导数综合基础专项训练40题-2027届高三数学一轮复习

导数综合专项训练（40 题） 难度对标高考压轴 · 题号即难度序 · 数学符号规范公式排版 使用说明：第 1—10 题为导数基础（切线、单调性、极值最值、已知单调性求参）；第 11—20 题为含参单调讨论、恒成立与零点个数；第 21—30 题为分离参数、不等式证明、公切线与极值点偏移；第 31—40 题为压轴综合（对数平均不等式、隐零点、双零点不等式、多问递进大题）。题号越大难度越高。答案与解析见另册《参考答案与解析》。 第1—10题　导数基础：切线、单调性、极值与最值（★~★★★） 1.（切线方程与极值）★ 设函数 。 （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）求过原点的切线方程（注意切点可能为原点本身）； （3）求 的单调区间与极值。 2.（指数函数：切线与最值）★ 设函数 。 （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）求 的单调区间与最小值； （3）利用（2）证明：。 3.（对数函数：最值与不等式）★ 设函数 （）。 （1）求 与 的单调区间； （2）求 的最大值； （3）利用（2）证明：。 4.（由切线斜率求参数）★★ 设函数 。已知曲线 在 处的切线斜率为 。 （1）求 ； （2）求此时在 处的切线方程； （3）求 的极值。 5.（由极值点求参数）★★ 设函数 在 处取得极值。 （1）求 ； （2）求 的极大值与极小值。 6.（闭区间上的最值）★★ 设函数 。 （1）求 及 在区间 上的单调情况； （2）求 在 上的最大值与最小值； （3）求 在 上的最大值与最小值。 7.（已知单调性求参数范围）★★ 设函数 。 （1）若 在 上单调递增，求 的取值范围； （2）若 在区间 上单调递增，求 的取值范围。 8.（含参单调讨论：一次因子）★★★ 设函数 （），。 （1）讨论 的单调性（按 与 分类）； （2） 时求 的最大值； （3）若 对一切 恒成立，求 的取值范围。 9.（恒成立基础：基本不等式）★★ 设函数 （），。 （1）讨论 时 是否能满足 恒成立； （2） 时求 的最小值（用 表示）； （3）求使 对一切 恒成立的 的取值范围。 10.（零点个数讨论）★★★ 设函数 ，。 （1）求 的极大值与极小值； （2）讨论 的零点个数（按 分类）； （3） 时确定零点所在的大致区间。 第11—20题　含参单调、恒成立与零点（★★★~★★★★） 11.（过定点的切线）★★★ 设函数 。 （1）设切点为 ，写出切线方程并令其过点 ，列出关于 的方程； （2）解方程并判断切线条数； （3）写出所求切线方程。 12.（含参单调与恒成立）★★★ 设函数 （），。 （1）讨论 的单调性； （2）求 的最小值（用 表示）； （3）若 对一切 恒成立，求 的取值范围。 13.（由导函数零点求参数与极值）★★★ 设函数 ，其导函数 的两个零点为 和 。 （1）求 ； （2）求 的极大值与极小值； （3）指出 的单调区间。 14.（指数型恒成立：双侧夹逼）★★★★ 设函数 。若 对一切实数 恒成立，求 的值（提示：分别讨论 与 ）。 15.（含参零点个数）★★★★ 设函数 （），。讨论 的零点个数。 16.（极值点偏移入门）★★★★ 设函数 。 （1）求 的单调区间与最大值； （2）设 且 ，证明 ； （3）证明：。 17.（常见不等式的证明与应用）★★★★ （1）设 ，求 并证明 （）； （2）利用（1）证明 ； （3）证明：当 时，。 18.（指数型恒成立：求参数）★★★★ 设函数 。若 对一切实数 恒成立，求 的值。 19.（含指数函数的单调与最值）★★★ 设函数 。 （1）求 与 的单调区间及极值； （2）求 在 上的最大值与最小值； （3）若 对一切 恒成立，求 的取值范围。 20.（零点存在性：分离参数法）★★★★ 设函数 （）。 （1）设 ，求 的单调区间与最小值； （2）求使 有两个零点的 的取值范围； （3） 时判断两个零点所在的大致区间。 第21—30题　分离参数、不等式证明与极值点偏移（★★★★） 21.（对数型恒成立：求参数）★★★★ 设函数 （），。 （1）讨论 的单调性； （2）若 对一切 恒成立，求 的值； （3）利用（2）的结论证明：（）。 22.（两曲线的公切线）★★★★ 已知函数 与 的图象在公共点处有公切线（即相切）。 （1）设公共点横坐标为 ，列出 与 满足的两个方程； （2）证明 唯一并求 ； （3）求 的值与公切线方程。 23.（两极点求参数范围）★★★★ 设函数 （）有两个极值点。 （1）求 ； （2）把”有两个极值点”转化为二次方程 有两个不相等的正根，求根的表达式； （3）求 的取值范围。 24.（对数不等式的精细估计）★★★★ （1）证明：当 时，； （2）设 ，求 并证明 （）； （3）利用（1）（2）证明：。 25.（隐零点：零点与参数比较）★★★★ 设函数 （），。 （1）证明 在 上单调递增； （2）证明 有唯一零点 ； （3）若 ，证明 。 26.（极值点偏移：指数型）★★★★ 设函数 。 （1）求 的单调区间与最小值； （2）设 且 ，证明 ； （3）设 ，证明 ，并由此证明 。 27.（对数型含参恒成立）★★★★ 设函数 （）。若 对一切 恒成立，求 的值。 28.（双零点不等关系）★★★★★ 设函数 有两个零点 。 （1）求 的取值范围； （2）证明 ； （3）证明 。 29.（对数平均不等式）★★★★★ （1）对 ，证明：（提示：令 ，分别归结为证明 与 ，其中 ）； （2）当 时，说明 的极限值。 30.（极值点偏移：对数倒数型）★★★★★ 设函数 。 （1）求 的单调区间与最小值； （2）设 且 ，证明 ； （3）设 （），证明 ，并由此证明 。 第31—40题　高考压轴综合（难度逐题上升；★★★★~★★★★★） 31.（导数与数列不等式）★★★★ （1）证明：当 时，； （2）利用（1）证明：（）； （3）证明：（）（提示：先证 （））。 32.（指数与对数混合不等式）★★★★ 设函数 （）。 （1）求 与 ，判断 的单调性； （2）求 的最小值，并证明 ； （3）由此证明：。 33.（双零点与对数平均）★★★★★ 设函数 有两个零点 。 （1）求 的取值范围； （2）由 推出 与 ； （3）利用第 29 题的对数平均不等式证明 。 34.（含参双零点与参数比较）★★★★★ 设函数 （，）有两个零点 。 （1）求 的取值范围； （2）由 证明 ； （3）利用对数平均不等式证明 。 35.（ 型含参讨论）★★★★ 设函数 （），。 （1）讨论 的单调性； （2）求 的最小值（用 表示）； （3）若 对一切 恒成立，求 的取值范围。 36.（指数型恒成立：分离参数）★★★★ 设 。若 对一切 恒成立，求 的取值范围（提示：分离参数 并求 的最小值）。 37.（两曲线相切求参数）★★★★★ 已知曲线 与曲线 相切（有公共切点与公切线）。 （1）设切点横坐标为 ，列出两曲线在 处”值相等、导数相等”的方程； （2）求 ； （3）求 的值。 38.（隐零点：证明 ）★★★★★ （1）设 （），求 ，证明 有唯一实根 ，且 ； （2）由 化简 ，令 ，证明 ； （3）由（2）证明 ，从而 对一切 成立。 39.（指数型双零点不等式）★★★★★ 设函数 （）有两个零点 。 （1）求 的取值范围； （2）证明 ； （3）证明 （提示：比较 与 ，并利用不等式 （））。 40.（综合压轴：多问递进）★★★★★ 设函数 （），。 （1）讨论 的单调性，并求最小值（用 表示）； （2）若 对一切 恒成立，求 的取值范围； （3）若 有两个零点 （此时 ），利用第 29 题的对数平均不等式证明 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数综合专项训练（40 题）· 参考答案与解析 每题给出答案与完整解析。题号与题目卷一一对应。 第1—10题　参考答案与解析 1.（切线方程与极值） 答案：（1）；（2）；（3）增区间 与 ，减区间 ；极大值 ，极小值 。 解析： （1）。，，切线：，即 。 （2）设切点 。斜率 ，又切线过原点，故 （），即 ，得 。故切点为原点，切线 。 （3） 得 。 在 上递增，在 上递减，在 上递增。 极大值 ； 极小值 。 2.（指数函数：切线与最值） 答案：（1）；（2）减区间 ，增区间 ，最小值 ；（3）见解析。 解析： （1）。，，切线为 （水平线）。 （2），故 在 上递减，在 上递增，最小值 。 （3）由（2），对一切 ，，即 ，故 。 3.（对数函数：最值与不等式） 答案：（1），增区间 ，减区间 ；（2）最大值 ；（3）见解析。 解析： （1）。当 时 ； 时 。故 在 上递增，在 上递减。 （2）最大值 。 （3）由（2），，即 ，故 。 4.（由切线斜率求参数） 答案：（1）；（2）；（3）极大值 ，极小值 。 解析： （1），由 得 。 （2）此时 ，，切线斜率为 ，故切线为 。 （3） 得 。 在 增、 减、 增。 极大值 ；极小值 。 5.（由极值点求参数） 答案：（1）；（2）极大值 ，极小值 。 解析： （1），由 得 。 （2）， 得 。 极大值 ；极小值 。 6.（闭区间上的最值） 答案：（2）最大值 ，最小值 ；（3）最大值 ，最小值 。 解析： （1）。 时 ， 时 。故在 上递减，在 上递增。 （2）比较端点与临界点：，，。 故最大值 （ 或 ），最小值 （）。 （3），与 、、 比较：最大值 ，最小值 。 7.（已知单调性求参数范围） 答案：（1）；（2）。 解析： （1） 对一切 成立。因二次项系数为正，需判别式 （2） 时 ，即 。 设 （）。因 （），故 ，且 （）。故需 。（也可由端点 得 。） 8.（含参单调讨论：一次因子） 答案：（1） 时在 上递增； 时在 上递增，在 上递减；（2）最大值 ；（3）。 解析： （1）。 当 时，（），， 在 上递增。 当 时， 时 ， 时 ； 在 上递增，在 上递减。 （2） 时 ，最大值 。 （3） 时 递增且 （），不满足恒成立。 时最大值为 。要使 恒成立，需 9.（恒成立基础：基本不等式） 答案：（1）不能；（2）最小值 ；（3）。 解析： （1） 时 有 ； 时 ，取 得 。故 时 不可能恒成立。 （2）， 时由基本不等式 ，等号当 ，故最小值 。 （3）要使 恒成立，需最小值 ，即 。 10.（零点个数讨论） 答案：（1）极大值 ，极小值 ；（2） 或 时 个； 时 个； 时 个；（3）零点为 与 （二重）。 解析： （1） 得 。 在 增、 减、 增。 极大值 ，极小值 。 （2）当 时 ， 时 。 · ：极大值 ，而 在 上从负值增到 ，恰 个零点； · ：极大值 ，零点为 与右侧 个，共 个； · ：极大值 、极小值 ，三段各一个零点，共 个； · ：极小值 ，共 个； · ：极小值 ，只在左侧 个零点。 （3） 时 ，零点为 与 （后者二重）。 第11—20题　参考答案与解析 11.（过定点的切线） 答案：（2）（三重根），只有一条这样的切线；（3）。 解析： （1）。切点 处切线： 代入点 ：，即 。 （2），。代入： 故 （三重根），这样的切线只有一条。 （3）切线斜率 ，切点 ，切线为 ，即 。 12.（含参单调与恒成立） 答案：（1） 时在 上递减； 时在 上递减，在 上递增；（2） 时最小值 ；（3）。 解析： （1）。 时 ，， 在 上递减。 时： 时 ， 时 。 （2） 时最小值为 。（ 时 递减无最小值。） （3）需 ，即 ，得 。 13.（由导函数零点求参数与极值） 答案：（1）；（2）极大值 ，极小值 ；（3）增区间 、，减区间 。 解析： （1）。由零点 ： 故 ，，即 。 （2）。 极大值 ；极小值 。 （3） 在 、 上递增，在 上递减。 14.（指数型恒成立：双侧夹逼） 答案： 。 解析： ，即 ，。 时两边为 ，恒成立。 ：两边除以 得 。由 （第 2 题）得 ，且 （），故须 。 ：两边除以 （负数）得 。设 （）， 设 ，则 （）， 递减，，故 时 ，， 递增。故 ，须 。 综上 。（验证： 时即 ，恒成立。） 15.（含参零点个数） 答案： 时 个零点； 时 个； 时 个； 时 个。 解析： 。 ： ， 在 上递增。 时 ， 时 ，故恰有 个零点。 ： 在 增、在 减，最大值 两端均有 （ 与 ）。故： · （）： 个零点； · （）： 个零点； · （）： 个零点。 16.（极值点偏移入门） 答案：（1）增区间 ，减区间 ，最大值 ；（2）（3）见解析。 解析： （1）。增区间 ，减区间 ，最大值 。 （2） 时 ， 时 ，而 在 增、 减，故两个零点（横坐标）满足 ，，即 。 （3）设 ，，即 求导（注意 ）： 故 在 上递增，而 ，所以 时 ，即 。 取 ：。又 ，故 。 因 得 ，且 ； 在 上递减，故由 得 ，即 。 17.（常见不等式的证明与应用） 答案：（1）；（2）见解析；（3）见解析。 解析： （1），。 时 ， 递增，，故 ， 递增；又 ，故 ，即 。 （2）取 ：。 （3）设 （），， 递增，，故 ，即 。 18.（指数型恒成立：求参数） 答案： 。 解析： 。 ： ， 递增；由 知 时 ，不满足恒成立。 ： 在 减、 增，最小值 需 。设 ，， 在 增、 减，最大值 。故 当且仅当 。 故 。（此时 恒成立。） 19.（含指数函数的单调与最值） 答案：（1）减区间 ，增区间 ，极小值 ；（2）最大值 ，最小值 ；（3）。 解析： （1）。 时 ， 时 。极小值 。 （2），，。 比较：，故最小值 （），最大值 （）。 （3） 时 ， 递增，最小值为 。故 恒成立需 。 20.（零点存在性：分离参数法） 答案：（1）减区间 ，增区间 ，最小值 ；（2）；（3）一个零点在 ，另一个在 。 解析： （1）。 在 上递减、 上递增，最小值 。 （2）。因 在 上从 减到 、在 上从 增到 ，故方程 有两解当且仅当 。 （3）：。，，，故一个零点在 ； ，故另一个零点在 。 第21—30题　参考答案与解析 21.（对数型恒成立：求参数） 答案：（1） 时在 上递增； 时在 增、 减；（2）；（3）见解析。 解析： （1）。 时 恒成立， 递增； 时 在 上增、在 上减。 （2） 时 递增，，不满足 恒成立。 时最大值 需 。设 ，， 在 减、 增，最小值 。故 恒成立， 当且仅当 。 （3）取 ：，即 。 22.（两曲线的公切线） 答案：（1）两方程为 与 ；（2）；（3），公切线 。 解析： （1）两曲线在 处相切，需函数值相等、导数值相等： （2）由第二式 ，代入第一式： 即 。设 （），， 严格递增，，故 唯一。 （3）。此时 ，，公共点 ，公切线斜率 ，切线 。 23.（两极点求参数范围） 答案：（1）；（2）；（3）。 解析： （1）（）。 （2） 有两个极值点 在 上有两个不相等的实根。判别式 ，根为 （3）两根均为正，需 ，即 ，得 。 综上 。 24.（对数不等式的精细估计） 答案：（2）；（3）见解析。 解析： （1）设 （），，，故 ，即 。 （2）（）。 故 在 上递增，，所以 ，即 。 （3）取 ：由（2）；由（1）。故 。 25.（隐零点：零点与参数比较） 答案：（1）（2）（3）见解析。 解析： （1）（），故 在 上单调递增。 （2） 时 ， 时 。又 严格递增，故存在唯一零点 。 （3） 时 。因 ，且 严格递增，故 。 26.（极值点偏移：指数型） 答案：（1）减区间 ，增区间 ，最小值 ；（2）（3）见解析。 解析： （1）。减区间 ，增区间 ，最小值 。 （2） 时 ， 时 ，而 先减后增，故两个横坐标满足 。 （3）， 等号仅当 ，故 在 上递增。，故 时 ，即 。 取 ：。又 ，故 。因 、，而 在 上递增，故 ，即 。 27.（对数型含参恒成立） 答案： 。 解析： 当 时 恒成立。 当 时 ，条件化为 ；当 时 ，条件化为 。 设 （），则 设 ，， 在 上减、 上增，最小值 ，故 （等号仅 ）。 · ：，，得 ，即 ，故 ； · ：，，得 ，即 ，故 。 结合得 。（验证： 时 ✓） 28.（双零点不等关系） 答案：（1）；（2）（3）见解析。 解析： （1）。 在 上增、 上减，最大值 。 要使有两个零点，需最大值 ，即 。（此时两端 ，故恰有两个零点。） （2）由（1） 在 增、 减，两个零点分别在 与 内，即 。 （3）由 得 。计算 ： 设 （）：，，故 时 。 取 ：。因 ，，而 在 上递增，故 ，即 。 29.（对数平均不等式） 答案：（2）极限为 （即当 时 ）。 解析： （1）令 ，则 ，，，。 左端： 需证 ，即 ，等价于 令 ：等价于 。设 ，则 ，故 时 ，左端得证。 右端： 需证 ，即 。令 ：，等价于 设 ：，；，；，故 递增， 时 ，从而 ，，右端得证。 （2）当 时，（两曲线过同一点的”平均”退化为该处的函数值，也与 、 一致）。 30.（极值点偏移：对数倒数型） 答案：（1）减区间 ，增区间 ，最小值 ；（2）（3）见解析。 解析： （1）。减区间 ，增区间 ，最小值 。 （2） 时 ， 时 ， 先减后增，故 。 （3）（）。 时 ，且 ，故 ，方括号为正，所以 ， 在 上递减。 又 ，故 时 ，即 。 取 ：。又 ，故 。因 、， 在 上递增，故 ，即 。 第31—40题　参考答案与解析 31.（导数与数列不等式） 答案： 见解析。 解析： （1）设 （），，，故 ，即 。 （2）取 （）：，即 对 累加，左边相消得 （3）先证： 时 。设 ，（），，故 。 取 （）： 对 累加： 即 32.（指数与对数混合不等式） 答案：（1），， 在 上递增；（2）最小值 ；（3）见解析。 解析： （1），。 故 在 上严格递增。 （2）因 递增且 ： 时 ， 递减； 时 ， 递增。故最小值 即 。 （3） 即 ，故 。 33.（双零点与对数平均） 答案：（1）；（3）见解析。 解析： （1）。 时 递增，最多一个零点，不符； 时 在 增、 减，最大值 。 有两个零点需最大值 ，即 ，。故 。 （2）由 ，：相加得 ；相减得 ，即 。 （3）由第 29 题，，故 结合 ： 故 。 34.（含参双零点与参数比较） 答案：（1）；（3）见解析。 解析： （1），（）。 在 减、 增，最小值 有两个零点需最小值 ，即 ，。 （2）由 ，，相减：。 （3）由（2）：，即 由第 29 题，，故 从而 。 35.（ 型含参讨论） 答案：（1） 时在 上递增； 时在 减、 增；（2） 时最小值 ；（3）。 解析： （1）。 时 ，递增； 时在 上 、 上 。 （2） 时最小值 。（ 时无最小值。） （3）需 ，即 。 36.（指数型恒成立：分离参数） 答案： 。 解析： 时 。 设 （）： 在 减、 增，最小值 。 故 。 37.（两曲线相切求参数） 答案：（1） 与 ；（2）；（3）。 解析： （1）两曲线在 处相切：函数值相等、导数相等，即 （2）由 得 ，（）。 （3）代入 ：。 38.（隐零点：证明 ） 答案：（1）；（3）见解析。 解析： （1），，故 在 上严格递增。 故 有唯一实根 。 （2）由 ： 令 ，则 ，故 又由 取对数：，即 ，故 （3）。因 ，，故 。 在 上递减、 上递增（ 递增且 ），故 ，即 ，。 39.（指数型双零点不等式） 答案：（1）；（2）（3）见解析。 解析： （1）（）。 在 减、 增，最小值 有两个零点需 ，即 ，。 （2） 时 ，且 。 证 ： 若 ，则 与 都在 内， 在该区间上递减，故 ，与 矛盾。故 。 证 ： 若 ，则 与 都在 内， 在该区间上递增，故 ，与 矛盾。故 。 综上 。 （3）由 得 。计算 若证 ，即 ，等价于 ，即 设 （）：，，故 递增，，（）， 递增，。故 成立，从而 。 因 、（ 在 上递减，而 ，故 也在该区间内），由 在 上递减得 ，即 。 40.（综合压轴：多问递进） 答案：（1） 时在 上递增； 时在 减、 增，最小值 ；（2）；（3）见解析。 解析： （1）。 时 ， 在 上递增。 时 在 上递减、 上递增，最小值 。 （2） 时 递增且 有 （因 ），不满足恒成立。 时 ，恒成立。 时需最小值 ，即 ，。 综上 。 （3） 时 有两个零点 ，由 ： 由第二式 。由第 29 题的对数平均不等式 故 ，即 。 学科网（北京）股份有限公司 $