江苏省南京市联合体第一次月检测仿真模拟练习卷2026-2027学年八年级数学上册

参考答案及评分细则 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。每小题给出的四个选项中只有一个选 项符合题意) 题号 1 2 3 5 6 7 ① 答案 C A A D D 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 9.±7 10.8 11.> 12.∠A=∠D(答案不唯一) 13.85°/85度 14.V5 5 15.2 16.13 17.3 √5 ≤EF≤1 18.2 三、解答题（本题共8小题，合计64分计算题要写出完整步骤！） 19.【详解】(1)解：27x3=8, 方程两边同除以27得：- 27, 2 开立方得：x= 3 (2)解：(x-}=4 开平方得：x-1=2 解得：x=-1或x=3.(6分) 20.【详解】证明：AE=DF ∴AE+EF=DF+EF,即AF=DE :AB∥CD ∴.∠A=∠D 在△ABF和△DCE中， AF=DE,∠A=∠D,CD=AB .∴AABF≌ADCE ∴.∠BFA=∠CED BF∥CE.(6分) 21.【详解】证明：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, 、∠BAD=∠DAF=1∠BAC=60° 2 AD=AB ∴△ABD是等边三角形(3分) (2)解：：AB=AC=11,CF=8, .AF=AC-CF=3. 由(1)可知：△ABD是等边三角形，∠DAF=60°， ∴.BD=AD,∠DBE=60 ∴.∠DBE=∠DAF, 在△BDE和△ADF中， 「∠DBE=∠DAF BD=AD ∠BDE=∠ADF' ∴.△BDE≌△ADF(ASA) .BE=AF=3. 即BE的长为3(6分) 22.【详解】(1)点D即为所求如图所示， (2分) D (2)解：在R1△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3. 4B-AC2+BC3=5 如图所示，过点D作DE⊥AB于点E,则∠DEB=∠C=90°， B E A 由(1)可知，DC=DE,BD是∠ABC的角平分线， ∴∠CBD=∠EBD, 在RIACBD和Rt△EBD中， (BD=BD DC=DE, RtACBD≌RIAEBD(HL) ∴.BC=BE=3, .AE=AB-BE=5-3=2. 设DC=DE=x,则AD=AC-DC=4-x, ∴在aADB中，AD=DE2+AE2,即(4-=2+2 解得，x3 2 3 ∴CD的长为2(8分) 23.【详解】证明：连接DC, :DG垂直平分BC, .DB=DC」 AD是∠EAC的平分线，DE⊥AE,DF⊥AC,垂足分别为E、F, DE=DF,∠DEB=90°，∠DFA=∠DFC=90° 在Rt△DEB和RtADFC中，∠DEB=∠DFC=90°， DE=DF DB=DC RtADEB≌RtADFC(HL) BE=CF,(3分) RtADEBS≌RtADFC(IHL) (2)解： .∠EDB=∠FDC: ∴.∠EDB+∠BDF=∠FDC+∠BDF: .∠EDF=∠BDC :在四边形AEDF中，∠EAC+∠AED+∠EDF+∠DFA=360°，∠EAC=76°，∠DEB=90° ∠DFA=90°， .∠EDF=104°： ∴.∠BDC=104° DB=DC, :∠D8c=∠DcB=5080P-108)=38°(8分 24.【详解】(1)解：16<19<25， ,4<V19<5 V19 的整数部分是4，小数部分是V19-4。 故答案为：4， V19-4 :(4分) (2)解：4<5<9,9<11<16， .4<5<99<i<I6 即2<5<33<<4 的小数部分为5-2，即0=5-2， =3 的整数部分为3，即 则0+b-5-5-2+3-5=1 3)解：1<3<4. i<5<4,即K5<2 .10<9+V3<11 .10<x+y=9+V3<11 x是整数，且0<y<1 ∴.x=10,y=V5-1 ∴x-y=10-(3-=11-5 则- 的值是 1-3 8分) 25.【详解】(1)证明：，等边△ABC, .BC=AC,∠ACB=60°， :等边aOCD, ∴C0=CD,∠0CD=60, ∴.∠BCO+∠ACO=∠ACD+∠ACO, ∴.∠BCO=∠ACD BC=AC ∠BCO=∠ACD CO=CD △BOC≌AADC(SAS) (3分) (2)解：△AOD是等边三角形.理由如下： ,∠AOB=∠B0C=a=120°， .∠A0C=360°-∠B0C-∠AOB=120°. ,等边aOCD, .∠COD=∠DC0=60°， ∴.∠AOD=∠AOC-∠COD=60°」 :△BOC2aADC, .∠ADC=∠BOC=120° ∴.∠DAO=360°-∠AOC-∠ADC-∠DC0=60°， ∴.∠AOD=∠DAO=∠ODA=60° 故△AOD是等边三角形.(6分) (3)解：，等边△OCD .∠COD=∠DCO=∠ODC=60°， :△AOD是直角三角形， 当∠AD0=90°时，根据题意，得∠ADC=∠AD0+∠ODC=90°+60°=150°， :ABOC≌AADC(SAS) .∠ADC=∠BOC=150°. 故a=150°； 当∠A0D=90°时， ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOD-∠COD=90°， 故a=90°： 当∠0AD=90°时，根据题意，得∠A0D+∠AD0=90°， ·.'△BOC≌△ADC .∠ADC=∠BOC=a, ,等边aOCD ∴.∠COD=∠CD0=60°， .·∠AOB=120°， ∴，∠AOD+∠BOC=180°，∠ADO=∠ADC-∠CD0=a-60°， ∠AOD=180°-a, .∠AOD+∠AD0=180°-a+ax-60°=120°， 矛盾， 故此情形不成立， 综上所述，当a=150°或a=90°时：△40D是直角三角形(10分) 26.【详解】(1)证明：'AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC, 在△ABD和△AED中， AB=AE ∠BAD=∠DAE AD=AD ∴.△ABD≌△AED(SAS) .∠B=∠AED,BD=ED 又：∠B=2∠C. ∴.∠AED=2∠C, ∠AED=∠C+∠EDC」 .LC=∠EDC, ∴△CED为等腰三角形， ∴DE=CE,BD=DE=CE AB+BD=AE+CE=AC.(2分) (2)①DA=DB+DC,理由如下： 如下图所示，在DC的延长线上截取CE=BD,连接AE. 是等边三角形， :△ABC .AB=AC,∠BAC=60° 在四边形ABDC中，∠BAC+∠ABD+∠ACD+∠BDC=360°， :∠BAC=60°，∠BDC=120°， ∴.∠ABD+∠ACD=360°-60°-120°=180°， 又∠ACE+∠ACD=180°， .∴∠ABD=∠ACE 在△ABD和△ACE中， 「AB=AC ∠ABD=∠ACE BD=CE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) .AD=AE,∠BAD=∠CAE, ∴，∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=6O°， △ADE是等边三角形， :DA=DE, ∴.DE=DC+CE=DC+BD .DA=DB+DC ②证明：如下图所示，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE, E D .∠BAC=90° ∠BDC=90° ∠ABD+∠ACD=180°， :∠ACE+∠ACD=180°， ∴.∠ABD=∠ACE :AB=AC,BD=CE,在△ABD和△ACE中， 「AB=AC ∠ABD=∠ACE BD=CE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) ∴.AD=AE,∠BAD=∠CAE, ∴.∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴.DE=VAD2+AE2=√2AD DE=DC+CE=DC+DB. ∴V2DA=DB+DC (12分) 9 2026-2027学年江苏省南京市联合体八年级上学期数学第一次月考仿真模拟练习卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚 2．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。 3.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用2B铅笔作图画出必要的线条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中对应的位置上 4．测试范围：新教材苏科版八年级上学期1-3章 5．难度系数：0.65。 第一卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1．下面不能组成三角形的三条线段是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，错误的是(　　) A． B． C． D． 3．若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 4．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 5．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点 6．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长 交的延长线于点．若，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 7．如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若的周长是15，且，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知和是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接交于点M，交于点N，交于点G，以下结论正确的个数是（）    ①；②；③；④连接是的角平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 9．49的平方根是___________． 10．已知是等腰三角形，，则边_________． 11．比大小：______0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”） 12．如图，在和中，，请添加一个条件使得成立：_____________．    13．如图，在中，是的中线，已知，则的度数是___________． 14．如图在中，，，以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A， 则点A表示的实数是__________． 15．如图，中，，的垂直平分线交于点．若，，则的面积为 _____． 16．如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为．想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点B处的食物，那么它至少需要______秒（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 17．如图，，，，的面积等于6，则的长为______．    18．如图，在中，，D是中点，，，分别与，相交于点E，F，若，的长度的范围为_______． 三、解答题（本题共8小题，合计64分.计算题要写出完整步骤！） 19．求下列各式中的x． (1)； (2)． 20．如图，点A，E，F，D在同一直线上，，，．求证：． 21．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 22．如图，在中，． (1)在边上求作一点，使得点到的距离等于的长；（要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，求的长． 23．已知：如图，是外角的平分线，垂直平分，两线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 25．如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是直角三角形？ 26．截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在中，平分，”．求证：． (1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在上截取，连接，只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程． (2)请使用上述方法解决下列问题： ①如图③，是等边三角形，D是边下方一点，，连接．判断出线段，，之间的数量关系并说明理由； ②如图④，在中，，．D是边下方一点，．求证： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省南京市联合体八年级上学期数学第一次月考仿真模拟练习卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚 2．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。 3.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用2B铅笔作图画出必要的线条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中对应的位置上 4．测试范围：新教材苏科版八年级上学期1-3章 5．难度系数：0.65。 第一卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1．下面不能组成三角形的三条线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴三条长分别为的线段不能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； 故选；C． 2．下列各式中，错误的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求一个数的算术平方根，平方根，立方根逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． =4，选项说法错误，符合题意； B．，选项说法正确，不符合题意； C．，选项说法正确，不符合题意； D．，选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，平方根，立方根，正确的计算是解题的关键． 3．若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，根据非负数的性质求得，，，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 4．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 5．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质进行判断． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点． 故选：B． 6．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长 交的延长线于点．若，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质．首先根据证明，根据全等三角形对应边相等可证，再根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到． 【详解】解：如下图所示， 点是的中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 又， 是的垂直平分线， ． 故选：C． 7．如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若的周长是15，且，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键．由轴对称的性质知：，，，，证明是等边三角形，求解即可． 【详解】解：连接，    由轴对称的性质知：，，，， ∵，即， ∴，， ∴是等边三角形， ∵的周长是15， ∴的长为， 故选：D． 8．已知和是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接交于点M，交于点N，交于点G，以下结论正确的个数是（）    ①；②；③；④连接是的角平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义．由等边三角形的性质可得出，，，从而推出，即可利用证明，可判断①；由全等的性质可得出，再利用三角形外角的性质即可推出，即可判断②；由和B、C、D三点共线，可求出，即可证明，得出，即可判断③；过点作于点P，于点Q，易证，得出，即又易证，得出，即GC是的角平分线，可判断④． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； ∵，B、C、D三点共线， ∴． ∴在和中， ， ∴， ∴，故③正确； 如图，过点作于点P，于点Q，    在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即是的角平分线，不是的角平分线，故④错误． 综上可知正确的个数是3个． 故选C 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 9．49的平方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是理解平方根的概念并能正确计算． 根据平方根的定义，若一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，来求解49的平方根． 【详解】解∶49的平方根是． 故答案为：． 10．已知是等腰三角形，，则边_________． 【答案】8 【分析】本题根据等腰三角形的定义分类讨论的可能取值，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合条件的结果即可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形，分两种情况讨论： ① 当时，三角形三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去； ② 当时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 故． 11．比大小：______0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”） 【答案】 【分析】由，得，故，那么可得与0.5的大小关系． 【详解】解：， ，即， ， 即， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质以及不等式的性质，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式的性质是解题的关键． 12．如图，在和中，，请添加一个条件使得成立：_____________．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，注意：判定两个三角形全等的方法有，，，，．从图中知道，，结合，再添加一个条件或或，都使得． 【详解】解：由图形知：， ∵， 添加，则； 添加，则； 添加，则． 故答案为：或或． 13．如图，在中，是的中线，已知，则的度数是___________． 【答案】/85度 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，三角形的外角性质．因为是的中线，所以是等腰三角形，，求得，结合，利用三角形的外角性质即可作答． 【详解】解：是的中线， 是等腰三角形，， ， ， ， 故答案为：． 14．如图在中，，，以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A， 则点A表示的实数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理得出，因为以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A，所以，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴ 依题意， ∵点A在负半轴， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 15．如图，中，，的垂直平分线交于点．若，，则的面积为 _____． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理和三角形的面积，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再利用勾股定理计算出，然后利用三角形面积公式求解．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等这个结论是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 16．如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为．想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点B处的食物，那么它至少需要______秒（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 【答案】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【详解】解：如图所示： 作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵蚂蚁爬行的速度为， ∴它至少需要s. 故答案为：. 17．如图，，，，的面积等于6，则的长为______．    【答案】 【分析】解：过点作于，根据三角形的面积求出长，然后根据角平分线的性质解题即可． 【详解】解：过点作于.    ，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 18．如图，在中，，D是中点，，，分别与，相交于点E，F，若，的长度的范围为_______． 【答案】 【分析】如图， 过点作于点， 作于点， 连接，然后证明，即可得到，然后判断是等边三角形，即可得到，然后根据计算最大值和最小值即可解题． 【详解】解：过点作于点， 作于点， 连接， ∵， 为的中点， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴当最大时， 最大， 当最小时， 最小， ∴当点与重合时，的值最大，且的最大值， ， 当时，的值最小， ， ， ∴的长度的范围为 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，合计64分.计算题要写出完整步骤！） 19．求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了立方根定义和平方根定义的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先方程两边同除以27，然后开立方即可； （2）直接开平方，得出答案即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同除以27得：， 开立方得：． （2）解：， 开平方得：． 解得：或． 20．如图，点A，E，F，D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明： ，即 在和中， ，， ． 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定， 掌握三角形全等的条件是解题的关键． 根据得到，利用三角形全等的条件得出，进而证明即可． 【详解】略 21．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 22．如图，在中，． (1)在边上求作一点，使得点到的距离等于的长；（要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1) 点即为所求如图所示， (2) 【分析】（1）由角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等，运用无刻度直尺和圆规作的角平分线交于点即可； （2）由勾股定理可得，根据题意，过点作于点，可证，得到，设，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点，则， 由（1）可知，，是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，，即， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理求线段长的计算方法是解题的关键． 23．已知：如图，是外角的平分线，垂直平分，两线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ∵垂直平分， ∴． ∵是的平分线，，，垂足分别为、， ∴，，． 在和中，， ∴． ∴． (2) 【分析】（1）连接，利用垂直平分线和角平分线易得到，利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质求出，进而得到，再利等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴； ∴； ∴． ∵在四边形中，，，，， ∴； ∴． ∵， ∴． 【点晴】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，证明三角形全等是解答关键． 24．先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2)； (3)的值是． 【分析】本题考查了无理数的估算与运算． （1）先根据无理数的估算即可求解； （2）先根据无理数的估算求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算，再根据整数性和求出x、y的值，再代入计算有理数的减法，然后根据相反数的定义即可得． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4，； （2）解：，， ，， 即，， 的小数部分为，即， 的整数部分为3，即， 则； （3）解：， ，即， ， ， 是整数，且 则的值是． 25．如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是直角三角形？ 【答案】(1)证明：∵等边， ∴，， ∵等边， ∴，， ， ∵ ∴． (2)解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵等边， ∴， ， ， ， ， , 故是等边三角形． (3)或 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合原理，证明全等即可； （2）根据周角，等边三角形的判定和性质，四边形内角和，解答即可； （3）根据是直角三角形，结合三角形全等的性质，分三种情况求解即可． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：∵等边， ∴， 是直角三角形， 当时，根据题意，得， ， ， 故； 当时， ， 故； 当时，根据题意，得， ， ， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ， ， 矛盾， 故此情形不成立， 综上所述，当或时；是直角三角形． 26．截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在中，平分，”．求证：． (1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在上截取，连接，只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程． (2)请使用上述方法解决下列问题： ①如图③，是等边三角形，D是边下方一点，，连接．判断出线段，，之间的数量关系并说明理由； ②如图④，在中，，．D是边下方一点，．求证：． 【答案】(1)证明：平分， ， 在和中， ， ， ，． 又， ， ， ， 为等腰三角形， ，， ． (2)①，理由如下： 如下图所示，在的延长线上截取，连接． 是等边三角形， ，， 在四边形中，， ，， ， 又， ． 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ． ②证明：如下图所示，延长到点，使，连接， ，， ， ， ． ，，在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【分析】（1）根据提示，在上截取，利用“边角边”证明，将转化为，再利用角度关系证明为等腰三角形，即可证明． （2）①在的延长线上截取，构造全等三角形，利用等边三角形的性质证明为等边三角形，从而得到． ②同样在的延长线上截取，构造全等三角形，利用等腰直角三角形的性质证明为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）略． （2）①略． ②略 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $