河南省实验中学2026-2027学年上学期第一次月考高二数学试卷

河南省实验中学20262027学年上期第一次月考 参考答案 题号 3 6 10 答案 D AD BC ABC 12居 13.2/-0.5 14.2 15.(1)由直线的倾斜角a的取值范围是()， 得当直线的斜率存在，即当m2时，k<-1或k>1. k品=品小品1或品1，解得0m2或2<m<4 当直线的斜率不存在时，m=2,符合题意 综上，实数m的取值范围是(0,4). 若∠A为直角，则AC⊥AB,kAC-kAB=-l,解得m=0 若∠B为直角，则AB⊥BC,kAB-kBC=-l,此时无解 若∠C为直角，则AC⊥BC,kAC-kBC=l,解得m=.4 综上，实数m=0或m=4 16.(4)解，因为直线BF的斜率为=-号 2+1 所以直线BF的倾斜角为150°： (2)解：如图，当点D在第一象限时，k=kco,kAC=kp y-1-1 设D(x),则x+1 x=3 =1+4解得 =5故点D的坐标为3,5)： x-2-1+2 (3)解：由题意得”，为直线BE的斜率。 m-2 当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，k©=-2一 1 1 当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，kM=1. 第1页 ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 故直线BE的斜率的取值范围为 即”。的取值范围为 m-2 17.(I)证明由AC=AA,知，四边形AA1CC为菱形 连接AC,则AC⊥AC,又AB⊥AC1且AICnAiB=AI,AC,ABC平面ACB AC1⊥平面A1CB,BCC平面ACB,则AC⊥BC. 又∠ACB=90°，即BC⊥AC,而ACnAC1=A,AC,ACIC平面A1ACCI, BC⊥平面A,ACC1,而BCC平面ABC,.平面AACC⊥平面ABC (2)解以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为x,y轴，平面AACC上过C且垂直于AC的直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.，AC=AA=4,BC=2,∠A1AC=60°， .C(0,0,0),B(0,2,0,A(4,0,0),A(2,0,2V) 设在线段AC上存在一点P(异于点A,C),满足A正=AC(0M<I),使平面BAP 与平面A1PC夹角的余弦值为，则A-(4,0,0)(4,0,0), BP=BA+AP=(4,-2,0)+(41,0,0)=(4-41,-2,0),AP=A1A+AF=(2,0,X -2V)+(-4,0,0)=(2-4,0,-2V.设平面BAP的法向量为m=x1,y1,z1), 由mF=4-4x1-2y1=0, mA1=(2-4)x1-2V3z=0, 取x,得m-(1,2-2,会） 平面APC的一个法向量为n=(0,1,0). oa品空9架女时 因为0，<l,则n号故在线段AC上存在点P,满足A厅AC,使平面BAP与平面APC夹角的余弦值为婚 18.(I)证明：因为平面ABC⊥平面ACEF,CEc平面ACEF,平面ABC∩平面ACEF=AC,AC⊥CE, 所以CE⊥平面ABC,又ABC平面ABC,所以CE⊥AB,又BC⊥AB,CEBC=C,CE,BCC平面BCE, 所以AB⊥平面BCE (2)如图，过点B作BO⊥AC于点O,则AB×BC=BO×AC, 在ABC中，AB=AC:-BC-25,所以B0=4B.BC=5,得 AC 0C=VBC2-B02=1. 过点C作z轴⊥平面ACEF,建立如图空间直角坐标系C-z, 第2页 ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 设EF=a,则A(40.0).B1.0)E(0,2.0),F(a2,0),AF=(a-4,2,0),BF=(a-1,2,-√)EF=(a,0,0). i.BF=(a-1)x+2y-V3z=0 设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),则 月.EF=ax=0 AF. 25 令y=5.则x=0,z=2,所以方=(0，V5,2,所以sin0=osF,= v2i 22+(a-4万 7 解得a=4,即EF=4. 19.(1)根据题意，平面a的法向量n=(1,1,1),平面B的法向量n2=(m,1,1), 所以nn2=1×m+1x1+1×1=0,故m=-2. (2)不防设C0,在平面++c+D-0内取-点00-)}则向量T-(+2) 取平面+By+C2+D=0的一个法向量7=(A,B,C), 所以点P(x,,2)到平面x+y+C2+D=0的距离为d= n._,+B,+C。+D +B2+C2 对于2=(x,y,2)川x+y川+|z卡2)， 当x,y,z>0时，x+y+z=2表示经过(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)的平面在第一象限的部分. 由对称性可知U表示（±2,0,0），(0，±2,0)，(0,0,2)这六个顶点形成的正八面体 法1：设内切球的半径为r,则r即为原点0到平面x+y+z=2的距离， 则，-D+0+0+2_2,5所以内切球的表面积为S=4m=4 25 16π V2+12+12 3 3 3 法2：考虑0={(xy,z1x+y+z≤2，x20,y20,z20: 即为三个坐标平面与x+y+z=2围成的四面体，其四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)， 此四面体的体积为，-日×2行2x2小-学由对称性知，正人面体U的体职K=。-号。 设内切球的半径为r,正八面体U的表面积为S=8× 2x25x9 =165, 3 3 (3)由(2)可知2={(x,y,z儿|x+y+2=2}所围几何体是关于平面xoy,0z, z0x对称的，其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中OA、OB、OC两两垂直， 第3页 ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 且0A=OB=OC=2 集合T=(x,八.)川x+|yS2y川+2s2z+|x2)所表示的几何图形W也关于平面xoy,y0z,z0x对 称，其在第一卦限内的部分T'=(x,八z儿x+y≤2，y+z≤2，z+x≤2的图形如图（1)， H 图1 如图2，就是把图1的几何图形进行分脚的结果. 所以T所构成的几何体W如图3所示 图2 图3 法一：其中正方体ABCD-LIM记为集合P所构成的区域. 而E-ABCD构成了一个正四棱锥，且E到面ABCD的距离为1，所以V。=2×2×2=8, 么m写xk2x2=号所以几何体形的体积P=%,+6-o-2x2x2+6x号=16 3 3 法二：从图2可以看出，几何体W在第一卦限的部分为有公共底面EGH的两个三棱锥O-EGH和 C-EGH. 设其体积为'2.由正方体的性质可知OC⊥面EGH,因为EG=GH=EH=2√2,0C=V?+1'+1P=√5， 所以其体积=7××22x2W2xsin60×V5=2.所以几何体m的体积V=8别，=8x2=16. 11 32 第4页 ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp河南省实验中学2026-2027学年上期第一次月考 高二数学 时间:120分钟 满分:150分 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.过A(m,m+3),B,2m2)两点的直线1的倾斜角为135 ,则m的值为(). A.-1或2 B.2 C.-1 D.-2 2.已知直线a的方向向量为a,平面 的法向量为i,下列结论成立的是() A.若a11m,则al1a B.若a⊥n,则a⊥a C.若a/m,则a⊥a D.若a⊥n,则alla 3.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,4),D=(4,2,0),AP=(-L,2,-1),则 直线PA与底面ABCD的关系是 A.平行 B.垂直 C.在平面内 D.成60 角 4.如图,在平行六面体ABCD-ABC,D中,M为AC与RD,的交点,若AB=a,AD=b,AA=c,则 下列向量中与BM相等的向量是() D A-5+ B. -5+日 D.++ 5.已知A(-2,3)、B(2,1),若斜率存在的直线1经过点P(0,-1),且与线段AB有交点,则1的斜率的取值 范围为() A.[-2,] B.[-1,2] C.(-oo,-2]U1,+∞) D.(-o,-1小U[2,+oo) 6.已知点A(-2,2),B(6,4),H(5,2),H是 ABC的垂心,则点C的坐标为( ) A.(6,4) B.(-2,4) C.(-4,-2) D.(6,-2) 7.如图,在正方体ABCD-AB,CD,中,点P在线段BD上运动(包含端点); D C B 则直线BP与CD所成角的取值范围是() A. 32 D C. 4 D后引 CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫描ApP 8.在棱长为1的正四面体ABCD中,点M满足AM=xAB+yAC+(1-x-y)AD,点N满足 DN=DA-(L-I)DB,当AM、DN最短时,AMN=() A月 c号 二、多选题(每小题6分,共18分) 9.若两直线,4的倾斜角分别为a,a2,斜率分别是k,k2,则下列命题正确的是() A.若k=k2,则a1=a2 B.若k<k2,则a<a2 C.若a1<a2,则片<k D.若k<0<k,则4<90 <a2 10.给出下列命题,其中正确的是() A.若直线1的方向向量a=(0,l,-l),平面a的法向量n=(L,-l,-1),则1∥a: B.若平面a,的法向量分别为m=(0,1,3),z2=(1,-6,2),则a⊥P: C.若平面a经过三点A1,0,-),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,4,)是平面a的法向量,则u+1=1: D.若点A(L,2,3),B(1,-1,5),点C是A关于平面yOz的对称点,则点B与C的距离为√5 11.已知平面ABC的一个法向量为m=(L,2,2),PA=(-1,3,-1),B=(x,-1,-1),则() A.若B与a=(m,n,3共线,则m+n=-9 B.向量P丽在向量西上的投影向量为号历 C.点P到平面ABC的距离为1 D.直线PA与平面ABC所成角的余弦值为 11 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.若直线1的方向向量是(2cos0,2),则直线1的倾斜角a的取值范围是 13.正四面体ABCD的所有棱长都是2,E,F分别是BC,DC的中点,则AE.BF= 14.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=1,AD=2,PA=2,点M在线段 PC上运动,则点M到AB距离的最小值为 第2页 CS扫描全能王 百:3亿人都在用的扫播ApP 四、解答题(共77分) 15.(本题13分) A(2,1),B(m,3),C(0,-1) ()若直线AB的倾斜角a的取值范围是(:,), 求实数m的取值范围, (2)若 ABC是直角三角形,求实数m的值. 16.(本题15分) 已知坐标平面内四点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1),F(-1,V3 (1)求直线BF的斜率和倾斜角: (2)若AB,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,求点D的坐标: (3)若E(m,n)是线段AC上一动点,求_”。的取值范围. m-2 17.(本题15分) 己知三棱柱ABC-AB1C,中,∠ACB=90 ,AB⊥AC1,AC=AA=4,BC=2. (I)求证:平面A1ACC⊥平面ABC: (2)若∠AAC=60 ,在线段AC上是否存在一点P(异于点A,C),使平面BAP与平面APC夹角的余弦值 为?若存在,确定点P的位置:若不存在,说明理由。 A 第3页 CS扫描全能王 百:3亿人都在用的扫描ApP 18.(本题17分) 如图1,五边形ABCEF中,AC/IEF,AC⊥CE,AB⊥BC,AC=2BC=2CE=4.将三角形ABC沿AC翻 折,使得平面ABC⊥平面ACEF,如图2. 图1 图2 (I)求证:AB⊥平面BCE: ②记直线4F与平面BEF所成角为0.若6i血9=,求EF的长. 1 19.(本题17分) 空间直角坐标系O-yz中,任何一个平面的方程都能表示成x+y+Cz+D=0(其中 A,B,C,D∈RA2+B2+C2≠0),且i=(AB,C)为该平面的法向量. (I)若平面a:x+y+z=2,B:mx+y+z=2,且a⊥B,求实数m的值; (2)请利用法向量和投形向量的相关知识证明:点P(x,y,)到平面:+By+Cz+D=0的距离为 d=位,++C2+D,若记集合2={3y2州州国=2习所围成的几何体为U,求V的内切球的表 2+B2+C2 面积: (3)记集合T={《x,z儿x+y52,y+z52z+≤2}中所有点构成的几何体为m.求W的体积V的值: 第4页 CS扫描全能王 百:3亿人都在用的扫描APP