专题13 函数图象问题8种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题13函数图象问题8种常见考法归类 ▌题型01画出具体函数图象 【例1】【答案】 【分析】先求出函数的定义域为，再由于原函数解析式可化为，故函数图象可以由通过平移而得到. 【详解】函数的定义域为，由于原函数解析式可化为，故函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，如图所示. 【变式1-1】【答案】 【分析】利用描点法作出函数图象. 【详解】的定义域为， 列表如下： 作出图象如图： 【变式1-2】【答案】图象见解析 【分析】先作的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位，即得到的图象. 【详解】先作函数的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位， 即得到的图象，如下图所示： 【变式1-3】【答案】， 【分析】先利用奇函数的图像关于原点对称画出函数图像，再利用奇函数的定义求出解析式． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以图像关于原点对称且，图像如图所示： 当时，， 所以当时，，则， 整理有， 所以的解析式为． ▌题型02函数图象的变换 【例2】【答案】C 【详解】函数的图象可由先关于轴对称，再向右平移两个单位得到， 结合各选项，可知只有C选项的图象符合． 【变式2-1】【答案】CD 【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得． 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 【变式2-2】【答案】A 【详解】由与图象关于y轴对称，得的图象为A选项. 【变式2-3】【答案】A 【分析】结合函数 的图并利用特殊值即可求解. 【详解】对于B，由题可知函数 的图象，当 时，故B项错误； 对于A、C、D：对于函数 ， 当时，，故C、D项错误，A项正确. 故选：A. ▌题型03函数图像的识别 【例3】【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 【变式3-1】【答案】B 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. 【变式3-2】【答案】B 【分析】利用函数零点和单调性判断即可. 【详解】令，因为， 所以当时有：，方程无实数解， 当时有：，解得（舍去）或， 所以函数有一个零点，即函数图象与轴负半轴有交点，故A、D选项错误； 当时，函数，因为与在上单调递减， 所以当在上单调递减， 故B选项正确，C选项错误. 【变式3-3】【答案】BCD 【分析】根据各选项图象的对称性、定义域和截距等特征，分析参数的可能取值，判断是否存在满足条件的函数解析式. 【详解】A选项中的图象关于轴对称，是常函数但是不能是常函数，A选项错误； B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为，可得，，，函数满足题意，B选项正确； C选项中的图象，由定义域得，由图象在轴截距为正得，当时，符合条件，C选项正确； D选项中的图象，由定义域得，由图象在轴截距为零得，当时，符合条件，D选项正确； 故选：BCD． ▌题型04根据函数图象选择解析式 【例4】【答案】A 【分析】由函数定义域、值域及对称性判断. 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 【变式4-1】【答案】D 【分析】先得到的定义域且为偶函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】由函数的图象可得函数的定义域，且为偶函数， 对于A，函数定义域，且， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A不符合题意； 对于B，函数定义域，且， 所以函数为定义域上的奇函数，所以B不符合题意； 对于C，由函数，当时，可得与图象不符，所以C不符合题意； 对于D，函数定义域为，且， 所以函数为偶函数， 当时，；当时，， ，所以D符合题意. 故选：D. 【变式4-2】【答案】D 【分析】根据函数的图象关于原点对称，排除B，C选项，再由，排除A选项，从而得出正确答案. 【详解】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除； 又，对于A选项，当时，，不符合，排除； 对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确. 故选：D 【变式4-3】【答案】C 【分析】根据图象的对称性，结合“心形”图形横坐标的取值范围、函数的最大值逐一判断即可. 【详解】因为由图象可知“心形”在轴上方部分是关于纵轴对称的， 所以“心形”在轴上方部分对应的函数是偶函数, 且定义域为，且值域为. A：由，所以本选项函数的定义域为， 令， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意， ，即， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以，所以该函数的值域不符合题意，因此本选项函数解析式不符合题意； B：令， 因为， 所以该函数不是偶函数，不符合题意； C：由， 所以本选项函数的定义域符合题意， 令， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意， 又， 当时，即当时，该函数有最大值，因此该函数的值域为， 因此本选项函数解析式符合题意； D：，不符合题意， 故选：C ▌题型05根据实际问题作函数图象 【例5】【答案】A 【分析】根据题意分析各个阶段的路程与时间之间的关系可排除其它选项． 【详解】由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小， 速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭； 匀速行驶时，路程随时间变化的曲线上升速度不变； 速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓， 故排除选项B、C、D． 【变式5-1】【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 【变式5-2】【答案】C 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【详解】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先走后跑，所以关于的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确. 故选：C 【变式5-3】【答案】C 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. ▌题型06根据图象研究函数的性质 【例6】【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 【变式6-1】【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A；通过举反例排除B；根据复合函数的单调性可判断C； 通过函数的变化趋势可判断D. 【详解】由图象知定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则， ，但，，，故B错误； 对于C，， 由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，记与轴交于点，与轴交于点， 由图可知，当从趋近于时，的函数值从0趋近于， 的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于， 即的值可以取到， 又为奇函数， 所以的值域为，故D正确. 【变式6-2】【答案】0 【分析】表示出函数解析式，画出函数图象，即可求解. 【详解】 在坐标系中作出函数和的图象（如图所示），显然，直线与之无交点． 即交点个数是0. 【变式6-3】【答案】B 【详解】由图可知：的定义域是，值域为，故A正确，B错误， ，C正确， 当和时，此时的图像只有一个交点， 故只与的一个值对应的值的范围是,D正确. ▌题型07根据图象解不等式 【例7】【答案】D 【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解. 【详解】由题可得，由于图像关于对称，所以，， 得，， 所以不等式，即的解集为. 【变式7-1】【答案】(1) 单调递减区间为， (2)任取且， 则 ∵，∴，，即， ∴， ∴. ∴函数在上单调递增. (3)或. 【分析】（1）求出解析式，画出二次函数图象，再结合图象得出递减区间； （2）利用定义证明单调性； （3）根据图象解不等式. 【详解】（1）当时，，则， 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 则， 因为， 则画出函数在y轴左侧的图象，如图所示， 结合函数的图象，可得函数在上的单调递减区间为，. （2）略 （3）结合图象可得，当时，，或， 故不等式的解集为或. 【变式7-2】【答案】C 【分析】根据给定函数图象，分别确定函数值为正及为负时的取值范围，再求出不等式的解集. 【详解】观察图象，函数满足，当时，，当时，； 函数满足，当时，，当或时，； 由不等式，得，则， 所以原不等式的解集为. 故选：C 【变式7-3】【答案】A 【分析】首先确定函数为奇函数，然后将原不等式进行化简，进而可根据图象求出解集. 【详解】根据图象可知函数是定义在上的奇函数，故. 故原不等式转化为，即，如图所示： 由图可知. 要使得不等式成立，根据图象可知不等式的解集为. 故选：A. ▌题型08根据图象求参变量的取值范围 【例8】【答案】 【详解】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 【变式8-1】【答案】 【分析】画出的图象，数形结合进行求解. 【详解】， 同一坐标系内，画出与的图象如下： 由图可知，恰有四个互不相等的实数根，则， 设，则， 故， 由于，故，所以. 【变式8-2】【答案】ABD 【分析】根据函数解析式代值计算即可判断A；根据分段函数解析式，分别求得值域，求并集即可判断B；画出函数图象即可判断CD． 【详解】A选项，，A选项正确； B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确； C选项，由图象可知，函数的单调递增区间为，所以C选项错误； D选项，由图可知，若有三个不等实根，则直线与图象有三个不同交点，由数形结合得，当时符合，故D选项正确． 【变式8-3】【答案】 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程可化为， 因为方程恰有10个不相等的实数根， 所以方程有两个不等实根，， 设，则，， 令，则，解得， 故实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13函数图象问题8种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型01画出具体函数图象 题型02函数图象的变换 题型03函数图像的识别 题型04根据函数图象选择解析式 题型05根据实际问题作函数图象 题型06根据图象研究函数的性质 题型07根据图象解不等式 题型08根据图象求参变量的取值范围 ▌题型01画出具体函数图象 1.核心逻辑 五点作图、分段作图、基础函数平移作图三步法。关键点：零点、顶点、交点、渐近线、端点。 2.解题步骤 (1)分析函数类型：一次/二次/反比例/指数对数/分段函数； (2)求关键特征点： ①二次函数：顶点、与轴交点、与轴交点； ②分式/对数：定义域、渐近线； ③分段函数：分段点、每段端点； (3)取辅助点，平滑连接；分段函数分段画，空心圈表示取不到，实心点表示可取。 3.易错提醒 (1)分段分界点虚实标记错误； (2)对数、分式遗漏渐近线，图像无限靠近坐标轴却相交； (3)二次函数顶点、开口方向画反。 【例1】（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域为，再由于原函数解析式可化为，故函数图象可以由通过平移而得到. 【详解】函数的定义域为，由于原函数解析式可化为，故函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，如图所示. 【变式1-1】（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】利用描点法作出函数图象. 【详解】的定义域为， 列表如下： 作出图象如图： 【变式1-2】作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【分析】先作的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位，即得到的图象. 【详解】先作函数的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位， 即得到的图象，如下图所示： 【变式1-3】（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式． 【答案】， 【分析】先利用奇函数的图像关于原点对称画出函数图像，再利用奇函数的定义求出解析式． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以图像关于原点对称且，图像如图所示： 当时，， 所以当时，，则， 整理有， 所以的解析式为． ▌题型02函数图象的变换 1.核心逻辑 四类基础变换：平移、对称、伸缩、翻折。口诀：左加右减自变量，上加下减常数项；变左右，变上下。 变换公式（原图像） (1)左右平移：，左加，右减； (2)上下平移：，上加，下减； (3)对称变换： ①关于轴：；关于轴：；关于原点：； ②关于：； (4)伸缩变换： ①轴伸缩：，横向压缩，横向拉长； ②轴伸缩：，纵向拉伸，纵向压缩； (5)翻折变换： ①：轴下方图像翻到上方； ②：保留轴右侧，右侧图像对称翻到左侧。 2.解题步骤 (1)找到基础母函数图像； (2)按顺序分步变换（先伸缩平移，后对称翻折）； (3)跟踪顶点、零点、渐近线等关键点同步变换。 3.易错提醒 (1)左右平移只改变，容易给整个式子加减； (2)不会先提取系数再平移，平移距离算错； (3)两种绝对值翻折图像混淆。 【例2】（2026高三·全国·一轮复习）函数的图象如图所示，那么函数的图象是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象可由先关于轴对称，再向右平移两个单位得到， 结合各选项，可知只有C选项的图象符合． 【变式2-1】【多选】（2026高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得． 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 【变式2-2】（2026高一·河北邢台·开学考试）已知函数的图象如图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由与图象关于y轴对称，得的图象为A选项. 【变式2-3】（2026·重庆·模拟预测）若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】结合函数 的图并利用特殊值即可求解. 【详解】对于B，由题可知函数 的图象，当 时，故B项错误； 对于A、C、D：对于函数 ， 当时，，故C、D项错误，A项正确. 故选：A. ▌题型03函数图像的识别 1.核心逻辑 排除法，分层筛选：定义域奇偶对称特殊点函数值单调性、极限趋势。 2.解题步骤 (1)看定义域：剔除图像出现无定义区间的选项； (2)判奇偶：偶函数左右对称，奇函数中心对称，排除不对称图像； (3)代特殊值，看正负，筛除矛盾图像； (4)看趋势：函数增减、趋近值； (5)看零点、极值点个数，匹配剩余选项。 3.易错提醒 只看局部增减，忽略定义域、极限趋势导致选错。 【例3】（2026高一·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 【变式3-1】（2026高一·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. 【变式3-2】（2026高一·浙江杭州·期中）函数的大致图象是（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】利用函数零点和单调性判断即可. 【详解】令，因为， 所以当时有：，方程无实数解， 当时有：，解得（舍去）或， 所以函数有一个零点，即函数图象与轴负半轴有交点，故A、D选项错误； 当时，函数，因为与在上单调递减， 所以当在上单调递减， 故B选项正确，C选项错误. 【变式3-3】【多选】下列可能是函数（其中的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据各选项图象的对称性、定义域和截距等特征，分析参数的可能取值，判断是否存在满足条件的函数解析式. 【详解】A选项中的图象关于轴对称，是常函数但是不能是常函数，A选项错误； B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为，可得，，，函数满足题意，B选项正确； C选项中的图象，由定义域得，由图象在轴截距为正得，当时，符合条件，C选项正确； D选项中的图象，由定义域得，由图象在轴截距为零得，当时，符合条件，D选项正确； 故选：BCD． ▌题型04根据函数图象选择解析式 1.核心逻辑 从图像提取特征，反向锁定函数类型，代入点求参数。 2.解题步骤 (1)由图像形状判断函数模型：直线一次；抛物线二次；双曲线反比例；曲线升降快慢指数/对数； (2)提取图像关键条件：零点、顶点、渐近线、对称、过定点； (3)设对应解析式，代入图像上已知点列方程求参数； (4)检验增减、正负区间，验证解析式与图像完全匹配。 3.易错提醒 函数模型判断错误；代入点计算参数符号出错。 【例4】（2026·全国·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域、值域及对称性判断. 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 【变式4-1】（2026高三·天津·开学考试）已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到的定义域且为偶函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】由函数的图象可得函数的定义域，且为偶函数， 对于A，函数定义域，且， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A不符合题意； 对于B，函数定义域，且， 所以函数为定义域上的奇函数，所以B不符合题意； 对于C，由函数，当时，可得与图象不符，所以C不符合题意； 对于D，函数定义域为，且， 所以函数为偶函数， 当时，；当时，， ，所以D符合题意. 故选：D. 【变式4-2】（2026高一·天津武清·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象关于原点对称，排除B，C选项，再由，排除A选项，从而得出正确答案. 【详解】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除； 又，对于A选项，当时，，不符合，排除； 对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确. 故选：D 【变式4-3】（2026高二·浙江绍兴·阶段检测）“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象的对称性，结合“心形”图形横坐标的取值范围、函数的最大值逐一判断即可. 【详解】因为由图象可知“心形”在轴上方部分是关于纵轴对称的， 所以“心形”在轴上方部分对应的函数是偶函数, 且定义域为，且值域为. A：由，所以本选项函数的定义域为， 令， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意， ，即， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以，所以该函数的值域不符合题意，因此本选项函数解析式不符合题意； B：令， 因为， 所以该函数不是偶函数，不符合题意； C：由， 所以本选项函数的定义域符合题意， 令， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意， 又， 当时，即当时，该函数有最大值，因此该函数的值域为， 因此本选项函数解析式符合题意； D：，不符合题意， 故选：C ▌题型05根据实际问题作函数图象 1.核心逻辑 先建立变量关系，结合实际意义：自变量、函数值均非负，间断点、匀速/变速对应直线/曲线。 2.解题步骤 (1)审题设变量，写出实际函数关系式； (2)确定实际定义域（时间、长度、销量不能为负）； (3)判断变化规律：匀速变化是直线，增速/减速变化是曲线； (4)标记特殊节点：起点、终点、转折节点，区分空心/实心； (5)分段问题分段绘制图像。 3.易错提醒 忽略实际限制画出负半轴图像；转折点虚实不分。 【例5】（2026高三·全国·专题练习）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析各个阶段的路程与时间之间的关系可排除其它选项． 【详解】由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小， 速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭； 匀速行驶时，路程随时间变化的曲线上升速度不变； 速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓， 故排除选项B、C、D． 【变式5-1】（2026高一·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 【变式5-2】（2026高二·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【详解】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先走后跑，所以关于的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确. 故选：C 【变式5-3】（2026高一·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. ▌题型06根据图象研究函数的性质 1.核心逻辑 图像直观对应所有代数性质：上升=递增，下降=递减；高低=函数值大小；对称=奇偶/轴对称；与轴交点=零点。 2.解题步骤 (1)定义域：图像所有点横坐标范围；值域：所有点纵坐标范围； (2)单调区间：从左往右上升区间为增，下降区间为减； (3)奇偶/对称：图像关于轴偶，关于原点奇； (4)零点：图像与轴交点横坐标；极值：图像峰顶谷底横坐标； (5)周期性：图像重复出现，可读出周期。 3.易错提醒 单调区间之间不能用“”连接，只能用逗号隔开；分不清极大、极小值点。 【例6】（2026高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 【变式6-1】【多选】（2026高一·全国·专题练习）（多选题）已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A；通过举反例排除B；根据复合函数的单调性可判断C； 通过函数的变化趋势可判断D. 【详解】由图象知定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则， ，但，，，故B错误； 对于C，， 由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，记与轴交于点，与轴交于点， 由图可知，当从趋近于时，的函数值从0趋近于， 的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于， 即的值可以取到， 又为奇函数， 所以的值域为，故D正确. 【变式6-2】（假期必刷7函数的图象）记号表示不超过的最大整数，则的图象与直线的图象的交点个数是________． 【答案】0 【分析】表示出函数解析式，画出函数图象，即可求解. 【详解】 在坐标系中作出函数和的图象（如图所示），显然，直线与之无交点． 即交点个数是0. 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（   ）    A．的定义域是 B．的值域是 C． D．只与的一个值对应的值的范围是 【答案】B 【详解】由图可知：的定义域是，值域为，故A正确，B错误， ，C正确， 当和时，此时的图像只有一个交点， 故只与的一个值对应的值的范围是,D正确. ▌题型07根据图象解不等式 1.核心逻辑 数形结合：取图像在轴上方的范围；取图像在轴下方的范围；两个函数比较看上下位置。 2.解题步骤 (1)单函数不等式： 找到图像与轴交点，分出上下区域，写出对应； (2)两函数不等式： 画出，找交点，取图像在上方的； (3)解集写成区间，零点带等号包含，不含则剔除。 3.易错提醒 区间端点等号判断错误；混淆“上方”“下方”解集颠倒。 【例7】（2026高三·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解. 【详解】由题可得，由于图像关于对称，所以，， 得，， 所以不等式，即的解集为. 【变式7-1】（2026高一·天津滨海新区·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴右侧的图象，如图所示. (1)画出函数在y轴左侧的图象，根据图象写出函数在R上的单调递减区间； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)根据图象求不等式的解集. 【答案】(1) 单调递减区间为， (2)任取且， 则 ∵，∴，，即， ∴， ∴. ∴函数在上单调递增. (3)或. 【分析】（1）求出解析式，画出二次函数图象，再结合图象得出递减区间； （2）利用定义证明单调性； （3）根据图象解不等式. 【详解】（1）当时，，则， 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 则， 因为， 则画出函数在y轴左侧的图象，如图所示， 结合函数的图象，可得函数在上的单调递减区间为，. （2）略 （3）结合图象可得，当时，，或， 故不等式的解集为或. 【变式7-2】（2026高一·云南红河·期中）已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数图象，分别确定函数值为正及为负时的取值范围，再求出不等式的解集. 【详解】观察图象，函数满足，当时，，当时，； 函数满足，当时，，当或时，； 由不等式，得，则， 所以原不等式的解集为. 故选：C 【变式7-3】（2026高一·福建宁德·期中）函数的图象是圆心在原点，半径为1的圆的两段弧（如图所示），则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定函数为奇函数，然后将原不等式进行化简，进而可根据图象求出解集. 【详解】根据图象可知函数是定义在上的奇函数，故. 故原不等式转化为，即，如图所示： 由图可知. 要使得不等式成立，根据图象可知不等式的解集为. 故选：A. ▌题型08根据图象求参变量的取值范围 1.核心逻辑 图像动态平移、旋转，抓住临界位置（相切、过定点、交点个数变化），临界列等式，区间列不等式。 2.解题步骤 (1)固定定函数图像，分析含参函数图像随参数变化规律； (2)找到临界图像：相切、恰好交于一点、过特殊点； (3)临界状态联立方程，利用、定点代入求出临界参数； (4)根据交点多少、上下位置要求，判断参数大于/小于临界值； (5)取所有约束条件交集，写出参数范围。 3.易错提醒 临界值等号取舍出错；只看一个临界条件，遗漏多重图像约束。 【例8】（2026高三·江苏苏州·竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 【变式8-1】（2026高三·全国·专题练习）若，方程恰有四个互不相等的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】画出的图象，数形结合进行求解. 【详解】， 同一坐标系内，画出与的图象如下： 由图可知，恰有四个互不相等的实数根，则， 设，则， 故， 由于，故，所以. 【变式8-2】【多选】（2026高一·福建厦门·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式代值计算即可判断A；根据分段函数解析式，分别求得值域，求并集即可判断B；画出函数图象即可判断CD． 【详解】A选项，，A选项正确； B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确； C选项，由图象可知，函数的单调递增区间为，所以C选项错误； D选项，由图可知，若有三个不等实根，则直线与图象有三个不同交点，由数形结合得，当时符合，故D选项正确． 【变式8-3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程可化为， 因为方程恰有10个不相等的实数根， 所以方程有两个不等实根，， 设，则，， 令，则，解得， 故实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13函数图象问题8种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型01画出具体函数图象 题型02函数图象的变换 题型03函数图像的识别 题型04根据函数图象选择解析式 题型05根据实际问题作函数图象 题型06根据图象研究函数的性质 题型07根据图象解不等式 题型08根据图象求参变量的取值范围 ▌题型01画出具体函数图象 1.核心逻辑 五点作图、分段作图、基础函数平移作图三步法。关键点：零点、顶点、交点、渐近线、端点。 2.解题步骤 (1)分析函数类型：一次/二次/反比例/指数对数/分段函数； (2)求关键特征点： ①二次函数：顶点、与轴交点、与轴交点； ②分式/对数：定义域、渐近线； ③分段函数：分段点、每段端点； (3)取辅助点，平滑连接；分段函数分段画，空心圈表示取不到，实心点表示可取。 3.易错提醒 (1)分段分界点虚实标记错误； (2)对数、分式遗漏渐近线，图像无限靠近坐标轴却相交； (3)二次函数顶点、开口方向画反。 【例1】（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【变式1-1】（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【变式1-2】作出函数的图象. 【变式1-3】（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式． ▌题型02函数图象的变换 1.核心逻辑 四类基础变换：平移、对称、伸缩、翻折。口诀：左加右减自变量，上加下减常数项；变左右，变上下。 变换公式（原图像） (1)左右平移：，左加，右减； (2)上下平移：，上加，下减； (3)对称变换： ①关于轴：；关于轴：；关于原点：； ②关于：； (4)伸缩变换： ①轴伸缩：，横向压缩，横向拉长； ②轴伸缩：，纵向拉伸，纵向压缩； (5)翻折变换： ①：轴下方图像翻到上方； ②：保留轴右侧，右侧图像对称翻到左侧。 2.解题步骤 (1)找到基础母函数图像； (2)按顺序分步变换（先伸缩平移，后对称翻折）； (3)跟踪顶点、零点、渐近线等关键点同步变换。 3.易错提醒 (1)左右平移只改变，容易给整个式子加减； (2)不会先提取系数再平移，平移距离算错； (3)两种绝对值翻折图像混淆。 【例2】（2026高三·全国·一轮复习）函数的图象如图所示，那么函数的图象是（） A． B． C． D． 【变式2-1】【多选】（2026高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高一·河北邢台·开学考试）已知函数的图象如图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·重庆·模拟预测）若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（    ） A．B． C．D． ▌题型03函数图像的识别 1.核心逻辑 排除法，分层筛选：定义域奇偶对称特殊点函数值单调性、极限趋势。 2.解题步骤 (1)看定义域：剔除图像出现无定义区间的选项； (2)判奇偶：偶函数左右对称，奇函数中心对称，排除不对称图像； (3)代特殊值，看正负，筛除矛盾图像； (4)看趋势：函数增减、趋近值； (5)看零点、极值点个数，匹配剩余选项。 3.易错提醒 只看局部增减，忽略定义域、极限趋势导致选错。 【例3】（2026高一·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【变式3-1】（2026高一·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高一·浙江杭州·期中）函数的大致图象是（   ） A．B． C．D． 【变式3-3】【多选】下列可能是函数（其中的图象的是（    ） A． B． C． D． ▌题型04根据函数图象选择解析式 1.核心逻辑 从图像提取特征，反向锁定函数类型，代入点求参数。 2.解题步骤 (1)由图像形状判断函数模型：直线一次；抛物线二次；双曲线反比例；曲线升降快慢指数/对数； (2)提取图像关键条件：零点、顶点、渐近线、对称、过定点； (3)设对应解析式，代入图像上已知点列方程求参数； (4)检验增减、正负区间，验证解析式与图像完全匹配。 3.易错提醒 函数模型判断错误；代入点计算参数符号出错。 【例4】（2026·全国·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A．B． C． D． 【变式4-1】（2026高三·天津·开学考试）已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（ ）. A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高一·天津武清·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（2026高二·浙江绍兴·阶段检测）“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（　　） A． B． C． D． ▌题型05根据实际问题作函数图象 1.核心逻辑 先建立变量关系，结合实际意义：自变量、函数值均非负，间断点、匀速/变速对应直线/曲线。 2.解题步骤 (1)审题设变量，写出实际函数关系式； (2)确定实际定义域（时间、长度、销量不能为负）； (3)判断变化规律：匀速变化是直线，增速/减速变化是曲线； (4)标记特殊节点：起点、终点、转折节点，区分空心/实心； (5)分段问题分段绘制图像。 3.易错提醒 忽略实际限制画出负半轴图像；转折点虚实不分。 【例5】（2026高三·全国·专题练习）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026高一·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【变式5-2】（2026高二·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026高一·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． ▌题型06根据图象研究函数的性质 1.核心逻辑 图像直观对应所有代数性质：上升=递增，下降=递减；高低=函数值大小；对称=奇偶/轴对称；与轴交点=零点。 2.解题步骤 (1)定义域：图像所有点横坐标范围；值域：所有点纵坐标范围； (2)单调区间：从左往右上升区间为增，下降区间为减； (3)奇偶/对称：图像关于轴偶，关于原点奇； (4)零点：图像与轴交点横坐标；极值：图像峰顶谷底横坐标； (5)周期性：图像重复出现，可读出周期。 3.易错提醒 单调区间之间不能用“”连接，只能用逗号隔开；分不清极大、极小值点。 【例6】（2026高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式6-1】【多选】（2026高一·全国·专题练习）（多选题）已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【变式6-2】（假期必刷7函数的图象）记号表示不超过的最大整数，则的图象与直线的图象的交点个数是________． 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（   ）    A．的定义域是 B．的值域是 C． D．只与的一个值对应的值的范围是 ▌题型07根据图象解不等式 1.核心逻辑 数形结合：取图像在轴上方的范围；取图像在轴下方的范围；两个函数比较看上下位置。 2.解题步骤 (1)单函数不等式： 找到图像与轴交点，分出上下区域，写出对应； (2)两函数不等式： 画出，找交点，取图像在上方的； (3)解集写成区间，零点带等号包含，不含则剔除。 3.易错提醒 区间端点等号判断错误；混淆“上方”“下方”解集颠倒。 【例7】（2026高三·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026高一·天津滨海新区·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴右侧的图象，如图所示. (1)画出函数在y轴左侧的图象，根据图象写出函数在R上的单调递减区间； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)根据图象求不等式的解集. 【变式7-2】（2026高一·云南红河·期中）已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 【变式7-3】（2026高一·福建宁德·期中）函数的图象是圆心在原点，半径为1的圆的两段弧（如图所示），则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． ▌题型08根据图象求参变量的取值范围 1.核心逻辑 图像动态平移、旋转，抓住临界位置（相切、过定点、交点个数变化），临界列等式，区间列不等式。 2.解题步骤 (1)固定定函数图像，分析含参函数图像随参数变化规律； (2)找到临界图像：相切、恰好交于一点、过特殊点； (3)临界状态联立方程，利用、定点代入求出临界参数； (4)根据交点多少、上下位置要求，判断参数大于/小于临界值； (5)取所有约束条件交集，写出参数范围。 3.易错提醒 临界值等号取舍出错；只看一个临界条件，遗漏多重图像约束。 【例8】（2026高三·江苏苏州·竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【变式8-1】（2026高三·全国·专题练习）若，方程恰有四个互不相等的实数根，则的取值范围是______. 【变式8-2】【多选】（2026高一·福建厦门·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 【变式8-3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $