专题4 有理数数轴的动点问题模型（重难点培优讲义） 2026-2027年人教版七年级数学上册

该初中数学讲义通过表格系统梳理有理数数轴的核心知识，涵盖数轴定义、常见模型（两点距离、平移、折叠等）及动点问题基础，构建“知识梳理-题型分类-规律探究”的框架，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计与题型精准分类，A组巩固基础、B组拔高提升、C组思维拓展，适配不同学生需求。典例精析如双动点匀速运动问题，引导学生用代数表达动态关系，培养推理意识；动点定值问题探究常数存在性，发展模型意识，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

专题4 有理数数轴的动点问题模型 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 单动点问题（简单运动类） 题型二 单动点问题（规律变化类） 题型三 双动点问题（匀速运动类） 题型四 双动点问题（变速运动类） 题型五 多动点问题 题型六 动点中的定值、无关问题 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 题型八 数轴上动点的往返运动问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：数轴 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 2、数轴上常见模型 模型 图形 关系 两点间的距离 动点P到两点的距离之和的最小值 ， 最小值为 点的左右平移 左减右加 数轴上翻转 找出循环规律，等边三角形的循环次数是3，正方形的循环次数是4， 数轴折叠 若点是折叠后的重合点，对折点为，则，或者： 【针对训练】 1．数轴上，表示的点与表示的点之间的距离是（   ）个单位长度 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离计算，根据数轴上两点之间的距离等于它们坐标差的绝对值，即可求解． 【详解】解：表示的点与表示的点之间的距离是， 故选：A． 2．数轴上有一点A表示数，与它相距4个单位长度的数为（    ） A． B． C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的距离定义的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据数轴上点的距离定义，与点相距4个单位长度的点可能在的左侧或右侧，分别计算即可求解； 【详解】解：∵ 点表示数，设与该点相距4个单位长度的数为， ∴，即， ∴或 ， ∴ 或 ， ∴与点相距4个单位长度的数为或； 故选：C； 3．在数轴上，把表示的点移动5个单位长度后，所得到的对应点表示的数是（　　） A．6或 B． C．5 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点的移动，解题的关键是考虑点移动的方向（向左或向右），分别计算对应点表示的数． 分点向右移动和向左移动两种情况，根据数轴上点的移动规律（向右移动加，向左移动减）计算对应点表示的数． 【详解】解：在数轴上，点的移动有两种方向： 向右移动5个单位长度：表示的数为， 向左移动5个单位长度：表示的数为， 所以所得到的对应点表示的数是4或． 故选：D． 知识点二：数轴上的动点问题 先确定动点初始位置表示的数，再根据移动规则计算：向右移动，数增加，用加法；向左移动，数减少，用减法。即：初始数向右移动的单位长度向左移动的单位长度最终点表示的数。 【针对训练】 1. 如图，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____； (2)将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数． 【答案】(1)数轴见解析，2 (2)数轴见解析， 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离的计算． （1）根据题意画出数轴，再根据点到原点的距离的定义可得B点表示的数． （2）根据题意画出数轴，根据点到原点的距离的定义得C点表示的数． 【详解】（1）如图所示， ，B点表示的数为2． （2）如图所示， ，C点表示的数为． 2. 数轴上点表示的数是，那么将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是 【答案】 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴，掌握数轴定义及数轴上点的平移是解决问题的关键．利用数轴性质、数轴上点的平移知识即可求解． 【详解】解：∵点表示的数是，点向左移动个单位长度， ∴平移后点表示数为， 故答案为：． 3．如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 知识点三：数轴上的规律探究 1. 如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【答案】C 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻转为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ， ∴翻转次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是． 故选C． 2. 正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 3．如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴上的规律探究、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 题型解析◆精准备考 题型一 单动点问题（简单运动类） 【例1】一动点从数轴上的原点出发,沿数轴的正方向以每前进5个单位,后退3个单位的程序运动,已知每秒前进或后退1个单位,设表示第秒点在数轴的位置所对应的数如, , ,则为( ) A．504 B．505 C．506 D．507 【答案】C 【分析】本题应先解出点P每8秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答案． 【详解】依题意得，点P每8秒完成一个前进和后退，即前8个对应的数是1、2、3、4、5、4、3、2； 9～16是3、4、5、6、7、6、5、4． 根据此规律可推导出，2012=8×251+4，故x2012=251×2+4=506． 故选C． 【点睛】本题主要考查了数轴，解答此题的关键是找出循环的规律． 【变式训练】如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的是（　　） A．﹣7 B．﹣2 C．﹣3 D．2 【答案】D 【分析】先求出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C， ∵点C表示的数为1， ∴点B表示的数为-4， ∴点A表示的数为-2， ∴则与点A表示的数互为相反数的是2， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴和相反数的定义，本题的解题关键是求出A点表示的数． 题型二 单动点问题（规律变化类） 【例2】如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 【变式训练】一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第2021次落下时，落点处对应的数是(    ) A．－1011 B．1011 C．－2021 D．2021 【答案】B 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了数轴与图形的变化类，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 题型三 双动点问题（匀速运动类） 【例3】如图，数轴上点A和点B表示的数分别是3和，动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，动点Q同时从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为t秒，当动点Q到点B的距离等于动点P到点B的距离时，t的值 ． 【答案】3秒或9秒 【分析】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解数轴上两点之问的距离是解题的关键．点表示的数为，点表示的数为，可得点到点的距离为，点到点的距离为，列方程即可解答． 【详解】解：根据题意，点表示的数为，点表示的数为， ∵表示的数是， ∴点到点的距离为，点到点的距离为． ， 解得：或， 故答案为：3秒或9秒． 【变式训练】数轴上两点A，B表示的数分别为a，b，其中，有一点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，点M为线段的中点. (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C，点M； (2)若点P从点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，设移动时间为t秒，当时，线段的长是______；此时线段PM与线段PC的数量关系是______； (3)若点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，同时点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，设移动时间为t秒．当时，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2)1； (3)2或 【分析】（1）先根据非负数的性质求出，，求出点A，B表示的数，然后再求出点C和点M表示的数，最后表示在数轴上即可； （2）先求出点P在移动1秒钟后表示的数，然后求出的长，的长即可得到答案； （3）先求出t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为：，分两种情况，当点P在点Q的左侧时，当点P在点Q的右侧时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为6， ∵点M位于点B的左侧并与点B的距离是5， ∴点M表示的数为， ∵点M为线段的中点， ∴点C表示的数为：， 用数轴上的点表示点A，点B，点C，点M，如图所示： （2）解：∵点P从点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动， ∴当时，点P表示的数为2， ∴，， ∴． 故答案为：1；． （3）解：∵点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，同时点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动， ∴t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为：， ①当点P在点Q的左侧时，， 解得：； ②当点P在点Q的右侧时，， 解得：， 综上所述：当t为2或时，． 题型四 双动点问题（变速运动类） 【例4】已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等． 【答案】或 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用； 根据非负数的性质求出，，设运动时间为t，然后分两种情况：①当P、Q都在点B左侧，、两点到点的距离相等时，②当点P在点B右侧，点Q在点B左侧，、两点到点的距离相等时，分别判断出P、Q的位置，列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴B表示的数是9，C表示的数是5， 设运动时间为t， ①当P、Q都在点B左侧，、两点到点的距离相等时， 由题意得，P、Q在上， ∴， 解得：； ②当点P在点B右侧，点Q在点B左侧，、两点到点的距离相等时， 由题意得：， 解得：， 故答案为：或． 【变式训练】已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B．8 C．或8 D．或8 【答案】D 【分析】根据等量关系：MN=2BM，列出方程计算即可求解． 【详解】解：依题意有|-2+4t-（-2+8-3t）|=|-2+8-（-2+4t）|×2， 解得t=或8． 故当MN=2BM时，运动时间t的值为或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 题型五 多动点问题 【例5】已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据可得，，由已知条件可得表示的数是，表示的数是，而、两点相距个单位长度，故可列方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 表示的数是，表示的数是， 根据题意可得： ， 即：， 解得：或， 故选：． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键． 【变式训练】对于数轴上的三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“3倍分点”．已知点M表示的数为，点N表示的数为16，点P是数轴上的一动点，若点P是点M，N的“3倍分点”，则此时点P表示的数是 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及数轴上两点的距离，设对应的数为，分三种情况讨论：①当点P在M的左侧时，则有：，②当点P在M、N之间时，则有或，③当点P在N的右边时，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：设对应的数为， ①当点P在M的左侧时，则有：， 即， ∴， 解得：； ②当点P在M、N之间时，则有或， 即或， 解得：或； ③当点P在N的右边时，则， ∴， 解得：， ∴点P表示的数为或或或． 故答案为：或或或． 题型六 动点中的定值、无关问题 【例6】已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点表示的有理数互为相反数，． (1)点A表示的有理数是_______，点C表示的有理数是_______； (2)数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2，求点P所表示的数x． (3)若数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在常数，使得为一个定值k，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，30 (2)点P所表示的数x为或11 (3)存在， 【分析】本题考查的是数轴的知识、一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键． （1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为，由数轴可知，求出x，根据算出点C表示的数，即可作答． （2）记对折后A的对称点为，分点在点C左边和点在点C右边两种情况进行解答即可； （3）根据题意先将点P、点A、点B和点C表示的数算出来，再算出并代入中，合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：依题意，设点B表示的数为x，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴， 解得：， ∴点A表示的有理数是， ∵， ∴点C表示的有理数是， 故答案为：，30， （2）解：由（1）得点分别表示的有理数是， 依题意，记对折后A的对称点为 当点在点C的左边时， ∵数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2， 则点表示的数为， ∴ ∴ ∴， ∴点P所表示的数x为； 当点在点C的右边时， ∵数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2， 则点表示的数为， ∴ ∴ ∴， ∴点P所表示的数x为11； 综上：点P所表示的数x为或11； （3）解：存在，理由如下： ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是， 由题意可知， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， 则， ， ， ， ∵要使得为一个定值k， ∴， 解得：， ∴， ∴ 【变式训练】在一条东西向的双轨铁路上，一快一慢两列火车相对行驶，快车的长为2个单位长度，慢车的长为4个单位长度．如图，设正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是B．且，b与互为相反数． (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距________个单位长度； (2)已知快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． ①从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车车头A，C相距8个单位长度？ ②此时在快车上有一位爱动脑筋的学生，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)24 (2)①再行驶2秒或4秒两列火车车头A，C相距8个单位长度；②结论正确，这个时间是秒，定值是6单位长度 【分析】本题主要考查了两点的距离、数轴、绝对值等知识点，掌握根据数形结合的思想是解题的关键． （1）先根据绝对值和相反数的定义确定点A、C表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可； （2）①根据“时间等于路程和除以速度和”列式计算即可；②由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：∵，b与互为相反数， ∴，即， ∴点A、C表示的数分别为，16， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距个单位长度． 故答案为：24． （2）解：①当两火车相遇前距离8个单位长度时，（秒）． 当两火车相遇后距离8个单位长度时，（秒）； 答：再行驶2秒或4秒两列火车车头A，C相距8个单位长度； ②结论正确．理由如下： ∵， ∴当在之间时，是定值4，（秒）， 此时（单位长度）． ∴这个时间是0.5秒，定值是6单位长度． 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 【例7】如图，数轴上的点A表示数，点B表示数3，图形I和图形II都有3个边长为1个单位的正方形组成且底边均落在数轴上，开始时，图形的顶点P与顶点A重合，图形II的顶点Q与点B重合，现图形I以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，同时图形II以每秒个单位长度的速度向数轴正方向运动． (1)点A与点B的距离是__________个单位长度． (2)经过多少时间后，图形I与图形II并行（点P与点Q重合），并求此时点P表示的数． (3)在运动过程中，当两个图形重叠部分的面积与未重叠部分的面积之比为时，则点P表示的数是__________（直接写出答案）． 【答案】(1)8 (2)经过秒后，图形I与图形II并行（点P与点Q重合），此时点P表示的数为 (3)或 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用； （1）根据数轴上两点间距离的求法计算即可； （2）设运动时间为t，根据点P与点Q重合时表示的数相同，列方程求出时间t，进而可计算此时点P表示的数； （3）由题意可知重叠部分为1个正方形，设运动时间为t，分情况讨论：当点P在点Q左侧时；当点P在点Q右侧时；分别根据重叠部分为1个正方形，列方程求出时间t，进而可计算此时点P表示的数． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点B表示数3， ∴点A与点B的距离是， 故答案为：8； （2）设运动时间为t， 由题意得：， 解得：， 此时点P表示的数为， 答：经过秒后，图形I与图形II并行（点P与点Q重合），此时点P表示的数为； （3）∵重叠部分的面积与未重叠部分的面积之比为， ∴重叠部分为1个正方形， 设运动时间为t， 当点P在点Q左侧时， 由题意得：， 解得：， 此时点P表示的数为； 当点P在点Q右侧时， 由题意得：， 解得： 此时点P表示的数为：； 故答案为：或． 【变式训练】已知数轴上三点、、表示的数分别为4、0、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动. （1）当点到点的距离与点到点的距离相等时，点在数轴上表示的数是 . （2）另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多长时间追上点？ （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度. 【答案】（1）1；（2）6秒；（3） MN的长度不变,为3 【分析】（1）根据题意可得点P为AB的中点，然后根据数轴上中点公式即可求出结论； （2）先求出AB的长，设点运动秒追上点，根据题意，列出方程即可求出结论； （3）根据点P在线段AB上和点P在AB的延长线上分类讨论，分别画出对应的图形，根据中点的定义即可求出结论． 【详解】解：（1）∵点到点的距离与点到点的距离相等 ∴点P为AB的中点 ∴点在数轴上表示的数是 故答案为：1； （2）AB=4－（-2）=6 设点运动秒追上点，由题意得： 解得： 答：点运动6秒追上点． （3）的长度不变． ①当点在线段上时，如图示： ∵为的中点，为的中点 ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ②当点在线段的延长线上时，如图示： ∵ ∴ 【点睛】此题考查的是数轴上的动点问题，掌握中点公式、行程问题公式、线段的和与差和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 题型八 数轴上动点的往返运动问题 【例8】点A在数轴上表示的数是-8，点B在点A的右侧，且线段AB=24（单位长度） （1）点B在数轴上表示的数是 （2）若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．求几秒后点A和点B相距8个单位长度; （3）在（2）的条件下，有一只电子蚂蚁同时从原点出发向点A运动，当遇到点A后，立即返回向点B运动，遇到点B后立即返回向点A运动，如此往返，直到点A和点B相遇时，电子蚂蚁立即停止运动．若电子蚂蚁一直以4个单位长度/秒的速度匀速运动，那么电子蚂蚁从开始到停止运动时，求蚂蚁运动的路程是多少个单位长度 【答案】（1）16；（2）2秒或4秒后点A和点B相距8个单位长度；（3）电子蚂蚁的路程是12个单位长度 【分析】（1）由题意得，，，即可得； （2）设经过t秒后点A和点B相距8个单位长度，分情况讨论：①当点A，B两点相遇前，AB=8，②当点A、B两点相遇之后，AB=8，进行解答即可得； （3）设经过x秒后点A和点B相遇，得经过3秒后点A和点B相遇，再用电子蚂蚁的速度乘时间即可得． 【详解】解：（1）由题意得，，， 则， 即点B在数轴上表示的数是：16， 故答案为：16； （2）设经过t秒后点A和点B相距8个单位长度， ①当点A，B两点相遇前，AB=8， 则， ， 解得， ②当点A、B两点相遇之后，AB=8， 则， ， ， 综上，当AB=8时，运动时间为2秒或4秒； （3）设经过x秒后点A和点B相遇， ， ， 即经过3秒后点A和点B相遇， 则， 故电子蚂蚁的路程是12个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴及其动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握灵活运用知识点，全面考虑问题可能出现的情况． 【变式训练】如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为20和30，点P和点Q分别同时从点A和点O出发，以每秒2个单位长度，每秒4个单位长度的速度向数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，则P、Q两点对应的有理数分别是_______，______； (2)点C是数轴上点B左侧一点，其对应的数是x，且，求x的值； (3)在点P和点Q出发的同时，点R以每秒8个单位长度的速度从点B出发，开始向左运动，遇到点Q后立即返回向右运动，遇到点P后立即返回向左运动，与点Q相遇后再立即返回，如此往返，直到P、Q两点相遇时，点R停止运动，求点R运动的路程一共是多少个单位长度？点R停止的位置所对应的数是多少？ 【答案】(1)24，8；16 (2)或10； (3)R运动的路程一共是．点R的位置所对应的数是40． 【分析】（1）根据路程速度时间，先求出即可解决问题； （2）由，可得或，即可求得的值； （3）设t秒后P、Q相遇．则有，此时P、Q、R在同一点，由此可以确定点R的位置． 【详解】（1）解：时，， ∴P、Q分别表示24和8，， 故答案为：24，8；16； （2）解：∵， ∴（此时点C在线段上）或（此时点C在点A的左边）， 点表示的数为或， ∴或10； （3）解：设t秒后P、Q相遇．则有， ， ∴R运动的路程一共是．此时P、Q、R在同一点，所以点R的位置所对应的数是40． 【点睛】本题考查数轴上动点问题，涉及行程问题中的追及问题，解题的关键是理解题意，学会转化为相应的模型思考问题． 1．下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴的三要素及其画法 【分析】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 2．下列表示数轴的方法正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴，根据数轴的三要素，原点，单位长度，正方向，进行判断即可． 【详解】解：A、表示正确，符合题意； B、没有正方向，表示不正确，不符合题意； C、单位长度不统一，表示不正确，不符合题意； D、没有原点，表示不正确，不符合题意； 故选A． 3．课堂上，四位同学在黑板上画出了下面四个数轴，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的概念，注意数轴的三要素缺一不可．数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．根据数轴的定义逐一分析即可． 【详解】解：A、符合数轴定义，正确； B、符合数轴定义，正确； C、符合数轴定义，正确； D、数轴上点所表示的数标错．错误 故选：D． 4．如图，数轴上点A表示的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．直接观察数轴，即可求解． 【详解】解：数轴上点A表示的数是． 故选：B 5．如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键． 观察数轴得到表示的点即可． 【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M． 故选：A． 6．如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可. 本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数， 故该数可能是. 故选：A. 7．写出一个在数轴负半轴上的整数______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数的分类 【分析】本题考查了数轴与有理数的分类，根据题意写出一个负整数，即可求解． 【详解】解：在数轴负半轴上的整数是负整数，可以是： 故答案为：（答案不唯一）． 8．补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【答案】 把各数在数轴上表示出来，如图所示： ． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴的定义，先补全数轴，再表示出各个数即可． 【详解】解：略． 9．数轴是（    ） A．规定了原点和正方向的一条直线 B．规定了单位长度的一条直线 C．规定了原点、正方向和长度单位的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查了数轴的定义，掌握数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线成为解题的关键．根据数轴的定义进行判断即可． 【详解】解：∵数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线， ∴D选项符合题意． 故选：D． 10．在数轴上表示数，，，，的点中，在原点右边的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，熟记数轴上数的特点是解题的关键，根据数轴上原点右边的数是正数解答 【详解】解∶在数轴上原点右边的数是正数，正数有，，所以有个． 故选：B． 11．在下图中，数轴的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的概念，作为数轴有三个要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，由此判断即可． 【详解】解：A、根据数轴的三要素可判断，该数轴表示正确； B、数轴上负半轴上的数位置错误，该数轴表示错误； C、该数轴缺少原点，故表示错误； D、该数轴缺少正方向（箭头），故表示错误． 故选：A 12．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，正方向向右的数轴上，在原点左侧的数为负数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，蝴蝶所在点在原点左侧，即蝴蝶所在点表示的数为负数， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 13．如图，数轴上有，，，四棵小树，那么离原点距离最近的小树是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，分别计算原点到点、、、的距离即可得到答案． 【详解】解：，，，， 离原点距离最近的小树是， 故选：． 14．如图，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____． ‍ 【答案】 / 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴的知识．熟练掌握数轴的知识是解题的关键．通过观察点在数轴上的位置来确定其所表示的数即可． 【详解】解：观察数轴，点位于2这个刻度上，所以点表示数2； 点位于这个刻度上，所以点表示数； 点位于这个刻度上，所以点表示数； 点位于这个刻度上，所以点表示数； 故答案为：，，，． 15．如图，被墨迹盖住的数中，整数一共有________个． 【答案】10 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查用数轴表示有理数，根据图形，求出被墨迹盖住的数，即可． 【详解】解：由图可知，被墨迹盖住的数中，整数有，共10个； 故答案为：10． 16．如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【答案】如图所示． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键． 先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可． 【详解】解：略． 17．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点． ，3.5，，，0，2.5 【答案】 解：数轴如图所示： 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了有数轴上的点表示有理数，熟知正数在原点右边，负数在原点左边，0在原点上，是解题的关键．根据正数在原点右边，负数在原点左边，0在原点上，即可解答． 【详解】略 18．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行到达村，继续向南骑行到达村，然后向北骑行到村，最后骑到邮局． (1)以邮局为原点，以向北方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示出三个村庄位置的点； (2)村距离邮局多远？ 【答案】(1) 根据题意，作图如下， (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查数轴的运用， （1）根据数轴的特点，邮局为原点，以向北方向为正方向，用表示，作图即可； （2）根据数轴的特点，运用有理数加减运算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据数轴特点可得，村距离邮局． 19．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 20．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 21．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【详解】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 22．如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【答案】或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点所表示的数． 【详解】解：根据题意可得， ∵等于原长方形面积的一半， ∴， 当向左运动时，如图1， 即，解得， ∴， ∴表示的数为2； 当向右运动时，如图， ， 表示的数为． 故答案为或． 23．一个小球落在数轴上的某点，第一次从点向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，．．．，按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2025，则这个小球的初始位置点所表示的数是_______． 【答案】1975 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数字类规律探索 【分析】此题考查数字的变化规律，数轴的认识、有理数的加减，根据题意列出算式，找出简便计算方法是解题的关键． 根据向左为负，向右为正，列出算式计算即可． 【详解】解：设所表示的数是，则， 则 ， 解得：． 点表示的数是1975． 故答案为：1975． 24．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 25．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论； （2）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴可得，点A、B、C三点表示的数分别为3； 故答案为：3 （2）∵， ∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是． 故答案为：； （3）将点A向右平移个单位长度，点A所表示的数是，将点A向左平移个单位长度，点A所表示的数是． 故答案为：或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 有理数数轴的动点问题模型 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 单动点问题（简单运动类） 题型二 单动点问题（规律变化类） 题型三 双动点问题（匀速运动类） 题型四 双动点问题（变速运动类） 题型五 多动点问题 题型六 动点中的定值、无关问题 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 题型八 数轴上动点的往返运动问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：数轴 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 2、数轴上常见模型 模型 图形 关系 两点间的距离 动点P到两点的距离之和的最小值 ， 最小值为 点的左右平移 左减右加 数轴上翻转 找出循环规律，等边三角形的循环次数是3，正方形的循环次数是4， 数轴折叠 若点是折叠后的重合点，对折点为，则，或者： 【针对训练】 1．数轴上，表示的点与表示的点之间的距离是（   ）个单位长度 A． B． C． D． 2．数轴上有一点A表示数，与它相距4个单位长度的数为（    ） A． B． C．或 D．1或 3．在数轴上，把表示的点移动5个单位长度后，所得到的对应点表示的数是（　　） A．6或 B． C．5 D．4或 知识点二：数轴上的动点问题 先确定动点初始位置表示的数，再根据移动规则计算：向右移动，数增加，用加法；向左移动，数减少，用减法。即：初始数向右移动的单位长度向左移动的单位长度最终点表示的数。 【针对训练】 1. 如图，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____； (2)将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数． 2．数轴上点表示的数是，那么将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是 3．如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 知识点三：数轴上的规律探究 1. 定位找点先排序：把题目给出的数字按从小到大排好，再对应标到数轴上，方便观察间隔、移动规律。 2. 分段找间隔差：相邻两个点的差值固定不变时，直接用首数+间隔×个数快速推出目标位置数字。 3. 周期规律圈循环：遇到重复交替的数字排列，先找出一组循环有几个数，用除法算余数判断目标位置对应数字。 【针对训练】 1. 如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 2. 正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 3．如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 典例精析 题型一 单动点问题（简单运动类） 【例1】一动点从数轴上的原点出发,沿数轴的正方向以每前进5个单位,后退3个单位的程序运动,已知每秒前进或后退1个单位,设表示第秒点在数轴的位置所对应的数如, , ,则为( ) A．504 B．505 C．506 D．507 【变式训练】如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的是（　　） A．﹣7 B．﹣2 C．﹣3 D．2 题型二 单动点问题（规律变化类） 【例2】如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【变式训练】一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第2021次落下时，落点处对应的数是(    ) A．－1011 B．1011 C．－2021 D．2021 题型三 双动点问题（匀速运动类） 【例3】如图，数轴上点A和点B表示的数分别是3和，动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，动点Q同时从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为t秒，当动点Q到点B的距离等于动点P到点B的距离时，t的值 ． 【变式训练】数轴上两点A，B表示的数分别为a，b，其中，有一点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，点M为线段的中点. (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C，点M； (2)若点P从点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，设移动时间为t秒，当时，线段的长是______；此时线段PM与线段PC的数量关系是______； (3)若点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，同时点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，设移动时间为t秒．当时，求t的值． 题型四 双动点问题（变速运动类） 【例4】已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等． 【变式训练】已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B．8 C．或8 D．或8 题型五 多动点问题 【例5】已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】对于数轴上的三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“3倍分点”．已知点M表示的数为，点N表示的数为16，点P是数轴上的一动点，若点P是点M，N的“3倍分点”，则此时点P表示的数是 ． 题型六 动点中的定值、无关问题 【例6】已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点表示的有理数互为相反数，． (1)点A表示的有理数是_______，点C表示的有理数是_______； (2)数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2，求点P所表示的数x． (3)若数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在常数，使得为一个定值k，请求出值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】在一条东西向的双轨铁路上，一快一慢两列火车相对行驶，快车的长为2个单位长度，慢车的长为4个单位长度．如图，设正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是B．且，b与互为相反数． (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距________个单位长度； (2)已知快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． ①从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车车头A，C相距8个单位长度？ ②此时在快车上有一位爱动脑筋的学生，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 【例7】如图，数轴上的点A表示数，点B表示数3，图形I和图形II都有3个边长为1个单位的正方形组成且底边均落在数轴上，开始时，图形的顶点P与顶点A重合，图形II的顶点Q与点B重合，现图形I以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，同时图形II以每秒个单位长度的速度向数轴正方向运动． (1)点A与点B的距离是__________个单位长度． (2)经过多少时间后，图形I与图形II并行（点P与点Q重合），并求此时点P表示的数． (3)在运动过程中，当两个图形重叠部分的面积与未重叠部分的面积之比为时，则点P表示的数是__________（直接写出答案）． 【变式训练】已知数轴上三点、、表示的数分别为4、0、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动. （1）当点到点的距离与点到点的距离相等时，点在数轴上表示的数是 . （2）另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多长时间追上点？ （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度. 题型八 数轴上动点的往返运动问题 【例8】点A在数轴上表示的数是-8，点B在点A的右侧，且线段AB=24（单位长度） （1）点B在数轴上表示的数是 （2）若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．求几秒后点A和点B相距8个单位长度; （3）在（2）的条件下，有一只电子蚂蚁同时从原点出发向点A运动，当遇到点A后，立即返回向点B运动，遇到点B后立即返回向点A运动，如此往返，直到点A和点B相遇时，电子蚂蚁立即停止运动．若电子蚂蚁一直以4个单位长度/秒的速度匀速运动，那么电子蚂蚁从开始到停止运动时，求蚂蚁运动的路程是多少个单位长度 【变式训练】如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为20和30，点P和点Q分别同时从点A和点O出发，以每秒2个单位长度，每秒4个单位长度的速度向数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，则P、Q两点对应的有理数分别是_______，______； (2)点C是数轴上点B左侧一点，其对应的数是x，且，求x的值； (3)在点P和点Q出发的同时，点R以每秒8个单位长度的速度从点B出发，开始向左运动，遇到点Q后立即返回向右运动，遇到点P后立即返回向左运动，与点Q相遇后再立即返回，如此往返，直到P、Q两点相遇时，点R停止运动，求点R运动的路程一共是多少个单位长度？点R停止的位置所对应的数是多少？ 1．下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 2．下列表示数轴的方法正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   3．课堂上，四位同学在黑板上画出了下面四个数轴，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点A表示的数是（    ） A． B． C． D．2 5．如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 6．如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 7．写出一个在数轴负半轴上的整数______．（写出一个即可） 8．补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 9．数轴是（    ） A．规定了原点和正方向的一条直线 B．规定了单位长度的一条直线 C．规定了原点、正方向和长度单位的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 10．在数轴上表示数，，，，的点中，在原点右边的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．在下图中，数轴的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（   ） A． B．1 C．2 D．3 13．如图，数轴上有，，，四棵小树，那么离原点距离最近的小树是（    ） A． B． C． D． 14．如图，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____． ‍ 15．如图，被墨迹盖住的数中，整数一共有________个． 16．如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 17．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点． ，3.5，，，0，2.5 18．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行到达村，继续向南骑行到达村，然后向北骑行到村，最后骑到邮局． (1)以邮局为原点，以向北方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示出三个村庄位置的点； (2)村距离邮局多远？ 19．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 20．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 21．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 23．一个小球落在数轴上的某点，第一次从点向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，．．．，按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2025，则这个小球的初始位置点所表示的数是_______． 24．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 25．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $