第十六章 整式的乘法 阅读与思考 杨辉三角 （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版 八年级数学上册

阅读与思考 杨辉三角 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①杨辉三角：二项式系数排成的三角形数表； ②杨辉三角的规律：每行首尾都是1，中间每个数等于它肩上两个数之和； ③杨辉三角与(a+b)ⁿ展开式系数的关系； ④杨辉三角的历史：中国南宋数学家杨辉《详解九章算法》。 2. 与本节课相关的旧知识：完全平方公式、多项式乘多项式。 3. 预习时遇到的疑问：杨辉三角有什么规律？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①杨辉三角每行对应(a+b)ⁿ的展开式系数； ②每行数字左右对称； ③第n行有n+1个数。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 杨辉三角每行首尾都是____。 2. 杨辉三角中，中间每个数等于它肩上两个数之____。 3. (a+b)²的展开式系数为____。 4. (a+b)³的展开式系数为____。 5. 杨辉三角第n行有____个数。 6. 杨辉三角是中国古代数学家____在《详解九章算法》中记载的。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. (a+b)⁴的展开式中，各项系数依次为（ ） A.1,4,6,4,1 B.1,3,3,1 C.1,2,1 D.1,5,10,10,5,1 2. 杨辉三角中，第6行（从第0行开始数）的数字和为（ ） A.16 B.32 C.64 D.128 3. (a+b)⁵的展开式共有____项。 4. 杨辉三角第3行的数字是（ ） A.1,2,1 B.1,3,3,1 C.1,4,6,4,1 D.1,5,10,10,5,1 5. (a+b)ⁿ的展开式各项系数之和为（ ） A.2ⁿ⁻¹ B.2ⁿ C.2ⁿ⁺¹ D.n 6. 杨辉三角中，第n行所有数的和为____。 7. (a+b)⁶展开式中，第3项的系数是（ ） A.6 B.15 C.20 D.10 8. 杨辉三角中，相邻两行的关系是：下一行的每个数等于上一行____。 9. (a+b)⁴=a⁴+____a³b+____a²b²+____ab³+b⁴。 10. 杨辉三角第0行是（ ） A.1 B.1,1 C.1,2,1 D.1,3,3,1 11. 若(a+b)ⁿ展开式中第3项系数为15，则n=（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 12. 杨辉三角中，第n行第k个数（从0开始）记为C(n,k)，则C(4,2)=____。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 写出(a+b)⁶的展开式。 2. 杨辉三角前7行如下： 第0行：1 第1行：1 1 第2行：1 2 1 第3行：1 3 3 1 第4行：1 4 6 4 1 第5行：1 5 10 10 5 1 第6行：1 6 15 20 15 6 1 观察规律，写出第7行和第8行。 3. 利用杨辉三角计算：(1+1)⁴=？ 解： 4. 利用杨辉三角计算：2⁵。 解： 5. 观察杨辉三角，第n行所有数的和是多少？证明你的结论。 解： 6. 写出(a-b)⁴的展开式。 ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 利用杨辉三角的规律，计算：(a+b)⁷。 解： 2. 观察杨辉三角，第n行中第k个数与第n-k个数有什么关系？ 解： 3. 利用杨辉三角，计算：1+4+6+4+1。 解： 4. 查阅资料，了解杨辉三角在欧洲被称为什么？它比杨辉晚多少年？ 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 利用杨辉三角，快速写出(x+y)⁵的展开式。 解： 2. 利用杨辉三角，快速计算：11⁴。 解： 3. 利用杨辉三角，写出(2x+1)³的展开式。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 阅读与思考 杨辉三角 参考答案 一、自习前置速忆 杨辉三角：每行首尾为1，中间数等于肩上两数之和；对应(a+b)ⁿ展开式系数。 二、基础随堂自检 1. 1 2. 和 3. 1,2,1 4. 1,3,3,1 5. n+1 6. 杨辉 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1. A 2. B 3. 6 4. B 5. B 6. 2ⁿ 7. B 8. 相邻两数之和 9. 4，6，4 10. A 11. B 12. 6 ★★ 能力提升 1. a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶ 2. 第7行：1,7,21,35,35,21,7,1；第8行：1,8,28,56,70,56,28,8,1 3. 16 4. 32 5. 2ⁿ 6. a⁴-4a³b+6a²b²-4ab³+b⁴ ★★★ 拓展探究 1. a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷ 2. 相等（对称性） 3. 16 4. 帕斯卡三角，晚约400年 五、学以致用 1. x⁵+5x⁴y+10x³y²+10x²y³+5xy⁴+y⁵ 2. 14641 3. 8x³+12x²+6x+1 学科网（北京）股份有限公司 $