专题09 玩转抽象函数的八大重难题型（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题09 玩转抽象函数的八大重难题型 （题型突破·举一反三） 题型01 抽象函数的定义域 1 题型02 抽象函数求值 2 题型03 抽象函数的值域 3 题型04 抽象函数的解析式 4 题型05 抽象函数的单调性 5 题型06 抽象函数的奇偶性 7 题型07 抽象函数的对称性 9 题型08 抽象函数的周期性（拓展） 11 ▌题型01 抽象函数的定义域 1．抽象函数的概念 所谓抽象函数是指用函数符号（如表示），却没有给出具体解析式的函数. 2．抽象函数的定义域 (1)若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域； (2)若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域． 【典例1】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，可得， 故函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【变式1-3】（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． ▌题型02 抽象函数求值 一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段. 【典例2】（24-25高三上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得，令可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】当，时，，所以； 令得，所以； ，， ，…， . 故选：C. 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数对任意的都有恒成立，且，则等于（   ） A．1 B．62 C．64 D．83 【变式2-3】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，则 . ▌题型03 抽象函数的值域 求解方法有二：一是借助函数图象的变换求解，如函数图象左右平移，其值域不变；函数图象上下平移，其值域也相应平移相同个单位；二是利用赋值法求解. 【典例3】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 【变式3-1】(多选)（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-3】（25-26高三下·重庆·月考）已知满足，且，则的值域为 ▌题型04 抽象函数的解析式 主要方法有二：一是方程法，即构造关于函数(如)的方程（组），通过解方程（组）即得所求函数（如）的解析式； 二是模型法，即结合所给条件确定相应函数的模型，再求出其待定系数，即得函数的解析式. 【典例4】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，（1） 在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且 故选：B. 【变式4-1】（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 【变式4-2】设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 【变式4-3】（25-26高三上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． ▌题型05 抽象函数的单调性 (1)若给出的是“和型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为。 (2)若给出的是“积型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为. 【典例5】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【分析】（1）取，可得，取，，解得，取，解得，即可得出答案. （2）由题意可知，设，令，则，作差，进而可得答案. 【详解】解：（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 【变式5-1】（25-26高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【变式5-2】（2026高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【变式5-3】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． ▌题型06 抽象函数的奇偶性 判断抽象函数奇偶性的步骤： (1)验证定义域的对称性； (2)应用赋值法构造关于和的关系。 (3)处理非标准自变量形式：若条件中出现如为奇函数的描述，需注意自变量替换规则：奇函数定义应改写为. 【典例6】（25-26高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【解析】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 【变式6-1】（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【变式6-2】（2026高二下·山东青岛·竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. ▌题型07 抽象函数的对称性 1.对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； 2．单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）. ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）. 【典例7-1】(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为　　　　　. 【答案】[－1，0] 【详解】因为函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)关于直线x＝2对称，又因为f(x)在上单调递减，则f(x)在上单调递增，则由f≤f(1)得，即≤1，解得－1≤x≤0，则解集为[－1，0]. 【典例7-2】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 【答案】A 【详解】设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A. 【变式7-1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】(2025·福建厦门模拟)函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，其中m＝(　　) A.3 B. C.－1 D.－ 【变式7-3】（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在时取最小值 D． ▌题型08 抽象函数的周期性（拓展） 1.周期函数 (1)定义：设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意，都有恒成立，那么就称函数为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期. (2)最小正周期：若函数存在周期，则它有无数个周期，所有周期的绝对值中最小的那个正数（如果存在），叫做这个函数的最小正周期. 2.函数周期性的一些重要结论 设是不为0的实数，对定义域内任一自变量的值： （1）的一个周期T=. （2）的一个周期T=. （3）的一个周期. （4）（为常数）的一个周期T=. 提示：，两式相减可得： （5）（为常数）的一个周期T=. （6）的一个周期T=. 提示：，相加，得，则T=. （7）的一个周期T=. （8）的一个周期T=. 3．双对称性和周期性的关系 (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 【典例8-1】定义在R上的函数对任意x∈R，都有，，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由及所求可联想到周期性，所以考虑 ，所以是周期为4的周期函数，故(2026)=f(2)，而由已知可得，所以. 【典例8-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，都有， 即，所以为偶函数， 由可得，即， 所以是以4为周期的偶函数， 因此， 由，令可得， 所以． 【变式8-1】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-2】（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【变式8-3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 玩转抽象函数的八大重难题型 （题型突破·举一反三） 题型01 抽象函数的定义域 1 题型02 抽象函数求值 3 题型03 抽象函数的值域 5 题型04 抽象函数的解析式 7 题型05 抽象函数的单调性 9 题型06 抽象函数的奇偶性 12 题型07 抽象函数的对称性 15 题型08 抽象函数的周期性（拓展） 18 ▌题型01 抽象函数的定义域 1．抽象函数的概念 所谓抽象函数是指用函数符号（如表示），却没有给出具体解析式的函数. 2．抽象函数的定义域 (1)若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域； (2)若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域． 【典例1】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，可得， 故函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 【变式1-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 【变式1-3】（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为 由，得，所以的定义域为． 由，得，所以函数的定义域为． ▌题型02 抽象函数求值 一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段. 【典例2】（24-25高三上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得，令可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】当，时，，所以； 令得，所以； ，， ，…， . 故选：C. 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 【答案】D 【分析】由x、y任意性得到，进而推出是常函数且设，再结合可得即可求. 【详解】由、xyx、y任意性可得， 当，时，，故是常函数， 所以当时，，其中c为常数， 由，得，解得，所以， 所以. 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数对任意的都有恒成立，且，则等于（   ） A．1 B．62 C．64 D．83 【答案】D 【分析】先应用已知得出函数值关系，再结合多次应用计算求解. 【详解】由得，计算得，因此， 【变式2-3】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，则 . 【答案】2026 【解析】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则 ， 由 . 法二： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以. ▌题型03 抽象函数的值域 求解方法有二：一是借助函数图象的变换求解，如函数图象左右平移，其值域不变；函数图象上下平移，其值域也相应平移相同个单位；二是利用赋值法求解. 【典例3】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 【变式3-1】(多选)（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，结合图象变换判断AC；求出函数值域判断BD. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，值域不变，A正确； 对于B，由，得，即的值域为，B错误； 对于C，函数与函数的图象关于轴对称， 则函数的值域与函数的值域相同，为，C正确； 对于D，由，得，即的值域为，D错误. 故选：AC 【变式3-2】（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 【变式3-3】（25-26高三下·重庆·月考）已知满足，且，则的值域为 【答案】 【解析】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. ▌题型04 抽象函数的解析式 主要方法有二：一是方程法，即构造关于函数(如)的方程（组），通过解方程（组）即得所求函数（如）的解析式； 二是模型法，即结合所给条件确定相应函数的模型，再求出其待定系数，即得函数的解析式. 【典例4】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，（1） 在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且 故选：B. 【变式4-1】（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 【答案】 【详解】因为，以代替得： ， 得：. 【变式4-2】设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 【答案】 【详解】令，则可得，， 又， 令，则，且， 于是为偶函数，同理， 注意到， 假设存在某个，使得，不妨令， 则，当时，左边，而右边，矛盾. 因为为偶函数，故当时同样矛盾， 当时，则，，同理可证， 再根据偶函数可证当也是矛盾的， 综上，对一切实数，有， 当时，有可得，又因， 故对一切实数都有 【变式4-3】（25-26高三上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 【答案】 【解析】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. ▌题型05 抽象函数的单调性 (1)若给出的是“和型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为。 (2)若给出的是“积型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为. 【典例5】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【分析】（1）取，可得，取，，解得，取，解得，即可得出答案. （2）由题意可知，设，令，则，作差，进而可得答案. 【详解】解：（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 【变式5-1】（25-26高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【详解】（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 【变式5-2】（2026高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【详解】（1）证明:  由题可知对任意实数，，恒有，令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． （2）不妨设，则，所以． 由（1）知，， 所以， 即，所以在上单调递减． 【变式5-3】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【详解】（1）令，可得，结合知； (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． ▌题型06 抽象函数的奇偶性 判断抽象函数奇偶性的步骤： (1)验证定义域的对称性； (2)应用赋值法构造关于和的关系。 (3)处理非标准自变量形式：若条件中出现如为奇函数的描述，需注意自变量替换规则：奇函数定义应改写为. 【典例6】（25-26高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【解析】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 【变式6-1】（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【解析】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 【变式6-2】（2026高二下·山东青岛·竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 【变式6-3】（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. ▌题型07 抽象函数的对称性 1.对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； 2．单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）. ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）. 【典例7-1】(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为　　　　　. 【答案】[－1，0] 【详解】因为函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)关于直线x＝2对称，又因为f(x)在上单调递减，则f(x)在上单调递增，则由f≤f(1)得，即≤1，解得－1≤x≤0，则解集为[－1，0]. 【典例7-2】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 【答案】A 【详解】设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A. 【变式7-1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 【变式7-2】(2025·福建厦门模拟)函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，其中m＝(　　) A.3 B. C.－1 D.－ 【答案】D 【详解】设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x'，y')，则则y'＝f(1－2m＋x')，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－.故选D. 【变式7-3】（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在时取最小值 D． 【答案】D 【详解】令，则，故，故A错误； 因为，所以的函数图象关于点中心对称，故B错误； 因为，都有， 所以在上单调递增， 因为的函数图象关于点中心对称，所以在上单调递增， 则在上单调递增，则无最小值，故C错误； ，故D正确. ▌题型08 抽象函数的周期性（拓展） 1.周期函数 (1)定义：设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意，都有恒成立，那么就称函数为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期. (2)最小正周期：若函数存在周期，则它有无数个周期，所有周期的绝对值中最小的那个正数（如果存在），叫做这个函数的最小正周期. 2.函数周期性的一些重要结论 设是不为0的实数，对定义域内任一自变量的值： （1）的一个周期T=. （2）的一个周期T=. （3）的一个周期. （4）（为常数）的一个周期T=. 提示：，两式相减可得： （5）（为常数）的一个周期T=. （6）的一个周期T=. 提示：，相加，得，则T=. （7）的一个周期T=. （8）的一个周期T=. 3．双对称性和周期性的关系 (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 【典例8-1】定义在R上的函数对任意x∈R，都有，，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由及所求可联想到周期性，所以考虑 ，所以是周期为4的周期函数，故(2026)=f(2)，而由已知可得，所以. 【典例8-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，都有， 即，所以为偶函数， 由可得，即， 所以是以4为周期的偶函数， 因此， 由，令可得， 所以． 【变式8-1】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 【变式8-2】（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知详解式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 【变式8-3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 玩转抽象函数的八大重难题型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 抽象函数的定义域 【典例1】D 【分析】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，可得， 故函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. 故选：D. 【变式1-1】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 【变式1-2】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 【变式1-3】 【解析】因为 由，得，所以的定义域为． 由，得，所以函数的定义域为． ▌题型02 抽象函数求值 【典例2】C 【分析】令可得，令可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】当，时，，所以； 令得，所以； ，， ，…， . 故选：C. 【变式2-1】D 【分析】由x、y任意性得到，进而推出是常函数且设，再结合可得即可求. 【详解】由、xyx、y任意性可得， 当，时，，故是常函数， 所以当时，，其中c为常数， 由，得，解得，所以， 所以. 【变式2-2】D 【分析】先应用已知得出函数值关系，再结合多次应用计算求解. 【详解】由得，计算得，因此， 【变式2-3】2026 【解析】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则 ， 由 . 法二： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以. ▌题型03 抽象函数的值域 【典例3】D 【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 【变式3-1】AC 【分析】根据给定条件，结合图象变换判断AC；求出函数值域判断BD. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，值域不变，A正确； 对于B，由，得，即的值域为，B错误； 对于C，函数与函数的图象关于轴对称， 则函数的值域与函数的值域相同，为，C正确； 对于D，由，得，即的值域为，D错误. 故选：AC 【变式3-2】D 【解析】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 【变式3-3】 【解析】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. ▌题型04 抽象函数的解析式 【典例4】B 【解析】当时，（1） 在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且 故选：B. 【变式4-1】 【详解】因为，以代替得： ， 得：. 【变式4-2】 【详解】令，则可得，， 又， 令，则，且， 于是为偶函数，同理， 注意到， 假设存在某个，使得，不妨令， 则，当时，左边，而右边，矛盾. 因为为偶函数，故当时同样矛盾， 当时，则，，同理可证， 再根据偶函数可证当也是矛盾的， 综上，对一切实数，有， 当时，有可得，又因， 故对一切实数都有 【变式4-3】 【解析】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. ▌题型05 抽象函数的单调性 【典例5】 【分析】（1）取，可得，取，，解得，取，解得，即可得出答案. （2）由题意可知，设，令，则，作差，进而可得答案. 【详解】解：（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 【变式5-1】 【详解】（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 【变式5-2】 【详解】（1）证明:  由题可知对任意实数，，恒有，令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． （2）不妨设，则，所以． 由（1）知，， 所以， 即，所以在上单调递减． 【变式5-3】 【详解】（1）令，可得，结合知； (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． ▌题型06 抽象函数的奇偶性 【典例6】 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【解析】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 【变式6-1】B 【解析】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 【变式6-2】A 【解析】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 【变式6-3】 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. ▌题型07 抽象函数的对称性 【典例7-1】[－1，0] 【详解】因为函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)关于直线x＝2对称，又因为f(x)在上单调递减，则f(x)在上单调递增，则由f≤f(1)得，即≤1，解得－1≤x≤0，则解集为[－1，0]. 【典例7-2】A 【详解】设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A. 【变式7-1】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 【变式7-2】D 【详解】设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x'，y')，则则y'＝f(1－2m＋x')，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－.故选D. 【变式7-3】D 【详解】令，则，故，故A错误； 因为，所以的函数图象关于点中心对称，故B错误； 因为，都有， 所以在上单调递增， 因为的函数图象关于点中心对称，所以在上单调递增， 则在上单调递增，则无最小值，故C错误； ，故D正确. 【典例8-1】D 【分析】由及所求可联想到周期性，所以考虑 ，所以是周期为4的周期函数，故(2026)=f(2)，而由已知可得，所以. 【典例8-2】D 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，都有， 即，所以为偶函数， 由可得，即， 所以是以4为周期的偶函数， 因此， 由，令可得， 所以． 【变式8-1】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 【变式8-2】B 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知详解式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 【变式8-3】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $