3.2 函数的基本性质（九大重点题型）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.2 函数的基本性质 目录●重难点题型分布 重难点题型1 判断或证明函数的单调性 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 4．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 5．（24-25高一上·广东河源·阶段检测）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 6．已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 7．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 8．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 重难点题型2 函数单调性的应用 1．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江·期末）已知函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 6．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 7．如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 8．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 重难点题型3 判断或证明函数的奇偶性 1．（25-26高二下·河南新乡·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京顺义·期末）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽淮北·期中）（多选题）下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期末）（多选题）下列函数既是偶函数，又在单调递增的有（   ） A． B． C． D． 重难点题型4 函数奇偶性的应用 1．（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 2．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．设 是定义在上的奇函数，则______ 6．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 7．（2026·河北沧州·模拟预测）若函数为奇函数，则__________. 8．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知为奇函数，则_____________． 重难点题型5 利用奇偶性，求函数解析式 1．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 2．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 5．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 6．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 7．（2026高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 重难点题型6 由单调性与奇偶性，比较大小 1．（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数定义域为R，满足，对于，，且，都有，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）定义在 上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南玉溪·期末）设函数的定义域为，、，且，记，，都有，且是偶函数.则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 9．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 10．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 11．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 12．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 13．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 重难点题型7 由单调性与奇偶性，解不等式 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西商洛·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知是定义域为的偶函数，且在上严格递增函数，若成立，则实数的范围是__________ 8．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为________． 重难点题型8 抽象函数 1．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 2．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 5．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的函数.对任意，总有. (1)证明：函数是奇函数； (2)若时，恒成立； ①判断函数在上的单调性，并说明理由； ②解关于的不等式：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 函数的基本性质 目录●重难点题型分布 重难点题型1 判断或证明函数的单调性 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据函数的图象，利用单调性、值域与图象的关系，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的图象，可得在上单调递减，所以A错误； 对于B，由函数的图象，可得在上的值域是，所以B错误； 对于C，由函数的图象，可得在上单调递增，所以C正确； 对于D，由函数的图象，可得在上的最大值是，所以D错误. 故选：C. 4．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 5．（24-25高一上·广东河源·阶段检测）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 6．已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 7．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 8．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.79 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 重难点题型2 函数单调性的应用 1．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 2．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 3．（25-26高一上·黑龙江·期末）已知函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据对数函数和二次函数的性质，列出不等式组求解即可. 【详解】由在单调递增，应满足，当时，为增函数，则， 当时，为增函数，则，且， 综上所述，解得， 故选：B． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． 5．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 6．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【难度】0.96 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 7．如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解. 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立， 所以函数f(x)是R上的增函数， 所以，解得. 故的取值范围是. 8．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【详解】因为为增函数，所以只能是R上的增函数， 所以，解得． 重难点题型3 判断或证明函数的奇偶性 1．（25-26高二下·河南新乡·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】对A，函数的定义域为，所以其是非奇非偶函数，所以A错误； 对B，的定义域为，定义域关于原点对称，令， 则，所以函数是奇函数，且函数在上单调递增， 则在上也单调递增，所以函数在上单调递增，所以B正确； 对C，函数的定义域为，关于原点对称，令，则， 所以函数为偶函数，所以C错误； 对D，函数的定义域为，定义域关于原点对称，令，则， 所以函数是奇函数，但其在上单调递减，在上单调递增，所以D错误． 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.8 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 3．已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 5．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】由函数的奇偶性，单调性分析可得. 【详解】对于A，，故为偶函数，错误； 对于B，，且在上单调递增，故正确； 对于C，，是奇函数但是在区间和上单调递减，故错误； 对于D，因为，所以以先减后增，故错误. 故选：B. 6．（25-26高一上·北京顺义·期末）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，函数关于直线对称，不是偶函数，故A不符合； 对于B，因为函数在上均为偶函数，所以为偶函数， 且当时，，所以函数在区间上单调递减，故B符合； 对于C，函数在上为非奇非偶函数，故C不符合； 对于D，因为函数在上均为奇函数， 所以为奇函数，故D不符合. 故选：B. 7．（25-26高一上·安徽淮北·期中）（多选题）下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【详解】A选项中，，定义域为， 关于原点对称，且， 符合奇函数定义，是奇函数， B选项中，，定义域为， 但，是偶函数，不是奇函数， C选项中，，定义域为， 定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不是奇函数， D选项中，，定义域为，关于原点对称， 且，符合奇函数定义，是奇函数. 8．（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期末）（多选题）下列函数既是偶函数，又在单调递增的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】需先判断各函数的奇偶性，再判断在上的单调性，筛选出既是偶函数又单调递增的选项即可. 【详解】选项A： 奇偶性：，是奇函数，不满足“偶函数”的条件， 单调性：在 上单调递减，不满足“单调递增”的条件.A错误； 选项B： 奇偶性：，既不等于 也不等于 ，非奇非偶，不满足条件， 单调性：在 上单调递增，但奇偶性不符合.B错误； 选项C： 奇偶性：，是偶函数， 单调性：在 上单调递增，两个条件都满足.C正确； 选项D： 奇偶性：，是偶函数， 单调性：在 上， 单调递增，两个条件都满足.D正确. 故选：CD. 重难点题型4 函数奇偶性的应用 1．（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】由奇偶性求参数 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. 2．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数 【详解】由函数为奇函数，得， 即，解得， 因此，所以. 3．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由函数为偶函数可得，从而可求得. 【详解】由函数是偶函数，则，可得， 所以，. 故选：A. 5．设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【难度】0.92 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 6．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【难度】0.75 【知识点】已知函数值求自变量或参数、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 7．（2026·河北沧州·模拟预测）若函数为奇函数，则__________. 【答案】 【难度】0.78 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质计算即可. 【详解】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 8．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知为奇函数，则_____________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由奇偶性求参数 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，解得， 当，，不为奇函数，不合题意舍去． 当时，，即，为奇函数，符合题意， 所以． 重难点题型5 利用奇偶性，求函数解析式 1．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 2．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 4．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式即可. 【详解】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： 5．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【难度】0.72 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 6．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.73 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 7．（2026高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 重难点题型6 由单调性与奇偶性，比较大小 1．（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】由题可得，根据函数的对称性、单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减， 所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B. 2．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数定义域为R，满足，对于，，且，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.78 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【详解】已知，故是偶函数，则， 又，，且，都有， 故在上单调递减， 又，则，即． 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）定义在 上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】结合偶函数性质及关系可得，，，再结合函数单调性比较，，，由此可得结论. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 又， 所以， ， ， 因为，且当时，单调递减， 所以， 所以， 即. 4．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数，在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 5．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可． 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 即，所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以， 因为时，函数是增函数， 所以，即. 故选：A 6．（25-26高一上·云南玉溪·期末）设函数的定义域为，、，且，记，，都有，且是偶函数.则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】分析函数在上单调递减，且该函数的图象关于直线对称，可得出在上单调递增，逐项判断即可. 【详解】对于函数，因为、，，都有， 不妨设，由得， 所以函数在上单调递减， 又函数是偶函数，所以， 所以函数关于对称， 所以函数在上单调递增， 故，，，， 故选：B. 7．（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D 8．（25-26高一上·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用奇函数的性质求出的值，然后利用时的解析式以及奇函数的性质可得到的单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】已知是上的奇函数，当时，， 由奇函数性质得，则， 因此当时，， 由对称轴，且为开口向上的抛物线， 得到在上单调递增， 又因为是定义在上的奇函数，所以在上也单调递增， 又，可得在上单调递增， 由，得到，解得. 故答案为： 9．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数及单调性列不等式求解即可． 【详解】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 10．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性求出，进而利用二次函数的性质判断函数单调性，再利用函数单调性解不等式． 【详解】已知是定义在上的奇函数，则，解得， 时，，开口向上，对称轴为， 在上单调递增， 由奇函数的性质可知，关于原点对称的区间上单调性相同， 在上单调递增， ， ，解得， 不等式的解集为． 故答案为：． 11．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】设，即可判断为偶函数且在上单调递增，不等式即，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】设， 由且，， 得，所以在上单调递增． 因为为奇函数，所以， 所以，即为偶函数． 因为，所以， 所以不等式，即， 所以． 又因为在上单调递增，所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 12．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【难度】0.64 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 13．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.64 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 重难点题型7 由单调性与奇偶性，解不等式 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 2．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 3．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.57 【知识点】解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式. 【详解】由已知得，当时，， 所以，当时，同理有，可知是奇函数． 又当时，，所以在上单调递增， 从而可得在上单调递增． 不等式即， 所以有，解得． 4．（2026·陕西商洛·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由为奇函数，，可得且在对称区间和上的单调性一致，即可求出的解集. 【详解】由为奇函数，，可得且在对称区间和上的单调性一致， 所以在上单调递增，且， 由可得：且,或且, 所以或时， 故不等式的解集为. 5．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用函数的奇偶性，将不等式变成，利用函数单调性求解即可. 【详解】函数的图象关于点对称， 则函数的图象关于原点对称，即， 从而等价于，即 由函数在定义域上单调递减， 则，解得. 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 不等式，即， 又因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是， 故选：C. 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知是定义域为的偶函数，且在上严格递增函数，若成立，则实数的范围是__________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的性质和单调性知识解不等式即可. 【详解】由是定义域为的偶函数，且在上严格递增函数， 可知关于轴对称，且在上单调递减， 即在轴处取得最小值，离对称轴越近函数值越小， 由，可得，平方得，即，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 8．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的性质可得，分析判断函数的单调性，结合单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 则定义域关于原点对称，可得，解得， 所以函数的定义域为． 由于函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递减， 因为，则或，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 重难点题型8 抽象函数 1．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)8106. 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、由函数对称性求函数值或参数 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. （3）由（2）知，，，则 2．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】（1）根据题意，令，求得，令，得到，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据，得到，结合题意，求得，即可证； （3）化简得到，得到原式，结合（1），得到，得到，即可得证. 【详解】（1）证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数. （2）证明：设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数. （3）证明：由， 所以， 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故. 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1) (2) 令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数. (3) 【难度】0.4 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用，结合，即可求； （2）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性； （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）因为， 所以, , . （2）略 （3）任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则， 解得. 4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2) 为上的奇函数，证明如下： 令，则，故， 令，则，故， 故为上的奇函数. (3) 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为 【难度】0.65 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用赋值法可求、； （2）利用奇函数的定义可证为上的奇函数； （3）利用函数单调性的定义可证为上的减函数，从而可得，再就的不同取值分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）由题设有，， . （2）略 （3）为上的减函数，证明如下： 证明：，由题设有， 故，而，故， 故，即为上的减函数. 由题设有， 所以可化为： 即， 故，即， 若，则，不等式的解为或； 若，则，不等式的解为或； 若，则不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 综上，若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 5．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的函数.对任意，总有. (1)证明：函数是奇函数； (2)若时，恒成立； ①判断函数在上的单调性，并说明理由； ②解关于的不等式：. 【答案】(1) 由对任意，总有， 令，则，则， 令，，则， 则有，故，则是奇函数. (2)①在上单调递减，理由如下： 设任意，， 则， 又，则，则， 所以函数在上单调递减； ②当或1时，解集为； 当时，解集为； 当或时，解集为 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、解含有参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）令得出，再令，，利用奇函数的定义即可得证； （2）①利用定义法即可证明函数单调性；②首先利用函数单调性脱去，把不等式转化为，然后解含参不等式，分或1，，或三种情况即可求解. 【详解】（1）略 （2）①略 ②， 因为在上单调递减， 所以，即，即， 当，即或1时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即或时，解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $