专题8 有理数的乘方和混合运用（重难点培优讲义）2026-2027年人教版七年级数学上册

专题8 有理数的乘方和混合运用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 有理数的乘方运算 题型二 有理数乘方的逆运算 题型三 乘方运算的符号规律 题型四 程序流程图与有理数计算 题型五 算24点 题型六 计算器——有理数 题型七 含乘方的有理数混合运算 题型八 有理数的四则混合运算 题型九 乘方的应用 题型十 有理数乘方的规律计算探究 题型十一 二进制问题 题型十二 幻方问题 题型十三 有理数四则混合运算实际应用综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01 乘方运算中的符号规律 1. 底数为非零有理数的符号规律：当底数a是正数时，无论指数n是正奇数还是正偶数，的结果一定为正，即正数的任何次幂都是正数；当底数a是负数时，结果的符号由指数n决定：若n为奇数，则为负；若n为偶数，则为正，即负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 进一步延伸可得到更简洁的结论：对于，当n为奇数时，；当n为偶数时，。这一规律本质是奇偶次幂对符号的筛选作用，也对应了有理数乘法中“几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定”的核心法则，乘方是相同因数乘法的简便运算，因此符号规律本质上是乘法符号法则的特例。 2. 特殊底数的乘方规律：①底数为1：1的任何次幂都等于1，即；②底数为(-1)：(-1)的奇次幂是-1，偶次幂是1，即； 【针对训练】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 知识点02 乘方在规律探究型题型中的应用 大量周期性、递增性规律都需要用乘方表示。比如观察数列2, 4, 8, 16...，第n项就是；观察数列1, 4, 9, 16...，第n项就是，乘方是描述指数级增长和平方类规律的核心工具。此外，在图形找规律中，每次图形的元素数量按照指数规律增加时，最终的通项公式必然包含乘方形式。 【针对训练】 1．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 2．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 知识点03 有理数的乘方 1. 有理数的乘方的意义： 求 几个相同因数 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 的次方 。当把看做的次方的结果时，也可读作： 的次幂 ，所以乘方的结果叫做 幂 ，其中是 底数 ，是 指数 。 特别提示： （1） 当指数是 1 时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是 负数 或 分数 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ； 的四次方写成 。 （3）任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作： 平方 ，一个数3次方可以读作： 立方 。 【针对训练】 1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 2．（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 知识点04 有理数的乘方运算 1. 有理数的乘方的计算： 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 乘法运算 ，计算时先确定幂的 符号 ，在计算幂的 绝对值 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1） 正数的任何次方都是 正数 。 （2） 负数的奇次方是 负数 ，负数的偶次方是 正数 。 （3） 0的任何正整数次方（除0外）都得 0 。 （4） 1的任何次方都得 1 ，﹣1的奇次方得 ﹣1 ，﹣1的偶次方得 1 。 【针对训练】 1．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负． 【详解】∵是偶数，根据乘方运算规则，的偶次幂结果为， ∴． 故选：B． 2．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：． 知识点05 有理数的偶次方 1. 有理数的偶次方： 由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 大于等于0 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 非负数 ，非负数具有 非负性 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 0 。即，则 0 。 知识点04 的区别与联系 1. 三者的意义（区别）： 表示的意义是 n个a相乘的积 ，即 ，底数是 a 。 表示的意义是 n个a相乘的积的相反数 ，即 － ，底数是 a 。 表示的意义是 n个－a相乘的积 ，即 ，底数是 －a 。 2. 三者的联系 （1） 当为奇数时， － 和 相等，他们与互为 相反数 。 （2） 当为偶数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。 【针对训练】 1. 计算：（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，根据乘方的意义先确定符号，再计算即可． 【详解】解：， 故选：C 2. 若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 典例精析 题型一 有理数的乘方运算 【例1】计算（  ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的运算，根据题干个相乘，即为，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 【变式训练】当时，以下等式：①；②；③；④中成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查指数幂的运算，熟练掌握指数幂的运算是解题的关键．利用指数幂与底数的关系进行计算即可； 【详解】解：由题可知，则，故①成立； ，故②成立； ，故③成立； ，故④不成立； 故选B． 题型二 有理数乘方的逆运算 【例2】计算的结果是（　　） A．9 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据乘方的逆运算进行计算． 【详解】解：原式= 故选B 【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键． 【变式训练】若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（    ） A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方运算求出x、y即可解答． 【详解】解：∵x、y、z是三个连续的正整数， ∴y=x+1， ∵x2＝44944=2122， ∴x=212， ∴y=213， ∴y2=2132=45 369， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键． 题型三 乘方运算的符号规律 【例3】计算的值，结果正确的是（    ） A．1 B． C．0 D．或0 【答案】B 【分析】由运算式中的加数一共个数，其中偶次方有个，奇次方有个，从而可得答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，掌握“乘方运算的符号规律的确定”是解本题的关键． 【变式训练】联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：①当时，，故正确； ②当时，，故正确； ③当时，，故不正确； ④当时，，故不正确． ∴正确的个数为2个 故选B． 【点睛】本题考查了是有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 题型四 程序流程图与有理数计算 【例4】下图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为30，则输出的结果为（    ） A．100 B．120 C．150 D．420 【答案】C 【分析】本题考查流程图，将代入进行计算，将结果与100进行比较，若小于等于100，则将结果作为x继续代入进行计算，若大于100则输出结果即可． 【详解】解：， 则， ∵， ∴继续循环，此时， 则， ∵， ∴输出结果为150， 故选：C． 【变式训练】按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是18，则最后输出的结果是（    ）    A．72 B．144 C．288 D．576 【答案】C 【分析】根据程序流程图逐步列式计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴输入得：， ∵， ∴输入得：， ∵， ∴输入得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型五 算24点 【例5】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 【变式训练】“24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式： × ×（ － ）． （2）3，9，4，2，算式： ． 【答案】 2 3 8 4 【分析】本题主要考查了四则混合运算，熟练的掌握四则混合运算的法则是解题的关键． 根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的．可以把24先分解成两个数的和、差、商、积的形式，然后再通过给的已知数字，尝试调整凑成得数是24，如，等； （1）先算小括号里的减法，用；再算乘法，；最后算乘法，；列综合算式为：； （2）先计算括号内的加法，；再计算另一个括号内的减法，； 最后将两个结果相乘，；列综合算式为：． 【详解】根据分析可知： “24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式：． （2）3，9，4，2，算式：． （答案不唯一） 题型六 计算器——有理数 【例6】使用科学计算器按下图按键顺序输入，则它表达的算式的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算器的使用方法，结合各项进行判断即可． 【详解】 解：按下列按键顺序输入： 则它表达的算式是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了计算器的应用，根据有理数的输入方法正确输入数据是解题关键． 【变式训练】下面科学计算器的按键顺序：对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学计算器按键功能可得． 【详解】解：与科学计算器的按键顺序对应的算式是 故选：B． 【点睛】本题主要考查计算器-有理数，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 题型七 含乘方的有理数混合运算 【例7】我们把记作，记作，那么计算的结果为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则．根据新定义列出算式，再根据有理数的乘除运算法则计算可得． 【详解】解：， 故选：A． 【变式训练】在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数含乘方的混合运算，按照有理数的运算顺序与法则依次进行判断即可． 【详解】解：，故甲计算错误； ，故乙计算正确； ，故丙计算错误； ，故丁计算错误； 故选：B． 题型八 有理数的四则混合运算 【例8】若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及倒数的意义，由倒数的意义可知，进而可求出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选A. 【变式训练】定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，绝对值的意义，根据新定义运算法则求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：B． 题型九 乘方的应用 【例9】珠穆朗玛峰高约为米，而一张纸的厚度约为毫米．假设这张纸能够无限次对折，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则这张纸对折的次数至少是（    ）（参考数据：） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘方，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键，由题意可知，纸张对折次，纸张厚度为毫米，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则使，再由有理数的乘法逐步计算即可． 【详解】一张纸的厚度约为毫米， 纸张对折次，纸张厚度为毫米， 珠穆朗玛峰高约为米， 若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度， 则有， ，，， 至少对折次后，它的厚度超过珠穆朗玛峰高度． 故选：A． 【变式训练】小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 【答案】B 【分析】根据题意得出第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，第三次复制最多得2×2×2=23=8张，即可得出规律，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，问题得解． 【详解】解：由题意得第一次复制得2张， 第二次复制最多得2×2=22=4张， 第三次复制最多得2×2×2=23=8张， 第四次复制最多得2×2×2×2=24=16张， ……， 第九次复制最多得29=512张， 第十次复制最多得210=1024张， 1024＞1000， 所以至少需要10次． 故选：B 【点睛】本题考查了乘方的应用，根据题意得到乘方运算规律，并正确进行计算是解题关键． 题型十 有理数乘方的规律计算探究 【例10】求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？ (1) ＝______，＝______； (2) ＝______，＝______； (3)(－1)4×24＝______，(－1×2)4＝______； (4)(－5)2×42＝______，(－5×4)2＝______． 试用你发现的规律计算× 【答案】（1）1，1；（2），；（3）16，16；（4）400，400；规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，． 【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案． 【详解】解：(1) ＝，＝； (2) ＝，＝； (3)(－1)4×24＝，(－1×2)4＝； (4)(－5)2×42＝，(－5×4)2＝． 规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即am·bm＝(ab)m(m为正整数)． ×＝××4＝×4＝×4＝－1×4＝－4． 【点睛】本题考查了有理数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式训练】观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）观察已知等式即可求解； （）由等式规律写出即可； （）利用规律计算即可； 本题考查了有理数乘方的变形运算，根据已知等式找出有理数乘方运算的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律，第六个等式为， 故答案为：； （2）解：由规律可得，第个等式为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 题型十一 二进制问题 【例11】我们常用的数是十进制数，创新组说计算机程序使用的是二进制（只有数码0和1），而且两者之间可以互相换算． 例如，将换算成十进制数：，则 (1)将9转换成二进制：_______________（_____） (2)请将27转换为二进制数； (3)请将转换为十进制数 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是弄清二进制数转化为十进制数的计算方法． （1）根据十进制数转化为二进制数的方法计算即可； （2）根据十进制数转化为二进制数的方法计算即可； （3）根据二进制数转化为十进制数的方法计算即可． 【详解】（1）解：将9转换成二进制：， 故答案为：； （2）解：； （3）解：． 【变式训练】阅读材料：    我们常用的数是十进制数，如，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53．（注意：对于任何非零数a都有，即） 解决问题：二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？ 应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 【答案】二进制中的数101011等于十进制中的43；她一共采集到的野果数量为1838个 【分析】二进制数转化为十进制数，就是把底数变为2，列式计算；六进制数转化为十进制数，就是把底数变为6，列式计算． 【详解】解：二进制中的数， 二进制中的数101011等于十进制中的43． 6进制的数， 她一共采集到的野果数量为1838个．    【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握二进制和六进制转化为十进制时数位表示的方法是解题的关键． 题型十二 幻方问题 【例12】《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏．如图所示，将数字1，2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方：一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（   ） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A．505 B．500 C．510 D．515 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算的应用．根据题意，计算10阶幻方中，所有数字的和，再分析10阶幻方的特点、性质，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，时，需要将100个正整数1，2，3，，100，填入的方格内， 全部数字的和为， 而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为， 又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故． 故选：A． 【变式训练】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ． 【答案】 【分析】设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q，根据题意可知：，，变形可得：，，即可求出的值． 【详解】解：设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q， ∴根据题意可知：，， ∴将上式变形可得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幻方的特征和应用和有理数的乘方的运算，理解题目中幻方的概念并求出，的值是解答本题的关键． 题型十三 有理数四则混合运算实际应用综合 【例13】六一儿童节期间，阳光文具店开展促销活动． 方案一：所有文具一律打八折； 方案二：购买5支同样的钢笔，送1支同款钢笔（单支原价15元）． 张老师要给班级36名同学每人购买1支这种钢笔，选择哪种方案更省钱？需要花多少钱？ 【答案】选择方案一更省钱，需要432元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．根据两种促销方案分别求出费用，比较即可得到答案． 【详解】解：方案一：（元） 方案二：， （元） 即选择方案一更省钱，需要432元． 【变式训练】如图，一顶帆布帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形，已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要多少帆布（帐篷的底面不用帆布，π取3.14，结果精确到）？ (2)帐篷的容积大约是多少（π取 3.14，结果精确到）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆柱与圆锥的计算，以及有理数混合运算的应用． （1）先根据圆柱的底面积为求出底面半径，再根据侧面积公式计算即可； （2）根据圆柱与圆锥的容积公式计算即可． 【详解】（1）设底面半径为r， 由 得    答：制作一顶这样的帐篷至少需要帆布 （2） 答：帐篷的容积大约是． 1．“十四五”时期，盐城建成了农村生态河道约，位居全省第一．数据用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 2．已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、近似数推断取值范围 【详解】解：由题意可知：这个数在和之间，则符合题意的只有B选项． 3．若，，，则a、b、c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】先化简三个数，再比较化简后的数的大小即可解答． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴． 4．北京故宫的占地面积大约为平方米，用科学记数法表示的数，原来是__________ 【答案】720000 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为正整数，将其还原为原数，只需将的小数点向右移动位即可． 【详解】解：． 5．一个两位小数，四舍五入保留一位小数的近似值是，这个两位小数最大是________，最小是________． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、近似数推断取值范围 【分析】分“四舍”和“五入”两种情况讨论，分别找出符合条件的最大、最小两位小数． 【详解】解：分两种情况讨论： “四舍”得到近似值的情况： 四舍时百分位的数字小于，直接舍去不进位，原数的十分位为， 百分位最大取，得到最大的两位小数为； “五入”得到近似值的情况： 五入时百分位的数字大于等于，向十分位进后得到，原数的十分位为，百分位最小取，得到最小的两位小数为． 6．如图是一个数值转换机，若输入的数x为，则输出的数是_____ ． 【答案】7 【知识点】程序流程图与有理数计算 【详解】 解：由图可得， 当时，， ， ， ∴输出的结果为7． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3)3 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数的除法运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 8．下面各组大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】利用绝对值的性质，乘方运算逐项判定即可． 【详解】解：A、，，故，本选项错误； B、，，，故，本选项错误； C、，，，故，本选项正确； D、，，，故，本选项错误． 9．年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘方逆运算、乘方的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数乘方逆运算的应用，根据题意得，即可求得的值．熟练掌握该运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵一个进制数， 换算成十进制数是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的值为． 故选：D． 10．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 11．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 12．泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 【答案】 30 ． 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、算“24”点 【分析】（1）根据乘积最大的就是找符号相同且绝对值最大的数，即可求解； （2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，应选择被除数为绝对值尽可能大、除数绝对值尽可能小； （3）用加减乘除只要得数是24即可． 【详解】解：（1）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是； （2）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是； （3）由题意可得， ① ②． 13．执行如下的程序框图，若输入的，则输出的值为________． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】根据运算的程序进行计算，符合要求时输出即可． 【详解】解：当输入的时，，， 可得：， ， 再次输入计算， 可得：， 可得：， ， 再次输入计算， 可得：， 可得：， ， 输出，输出的值为． 14．定义：，则________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】根据给出的新运算定义，将对应数值代入公式计算即可． 【详解】解：由定义可知， ∴． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先计算原式的倒数，除法化为乘法后，利用乘法分配律展开计算，最后即得； （2）先算乘方与绝对值，再算乘法，最后计算加减法； （3）先算乘方，再算括号内的乘法，再用乘法分配律展开，最后计算减法． 【详解】（1）解：∵ ， ∴． （2）解： ． （3）解： ． 16．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)13 (2) (3)6 (4) (5) 【知识点】有理数的减法运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先化减为加，然后运用有理数加法运算律进行简便运算即可； （2）先把带分数化成假分数，然后再化除为乘，最后运用有理数乘法法则计算即可； （3）先算乘方，再按照有理数的混合运算法则计算即可； （4）先算乘方，再去绝对值，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （5）直接运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 17．定义一种新运算“*”，规定：．例如，．求：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、新定义下的实数运算 【分析】根据新运算的规定代入计算即可．注意先算括号里面的． 【详解】解：∵， ∴ ． 18．如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【答案】(1)6 (2)解：由（1）可推知，从开始的个连续奇数的和是：． 验证猜想：时，， 时，． 验证正确． 【知识点】有理数加法运算、计算器——有理数、乘方的应用 【分析】（1）观察图形总结规律解答即可； （2）利用（1）得出的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题可知： ， ， ， ， ， ∴． （2）略． 19．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 20．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 21．我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了数制转换，算盘的算珠表示规则及数字表示的逻辑推理，根据题意理解十六进制转十进制的规则，再分析算盘的算珠表示规则，将十进制数88转化为十六进制数，逐一验证选项中算盘的算珠表示是否对应，选出正确选项即可． 【详解】解：A项：，不符合题意； B项：，不符合题意； C项：，符合题意； D项：，不符合题意， 故选：C． 22．对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及新定义，能够读懂定义是解题关键；根据“快乐数”的定义逐一对每个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ，，， ∴2026是“快乐数”，故①正确； ②设A是“快乐数”，B是A的数字重排序（最高位非0）， ∴中各个位数的平方和与中各个位数的平方和相等， ∴对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作时，对和进行计算，得到的第一个新数相同，故后面所有重复操作得到结果都一样， 若A是“快乐数”，则重复操作最后计算结果为1，同理重复操作最后计算结果也为1， ∴也是“快乐数”，故②正确； ③设正整数为，各位数字的平方和为， 对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作， ∴相当于是正整数在判断是否为“快乐数”的第一步，若为“快乐数”，则还原可得到也为“快乐数”． ∴①②③正确． 故选：D． 23．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 24．_______． 【答案】/ 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是利用积的乘方公式进行简便运算．先将转化为，再写成以为底的幂，最后利用幂的运算性质化简． 【详解】解： ． 25．进位制是人们为了计数和方便而约定的计数系统，各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数： ． （1）将58转换为二进制数的结果为______； （2）在二进制中计算______； （3）在八进制中计算______； 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解不同进制数转换的方法． （1）利用除以2取余数的方法求解即可； （2）根据二进制加法计算法则（进位1）计算求解即可； （3）根据八进制乘法满8进1求解即可． 【详解】解：（1），余数为0； ，余数为1； ，余数为0； ，余数为1； ，余数为1； ，余数为1， ∴将58转换为二进制数的结果为， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）八进制乘法满8进1， 则，记2，进位1； ，记7，无进位； ，记0，进位1， ∴ 故答案为：． 26．简便运算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算律、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）对于，，分别取，相加即可； （2）把各因数通分相乘得分子是从2开始的连续自然数的平方，分母是从1开始的相差2的两个自然数的积，再相乘并依次约分即可； （3）拆分带分数，利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律展开，再把同分母分数相加减即可． 【详解】（1）解：当时，， 则 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】对每一项进行化简，再用裂项相消法计算求和． 【详解】解： ． 28．你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（，且为整数）． 从分析，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想结论． (1)通过计算，选填“>”或“<”： ①__________；②__________； ③__________；④__________； ⑤__________． (2)根据（1）的结果，猜想和的大小关系． (3)根据（2）中的猜想，试比较下列两数的大小关系：__________2025（填“>”或“<”）． 【答案】(1)①<  ②<  ③>  ④>  ⑤> (2)当或2时，；当时， (3)> 【知识点】有理数的乘方运算、归纳与类比 【分析】（1）直接计算每个式子的乘方结果，再比较大小； （2）根据（1）的计算结果，归纳取不同值时与的大小规律； （3）利用（2）中归纳的规律，判断与的大小． 【详解】（1）解：①，故； ②，故； ③，故； ④，故； ⑤，故． （2）解：当时，； 当且为整数时，． （3）解：因为，根据（2）的结论，得． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和归纳推理的方法，掌握通过计算简单情况归纳规律，再用规律解决复杂问题是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 有理数的乘方和混合运用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 有理数的乘方运算 题型二 有理数乘方的逆运算 题型三 乘方运算的符号规律 题型四 程序流程图与有理数计算 题型五 算24点 题型六 计算器——有理数 题型七 含乘方的有理数混合运算 题型八 有理数的四则混合运算 题型九 乘方的应用 题型十 有理数乘方的规律计算探究 题型十一 二进制问题 题型十二 幻方问题 题型十三 有理数四则混合运算实际应用综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01 乘方运算中的符号规律 1. 底数为非零有理数的符号规律：当底数a是正数时，无论指数n是正奇数还是正偶数，的结果一定为正，即正数的任何次幂都是正数；当底数a是负数时，结果的符号由指数n决定：若n为奇数，则为负；若n为偶数，则为正，即负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 进一步延伸可得到更简洁的结论：对于，当n为奇数时，；当n为偶数时，。这一规律本质是奇偶次幂对符号的筛选作用，也对应了有理数乘法中“几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定”的核心法则，乘方是相同因数乘法的简便运算，因此符号规律本质上是乘法符号法则的特例。 2. 特殊底数的乘方规律：①底数为1：1的任何次幂都等于1，即；②底数为(-1)：(-1)的奇次幂是-1，偶次幂是1，即； 【针对训练】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 知识点02 乘方在规律探究型题型中的应用 大量周期性、递增性规律都需要用乘方表示。比如观察数列2, 4, 8, 16...，第n项就是；观察数列1, 4, 9, 16...，第n项就是，乘方是描述指数级增长和平方类规律的核心工具。此外，在图形找规律中，每次图形的元素数量按照指数规律增加时，最终的通项公式必然包含乘方形式。 【针对训练】 1．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 2．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 知识点03 有理数的乘方 1. 有理数的乘方的意义： 求 几个相同因数 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 的次方 。当把看做的次方的结果时，也可读作： 的次幂 ，所以乘方的结果叫做 幂 ，其中是 底数 ，是 指数 。 特别提示： （1） 当指数是 1 时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是 负数 或 分数 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ； 的四次方写成 。 （3）任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作： 平方 ，一个数3次方可以读作： 立方 。 【针对训练】 1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 2．（） A． B． C． D． 知识点04 有理数的乘方运算 1. 有理数的乘方的计算： 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 乘法运算 ，计算时先确定幂的 符号 ，在计算幂的 绝对值 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1） 正数的任何次方都是 正数 。 （2） 负数的奇次方是 负数 ，负数的偶次方是 正数 。 （3） 0的任何正整数次方（除0外）都得 0 。 （4） 1的任何次方都得 1 ，﹣1的奇次方得 ﹣1 ，﹣1的偶次方得 1 。 【针对训练】 1．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 2．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 知识点05 有理数的偶次方 1. 有理数的偶次方： 由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 大于等于0 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 非负数 ，非负数具有 非负性 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 0 。即，则 0 。 知识点04 的区别与联系 1. 三者的意义（区别）： 表示的意义是 n个a相乘的积 ，即 ，底数是 a 。 表示的意义是 n个a相乘的积的相反数 ，即 － ，底数是 a 。 表示的意义是 n个－a相乘的积 ，即 ，底数是 －a 。 2. 三者的联系 （1） 当为奇数时， － 和 相等，他们与互为 相反数 。 （2） 当为偶数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。 【针对训练】 1. 计算：（   ） A． B． C．0 D．2 2. 若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 典例精析 题型一 有理数的乘方运算 【例1】计算（  ） A． B．3 C． D． 【变式训练】当时，以下等式：①；②；③；④中成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型二 有理数乘方的逆运算 【例2】计算的结果是（　　） A．9 B． C．2 D． 【变式训练】若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（    ） A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489 题型三 乘方运算的符号规律 【例3】计算的值，结果正确的是（    ） A．1 B． C．0 D．或0 【变式训练】联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 程序流程图与有理数计算 【例4】下图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为30，则输出的结果为（    ） A．100 B．120 C．150 D．420 【变式训练】按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是18，则最后输出的结果是（    ）    A．72 B．144 C．288 D．576 题型五 算24点 【例5】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】“24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式： × ×（ － ）． （2）3，9，4，2，算式： ． 题型六 计算器——有理数 【例6】使用科学计算器按下图按键顺序输入，则它表达的算式的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】下面科学计算器的按键顺序：对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 题型七 含乘方的有理数混合运算 【例7】我们把记作，记作，那么计算的结果为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式训练】在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型八 有理数的四则混合运算 【例8】【变式训练】）若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 【变式训练】定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（   ） A．2 B． C． D． 题型九 乘方的应用 【例9】珠穆朗玛峰高约为米，而一张纸的厚度约为毫米．假设这张纸能够无限次对折，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则这张纸对折的次数至少是（    ）（参考数据：） A．次 B．次 C．次 D．次 【变式训练】小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 题型十 有理数乘方的规律计算探究 【例10】求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？ (1) ＝______，＝______； (2) ＝______，＝______； (3)(－1)4×24＝______，(－1×2)4＝______； (4)(－5)2×42＝______，(－5×4)2＝______． 试用你发现的规律计算× 【变式训练】观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 题型十一 二进制问题 【例11】我们常用的数是十进制数，创新组说计算机程序使用的是二进制（只有数码0和1），而且两者之间可以互相换算． 例如，将换算成十进制数：，则 (1)将9转换成二进制：_______________（_____） (2)请将27转换为二进制数； (3)请将转换为十进制数 【变式训练】阅读材料：    我们常用的数是十进制数，如，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53．（注意：对于任何非零数a都有，即） 解决问题：二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？ 应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 题型十二 幻方问题 【例12】《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏．如图所示，将数字1，2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方：一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（   ） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A．505 B．500 C．510 D．515 【变式训练】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ． 题型十三 有理数四则混合运算实际应用综合 【例13】六一儿童节期间，阳光文具店开展促销活动． 方案一：所有文具一律打八折； 方案二：购买5支同样的钢笔，送1支同款钢笔（单支原价15元）． 张老师要给班级36名同学每人购买1支这种钢笔，选择哪种方案更省钱？需要花多少钱？ 【变式训练】如图，一顶帆布帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形，已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要多少帆布（帐篷的底面不用帆布，π取3.14，结果精确到）？ (2)帐篷的容积大约是多少（π取 3.14，结果精确到）？ 1．“十四五”时期，盐城建成了农村生态河道约，位居全省第一．数据用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 2．已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 3．若，，，则a、b、c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．北京故宫的占地面积大约为平方米，用科学记数法表示的数，原来是__________ 5．一个两位小数，四舍五入保留一位小数的近似值是，这个两位小数最大是________，最小是________． 6．如图是一个数值转换机，若输入的数x为，则输出的数是_____ ． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 8．下面各组大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 9．年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 10．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 11．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 12．泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 13．执行如下的程序框图，若输入的，则输出的值为________． 14．定义：，则________． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 17．定义一种新运算“*”，规定：．例如，．求：． 18．如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 19．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 20．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 21．我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 22．对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 23．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 24．_______． 25．进位制是人们为了计数和方便而约定的计数系统，各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数： ． （1）将58转换为二进制数的结果为______； （2）在二进制中计算______； （3）在八进制中计算______； 26．简便运算． (1) (2) (3) (4) 27．计算：． 28．你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（，且为整数）． 从分析，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想结论． (1)通过计算，选填“>”或“<”： ①__________；②__________； ③__________；④__________； ⑤__________． (2)根据（1）的结果，猜想和的大小关系． (3)根据（2）中的猜想，试比较下列两数的大小关系：__________2025（填“>”或“<”）． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $