排列组合专项训练40题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 2027届高三数学一轮复习排列组合专项训练，40题覆盖选择、填空、解答题型，系统考查排列组合核心知识与应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列问题|1,2,3,4,12,14,28|含相邻、不相邻、位置限制等条件|从基本排列到有限制条件排列，逐步提升复杂度| |组合问题|5,16,24,25|含"至少""至多"等限定条件|从简单组合到分组分配，体现组合应用的多样性| |二项式定理|9,11,15,17,19,23,27,34|求特定项系数、二项式系数|从展开式结构到系数计算，构建完整知识链| |综合应用|6,10,22,26,29,30,31,32,33,35,36,37,39,40|含新定义、实际应用等创新题型|融合排列组合与其他知识，培养数学应用意识|

排列组合专项训练（40 题 ） （详细答案解析 ） 选择题答案速查表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 C A B D B C A C D B A D A B C D 题号 17 18 19 20 21 答案 ACD ABC BD ABD BCD 一、单项选择题解析 1. 答案 C。 分类按个位数字： · 个位为 ：百位、十位从 中取排列， 个； · 个位为 或 （ 种）：百位不能为 ，从剩余 个数字中的非零数字（ 个）中选 个，有 种；十位从剩余 个数字中选，有 种： 个。 合计 个。 2. 答案 A。 插空法：先排 名女生， 种；女生之间及两端共 个空位，从中选 个按顺序插入男生： 种。合计 种。 3. 答案 B。 捆绑法：乙丙捆绑为整体，内部 种顺序；此时共 个“元素”（乙丙整体、甲、丁、戊、己），全排列 种，总排法 种。其中甲站两端：甲在左端或右端（ 种），其余 个元素排列 种，再乘捆绑内部 种，共 种。故所求 种。 4. 答案 D。 容斥原理：总排法 ；体育排第一节：；数学排最后一节：；两者同时发生（体育第一节且数学最后一节）：。故所求 种。 5. 答案 B。 甲必须入选：再从其余 人（ 名男生、 名女生）中选 人， 种；其中“没有女生”（即 人全部来自其余 名男生）： 种。故至少含 名女生的选法 种。 6. 答案 C。 先分组后分配： 个球按 分成三组， 种（选出成对的 个，剩余两个各自成组）；再把 组分给 个不同盒子， 种。合计 种。 7. 答案 A。 数字之和为偶数 三个数字中含偶数个奇数，即含 个或 个奇数（ 共 个奇数； 共 个偶数）。 · 全偶数：从 个偶数中取 个排列且首位非 ： 个； · 奇 偶：若偶数取非零偶数（ 种）： 个；若偶数取 ：排列中 不能在首位， 个。小计 个。 合计 个。 8. 答案 C。 令 ，方程化为 （均为非负整数）。隔板法： 个。 9. 答案 D。 的系数为 。由“曲棍球杆恒等式”（可由杨辉恒等式逐项裂项得到）： （验证：。） 10. 答案 B。 不加限制时（每盒至少 个）： 种。排除甲盒超过 个的情形：甲盒 个：其余 球放 盒每盒至少 个， 种；甲盒 个：其余 球每盒 个， 种；甲盒 个时其余盒无法满足。故所求 种。 11. 答案 A。 通项 。令 得 ，系数为 。 12. 答案 D。 缩倍法（对称性）： 人的所有排列 种中，甲与乙的相对位置（甲左乙右、乙左甲右）各占一半。故甲在乙左边的排法 种。 13. 答案 A。 若分给甲、乙、丙三人（编号），为 种；现堆与堆之间不编号，三堆规模相同（均匀分组），需除以堆的排列数： 种。 14. 答案 B。 人围圆桌总数 种；甲乙相邻：将甲乙捆绑， 个元素围圆桌 种，内部 种，共 种。故不相邻的坐法 种。 15. 答案 C。 由 ，得 16. 答案 D。 即求从 人集合到 个社区的满射个数。容斥原理： （也可分组分配：分组 ：；分配 ： 种。） 二、多项选择题解析 17. 答案 ACD。 由 得 （）。 A：，正确。B：，错误。C： 为偶数，二项式系数最大值为 ，正确。D：，正确。 18. 答案 ABC。 A： 人全排列中，甲、乙、丙 人的相对顺序共 种且等可能，故固定一种顺序的排法 种，正确。 B：分两组不编号： 型： 种； 型： 种。合计 种，正确。 C：每个球独立放入 个盒子之一： 种，正确。 D：总排法 ；甲丙相邻：；乙丙相邻：；两者同时（丙居中的三人连块“甲丙乙”或“乙丙甲”）：。由容斥原理，甲乙都不与丙相邻：，错误。 19. 答案 BD。 A：，错误。B： 项为 ，系数 ，正确。C：二项式系数之和 ，错误。D：令 ，各项系数之和 ，正确。 20. 答案 ABD。 A：正整数解：隔板法 ，正确。B：，正确。C：设 ，则 ，非负整数解 ，错误。D：令 ，方程化为 （均为正整数），，正确。 21. 答案 BCD。 A：设等差数列 ，： 时 组， 时 组， 时 组， 时 组，合计 ，错误。 B：公比 ：整数比 ：；：；分数比 ：首项须被 整除，仅 。合计 组，正确。 C：三数之和为偶数 含 个或 个奇数： 个偶数：； 偶 奇：。合计 ，正确。 D：含 ：再从其余 个数中取 个：，正确。 三、填空题解析 22. 答案：。先固定 个数字在原位： 种；其余 个数字全部不在原位，即 个元素的错位排列， 种。合计 个。 23. 答案：。通项 。令 得 ，常数项为 。 24. 答案：。间接法：总选法 ；全男：；全女：。故 种。 25. 答案：。两端路灯保留，可熄灭的位置只有第 号共 个位置，从中选 个互不相邻的位置，由“不邻选取”公式 种。（等价算法：保留 盏亮灯， 盏亮灯之间形成 个内部空档，选 个插入熄灭的灯：，两法一致。） 26. 答案：。按人数分组方案 与 ： · ：； · ：。 合计 种。（验证：满射计数 。） 27. 答案：；。二项式系数仅一项最大 为偶数，最大项为第 项。由 得 ；。 28. 答案：。甲在前排 个位置中选 个： 种；乙在后排 个位置中选 个： 种；其余 人排在剩余 个位置： 种。合计 种。 29. 答案：。奇数字 ，偶数字 。奇偶交替有两类： · 奇偶奇偶奇偶：奇数字排第 位：；偶数字排第 位：（ 不在首位，无碍）。小计 个； · 偶奇偶奇偶奇：偶数字排第 位且首位非 ：；奇数字排第 位：。小计 个。 合计 个。 30. 答案：。从 中任取 个不同数字： 组。对每一组数字，最大的数字必须放在十位（ 种），较小的两个数字分别放在百位与个位（ 种）。合计 个。 31. 答案：。设 为经过 次传球后球在甲手中的方式数。 次传球后球不在甲手中的方式数为 ，且每一种“不在甲手中”的序列恰有 种方式延续为“传给甲”，故 ，其中 （初始甲持球， 次传球）。 逐项计算：，，，。 （直接验证 ：传球链甲甲。若 甲： 有 种，甲有 种，小计 ；若 甲： 有 种、 且 甲有 种、 且 甲有 种，小计 。合计 。） 32. 答案：。不加约束：非负整数解 个。排除某个变量 ：设 ，则 ，非负整数解 个；三个变量对称，共 个；两个变量同时 时和 ，不可能。故所求 个。 四、解答题解析 33. （1）插空法：先排 名男生： 种；男生之间及两端共 个空位，插入 名女生（有序）： 种。合计 （2）捆绑法： 名女生捆绑为整体，内部 种；此时共 个元素（女生整体、甲、另 名男生），全排列 种，总排法 种。减去甲站两端的情形：甲在左端或右端（ 种），其余 个元素排列 种，乘女生内部 种，共 种。故所求 （3）甲乙之间恰有 人：将“甲 乙”视为一个长度为 的连块，甲、乙在连块两端（左右可交换： 种），中间 个位置从其余 人中有序选取： 种，故连块内部共 种；连块与其余 人共 个元素全排列： 种。合计 34. （1）第 项与第 项的二项式系数分别为 与 ，故 即 ，，解得 （舍去 ）。 （2） 的系数为 。 （3） 中 的系数：一部分来自 的 项乘 ：；另一部分来自 的 项乘 ：。合计 35. （1）每盒至少 个：隔板法， 个球排成一行， 个空档插 块隔板： （2）每盒至少 个：先每盒放 个（用去 个），剩 个球任意放入（非负），即 的非负整数解： （3）第 号盒恰好放 个，剩余 个球放入 号盒（不限），即 的非负整数解： 36. 方格 （左上）、（右上）、（左下）、（右下），相邻关系为 、、、，对角对 、 可同色。 （1）恰好 种颜色：必有 且 ，且 ： 种。 （2）恰好 种颜色，分两类： · （此时 分别与 不同且 ）： 有 种， 有 种， 且 有 种： 种； · 且 （此时 三色互异）： 有 种， 有 种， 且 有 种： 种。（若 且 ，则 四色互异，属 色情形。） 合计 种。 （3）总数按 与 是否同色分类： · ： 有 种， 有 种： 种； · ：、： 种；再取 且 ： 种： 种。 合计 种。（其中 色 种、 色 种、 色 种，验证 。） 37. （1）甲乙捆绑为整体： 人变 个元素围圆桌： 种，内部 种： （2）先排其余 人围圆桌： 种； 人之间形成 个空档，从中选 个按顺序插入甲、乙、丙： 种。合计 （有趣的是，结果与第（1）问相同，纯属巧合。） （3）甲乙相邻的坐法 种（同第（1）问）；其中丙丁也相邻的：将“甲乙”与“丙丁”各捆绑为整体， 个元素围圆桌： 种，两个整体内部各 种： 种。故 38. （1）组合意义证明：从 个不同元素中取 个元素的子集共 个。固定其中一个元素 ，将这些子集分为两类： · 含 的：需再从其余 个元素中取 个，共 个； · 不含 的：从其余 个元素中取 个，共 个。 两类不重不漏，故 。 （2）恒等变形：由 得 （组合意义：从 个人中选出任意多人组成代表团并指定 名团长，按人数分类计数与按团长人选计数，两种方式结果相同。） （3）在展开式 中，当 时 。两式相加： 故偶数下标二项式系数之和 ；两式相减同理得奇数下标之和 。证毕。 39. （1）依次分给甲、乙、丙（人编号，各人恰好 本，顺序自然确定）： （2）均匀分堆，堆不编号，在（1）的基础上除以堆的全排列： （3）三堆规模互不相同（），堆的规模已将堆“区分”，无需除序： （4）先按（3）分成规模为 的三堆（ 种），再把三堆任意分给甲、乙、丙 人（人与堆全排列对应）： 种。合计 40. 将 按模 的余数分类： 逐一分析各类之间“和为 的倍数”的冲突： · 内部： 是 的倍数 中至多取 个； · 内部：，， 均为 的倍数 中至多取 个； · 与 之间： 是 的倍数 不能同时从 和 中取元素； · 内部、 内部：和 $\equiv 2\pmod 4$，无冲突； 与 之间：和 $\equiv 1,2,3\pmod 4$，均无冲突； 与 之间：和 $\equiv 1,3\pmod 4$，无冲突。 （1）由上述分析：从 （ 个）与 （ 个）中只能取其中一类，最多取 个；从 至多取 个；从 至多取 个。故元素个数最大值为 例如 （可逐对验证任意两个不同元素之和均不是 的倍数）。 （2）各类的选择相互独立： · ：取空集或 个元素： 种； · ：取空集或 个元素： 种； · ：所取元素只能整体落在 中或整体落在 中（含空集）： 种（空集被计算两次，减 ）。 由分步乘法计数原理，回避集的个数为 学科网（北京）股份有限公司 $ 排列组合专项训练（40 题）——2027 届高三数学一轮复习 说明：全卷共 40 题：单项选择题 16 题、多项选择题 5 题、填空题 11 题、解答题 8 题。 一、单项选择题（每题只有一个正确选项） 1. 用 五个数字组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. 名男生和 名女生排成一排照相，要求男生互不相邻，则不同的排法数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3. 甲、乙、丙、丁、戊、己 人站成一排，要求乙与丙相邻，且甲不站在两端，则不同的排法数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4. 安排一天 节课（数学、语文、英语、物理、化学、体育各一节），要求体育课不排第一节，数学课不排最后一节，则不同的排法数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5. 从 名男生、 名女生中选 人参加辩论赛，要求男生甲必须入选，且 人中至少有 名女生，则不同的选法数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6. 将 个不同的小球全部放入 个不同的盒子，要求每个盒子至少放入 个球，则不同的放法数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7. 用 这十个数字组成无重复数字的三位数，且三个数位上的数字之和为偶数，则这样的三位数共有（　　） A. 个　　B. 个　　C. 个　　D. 个 8. 方程 满足 ， 的整数解的个数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 9. 多项式 的展开式中， 的系数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 10. 将 个相同的小球放入 个不同的盒子，每个盒子至少放 个球，且甲盒最多放 个球，则不同的放法数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 11. 的展开式中， 的系数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 12. 个人站成一排照相，甲必须站在乙的左边（可以不相邻），则不同的排法数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 13. 将 本不同的书平均分成 堆（每堆 本，堆与堆之间不编号），则不同的分法数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 14. 个人围坐一张圆桌，甲与乙不相邻的坐法数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 15. 在 时的值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 16. 从 名志愿者中选派人员到 个不同的社区服务，每人只去一个社区，且每个社区至少有 名志愿者，则不同的选派方案数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、多项选择题（每题至少一个正确选项，错选不得分，漏选得部分分） 17. 已知 ，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 的展开式中，二项式系数的最大值为 D. 18. 下列计数问题中，给出的答案正确的是（　　） A. 个人站成一排，甲、乙、丙 人从左到右的相对顺序固定（甲在乙前、乙在丙前，可以不相邻），排法数为 B. 名同学分成两个小组（小组不编号，每组至少 人），分法数为 C. 个不同的小球放入 个不同的盒子（盒子可以空着），放法数为 D. 个人站成一排，甲、乙都不与丙相邻，排法数为 19. 已知 ，则下列说法正确的是（　　） A. 常数项 B. 的系数为 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 20. 下列说法正确的是（　　） A. 方程 的正整数解的个数为 B. 将 个相同的小球放入 个不同的盒子，每个盒子至少放 个球，放法数为 C. 将 个相同的小球放入 个不同的盒子，每个盒子至少放 个球，放法数为 D. 方程 的正整数解中，满足 的解的个数为 21. 从 这 个数中任取 个不同的数，则下列说法正确的是（　　） A. 这 个数能构成等差数列的取法数为 B. 这 个数能构成等比数列的取法数为 C. 这 个数之和为偶数的取法数为 D. 这 个数中含有数字 的取法数为 三、填空题 22. 由 排成的无重复数字的五位数中，恰有 个数字仍在其“原位置”（如数字 在万位）的五位数共有 __________ 个。 23. 的展开式中的常数项为 __________。 24. 某高校从 名教授（ 男 女）中选 人组成评审组，要求男女教授都有，则不同的选法数为 __________。 25. 马路上有 盏路灯排成一行，为节约用电需熄灭其中 盏，要求两端的灯不能熄灭，且熄灭的灯互不相邻，则不同的熄灯方案共有 __________ 种。 26. 将 名实习教师分配到 个不同的岗位，每人只去一个岗位，且每个岗位至少安排 人，则不同的分配方案数为 __________。 27. 已知 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，则 __________， __________。 28. 名同学站成前后两排（前排 人，后排 人）照相，要求甲必须在前排、乙必须在后排，则不同的站法数为 __________。 29. 用 组成无重复数字的六位数，要求相邻数位上的数字奇偶性交替，则这样的六位数共有 __________ 个。 30. 新定义：若一个三位数各位数字互不相同且均不为 ，且十位数字大于百位数字与个位数字，则称该三位数为“峰形数”（如 ）。则峰形数共有 __________ 个。 31. 甲、乙、丙、丁 人传球，从甲开始传出，每次传球传给其余 人中的任何 人（不能传给自己），则经过 次传球后，球恰好又回到甲手中的不同传球方式共有 __________ 种。 32. 方程 满足 的整数解的个数为 __________。 四、解答题（写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 33. 名男生和 名女生站成一排照相，求满足下列条件的不同排法数： （1） 名女生互不相邻； （2） 名女生必须站在一起，且男生甲不站在两端； （3）甲与乙之间恰好有 个人。 34. 已知 的展开式中，第 项与第 项的二项式系数之比为 。 （1）求 的值； （2）求 的展开式中 的系数； （3）求 的展开式中 的系数。 35. 将 个相同的小球放入编号为 的 个不同的盒子。 （1）若每个盒子至少放 个球，求不同的放法数； （2）若每个盒子至少放 个球，求不同的放法数； （3）若恰好第 号盒子放 个球，其余盒子放的球数不限（可以为 ），求不同的放法数。 36. 用红、黄、蓝、绿 种颜色给“田”字格的 个小方格涂色（左上、右上、左下、右下分别记为 ），要求有公共边的方格不同色（对角方格可以同色）。 （1）若恰好使用 种颜色，求不同的涂法数； （2）若恰好使用 种颜色，求不同的涂法数； （3）求满足条件的涂法总数。 37. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛 人围坐一张圆桌。 （1）若甲与乙相邻，求不同的坐法数； （2）若甲、乙、丙 人两两不相邻，求不同的坐法数； （3）若甲与乙相邻，且丙与丁不相邻，求不同的坐法数。 38. 证明下列组合恒等式（，）： （1）（）； （2）； （3）。 39. 现有 本不同的书。 （1）将这 本书分给甲、乙、丙 人，每人 本，求不同的分法数； （2）将这 本书平均分成 堆，每堆 本，求不同的分法数； （3）将这 本书分成 堆，一堆 本、一堆 本、一堆 本，求不同的分法数； （4）将这 本书分给甲、乙、丙 人，一人得 本、一人得 本、一人得 本，求不同的分法数。 40. 新定义：设 ，若 中任意两个不同元素之和都不是 的倍数，则称 为“回避集”。 （1）求回避集 中元素个数的最大值，并给出一个达到最大值的例子； （2）求 的所有子集中回避集的个数。 学科网（北京）股份有限公司 $