专题15 函数的应用（一）5种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以5类函数模型为核心，通过“核心逻辑+解题步骤+易错提醒”构建系统方法体系，聚焦实际应用问题的数学建模与求解。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数模型|例1+7变式|待定系数法求解析式，结合定义域与单调性求最值|匀速变化问题的线性表达，体现数学建模的直观性| |二次函数模型|例2+7变式|顶点式化归，定义域内最值分类讨论|最值问题的二次表达，培养逻辑推理与运算能力| |分段函数模型|例3+7变式|区间划分与解析式分段构建，分段点检验|多规则问题的分段处理，发展数学抽象与应用意识| |分式函数模型|例4+7变式|分离常数法，基本不等式或单调性求最值|含分母问题的转化策略，提升数学思维的灵活性| |幂函数模型|例5+7变式|幂函数类型识别，单调性与定义域限制应用|比例关系的幂函数表达，强化数学语言的精确性|

专题15 函数的应用（一）5种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 一次函数模型应用 题型 02 二次函数模型应用 题型 03 分段函数模型应用 题型 04 分式函数模型应用 题型 05 幂函数模型应用 ▌题型01 一次函数模型应用 1.核心逻辑 形如，图像为直线，适用于匀速变化问题（如单价固定收费、行程匀速、固定提成等）；时递增，时递减。 2.解题步骤 (1)审题，设自变量，因变量； (2)找两组实际数据，用待定系数法代入求，写出解析式； (3)根据实际限制写出定义域（如人数、数量、时间，且通常为整数等）； (4)根据增减性，在区间端点取最大值或最小值； (5)作答，答案需贴合实际文字表述。 3.易错提醒 (1)忘记写实际定义域，直接用全体实数计算； (2)忽略自变量为非负整数（如商品件数、人数不能为小数）。 【例1】为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元． (1)求出关于的函数解析式． (2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用． 【答案】(1) (2)学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 【分析】（1）根据题意,构造等量关系式,求出函数关系式; （2）先求出自变量取值范围,再根据函数单调性求解即可. 【详解】（1）因为购买A型笔记本电脑台，所以购买B型笔记本电脑（）台， 所以， 所以关于的函数解析式为． （2）因为学校预算不超过9万元，购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多， 所以解得， 而为整数，故可取，学校共有6种购买方案． 由，因为，所以函数单调递减， 又且为整数，所以当时，有最小值， 最小值，此时． 故学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 【变式1-1】（2026高一·湖北咸宁·自主招生）某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 明天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想 是 的什么函数，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价） (3)为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，求 的取值范围． 【答案】(1) (2)50元/件；9000 (3) 【分析】（1）根据表格中数据进行描点作图，并猜想函数关系为一次函数，从而求解； （2）求出利润的关系式，从而可求解； （3）求出捐赠后的利润，根据二次函数性质求得，从而可求解. 【详解】（1）如下图，由图猜想与是一次函数，设这个函数为， 又这个函数图象过两点，， 所以，解得， 所以函数关系式为. （2）由（1）知总销售额为，设利润为， 所以总利润为， 当时，有最大值元. （3）由题意可得设扣除捐赠后的利润为， 因为，所以抛物线开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大。 所以时，有最大值， 又因为当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大， 所以，解得，又因为， 所以的取值范围为. 【变式1-2】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点．    (1)当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）． 【答案】(1)； (2)在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析. 【分析】（1）当时，利用二次函数顶点式求得函数解析式. （2）利用分段函数解不等式，由此求得学习效果最佳的时间段. 【详解】（1）当时，设，而点在该二次函数图象上， 则，解得， 所以所求函数关系为. （2）当时，设，由线段过点、， 得，解得，则， 依题意，，则由（1）得，当时，或当时，， 解得或，因此， 所以老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 【变式1-3】（2026高一·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元 (2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个；最大利润是992元 【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．再根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）先设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元，再根据题意可以写出w和a的函数关系式，再根据题意求得a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值． 【详解】（1）设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元． 得，解得， 所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元． （2）设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元， 则， 因为，所以w随a增大而增大， 又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 即，解得， 所有当时，w最大，此时，， 答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元． 【变式1-4】（2026高一·浙江杭州·开学考试）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone6手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. (1)一月Iphone6手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案? (3)该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值? 【答案】(1)一月Iphone4每台售价为4500元 (2)有5种进货方案 (3) 【分析】（1）设一月Iphone6手机的每台售价为元，根据题意得到，即可求解； （2）设购进Iphone6手机为台，由题意得到，求得的范围，即可求解； （3）设总获利元，得到，结合，即可求解. 【详解】（1）解：设一月Iphone6手机的每台售价为元，则二月Iphone6手机的售价为元， 根据题意，可得，解得（元）， 即一月Iphone6手机每台售价为元. （2）解：设购进Iphone6手机为台，则购进的Iphone6手机为台， 根据题意，可得，解得， 因为，所以的取值为，共有种进货方案. （3）解：二月Iphone6手机每台售价为（元）， 设总获利元，则， 令，可得， 即当时，（2）中所有的方案获利相同. 【变式1-5】（2026高一·安徽合肥·期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元． (1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式 (2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围． 【答案】(1) 且 (2) 【分析】（1）由总的保管费收入等于停放的自行车保管费加停放的电动车保管费写出函数解析式和定义域即可. （2）根据题意确定函数的定义域，在此定义域范围内研究函数的值域即可. 【详解】（1）由题意得， 且. （2）若电动车的辆次数不小于，但不大于， 则，即且， ∴且 ∵ ， ∴在上单调递减， 当时，函数取得最大值为1330，当时，函数取得最小值为1225， ∴的值域是，即收入在元至元之间. 【变式1-6】（2026高一·安徽·期中）刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表： 套餐 月租 本地话费 长途话费 套餐甲 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 套餐乙 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． (1)设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数； (2)请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的套餐． 【答案】(1)，； (2) 当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱； 当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱； 当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样． 【分析】（1）由题可知他每月接打本地电话时间为，接打长途，结合条件即得； （2）利用作差法，然后分类讨论即得. 【详解】（1）因为刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍， 所以他每月接打本地电话时间为，接打长途． 若选择套餐甲，则月租12元，本地话费，长途话费， 则； 若选择套餐乙，则月租0元，本地话费，长途话费， 则． （2）∵， 当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱； 当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱； 当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样． 【变式1-7】（2026高一·全国·课堂例题）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法： （1）买一个茶壶赠送一个茶杯． （2）按购买总价的92%付款． 某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法． 【答案】优惠办法（1）：，优惠办法（2）：；选择优惠办法（2）. 【分析】根据已知条件写出两种优惠办法对应解析式，再将代入解析式求，比较不同优惠下的大小，选择优惠办法． 【详解】由优惠办法（1）可得函数解析式为； 由优惠办法（2）可得函数解析式为． 当该顾客买茶杯40个时，采用（1）应付款（元）；采用（2）应付款（元）． 由于，故选择优惠办法（2）． ▌题型02 二次函数模型应用 1.核心逻辑 ，对应最值类问题：如利润最大化、面积最大、用料最少；开口向上有最小值，开口向下有最大值。 2.解题步骤 (1)梳理等量关系，列出二次函数表达式； (2)配方法化为顶点式，顶点为理论最值点； (3)结合实际定义域，分两种情况： ①顶点横坐标在定义域内：最值就是顶点纵坐标； ②顶点不在定义域内：最值在区间左右端点取； (4)验证自变量取值符合现实，写出最终答案。 3.易错提醒 (1)只看顶点，忽略定义域导致最值取错； (2)利润公式混淆：总利润=单件利润×数量。 【例2】【多选】（2026高一·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式2-1】（2026高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 【变式2-2】（2026高一·北京大兴·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个多边形菜园，地块矩形，矩形为水塘．已知，设（单位：），（单位：），多边形形菜园的面积为（单位：）． (1)写出用表示的关系式； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，根据已知多边形周长列出关于的方程，得出表示的关系式； （2）利用（1）中的关系式，结合多边形图形列出面积的表达式，再利用二次函数的性质求出的最大值． 【详解】（1），多边形周长为， 设， ，则， ． （2）， ， 当时，取最大值． 【变式2-3】（2026高一·安徽·阶段检测）已知某型号光刻机的温度控制系统通过调节冷却液流量，单位：来控制温度，实验发现，光刻胶的热膨胀系数（单位：）与冷却液流量满足关系式，同时，为了确保光刻精度，热膨胀系数必须满足不等式． (1)要使满足光刻精度要求，求的取值范围； (2)在满足光刻精度要求的条件下，求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)的最小值为11，最大值为27 【分析】（1）根据题意列不等式，解一元二次不等式即可求解； （2），根据一元二次函数性质求得最值即可. 【详解】（1）根据题意得，化简得， 即，解得， 又，所以，所以的取值范围为； （2），该函数的图象是一条开口向上的抛物线， 其最小值在顶点处取得，即当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为； 综上，的最小值为11，最大值为27. 【变式2-4】（2026高一·吉林白城·阶段检测）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大． 【答案】(1) (2)35元 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，销售量， 则． （2） ． ∵，∴函数图象为开口向下的抛物线，w有最大值， 又∵对称轴为直线，∴当时，， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大． 【变式2-5】（2026高一·江苏无锡·阶段检测）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 【变式2-6】（2026高一·全国·课后作业）某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)53台 (2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为160000元 【分析】（1）待定系数法得到，将代入，求出答案； （2）设月利润为元，则，从而得到最大利润. 【详解】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 【变式2-7】（2026高一·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)元，元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. ▌题型03 分段函数模型应用 1.核心逻辑 不同区间规则不同（如阶梯收费、分段计价、超额加价），每一段独立为一次或二次函数，分段区间不重复、不遗漏。 2.解题步骤 (1)划分自变量区间，明确每一段的收费/计算规则； (2)逐段列出对应函数解析式，标注本段范围； (3)求值时先判断自变量落在哪一段，再代入对应式子； (4)求值域/最值：每段单独求取值范围，再整合全部区间； (5)分段点统一检验，保证区间连续合理。 3.易错提醒 (1)分段区间边界重复或漏掉； (2)代入解析式时选错对应区间表达式。 【例3】（2026高一·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 【变式3-1】（2026高一·江苏徐州·期末）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元 【分析】（1）先设月产量为台，写出总成本进而得出利润函数的解析式； （2）分两段求出函数的最大值：当时和当时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可. 【详解】（1）设月产量为台，利润为元，则总成本为元， 因， 则当时，； 当 时，. 故； （2）当时，， 所以当时，取得最大值25000； 当时，是减函数， 所以. 所以当时，的最大值为25000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 【变式3-2】（2026高一·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 【分析】（1）依题意可得，结合的解析式计算可得； （2）首先表示出，再由基本不等式及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 【变式3-3】（2026高一·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)6万盏时所获年利润最大，最大年利润是110万元 【分析】（1）根据题设条件，求解分段函数的表达式即可； （2）利用二次函数和基本不等式求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解. 【详解】（1）由题意知，鱼灯的售价为80元／盏，则2026年生产的万盏鱼灯售万元， 当时， ， 当时， ， 所以，. （2）当时时，， 所以时，取到最大值108. 当时，， 当且仅当时，取到最大值110. 综上可得：该厂家2026年的产量为6万盏时，所获年利润最大，最大年利润是110万元. 【变式3-4】（2026高一·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本 (3)当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元 【分析】（1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分、和三种情况，结合函数单调性和基本不等式求出的最大值，再比较即可得解. 【详解】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. （2）由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. （3）当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 【变式3-5】（2026高一·四川遂宁·期末）为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂．经市场调研，生产需投入年固定成本为10万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足10万件时，（万元），在年产量不小于10万件时，（万元），每件产品的售价为8元，且该厂生产的产品当年能全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入-固定成本-流动成本） (2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)万件，最大利润为万元 【分析】（1）根据题意，分别求得和时，函数的解析式，进而得到函数的解析式； （2）当时，利用二次函数的性质，求得万元；当时，利用基本不等式，求得万元，进而得到答案. 【详解】（1）由题意知，当时，； 当时，， 所以. （2）当时，， 此时是开口向下的二次函数，且对称轴为， 所以在区间单调递增，当时，万元； 当时，， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以万元， 所以当年产量为万件时，利润最大，最大利润为万元. 【变式3-6】（2026高一·上海静安·期末）某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：. (1)设，求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； (2)该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】(1) (2)110吨 【分析】（1）根据自变量范围和分段函数解析式，列出不等式，求出结果即可； （2）根据分段函数解析式，写出每吨的平均处理成本解析式，进而根据二次函数性质和基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意可得,月处理成本不超过30000元， 即为，解得， 可得月处理量x的取值范围为； （2）由题意可得每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号，取得最小值； 综上，当月处理量为110吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【变式3-7】（2026高一·广东珠海·阶段检测）随着港珠澳大桥和深中通道的开通，珠海某村依托区位优势，大力发展民宿旅游产业.为增加村民收入，村集体计划投资改造一批精品民宿并于2026年初投入运营.据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级等）20万元.此外，装修及维护x栋民宿的变动成本为万元，且.调研数据显示，每间装修好的民宿预计2026年一年可带来稳定的30万元收入. (1)若装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有多少万元？ (2)请将该批民宿改造后的2026年年利润（万元）表示为装修数量（栋）的函数关系式： (3)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值. （附：年利润＝年收入－变动成本－固定成本） 【答案】(1) (2) (3)投资栋民宿时获得的利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）求出，再根据题意求利润即可得到答案； （2）利用利润等于收入减去成本求解函数关系即可； （3）根据二次函数性质及基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）当时，， 根据题意，利润为， 所以装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有万元. （2）由题意可得， 当时，， 当时，， 所以. （3）当时，， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为， 当时，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为， 所以投资栋民宿时获得的利润最大，最大利润为万元. ▌题型04 分式函数模型应用 1.核心逻辑 式子含分母，可分离常数转化为反比例型；求最值优先用基本不等式，需满足“一正、二定、三相等”；无相等条件则用单调性。 2.解题步骤 (1)根据题意列出分式函数，标注分母和实际定义域； (2)分离常数，简化函数形式； (3)求最值二选一： ①均值不等式：验证正数、乘积/和为定值、等号可取； ②判断单调性，在定义域端点求最值； (4)检验等号成立的自变量是否在实际取值范围内。 3.易错提醒 (1)使用基本不等式不检验“三相等”，等号取不到直接使用； (2)忽略实际场景对的正数限制。 【例4】（2026高一·河南·阶段检测）某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 【答案】(1) (2)（i）万元；（ii）万元 【分析】（1）由条件可知，代入的表示可得结果； （2）（i）令，根据对勾函数的单调性分析出的取值范围，则结果可求；（ii）根据的值以及设备的剩余价值可计算出总获利. 【详解】（1）由条件可知，，， 所以， 所以. （2）（i）因为，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在时取得最大值，所以， 所以且，解得， 所以购买该设备的最低价为万元； （ii）当时，， 使用年后设备的剩余价值为万元， 所以使用年后的总获利为万元. 【变式4-1】（2026高一·江苏南通·专题练习）某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 【答案】(1)万元 (2)当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元 【分析】（1）根据题意补贴为0，再结合收益销售金额成本，列出算式，即可求解； （2）设获政府补贴万元时，收益为万元，求得，结合基本不等式，得到的最大值，及其相应的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意得，当该企业没有政府补贴时，收益销售金额成本， 即：万元； （2）解：设获政府补贴万元时，收益为万元， 则，其中， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以不是申请的政府补贴越多，收益越大，当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元． 【变式4-2】（2026高一·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 【变式4-3】（2026高一·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）某化工厂引进一条龙先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润. 【答案】(1)年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨； (2)年产量为100吨时，最大利润为900万元. 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1），， 当且仅当时，即取等号，符合题意； ∴年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨. （2）， 又，当时，. 答：年产量为100吨时，最大利润为900万元. 【变式4-4】（2026高一·辽宁沈阳·期中）为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理．已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年．建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为．已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是为常数）．记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）． (1)写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值． 【答案】(1) (2)时，最小，最小值为万元. 【分析】(1)先由时求出，再结合建造费用和20年垃圾处理费用，构建关于的函数. (2)利用均值不等式求出的最小值及此时的值。 【详解】（1）因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，即时，， 所以，由题意，则建造垃圾回收处理站的费用， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此 （2）因为， 当且仅当，即时取等号，所以时， 最小，最小值为万元. 【变式4-5】（2026高一·河北沧州·阶段检测）某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 【答案】(1) (2)的最大值为，此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）将函数配凑为，利用基本不等式即可求得最大值，并根据取等条件得到两个项目分配的资金. 【详解】（1）分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，则分配给电商服务站搭建项目的资金为万元， . （2）由（1） ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为. 此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【变式4-6】（2026高一·江苏镇江·阶段检测）某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元. (1)求总造价关于的表达式，并求出的最小值； (2)由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围. 【答案】(1)，最小值为万元； (2). 【分析】（1）根据已知用表示出地面的另一边，进而求出墙面面积，再写出表达式，应用基本不等式求最值，注意取值条件； （2）由已知得，整理为一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，地面另一边的长度为米，则墙面面积为平方米， 所以，而， 当且仅当米时取等号，则的最小值为万元； （2）由题意，可得， 所以，即. 【变式4-7】（2026高一·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． (1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求． (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为730000元 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）借助二次函数性质计算即可得. 【详解】（1）由， 得， 解得或，因为，所以； （2）生产该产品获得的利润为，． 令，则， 所以当时，利润取得最大值，最大值为730000， 故该厂以的生产速度生产时，利润有最大值，最大值为730000元． ▌题型05 幂函数模型应用 1.核心逻辑 模型，包含正比例、反比例、根式应用题；偶次根式隐含被开方数，负指数隐含自变量。 2.解题步骤 (1)依据变量比例关系建立幂函数； (2)识别指数类型：分数根式、正负整数，写出定义域限制； (3)利用幂函数单调性比较大小或求解最值； (4)根式问题保证根号内代数式非负，结合实际取舍答案。 3.易错提醒 (1)偶次根式遗漏被开方数； (2)负指数忘记，取值出现无意义的0。 【例5】（2026高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 【变式5-1】（2026高一·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【答案】(1)， (2)最大利润，生产B投入 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 【变式5-2】（2026·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【详解】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 【变式5-3】（2026高一·福建宁德·阶段检测）为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. (1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； (2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 【答案】(1)解析式为①和② (2)时长为 【分析】（1）根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择①②，再代入点的坐标求得参数值即可得出解析式； （2）由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式，即可得出结论. 【详解】（1）易知模型③在上单调递减，因此可排除； 因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意； 又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意； 因此在时，， 当时，； 结合图象可知经过点、； 即，解得，即； 函数经过点、， 即，解得，即； 因此符合题意的两函数解析式为①和②. （2）因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上可得，当时，满足题意； 因此该水域生态环境最佳的时长为. 【变式5-4】（2026高一·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 【变式5-5】（2026高一·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【变式5-6】（2026高一·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大；当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等；当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 【变式5-7】（2026高一·广东珠海·期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 【答案】(1)更适合作为与的函数模型 (2)果树数量为时年利润最大 【分析】（1）将点代入和，求出两个函数，然后将和代入， 看哪个算出的数据接近实际数据哪个就更适合作为与的函数模型. （2）根据（1）可得，利用二次函数的性质求最大利润. 【详解】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 与表格中的和相差较大， 所以不适合作为与的函数模型. ②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 刚好与表格中的和相符合， 所以更适合作为与的函数模型. （2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为， 令，则 经计算，当时，取最大值（万元）， 即，时（每亩约38棵），利润最大. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 函数的应用（一）5种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 一次函数模型应用 题型 02 二次函数模型应用 题型 03 分段函数模型应用 题型 04 分式函数模型应用 题型 05 幂函数模型应用 ▌题型01 一次函数模型应用 1.核心逻辑 形如，图像为直线，适用于匀速变化问题（如单价固定收费、行程匀速、固定提成等）；时递增，时递减。 2.解题步骤 (1)审题，设自变量，因变量； (2)找两组实际数据，用待定系数法代入求，写出解析式； (3)根据实际限制写出定义域（如人数、数量、时间，且通常为整数等）； (4)根据增减性，在区间端点取最大值或最小值； (5)作答，答案需贴合实际文字表述。 3.易错提醒 (1)忘记写实际定义域，直接用全体实数计算； (2)忽略自变量为非负整数（如商品件数、人数不能为小数）。 【例1】为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元． (1)求出关于的函数解析式． (2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用． 【变式1-1】（2026高一·湖北咸宁·自主招生）某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 明天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想 是 的什么函数，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价） (3)为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，求 的取值范围． 【变式1-2】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点．    (1)当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）． 【变式1-3】（2026高一·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【变式1-4】（2026高一·浙江杭州·开学考试）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone6手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. (1)一月Iphone6手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案? (3)该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值? 【变式1-5】（2026高一·安徽合肥·期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元． (1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式 (2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围． 【变式1-6】（2026高一·安徽·期中）刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表： 套餐 月租 本地话费 长途话费 套餐甲 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 套餐乙 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． (1)设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数； (2)请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的套餐． 【变式1-7】（2026高一·全国·课堂例题）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法： （1）买一个茶壶赠送一个茶杯． （2）按购买总价的92%付款． 某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法． ▌题型02 二次函数模型应用 1.核心逻辑 ，对应最值类问题：如利润最大化、面积最大、用料最少；开口向上有最小值，开口向下有最大值。 2.解题步骤 (1)梳理等量关系，列出二次函数表达式； (2)配方法化为顶点式，顶点为理论最值点； (3)结合实际定义域，分两种情况： ①顶点横坐标在定义域内：最值就是顶点纵坐标； ②顶点不在定义域内：最值在区间左右端点取； (4)验证自变量取值符合现实，写出最终答案。 3.易错提醒 (1)只看顶点，忽略定义域导致最值取错； (2)利润公式混淆：总利润=单件利润×数量。 【例2】【多选】（2026高一·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【变式2-1】（2026高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【变式2-2】（2026高一·北京大兴·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个多边形菜园，地块矩形，矩形为水塘．已知，设（单位：），（单位：），多边形形菜园的面积为（单位：）． (1)写出用表示的关系式； (2)求的最大值． 【变式2-3】（2026高一·安徽·阶段检测）已知某型号光刻机的温度控制系统通过调节冷却液流量，单位：来控制温度，实验发现，光刻胶的热膨胀系数（单位：）与冷却液流量满足关系式，同时，为了确保光刻精度，热膨胀系数必须满足不等式． (1)要使满足光刻精度要求，求的取值范围； (2)在满足光刻精度要求的条件下，求的最小值和最大值． 【变式2-4】（2026高一·吉林白城·阶段检测）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大． 【变式2-5】（2026高一·江苏无锡·阶段检测）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【变式2-6】（2026高一·全国·课后作业）某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【变式2-7】（2026高一·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ ▌题型03 分段函数模型应用 1.核心逻辑 不同区间规则不同（如阶梯收费、分段计价、超额加价），每一段独立为一次或二次函数，分段区间不重复、不遗漏。 2.解题步骤 (1)划分自变量区间，明确每一段的收费/计算规则； (2)逐段列出对应函数解析式，标注本段范围； (3)求值时先判断自变量落在哪一段，再代入对应式子； (4)求值域/最值：每段单独求取值范围，再整合全部区间； (5)分段点统一检验，保证区间连续合理。 3.易错提醒 (1)分段区间边界重复或漏掉； (2)代入解析式时选错对应区间表达式。 【例3】（2026高一·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【变式3-1】（2026高一·江苏徐州·期末）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 【变式3-2】（2026高一·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【变式3-3】（2026高一·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式3-4】（2026高一·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【变式3-5】（2026高一·四川遂宁·期末）为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂．经市场调研，生产需投入年固定成本为10万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足10万件时，（万元），在年产量不小于10万件时，（万元），每件产品的售价为8元，且该厂生产的产品当年能全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入-固定成本-流动成本） (2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式3-6】（2026高一·上海静安·期末）某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：. (1)设，求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； (2)该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【变式3-7】（2026高一·广东珠海·阶段检测）随着港珠澳大桥和深中通道的开通，珠海某村依托区位优势，大力发展民宿旅游产业.为增加村民收入，村集体计划投资改造一批精品民宿并于2026年初投入运营.据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级等）20万元.此外，装修及维护x栋民宿的变动成本为万元，且.调研数据显示，每间装修好的民宿预计2026年一年可带来稳定的30万元收入. (1)若装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有多少万元？ (2)请将该批民宿改造后的2026年年利润（万元）表示为装修数量（栋）的函数关系式： (3)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值. （附：年利润＝年收入－变动成本－固定成本） ▌题型04 分式函数模型应用 1.