第03讲 三角恒等变换（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖两角和差、二倍角、升降幂及辅助角公式，按知识解构与题型破译搭建系统框架。通过命题透视、知识精讲、题型技巧归纳及真题溯源，帮助学生构建知识网络，突破公式应用难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以“思维建模”为核心，创新采用“知识拆解-题型突破-分层训练”教学模式，通过给值求值中角的拆凑、辅助角公式化简等技巧培养学生数学思维与运算能力。设置基础与重难分层练习，结合真题演练，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第03讲 三角恒等变换 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 两角和差的正余切函数 知识点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点3 升（降）幂缩（扩）角公式及半角 知识点4 辅助角公式 题型破译 题型1 两角和与差的正（余）弦公式 【方法技巧】两角和与差的正（余）弦公式 题型2 两角和与差的正切公式 【方法技巧】两角和与差的正切公式 题型3 二倍角公式的简单应用 【方法技巧】二倍角公式的简单应用 题型4 给角求值 【方法技巧】给角求值 题型5 给值求值 【方法技巧】给值求值 题型6 给值求角 【方法技巧】给值求角 题型7 辅助角公式的应用 【方法技巧】辅助角公式的应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 两角和与差的三角函数公式 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T17（1）（6分） 二倍角公式及其变形应用 天津卷 T6（5分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T17（1）（6分） 三角恒等变换的综合应用 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 考情分析 三角恒等变换是天津高考数学必考核心考点，是三角函数模块的核心内容，每年均有考查，以选择、填空题和解答题第一问为主，单题分值5-6分，整体难度中等，属于必拿分基础考点。高频考查方向为：①两角和与差的正弦、余弦、正切公式的基础应用；②二倍角公式及其变形（降幂、升幂公式）的灵活应用；③三角恒等变换的综合应用，常结合解三角形、三角函数图像与性质进行化简求值、恒等式证明。本模块承接同角三角函数与诱导公式，是后续解三角形、三角函数综合应用的必备基础，几乎所有三角函数相关题目都会涉及本模块内容，是高考数学的核心得分点。 复习目标 1. 理解两角和与差的三角函数公式的推导逻辑，掌握公式的基础应用，能熟练进行三角函数式的化简、求值；2. 掌握二倍角公式及其变形公式（降幂、升幂公式），能灵活运用公式解决化简、求值问题，掌握角的配凑技巧；3. 能综合运用三角恒等变换公式，完成复杂三角函数式的化简、恒等式证明、条件求值，能结合解三角形、三角函数性质解决综合问题，提升三角运算能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 两角和差的正余切函数 两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 两角和与差的正切函数 ， . 必记结论 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 自主检测（2026·天津南开·学业考试）已知，． (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据已知条件求出的值，再利用二倍角公式计算. （2）利用两角差的余弦公式进行计算. 【详解】（1）因为，， 所以． 所以． （2） . 知识点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 必记结论 二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；．． ． 2、公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 自主检测（2026·天津滨海新区·调研）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误． 【详解】由三角形内角和 ，得 ， 因此原方程等价于 ，即 ， ， 则或，则是等腰或直角三角形． 知识点3 升（降）幂缩（扩）角公式及半角 升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 半角公式 ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 自主检测已知函数，则下列正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断BC选项；利用余弦型函数的最值可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，函数在单调递减，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在上不单调，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 知识点4 辅助角公式 形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 必记结论 辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 自主检测（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数， 再把图象向右平移个单位长度得： ． 题●型●破●译 题型1 两角和与差的正（余）弦公式 例1-1平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】由题设，同理， 所以. 例1-2（2026·天津·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先展开，然后平方，最后用二倍角公式化简计算可得出答案. 【详解】解： 即， 等式两边平方得， 继续展开， 化简得 所以 故选：C 方法技巧 两角和与差的正（余）弦公式 已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【变式训练1-1】（2026·天津静海·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用两角和差公式及辅助角公式得出，再应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 则. 故选：C 【变式训练1-2】（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知，，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】由，，利用两角和的正切公式求出，利用诱导公式求出. 【详解】，， ， ，故选项B正确. 故选：B. 【变式训练1-3】（2026·天津静海·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简得，进而得，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 所以. 故选：B. 题型2 两角和与差的正切公式 例2-1在中，，，则的最短边与最长边之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，即可求出，从而得到，则，再求出，最后由正弦定理计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又，所以，则， 又，，所以，所以，则， 又，解得， 所以， 即的最短边与最长边之比为. 故选：C 例2-2已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角为，利用两角和的正切即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为 故选：B. 方法技巧 两角和与差的正切公式 公式的变形应予以灵活运用 【变式训练2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对齐次式分子分母同除得到关于的等式，解得的值，用正切的和差角公式即可得出结果. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 【变式训练2-2】已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的差角公式可得，即可结合角的范围，根据同角关系求解. 【详解】因为，， 所以，故， 又是第一象限角，为第四象限角， 故， 因此， 因此，由于， 则，故. 故选：C. 【变式训练2-3】在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分为锐角、为钝角讨论，求出，利用正切的两角和的展开式求出可判断出，从而找到最小角、边，再由正弦定理可得答案. 【详解】， 若为锐角，则由， 所以， 此时 ， 因为，所以，所以为钝角，可得， 因为，所以为最小角，边长最小， 由正弦定理得，解得； 若为钝角，则由， 所以， 此时 ，因为，所以为钝角， 这样内角和大于，故不是钝角， 综上所述，. 故选：A. 题型3 二倍角公式的简单应用 例3-1在钝角中，，，的对边分别为，，，为的重心，且满足，，当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用二倍角公式和余弦定理将已知三角等式转化为边的关系，结合正弦定理确定两条边长，再由重心在中线上且将中线分成2:1的性质，将已知的余弦值转化为中线三角形中的余弦定理方程，解出第三边或直接得到角的余弦值，根据钝角条件舍去直角解，最后通过面积公式求得面积. 【详解】由 ，用余弦定理 代入， 所以，即， 因为三角形是钝角三角形，所以 ， 所以，由正弦定理 ， 代入得，已知 ，得， 以 为原点， 在 轴上，设 ，， 所以重心 ， 由 ， 所以， 代入 ，得 所以，解得 或 ， 对应 ，不是钝角，舍去， 因此，， 所以.    例3-2已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 方法技巧 二倍角公式的简单应用 应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【变式训练3-1】若，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦和同角的三角函数基本关系式结合齐次化可求三角函数的值. 【详解】因为，故 ， 故选：C. 【变式训练3-2】已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】，利用两角和的正切公式求出，利用二倍角的正切公式求出. 【详解】， ， . 故选：A. 【变式训练3-3】已知，，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由三角函数的性质求出，将所求式化为，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为， 因为 ， 所以， 设，因为，，所以， 即，所以， 则，所以， 当时，的最大值为. 故选：B. 题型4 给角求值 例4-1三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将代入，结合三角函数的基本关系式、三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】由题意，将代入， 可得 . 例4-2（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角差的正弦公式计算即可求解. 【详解】 . 故选：D. 方法技巧 给角求值 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 【变式训练4-1】（2026·天津南开·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和的正切公式，可以得到和的关系，再将所求表达式展开并代入该关系进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由，可得，即， 化简整理得， 又 ， 将代入， 得 . 故选：A 【变式训练4-2】（2026·天津武清·阶段检测）1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】依题意可得，，，将切化弦，再由诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式计算可得. 【详解】依题意可得，，， 所以 . 故选：B 【变式训练4-3】（2026·天津和平·阶段检测）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用诱导公式以及正弦差角公式运算求解. 【详解】由题意可得： . 故选：A. 题型5 给值求值 例5-1已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用余弦和角公式展开，结合已知的求出的值，再将变形为代入数值计算得到结果. 【详解】因为， 又，解得， 所以． 例5-2（2026·天津和平·阶段检测）已知，则的值应是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 即，解得. 方法技巧 给值求值 解给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 【变式训练5-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故， 两边平方得，解得． 【变式训练5-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，得. ，， ，得； ，解得. ，. 【变式训练5-3】已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的取值范围和同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角和的余弦公式、正弦二倍角公式分别计算分子和分母，最终化简得到结果. 【详解】，则有，， ， ， ， ， 所以. 题型6 给值求角 例6-1已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 化简得，所以. 又由于，所以， 又，， 所以，所以. 例6-2已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以，选D. 方法技巧 给值求角 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【变式训练6-1】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以或， 即或. 由于，故. 【变式训练6-2】已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 故选：B 【变式训练6-3】已知且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正弦公式结合求，注意确定角的范围，然后得出结论． 【详解】因为且，函数在上单调递减， ，， 又，，所以， ， ，， 所以， 又，，所以，结合，可得， 所以，所以， 故选：A． 题型7 辅助角公式的应用 例7-1（2026·天津南开·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】运用辅助角公式进行整理，然后平移，根据奇变偶不变，符号看象限求出辅助角，然后求得参数，最后求解最小值. 【详解】因为，其中， 又因为函数的图象向左平移个单位为偶函数， 即为偶函数， 所以，解得， 所以， 所以， 当，即，所以. 所以. 例7-2（2026·天津东丽·二模）函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 将的图象向左平移个单位长度，得， 再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. 方法技巧 辅助角公式的应用 辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【变式训练7-1】已知函数． (1)若，且，求的值； (2)设函数，，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得，进而由同角三角函数关系可得，再由两角差的正弦公式求值即可； （2）根据恒等变形化简得，再整体法求值域即可． 【详解】（1）因为，所以， 又，所以． 故 ； （2）， 当时，，所以， 故的值域为． 【变式训练7-2】已知向量，若． (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数单调性计算即可得； （2）由范围可得范围，从而可得范围，即可得该函数值域，从而可得其最值. 【详解】（1）已知向量， 则 ， 令， 解得， 即的单调递减区间为； （2）由（1）知， 当时，，则， 故，即在区间上的最大值为，最小值为. 【变式训练7-3】（2026·天津·阶段检测）设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】利用正弦函数的性质结合已知条件求出的特征，再结合最大值与最小值的和为0的条件，求出的最小值． 【详解】，周期为， ，则是周期， ，即是正偶数， 当时，， 已知最大值与最小值的和为0， 最大值与最小值互为相反数， 若，区间，最大值为，最小值为1，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和为0； 的最小值为6． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2) (3) 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 4．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 5．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作，利用和差公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2．已知，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求解. 【详解】因为，， 所以， 又， 则，， 又， 所以， 所以， ， 故选：D 3．化简，得（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用诱导公式及逆用差角正弦公式化简求值即可. 【详解】由，， ∴. 故选：A 4．化简，得（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用和角正弦公式化简三角函数式，即可求值. 【详解】. 故选：B 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域． 【详解】， 因为，所以．即值域为， 故选：C． 6．下列表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的正余弦公式，直接判断选项. 【详解】根据两角和差的正余弦公式，可知A正确； B.改为； C.改为； D. 改为. 故选：A 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角差的正弦公式，即可得到答案. 【详解】，， ， 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，考查了运算能力，属于基础题. 8．设，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平方关系和二倍角的正弦公式化简式子，再根据的范围，判断和的大小，去绝对值即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查平方关系和二倍角正弦公式的应用，以及，考查学生对三角恒等变换公式的掌握，属于基础题. 9．化简：______． 【答案】 【分析】利用二倍角公式化成同角，然后因式分解即可化简. 【详解】由二倍角公式可得：. 故答案为： 10．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则______ 其中. 【答案】, 【分析】可以求出，从而由余弦定理可以得到，由余弦的二倍角公式即可化简得. 【详解】如图， ； 在中， 由余弦定理得，由，知， 故答案为：． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考三角恒等变换基础演练，核心考查和差角、二倍角、升降幂及辅助角公式的直接运用，侧重给值求值、给角化简两类基础题型。小题常考切化弦、统一角名次的常规变形，大题第一问多结合解三角形凑角运算，重点检验公式记忆与基础代数运算能力，难度偏低，注重步骤规范，易错点集中在符号判断、升降幂方向混淆，是整张试卷稳定的基础得分板块。 1．已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 为第二象限角，， 可知，将等式两边同时除以： ， ，. 由同角三角函数基本关系可得， ，. 将代入得： ， C正确. 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，所以， 则 3．已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为， 所以，， ，，则，， 因此. 4．已知，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】观察角度结构，将与配凑成，利用两角和差余弦公式展开合并同类项，等式两边同除余弦乘积，直接推出两个正切的乘积． 【详解】由， 得 ， ， 两边同时除以（，否则正切无意义）， 所以． 5．设，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数基本关系结合三角恒等变换即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以，即， ，所以或， 解得或（舍去）， 所以. 6．设，若，则α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，. 又，， 因此，解得. 7．设函数，其中为参数，那么的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则， 故的最大值是 8．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设角的终边顺时针旋转后得到的角为，则，即， 由点在的终边上，可得， 根据三角函数的定义： ，， 所以 . 9．在中，，，．的角平分线与边上的高相交于点，问的长度是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 E．22 【答案】D 【分析】先通过余弦定理求的余弦值，再过作于，求得，结合余弦二倍角公式即可求解. 【详解】    在中，由余弦定理得： 过作于， 则为直角三角形，： 又为锐角，故： 为的角平分线，故， 在中： ， 代入得： . 10．已知函数在处取得极值，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】  函数的定义域为， ， 所以，解得， 则. 法一： 令，则，. 令，解得；令，解得或. 因此函数在上单调递增，在和上单调递减， 因为，，所以函数在上的最大值为. 法二： ， 令，得或， 解得，， 令，得或. 解得，， 因此函数在区间，，，，上单调递增； 在，，，，上单调递减. ，因此函数的最大值为. 重难·创新演练 设题创新:命题打破单一化简套路，一是跨模块融合，与解三角形、平面向量、函数值域结合设问；二是创设生活测量、简谐振动等真实情境，需要先建模再变换；三是设置条件残缺、多结论判断类开放题型，弱化模板套用；四是增设含参化简、区间限定下的最值探究，侧重公式灵活变形与逻辑推导，反机械刷题，突出运算与建模核心素养。 1．已知函数在区间上单调递减.若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定与的值，两式相减，即可求出的值. 【详解】由题知， 因为，， 即，， 又因为在区间上是减函数， 则，， 两式相减得， 且，所以. 2．已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 又，所以. 因为，，所以，所以. 所以. 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】注意到，即， 消去3得：，故设， 因为，所以 此时， 在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 由三角函数的对称性知，最小值在时取得，为，所以值域是. 4．已知是的两个解，且，则（    ） A．－3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简原式，根据是方程的解，得到两个关于的三角等式，进而利用和差化积公式对、变形求出的值，再利用正切的二倍角公式计算. 【详解】因为是的两个解， 所以：， 两式相等移项得：. 因为， 所以代入等式得： ， 因为，所以， 所以, 令，可得. 5．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，结合两条直线倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由，且， ， ，解得，因为，故； 结合得，即可得. 6．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数的解析式，根据余弦型函数的对称性可得出关于的等式，结合可得出的最小值. 【详解】因为， 且点是函数的图象的一个对称中心， 所以，解得， 因为且，故当时，取最小值. 7．在中，，，若点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，根据设出点坐标，根据向量的数量积及辅助角公式求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，设， 则，， 所以 . 因为，所以的最小值为. 8．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理得，则， 即，解得，， 由余弦定理得，整理得或， 当时，，不符合题意， 因此，. 9．已知函数向左平移个单位长度后得到函数，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角函数的平移变化，得到的表达式，再结合正弦函数的图象性质，即可求得在区间上的值域. 【详解】由题意， ， 又函数向左平移个单位长度后得到函数， 所以， 又，所以， 根据正弦函数的性质，可得， 所以在区间上的值域为． 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将待求角改写为已知角的二倍角再加 ，然后使用余弦二倍角公式计算. 【详解】因为所以 由余弦二倍角公式，得 代入 ，得 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 三角恒等变换 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 两角和差的正余切函数 知识点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点3 升（降）幂缩（扩）角公式及半角 知识点4 辅助角公式 题型破译 题型1 两角和与差的正（余）弦公式 【方法技巧】两角和与差的正（余）弦公式 题型2 两角和与差的正切公式 【方法技巧】两角和与差的正切公式 题型3 二倍角公式的简单应用 【方法技巧】二倍角公式的简单应用 题型4 给角求值 【方法技巧】给角求值 题型5 给值求值 【方法技巧】给值求值 题型6 给值求角 【方法技巧】给值求角 题型7 辅助角公式的应用 【方法技巧】辅助角公式的应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 两角和与差的三角函数公式 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T17（1）（6分） 二倍角公式及其变形应用 天津卷 T6（5分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T17（1）（6分） 三角恒等变换的综合应用 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 考情分析 三角恒等变换是天津高考数学必考核心考点，是三角函数模块的核心内容，每年均有考查，以选择、填空题和解答题第一问为主，单题分值5-6分，整体难度中等，属于必拿分基础考点。高频考查方向为：①两角和与差的正弦、余弦、正切公式的基础应用；②二倍角公式及其变形（降幂、升幂公式）的灵活应用；③三角恒等变换的综合应用，常结合解三角形、三角函数图像与性质进行化简求值、恒等式证明。本模块承接同角三角函数与诱导公式，是后续解三角形、三角函数综合应用的必备基础，几乎所有三角函数相关题目都会涉及本模块内容，是高考数学的核心得分点。 复习目标 1. 理解两角和与差的三角函数公式的推导逻辑，掌握公式的基础应用，能熟练进行三角函数式的化简、求值；2. 掌握二倍角公式及其变形公式（降幂、升幂公式），能灵活运用公式解决化简、求值问题，掌握角的配凑技巧；3. 能综合运用三角恒等变换公式，完成复杂三角函数式的化简、恒等式证明、条件求值，能结合解三角形、三角函数性质解决综合问题，提升三角运算能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 两角和差的正余切函数 两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号_________． 两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 两角和与差的正切函数 ， . 必记结论 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 自主检测（2026·天津南开·学业考试）已知，． (1)求的值； (2)求的值. 知识点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 必记结论 二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；．． ． 2、公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 自主检测（2026·天津滨海新区·调研）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 知识点3 升（降）幂缩（扩）角公式及半角 升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 半角公式 ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 自主检测已知函数，则下列正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为 知识点4 辅助角公式 形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 必记结论 辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 自主检测（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 两角和与差的正（余）弦公式 例1-1平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 例1-2（2026·天津·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 两角和与差的正（余）弦公式 已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【变式训练1-1】（2026·天津静海·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知，，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【变式训练1-3】（2026·天津静海·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型2 两角和与差的正切公式 例2-1在中，，，则的最短边与最长边之比为（    ） A． B． C． D． 例2-2已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 两角和与差的正切公式 公式的变形应予以灵活运用 【变式训练2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（    ） A． B． C． D． 题型3 二倍角公式的简单应用 例3-1在钝角中，，，的对边分别为，，，为的重心，且满足，，当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 例3-2已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 方法技巧 二倍角公式的简单应用 应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【变式训练3-1】若，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 【变式训练3-2】已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【变式训练3-3】已知，，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型4 给角求值 例4-1三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 例4-2（    ） A． B． C． D． 方法技巧 给角求值 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 【变式训练4-1】（2026·天津南开·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（2026·天津武清·阶段检测）1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练4-3】（2026·天津和平·阶段检测）计算（    ） A． B． C． D． 题型5 给值求值 例5-1已知，，则（    ） A． B． C． D． 例5-2（2026·天津和平·阶段检测）已知，则的值应是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 给值求值 解给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 【变式训练5-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 题型6 给值求角 例6-1已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 例6-2已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 给值求角 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【变式训练6-1】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知且，，则（    ） A． B． C． D． 题型7 辅助角公式的应用 例7-1（2026·天津南开·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 例7-2（2026·天津东丽·二模）函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 辅助角公式的应用 辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【变式训练7-1】已知函数． (1)若，且，求的值； (2)设函数，，求的值域． 【变式训练7-2】已知向量，若． (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的最值． 【变式训练7-3】（2026·天津·阶段检测）设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 4．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 5．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．已知，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．化简，得（ ） A． B． C． D． 4．化简，得（ ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．下列表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．设，则（    ）. A． B． C． D． 9．化简：______． 10．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则______ 其中. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考三角恒等变换基础演练，核心考查和差角、二倍角、升降幂及辅助角公式的直接运用，侧重给值求值、给角化简两类基础题型。小题常考切化弦、统一角名次的常规变形，大题第一问多结合解三角形凑角运算，重点检验公式记忆与基础代数运算能力，难度偏低，注重步骤规范，易错点集中在符号判断、升降幂方向混淆，是整张试卷稳定的基础得分板块。 1．已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 5．设，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 6．设，若，则α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．设函数，其中为参数，那么的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（   ） A． B． C． D． 9．在中，，，．的角平分线与边上的高相交于点，问的长度是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 E．22 10．已知函数在处取得极值，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 重难·创新演练 设题创新:命题打破单一化简套路，一是跨模块融合，与解三角形、平面向量、函数值域结合设问；二是创设生活测量、简谐振动等真实情境，需要先建模再变换；三是设置条件残缺、多结论判断类开放题型，弱化模板套用；四是增设含参化简、区间限定下的最值探究，侧重公式灵活变形与逻辑推导，反机械刷题，突出运算与建模核心素养。 1．已知函数在区间上单调递减.若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．已知是的两个解，且，则（    ） A．－3 B． C． D． 5．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 6．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，若点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（     ） A． B． C． D． 9．已知函数向左平移个单位长度后得到函数，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $