP ·S边#BCBR=3 SAABC=3×3=9.故①正骑。四边形AEFB是美形，AF⊥BE.BC∥AF, BC⊥BE.∠CBE=0°.故②正确.AF⊥BE,∠AMB=0°.在Rt△ABM中，由句股定 复得AM+BM=AB.:四边形ABFB是茂形，AM=之ARAM=BC,:AB=AC, 小BC2+BMP=AC.故③餐滨：回边形ABFB是菱形， ∴∠AEF=2∠BEC=2×15°=30°..∠BAC=∠AEF=30°.过 高B作B服1AC于点丑，知卷围.LABB=90B阻=2AB 答困 =ACSc=4C·服=子AC2=3.“4C=25.故@正确除上所这，正喷结拾的序号是 ①②④.故答橐为：①②④ 第2页 三、解答题：本题共10小题，共78分. 15.(6分)先化简，再求值：(2a+1)2+(a-5)(a+1),其中a=-1. 解：原式=4a2+4a+1+a2-4a-5 =5a2-4. 4=-1时，原式=5×（-1)2-4=1. 16.(6分)长春2027年第33届世界大学生冬季运动会的会徽主体形态是中国书法草书“长”字的 抽象变形，吉祥物为“吉冰”“吉雪”.将三张分别印有会徽（记为A)、“吉冰”（记为B)、“吉雪” (记为C)图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中任 意取出1张卡片记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.用画树状图（或列表）的方法，求 取出的两张卡片图案相同的概率 解：报根据题意，西树状图如袋图： 开始 第一次 CHANOCHUN 1017 长春2027 由图可知，共有9种等可能的结果，共 （(第16题图) 中取出的两张卡片图聚扣周的结果有3种， 取出的两张卡片国索和周的的飘率为号-宁 17.（6分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶 点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图 (1)在图①中，以格点为顶点画一个三边长分别为4，W5,√3的三角形： (2)在图②中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是45°； (3)在图③中，以格点为顶点画一个面积为12的菱形 图① 图② 图③ (第17题图) 第3页 解：(1)如答图①，△ABC即为所求， (2)如答图②，四边形EFGH即为所求（答聚不唯一）. (3)如答图③，四边形MWP2即为所求， 答图① 答图② 答图③ 18.（7分)甲、乙两个植树队参加植树造林活动.已知乙队每小时比甲队多种3棵树.甲队种60棵树 与乙队种66棵树所用的时间相同.求甲队每小时种多少棵树？ 解：设甲队每小时种棵树，则乙队每小时种(x+3)操 报据题意，得0=66 xx+3 解得x=30. 经检脸，x=30是原分式方程的解，且符合题意。 答：甲队每小时种30操树. 19.（7分)如图，在口ABCD中，M是边AD的中点，且MB=MC.求证：四边形ABCD是矩形 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=DC,AB∥DC M是AD的中点， ∴.AM=DM. .MB=MC, (第19题图) .△ABM≌△DCM(SSS): .∠A=∠D AB∥CD, ∴.∠A+∠D=180. .∠A=90. ∴.四边形ABCD是矩形. 第4页 20.(7分)为落实教育部《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，多地中小学进一步将“健康第 一”的教育理念贯穿学习生活日常.某校对七年级学生开展了体能测试，为了解学生的测试情 况，现从七年级随机抽取了两组学生的测试成绩（满分100分，每组10人），并将这两组记为A 组、B组 整理数据： A组成绩形统计图 B组成绩条形统计图 100分708X10% s人数 20% 80分 90分 30% 40% 0 08090100分数 (第20题图) 分析数据： 平均数 中位数 众数 A组成绩 a 85 80 B组成绩 83 b 80 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a=86 ,b= 80 (2)根据以上数据，体能测试成绒更好的是， A 组（填“A”或“B”); (3)已知该校七年级共有300名学生，成贷为满分的学生可以获得“体能达人”的称号，估计该校 七年级获得“体能达人”称号的学生人数。 解：(1)a=0×(70x1+80x4+90x3+10x2)=86, b=80+80=80. 2 (2)A. (3)300×2+1 20 =45(人). 滋校七年级获得“体能达人”称号的学生人数的为5人 21.(8分)某水库一天的水位监测记录显示：前4个小时的水位没有变化，随后的20个小时，水位每 小时上升的高度相同.水库内的水位高度y(m)与时间x(h)之间的函数关系如图所示. (1)随后的20个小时，水位每小时上升 4 m; (2)求BC所在直线对应的函数关系式； (3)当水位达到警戒水位时，求x的值. 解：(1)(25-10)÷20-子(m）. ylm 30 25 (2)设BC所在直线对应的函数关系式为y=+b. 将(4,10)和(24,25)代入， 104 B 警戒水位 3 母中69.舞得子 可4812162024xh lb=7. (第21题图) 3 “BC所在直线对应的函数关系式为y=+7, （3)吉y=20时，是+7=20.得得x 3 3 声水位选到警戒水位时，的值学 第5页 22.(9分)【问题提出】如图①，以口ABCD的边AD为直径作⊙0.若⊙0经过边BC的中点M,求证： AD=2DC. D 0 0 图① 图② 图③ (第22题图) 【问题解决】证明：如图②，连接OM. 四边形ABCD是平行四边形，D∥BC,AD=BC, M是BC的中点，0是AD的中点，0D=AD,CM=BC0D=CM 2 回边形D0MC是平行回边形.DC=OM点M在⊙0上，0M=之AD, :DC=号AD.AD=2DC: 2 【结论应用】 (1)在【问题提出】的条件下，若点B也在⊙0上，且AB=4,则口ABCD的面积为_165 ； (2)如图③，以正方形ADEF的边AD为直径的圆经过口ABCD的边BC的中点M,连接FC.若AF =6,则FC长度的最大值为6瓦+3 解：【结论应用】(1)如答图①，连接BD.点B落在圆上，AD是⊙0的直 径，.∠ABD=90°.四边形ABCD是平行四边形，DC=AB. 0 由(1)可知AD=2DC.:AB=4,AD=8.在Rt△ABD中， BD=v√D-AB=√82-平=45.Sam=BD·AB=45×4=165. 答① (2)如答图②，连接FD.四边形ADEF是正方形，AF=6,AD=AF=6, LFAD=90°.FD=√AF2+AD=√6+6=6E. 由【问题解决】可知，AD=2DC.AD=AF=6,DC=3. 点C在以点D为圆心，半径为3的圆上（不包括点O),如答图② 当点F,D,C在同一直线上时，FC取得最大值，最火值为FD+DC=6√万+3. 答田② 第6页 23.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=8.0为边AB的中点，D为线段0A上一点 (不与点O重合)，点D关于点O的对称点为点E,以DE为斜边构造等腰直角三角形DFE,点 和点C在直线AB的同侧， (1)AB=45 (2)连接OF,求证：OF⊥DE; (3)当点F在边BC上时，求DE的长； (4)H是边BC上一点，连接FH.当LDFH+∠EFH=180°，且FH=2时，直接写出DE的长. (1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=8, AB=√AC+BC=√2+82=45； (2)证明：点D,E关于点O对称，O是DE中点. ,△DEF是等腰直角三角形，.DF=EF..OF⊥DE. (3)解：当点F落在BC上时，连接FA,加答图①.：OF⊥DE,且 (第23题图) 0为AB中点，FA=FB,A0=2AB=25.设FA=FB=x, 则CF=BC-FB=8-x在肚△ACF中，由勾股定理得FA2=AC+CF2, x2=42+(8-x)2.解得x=5.FA=5.在Rt△A0F中，由为股定 理得0F=√FA2-A0=√52-(25)2=5. 又：△DEF是等腰直角三角形，“DE=2OF=25. (4)解：①当点F在BC的下方时，如答图②，设OF与BC交于点G. 答图① 由(3)可得OG=√5.△DEF是等康直角三角形，∠FDE=45°. :∠DFH+∠EFH=180°，∠EFD=0°，.∠DFH+∠EFD+∠DFH= 180°..∠DFH=45..∠DFH=∠FDE..HF∥DE.又，OF⊥DE, .OF⊥HF..∠HFG=∠BOG=90°.又，∠HGF=∠BG0, 4△HGF∽ABG0.g=职.9=2.FG=1 答图② G0=B0·· 525 ∴0F=0G+FG=5+1.DE=20F=25+2. ②当F在BC的上云时，如答图③，延长OF交BC于点G.同理可得 HF/DE,GFG-1..OF=0G-FG-5-1 DE=20F=25-2.综上所述，DE的长为25+2或2,5-2. 答因③ 第7页 24.（12分)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=x+2x-1与轴交于A,B两点（点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点M在x轴上，横坐标为m,点N在直线y=-2x上，横坐标 为m+1. (1)点A的坐标为(-1-E,0),点B的坐标为(-1+E,0),点C的坐标为(0，-1)； (2)当点N在抛物线y=x+2x-1上时，求m的值； (3)当m<-1时，连接MW,将线段MW绕点M顺时针旋转90得到线段MP,连接NP. ①若直线y=-2x将△MNP的面积分成1：2两部分，求m的值； ②当此抛物线在△MWP内部的点的纵坐标y随的增大而增大时，直接写出m的取值范围。 解：(1)令y=0,x2+2x-1=0.解得1=-1-V万，x2=-1+2. 3=-24xu 1y=x242e-1 点A在点的B左侧，点A的坐标为(-1一√万，0)，点B的坐标为 （-1+√2,0).令x=0,得y=-1.点C的坐标为(0，-1)： (2):点N的横坐标为m+1,且在直战y=-2x上， .点N的坐标为(m+1,-2m-2). 将点N的坐标代入她物线得-2m-2=(m+1)2+2(m+1)-1. (第24题图) 整理得m2+6m+4=0.解得m1=-3+5,m2=-3-5. (3)①过点N作NE⊥x轴于点E,过点P作PF⊥x轴于点F,如答图①， 由炎转的性质得MN=MP,∠NMP=90°..∠NME+∠FMP=0° PF⊥x轴，.∠MPF+∠FMP=90..∠MPF=∠NME.又NE⊥x 轴，PF⊥x軸，.∠EM=∠MFP=90°.△NME≌△MPF(AAS) .E=MF,ME=PF.N(m+1,-2m-2),且m<-1, E==-2m-2,0E=-(m+1)=-m-1M(m,0),.OM=-m :.ME=PF =OM-OE=-m-(-m-1)=1,OF =MF-OM=-2m- 2-(-m)=-m-2.∴P(-m-2,-1).设线段MP与直线y=-2x交于 答图① 点0.△MNP的面积放直线y=-2x分成1：2两部分，.Saww:S△re=1:2 或SaNw:Sare=2:1.M0:P=1:2或M0:P2=2:1.过点2作0a⊥x轴于点H. a/那器器-器-号器器-器-号0如=号a=-2m-2) 或2姐=号，加=子(-2m-2.0a=2或0n=g4 “点卫的丝(m子，-局》四兰引 将点见的坐四子，-分》代入重截y=-2,得-2×子=-学 3 答图② 期得限=2（合）.将点卫的会制背4，-引代入直线y=-2x, 得-2×二肾4=一学期得m=-5m始值为-5 3 ②八y=x2+2x-1=(x+1)2-2,地物线的开口向上，对称轴为直线x= -1.古x>一1时，y随x的增火而增火，尚点P在她物线上时，如答图②. -m-2=0.解得m=2.齿点M与点A重合时，如答图③.m=-√万-1. 答图③ .m的取值范图是-1-√2≤m<-2. 第8页