核心逻辑 式子含分母，可分离常数转化为反比例型；求最值优先用基本不等式，需满足“一正、二定、三相等”；无相等条件则用单调性。 2.解题步骤 (1)根据题意列出分式函数，标注分母和实际定义域； (2)分离常数，简化函数形式； (3)求最值二选一： ①均值不等式：验证正数、乘积/和为定值、等号可取； ②判断单调性，在定义域端点求最值； (4)检验等号成立的自变量是否在实际取值范围内。 3.易错提醒 (1)使用基本不等式不检验“三相等”，等号取不到直接使用； (2)忽略实际场景对的正数限制。 【例4】（2026高一·河南·阶段检测）某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 【变式4-1】（2026高一·江苏南通·专题练习）某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 【变式4-2】（2026高一·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【变式4-3】（2026高一·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）某化工厂引进一条龙先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润. 【变式4-4】（2026高一·辽宁沈阳·期中）为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理．已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年．建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为．已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是为常数）．记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）． (1)写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值． 【变式4-5】（2026高一·河北沧州·阶段检测）某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 【变式4-6】（2026高一·江苏镇江·阶段检测）某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元. (1)求总造价关于的表达式，并求出的最小值； (2)由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围. 【变式4-7】（2026高一·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． (1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求． (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． ▌题型05 幂函数模型应用 1.核心逻辑 模型，包含正比例、反比例、根式应用题；偶次根式隐含被开方数，负指数隐含自变量。 2.解题步骤 (1)依据变量比例关系建立幂函数； (2)识别指数类型：分数根式、正负整数，写出定义域限制； (3)利用幂函数单调性比较大小或求解最值； (4)根式问题保证根号内代数式非负，结合实际取舍答案。 3.易错提醒 (1)偶次根式遗漏被开方数； (2)负指数忘记，取值出现无意义的0。 【例5】（2026高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【变式5-1】（2026高一·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【变式5-2】（2026·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【变式5-3】（2026高一·福建宁德·阶段检测）为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. (1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； (2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 【变式5-4】（2026高一·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式5-5】（2026高一·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式5-6】（2026高一·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【变式5-7】（2026高一·广东珠海·期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 函数的应用（一）5种常见考法归类 ▌题型01 一次函数模型应用 【例1】【答案】(1) (2)学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 【分析】（1）根据题意,构造等量关系式,求出函数关系式; （2）先求出自变量取值范围,再根据函数单调性求解即可. 【详解】（1）因为购买A型笔记本电脑台，所以购买B型笔记本电脑（）台， 所以， 所以关于的函数解析式为． （2）因为学校预算不超过9万元，购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多， 所以解得， 而为整数，故可取，学校共有6种购买方案． 由，因为，所以函数单调递减， 又且为整数，所以当时，有最小值， 最小值，此时． 故学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 【变式1-1】【答案】(1) (2)50元/件；9000 (3) 【分析】（1）根据表格中数据进行描点作图，并猜想函数关系为一次函数，从而求解； （2）求出利润的关系式，从而可求解； （3）求出捐赠后的利润，根据二次函数性质求得，从而可求解. 【详解】（1）如下图，由图猜想与是一次函数，设这个函数为， 又这个函数图象过两点，， 所以，解得， 所以函数关系式为. （2）由（1）知总销售额为，设利润为， 所以总利润为， 当时，有最大值元. （3）由题意可得设扣除捐赠后的利润为， 因为，所以抛物线开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大。 所以时，有最大值， 又因为当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大， 所以，解得，又因为， 所以的取值范围为. 【变式1-2】【答案】(1)； (2)在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析. 【分析】（1）当时，利用二次函数顶点式求得函数解析式. （2）利用分段函数解不等式，由此求得学习效果最佳的时间段. 【详解】（1）当时，设，而点在该二次函数图象上， 则，解得， 所以所求函数关系为. （2）当时，设，由线段过点、， 得，解得，则， 依题意，，则由（1）得，当时，或当时，， 解得或，因此， 所以老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 【变式1-3】【答案】(1)冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元 (2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个；最大利润是992元 【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．再根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）先设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元，再根据题意可以写出w和a的函数关系式，再根据题意求得a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值． 【详解】（1）设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元． 得，解得， 所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元． （2）设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元， 则， 因为，所以w随a增大而增大， 又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 即，解得， 所有当时，w最大，此时，， 答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元． 【变式1-4】【答案】(1)一月Iphone4每台售价为4500元 (2)有5种进货方案 (3) 【分析】（1）设一月Iphone6手机的每台售价为元，根据题意得到，即可求解； （2）设购进Iphone6手机为台，由题意得到，求得的范围，即可求解； （3）设总获利元，得到，结合，即可求解. 【详解】（1）解：设一月Iphone6手机的每台售价为元，则二月Iphone6手机的售价为元， 根据题意，可得，解得（元）， 即一月Iphone6手机每台售价为元. （2）解：设购进Iphone6手机为台，则购进的Iphone6手机为台， 根据题意，可得，解得， 因为，所以的取值为，共有种进货方案. （3）解：二月Iphone6手机每台售价为（元）， 设总获利元，则， 令，可得， 即当时，（2）中所有的方案获利相同. 【变式1-5】【答案】(1) 且 (2) 【分析】（1）由总的保管费收入等于停放的自行车保管费加停放的电动车保管费写出函数解析式和定义域即可. （2）根据题意确定函数的定义域，在此定义域范围内研究函数的值域即可. 【详解】（1）由题意得， 且. （2）若电动车的辆次数不小于，但不大于， 则，即且， ∴且 ∵ ， ∴在上单调递减， 当时，函数取得最大值为1330，当时，函数取得最小值为1225， ∴的值域是，即收入在元至元之间. 【变式1-6】【答案】(1)，； (2) 当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱； 当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱； 当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样． 【分析】（1）由题可知他每月接打本地电话时间为，接打长途，结合条件即得； （2）利用作差法，然后分类讨论即得. 【详解】（1）因为刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍， 所以他每月接打本地电话时间为，接打长途． 若选择套餐甲，则月租12元，本地话费，长途话费， 则； 若选择套餐乙，则月租0元，本地话费，长途话费， 则． （2）∵， 当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱； 当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱； 当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样． 【变式1-7】【答案】优惠办法（1）：，优惠办法（2）：；选择优惠办法（2）. 【分析】根据已知条件写出两种优惠办法对应解析式，再将代入解析式求，比较不同优惠下的大小，选择优惠办法． 【详解】由优惠办法（1）可得函数解析式为； 由优惠办法（2）可得函数解析式为． 当该顾客买茶杯40个时，采用（1）应付款（元）；采用（2）应付款（元）． 由于，故选择优惠办法（2）． ▌题型02 二次函数模型应用 【例2】【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式2-1】【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 【变式2-2】【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，根据已知多边形周长列出关于的方程，得出表示的关系式； （2）利用（1）中的关系式，结合多边形图形列出面积的表达式，再利用二次函数的性质求出的最大值． 【详解】（1），多边形周长为， 设， ，则， ． （2）， ， 当时，取最大值． 【变式2-3】【答案】(1) (2)的最小值为11，最大值为27 【分析】（1）根据题意列不等式，解一元二次不等式即可求解； （2），根据一元二次函数性质求得最值即可. 【详解】（1）根据题意得，化简得， 即，解得， 又，所以，所以的取值范围为； （2），该函数的图象是一条开口向上的抛物线， 其最小值在顶点处取得，即当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为； 综上，的最小值为11，最大值为27. 【变式2-4】【答案】(1) (2)35元 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，销售量， 则． （2） ． ∵，∴函数图象为开口向下的抛物线，w有最大值， 又∵对称轴为直线，∴当时，， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大． 【变式2-5】【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 【变式2-6】【答案】(1)53台 (2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为160000元 【分析】（1）待定系数法得到，将代入，求出答案； （2）设月利润为元，则，从而得到最大利润. 【详解】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 【变式2-7】【答案】(1) (2)元，元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. ▌题型03 分段函数模型应用 【例3】【答案】(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 【变式3-1】【答案】(1) (2)当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元 【分析】（1）先设月产量为台，写出总成本进而得出利润函数的解析式； （2）分两段求出函数的最大值：当时和当时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可. 【详解】（1）设月产量为台，利润为元，则总成本为元， 因， 则当时，； 当 时，. 故； （2）当时，， 所以当时，取得最大值25000； 当时，是减函数， 所以. 所以当时，的最大值为25000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 【变式3-2】【答案】(1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 【分析】（1）依题意可得，结合的解析式计算可得； （2）首先表示出，再由基本不等式及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 【变式3-3】【答案】(1) (2)6万盏时所获年利润最大，最大年利润是110万元 【分析】（1）根据题设条件，求解分段函数的表达式即可； （2）利用二次函数和基本不等式求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解. 【详解】（1）由题意知，鱼灯的售价为80元／盏，则2026年生产的万盏鱼灯售万元， 当时， ， 当时， ， 所以，. （2）当时时，， 所以时，取到最大值108. 当时，， 当且仅当时，取到最大值110. 综上可得：该厂家2026年的产量为6万盏时，所获年利润最大，最大年利润是110万元. 【变式3-4】【答案】(1) (2)当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本 (3)当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元 【分析】（1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分、和三种情况，结合函数单调性和基本不等式求出的最大值，再比较即可得解. 【详解】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. （2）由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. （3）当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 【变式3-5】【答案】(1) (2)万件，最大利润为万元 【分析】（1）根据题意，分别求得和时，函数的解析式，进而得到函数的解析式； （2）当时，利用二次函数的性质，求得万元；当时，利用基本不等式，求得万元，进而得到答案. 【详解】（1）由题意知，当时，； 当时，， 所以. （2）当时，， 此时是开口向下的二次函数，且对称轴为， 所以在区间单调递增，当时，万元； 当时，， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以万元， 所以当年产量为万件时，利润最大，最大利润为万元. 【变式3-6】【答案】(1) (2)110吨 【分析】（1）根据自变量范围和分段函数解析式，列出不等式，求出结果即可； （2）根据分段函数解析式，写出每吨的平均处理成本解析式，进而根据二次函数性质和基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意可得,月处理成本不超过30000元， 即为，解得， 可得月处理量x的取值范围为； （2）由题意可得每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号，取得最小值； 综上，当月处理量为110吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【变式3-7】【答案】(1) (2) (3)投资栋民宿时获得的利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）求出，再根据题意求利润即可得到答案； （2）利用利润等于收入减去成本求解函数关系即可； （3）根据二次函数性质及基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）当时，， 根据题意，利润为， 所以装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有万元. （2）由题意可得， 当时，， 当时，， 所以. （3）当时，， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为， 当时，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为， 所以投资栋民宿时获得的利润最大，最大利润为万元. ▌题型04 分式函数模型应用 【例4】【答案】(1) (2)（i）万元；（ii）万元 【分析】（1）由条件可知，代入的表示可得结果； （2）（i）令，根据对勾函数的单调性分析出的取值范围，则结果可求；（ii）根据的值以及设备的剩余价值可计算出总获利. 【详解】（1）由条件可知，，， 所以， 所以. （2）（i）因为，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在时取得最大值，所以， 所以且，解得， 所以购买该设备的最低价为万元； （ii）当时，， 使用年后设备的剩余价值为万元， 所以使用年后的总获利为万元. 【变式4-1】【答案】(1)万元 (2)当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元 【分析】（1）根据题意补贴为0，再结合收益销售金额成本，列出算式，即可求解； （2）设获政府补贴万元时，收益为万元，求得，结合基本不等式，得到的最大值，及其相应的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意得，当该企业没有政府补贴时，收益销售金额成本， 即：万元； （2）解：设获政府补贴万元时，收益为万元， 则，其中， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以不是申请的政府补贴越多，收益越大，当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元． 【变式4-2】【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 【变式4-3】【答案】(1)年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨； (2)年产量为100吨时，最大利润为900万元. 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1），， 当且仅当时，即取等号，符合题意； ∴年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨. （2）， 又，当时，. 答：年产量为100吨时，最大利润为900万元. 【变式4-4】【答案】(1) (2)时，最小，最小值为万元. 【分析】(1)先由时求出，再结合建造费用和20年垃圾处理费用，构建关于的函数. (2)利用均值不等式求出的最小值及此时的值。 【详解】（1）因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，即时，， 所以，由题意，则建造垃圾回收处理站的费用， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此 （2）因为， 当且仅当，即时取等号，所以时， 最小，最小值为万元. 【变式4-5】【答案】(1) (2)的最大值为，此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）将函数配凑为，利用基本不等式即可求得最大值，并根据取等条件得到两个项目分配的资金. 【详解】（1）分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，则分配给电商服务站搭建项目的资金为万元， . （2）由（1） ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为. 此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【变式4-6】【答案】(1)，最小值为万元； (2). 【分析】（1）根据已知用表示出地面的另一边，进而求出墙面面积，再写出表达式，应用基本不等式求最值，注意取值条件； （2）由已知得，整理为一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，地面另一边的长度为米，则墙面面积为平方米， 所以，而， 当且仅当米时取等号，则的最小值为万元； （2）由题意，可得， 所以，即. 【变式4-7】【答案】(1) (2)，最大值为730000元 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）借助二次函数性质计算即可得. 【详解】（1）由， 得， 解得或，因为，所以； （2）生产该产品获得的利润为，． 令，则， 所以当时，利润取得最大值，最大值为730000， 故该厂以的生产速度生产时，利润有最大值，最大值为730000元． ▌题型05 幂函数模型应用 【例5】【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 【变式5-1】【答案】(1)， (2)最大利润，生产B投入 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 【变式5-2】【答案】B 【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【详解】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 【变式5-3】【答案】(1)解析式为①和② (2)时长为 【分析】（1）根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择①②，再代入点的坐标求得参数值即可得出解析式； （2）由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式，即可得出结论. 【详解】（1）易知模型③在上单调递减，因此可排除； 因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意； 又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意； 因此在时，， 当时，； 结合图象可知经过点、； 即，解得，即； 函数经过点、， 即，解得，即； 因此符合题意的两函数解析式为①和②. （2）因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上可得，当时，满足题意； 因此该水域生态环境最佳的时长为. 【变式5-4】【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 【变式5-5】【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【变式5-6】【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大；当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等；当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 【变式5-7】【答案】(1)更适合作为与的函数模型 (2)果树数量为时年利润最大 【分析】（1）将点代入和，求出两个函数，然后将和代入， 看哪个算出的数据接近实际数据哪个就更适合作为与的函数模型. （2）根据（1）可得，利用二次函数的性质求最大利润. 【详解】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 与表格中的和相差较大， 所以不适合作为与的函数模型. ②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 刚好与表格中的和相符合， 所以更适合作为与的函数模型. （2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为， 令，则 经计算，当时，取最大值（万元）， 即，时（每亩约38棵），利润最大. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $