江苏省南京市六合区苏科版2026-2027学年八年级数学上册第一次月考模拟练习卷

**基本信息** 聚焦三角形与实数核心知识，通过生活情境（如升降阻车桩）与逻辑推理（如无理数证明）的融合，梯度设计适配八年级月考对基础巩固与能力提升的需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|三角形高、稳定性、无理数估算|结合数轴直观考查无理数大小（第3题）| |填空题|10/20|全等判定、中线面积、平方根|以折叠对称（第14题）考查线段垂直平分线性质| |解答题|9/68|尺规作图、旋转全等、实际应用|22题以升降阻车桩为背景考立方根应用，24题通过旋转探究线段关系，体现推理能力与应用意识|

江苏省南京市六合区苏科版2026—2027学年八年级数学上学期第一次月考模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第一章、第二章 考试时间:120分钟 试卷满分:100分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题2分，满分12分） 1．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 3．如图，数轴上有，，，四个点，则（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 4．若，则有（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的中线，点E，F分别为的中点，若的面积为3，则的面积为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 6．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 8．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 9．如图，在中，是中点，是中点，连接、，若的面积为20，则的面积为__________． 10．计算的结果等于_________． 11．比较大小：______1．（填“”或“”） 12．如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 13．如果和是一个正数的平方根，则这个正数是________． 14．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 15．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是________． 16．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共计68分，其中17、18、19、20每题6分、21、22、23每题8分，24、25每题10分，解答题要有必要的文字说明） 17．如图，在中，，AB的垂直平分线EF交BC于点F，AC的垂直平分线MN交BC于点N．求的周长． 18．求下列等式中的值： (1)； (2)． 19．已知，试求的值． 20．如图，在中，，请利用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得是的对称轴．（不写作法，保留作图痕迹） 21．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接．求证：． 22．升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 23．阅读下列材料： 材料1：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是偶数， 也是偶数， 是偶数． 设（是正整数），则，即， 也是偶数 都是偶数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数 材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分． 请解答： (1)用类似的方法，请证明是无理数． (2)你能求出的整数部分和小数部分吗？并求的值； (3)已知，其中是整数，且，试求出的相反数． 24．已知：在中，，，点是边上一动点，连接． (1)如图1，延长至点且，连接，，求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 25．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D C C D B 1．C 【知识点】画三角形的高 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 2．D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 3．C 【知识点】实数与数轴、估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算、用数轴上的点表示有理数 【分析】观察数轴确定各点的大致取值范围，结合无理数估算进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，点表示，点在与之间，点在与之间且靠近，点在与之间， ， 点不可能是，故A 错误； ， ， 点不可能是，故B 错误 ， ，且靠近， 点可能是，故C正确， 靠近，与点位置不符，故D 错误． 4．C 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ． 5．D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】先求出，再根据求出结论． 【详解】解：∵F为的中点，的面积为3， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 6．B 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 7． 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 【详解】解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 8．1 【知识点】三线合一、根据等角对等边求边长 【分析】由等腰三角形的性质得，再由，可得，则，即可求解． 【详解】解：平分，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 9．10 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】由是中点，可知和等底等高，因此，同理可得，，即可求得的面积． 【详解】解：是中点， ， 又是中点， ，， ． 10． 【知识点】求一个数的立方根 【分析】根据立方根的定义和性质，将被开方数写成某个数的立方，即可计算出这个数的立方根． 【详解】解：，， ∴， ∴． 11． 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 12． 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、线段中点的有关计算 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 13．或 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据正数平方根的性质，分两个平方根互为相反数和两个平方根相等两种情况，列方程求解，再计算得到这个正数． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：两个平方根互为相反数， ∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为； 情况2：两个平方根相等，若两个平方根是同一个，则，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为， 综上，这个正数是或． 14． 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】连接，由垂直平分线的性质证得，从而证得，由含角的直角三角形的性质求出的长，即求出了的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 15．10 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，进一步得出点是的中点，然后由直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴点是的中点． ∵在中，， ∴是斜边上的中线， ∴． 16． 【知识点】垂线段最短、根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由旋转的性质证明，确定点的运动轨迹，再根据垂线段最短，利用含角的直角三角形性质算出最小值． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， 为等边三角形，是边上的高线， ∴，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 当，取得最小值， 在中，，， ， 的最小值为． 17． 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，知，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分， ∴，， ∴的周长为． 18．(1)，； (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】（1）方程两边同时除以3，再开平方，即可作答． （2）先移项合并同类项，再开立方，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得，； （2）解：∵， ∴， 解得． 19． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 20． 【知识点】三线合一、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据等腰三角形三线合一作的垂直平分线即可． 【详解】略． 21．证明：∵E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先结合线段的中点得，再结合以及对顶角相等，证明，故，再根据内错角相等得出两直线平行，即． 【详解】略 22． 【知识点】立方根的实际应用 【详解】解：设这个升降阻车桩的底面半径是，则高为， 由题意可得：． 解得． 答：这个升降阻车桩的底面半径是． 23．(1)证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是5的倍数， 也是5的倍数， 是5的倍数． 设（是正整数），则，即， 也是5的倍数． 都是5的倍数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数； (2) (3) 【知识点】无理数、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】（1）仿照例题证明即可求解； （2）根据材料提示，分别求出整数部分和小数部分，即可求解； （3）分别求出，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即的整数部分，小数部分， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 24．(1)证明：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴； (2)解：，理由如下： 如图，作交的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先求出，，再证明，得出，再求出，最后结合，，即可得证； （2）作交的延长线于点，则，先证明，得出，，再证明，得出，从而即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 25．(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：结论：是等腰三角形， 理由：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (3)4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用SAS证明三角形全等（SAS）、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）利用折叠性质得到，结合直角推导出一组夹角相等，再匹配两组对应边相等，用证明全等； （2）先由等腰直角三角形求出，借助第（1）问的全等转移角，然后通过三角形内角和计算，得到两角相等，判定等腰三角形； （3）倍长中线构造平行四边形，转化边与角的关系，然后证明是等腰三角形的角平分线，由三线合一得到垂直平分线，完成线段等量代换，最后利用（1）的全等，把转化成求出长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到，使得，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $