第33讲 数列求和 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列求和高考核心考点，涵盖公式法、倒序相加等五种方法及裂项模型、放缩公式，按“知识梳理-方法提炼-题型突破”流程，通过考点分类、技巧归纳、真题演练帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料特色在于裂项模型系统归纳与放缩技巧整合，采用“模型建构-题型匹配-错解分析”教学策略，如裂项相消中通过等差型与根式型对比训练，培养学生数学思维与模型意识，配合各地模拟真题即时反馈，助力学生高效掌握方法，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2027届高三数学一轮复习 第三十三讲 数列求和 【学习目标】会求简单数列的前项和 【学习重点】数列的求和方法 【学习难点】根据数列通项公式选择合适的求和方法 必掌握知识点 1．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 2.倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 4.分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 5.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 常见的裂项技巧： 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 积累裂项模型6：阶乘 （1） （2） 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． 必考题型全归纳 题型一. 公式法（等差、等比直接求和） 1．（河北省衡水市第二中学2025-2026学年高二上学期第四次调研考试数学试卷）已知等差数列的前项和为. (1)请用倒序相加法证明； (2)若，，，证明：. 2．（山西省大同市浑源中学2022-2023学年高二上学期11月月考数学试题）表示等差数列的前项的和，且，. (1)求数列的通项及； (2)求和 3．（江苏省常州市前黄高级中学2019-2020学年高二上学期第一次学情检测数学试题）已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0．设是数列的前n项和．若，，是数列的前3项，且． （1）求数列和的通项公式； （2）若数列为等差数列，求实数t； （3）构造数列，，，，，，，，，…，，，，…，，…．若该数列前n项和，求n的值． 题型二. 倒序相加求和 4．（江苏省连云港市灌南县惠泽高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数满足为的导函数， .若，则数列的前2025项和为__________. 5．（江西省吉安市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次段考数学试题）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为___________. 6．已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 题型三. 错位相减（等差 × 等比型） 7．（广西2024届高三高考桂柳鸿图数学模拟金卷试题（四））已知为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 8．（广西壮族自治区玉林市博白县2023届高三模拟考试数学（文）试题）已知数列的前项和为，，；数列中，，． (1)求数列﹑的通项公式和； (2)设，求数列的前项和； 9．（浙江省百校2019-2020学年高三联考数学试题）已知各项为正数的数列，其前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 题型四. 分组求和 10．（黑龙江省铁力市第一中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学（理）试题）已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 11．（四川省绵阳市2019-2020学年高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题）已知数列满足，，且，，数列的前n项和． （1）求数列、的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 12．（湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）设是等差数列，数列的前项和为，满足，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型四. 裂项相消求和 13．（安徽省江淮十校2022-2023学年高三上学期11月第二次联考数学试题）设各项均为正数的数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，设，数列的前项和为，求证：． 14．（重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题）已知各项均为正数的数列的前项和满足 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为.证明： 15．（2019届天津市静海县第一中学高三9月学生学业能力调研数学（文）试题）已知数列是等差数列，公差，，其前项为（）.且成等比数列. （1）求数列的通项及前项和； （2）若，数列的前n项和为，证明：对，. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第三十三讲 数列求和 【学习目标】会求简单数列的前项和 【学习重点】数列的求和方法 【学习难点】根据数列通项公式选择合适的求和方法 必掌握知识点 1．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 2.倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 4.分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 5.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 常见的裂项技巧： 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 积累裂项模型6：阶乘 （1） （2） 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． 必考题型全归纳 题型一. 公式法（等差、等比直接求和） 1．（河北省衡水市第二中学2025-2026学年高二上学期第四次调研考试数学试卷）已知等差数列的前项和为. (1)请用倒序相加法证明； (2)若，，，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的性质倒序相加即可. （2）根据等差数列前项和公式、通项公式列方程，因式分解消元即可得证. 【详解】（1）证明：由题意得①， ②， ①+②得， 由等差数列的性质得， 所以，所以. （2）因为，， 所以①，②， ①-②得. 整理得， 因，所以， 所以 2．（山西省大同市浑源中学2022-2023学年高二上学期11月月考数学试题）表示等差数列的前项的和，且，. (1)求数列的通项及； (2)求和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由可解出的值，利用等差数列的通项公式可求得，利用等差数列的求和公式可求得； （2）化简的表达式，分、两种情况，结合等差数列的求和公式求出的表达式，综合可得出的表达式. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由可得， 因为，解得，所以，， . （2）解：， 当且时，； 当且时，. 综上所述，. 3．（江苏省常州市前黄高级中学2019-2020学年高二上学期第一次学情检测数学试题）已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0．设是数列的前n项和．若，，是数列的前3项，且． （1）求数列和的通项公式； （2）若数列为等差数列，求实数t； （3）构造数列，，，，，，，，，…，，，，…，，…．若该数列前n项和，求n的值． 【答案】（1），；（2）或；（3）41. 【分析】（1）设的公差，由，，是数列的前3项，可得即，又即，解得，，即可得出通项公式； （2），可得，根据数列为等差数列，可得，据此化简求解可得值； （3）设从到各项的和为， 则，进而可得，由，得，进而可得该数列前36项的和，令，解方程可得的值，进而得到的值. 【详解】（1）设的公差，，，是数列的前3项，且， ，即，， 解得，， ， ，，公比， ； （2），， 数列为等差数列，且， 该数列的前三项满足式子：，即， 解得或，经过验证满足题意； （3）由（1）可得：，数列的前n项和， 数列的前n项和， 设从到各项的和为， ， ， ，，， 取，可得该数列前项的和为， 令，解得， 因此， 即n的值为41. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于难题. 题型二. 倒序相加求和 4．（江苏省连云港市灌南县惠泽高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数满足为的导函数， .若，则数列的前2025项和为__________. 【答案】 【分析】由，可得，从而得，然后利用倒序相加法从而可求解. 【详解】由题意知，所以，即， 又因为，所以， 所以， ， 将两式相加可得：. 故答案为：. 【点睛】：本题主要是对求导后得，主要能够找到的关系，再根据倒序相加法从而可求解. 5．（江西省吉安市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次段考数学试题）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为___________. 【答案】2022 【分析】由为奇函数，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】由于函数为奇函数，则， 即，所以， 所以， 所以 ， 因此数列的前2022项和为，故答案为：2022 6．已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 【答案】/ 【分析】先根据题干递推式求得，然后根据作差即可求得，再结合诱导公式化简得，最后利用倒序相加法求和即可. 【详解】，① 当时，，② ①-②得； 当时，，此时仍然成立，． 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，故． 由于， 设 ， 则， ．故答案为： 题型三. 错位相减（等差 × 等比型） 7．（广西2024届高三高考桂柳鸿图数学模拟金卷试题（四））已知为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为，根据已知条件列出方程得出公差，即可得出答案； （2）根据已知可得出的奇数项为等差数列，直接求和即可得出奇数项的和；根据错位相减法，求出偶数项的和，分组求和，相加即可得出答案. 【详解】（1）设的公差为. ∵，， ∴，解得， ∴. （2）由已知可得，当为奇数时，； 当为偶数时，. ∴ 设，① 则，② ①②，得 ∴.故. 8．（广西壮族自治区玉林市博白县2023届高三模拟考试数学（文）试题）已知数列的前项和为，，；数列中，，． (1)求数列﹑的通项公式和； (2)设，求数列的前项和； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，作差得到，再结合，即可得到为等比数列，从而求出的通项，再根据得到为等差数列，即可求出其通项； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，， 所以当时， 当时，所以， 即，又， 所以是以为首项、为公比的等比数列，所以； 又，，所以，即是以为首项、为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以， ， 所以 ， 所以. 9．（浙江省百校2019-2020学年高三联考数学试题）已知各项为正数的数列，其前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用与的关系求出数列的通项公式； （2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和. 【详解】（1）由平方，得，所以， 将以上两式相减，可得， 则，所以， 由于数列的各项均为正数，所以，又，所以； （2）由题意可得， 则， ， 将以上两式相减，可得， 设， 则， 将以上两式相减，可得， 由此可得，则. 【点睛】本题考查与的关系的应用，考查数列求和的方法，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型. 题型四. 分组求和 10．（黑龙江省铁力市第一中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学（理）试题）已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，，构成等比数列得到之间的关系，再将化简成间的式子，进而解出，然后求出答案； （2）结合（1），然后通过分组求和的方法解得答案即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，，构成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以， 又，所以，联立方程组解得，，所以． （2）由（1）可得，，所以数列的前n项和． 11．（四川省绵阳市2019-2020学年高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题）已知数列满足，，且，，数列的前n项和． （1）求数列、的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）先根据条件可得数列是等差数列，结合等差数列的通项公式可求，数列的通项公式可由公式求得； （2）先求解，根据通项公式的特点，利用分组求和法求和. 【详解】：（1）∵，，即， ∴数列是等差数列． 由，，解得，， ∴． 当时，， 当时，． ． ∴数列的通项公式为． （2）由（1）得，， ． 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和数列求和，已知求解通项公式时，通常利用公式求解，数列求和一般是利用通项公式的特征，选择合适的方法求解，常用方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法等，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养. 12．（湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）设是等差数列，数列的前项和为，满足，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【分析】（1）根据，得到为公比为3的等比数列，求出的通项公式，进而得到的首项和公差，得到通项公式； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）求参数的范围，可以采用分离参数的方法，求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【详解】（1）当时，，解得， ，当时，， 上面两式相减得，故， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，， 设的公差为，则，解得， 故， 故，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得：， ， ， 当为偶数时，， 记 ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，先求出的最大值， 设， ， 单调递增，又，，． 题型四. 裂项相消求和 13．（安徽省江淮十校2022-2023学年高三上学期11月第二次联考数学试题）设各项均为正数的数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对已知等式分解因式化简变形，结合各项均为正数可得，然后利用累乘法可求出数列的通项公式； （2）由（1）得（），然后利用裂项求和可证得结论. 【详解】（1）由得： 因为数列为正项数列，所以， 所以 因为，所以， 又当时，， 所以 （2）由（1）知， 当，时，因为， 所以， 所以 所以. 14．（重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题）已知各项均为正数的数列的前项和满足 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为.证明： 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和，即可得证； 【详解】解：（1）因为，所以，故 当时，， 当时， 且也满足上式，所以数列的通项公式为， （2） 所以 【点睛】数列求和的方法技巧 (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 15．（2019届天津市静海县第一中学高三9月学生学业能力调研数学（文）试题）已知数列是等差数列，公差，，其前项为（）.且成等比数列. （1）求数列的通项及前项和； （2）若，数列的前n项和为，证明：对，. 【答案】(1) ,；(2)证明见解析 【分析】(1)利用等差数列的基本量化简求解即可. (2)易得,再利用裂项相消求和,根据的递增性质分析最小值挣得,再根据证明即可. 【详解】(1)因为成等比数列,故,即, 代入得,化简得即. 又,故.故,. 即,. (2)由(1) ,又所以,故. 故 . 因为,故随的增大而增大, 故当时取得最小值.故. 又中,故. 故即得证. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解、裂项相消求和以及数列求和后的不等式问题.属于中档题. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $