三角函数专项训练40题（题型中高难度）-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数核心考点，以40题分层设计构建从概念到综合应用的逻辑体系，强化数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|单选1-6、11-12|图像变换、零点、对称性|从定义推导周期性、单调性，建立性质应用逻辑链| |三角恒等变换|单选8、14、填空23|公式应用、角的变换|以同角关系为基础，拓展和差倍角公式的灵活转化| |解三角形|单选9、解答34、36|边角关系、面积计算|整合正弦定理、余弦定理，构建几何量转化模型| |综合应用与新定义|多选21、填空30|对称周期、不动点|结合创新情境，深化函数性质与逻辑推理的综合运用|

三角函数专项训练（40 题 ） 2027 届高三数学一轮复习 说明：全卷共 40 题：单项选择题 16 题、多项选择题 5 题、填空题 11 题、解答题 8 题。 一、单项选择题（每题只有一个正确选项） 1. 已知 ，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. 将函数 的图象向左平移 （）个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数，则 的最小值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3. 已知函数 （）在开区间 内恰有两个零点，则 的取值范围是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4. 已知 （单位：弧度），则 ，， 的大小关系为（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数 （，，）图象的两个相邻零点为 和 ，且最大值为 ，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6. 函数 在 上的零点个数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7. 已知平面向量 ， 满足 ，，则 在 方向上的投影向量为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8. 已知 ，则 （　　） A. 　　B. （）　　C. （）　　D. 9. 在 中，，，，则满足条件的三角形的个数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 不能确定 10. 已知函数 ，若 ，，且 ，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 11. 将函数 的图象向左平移 （）个单位长度后，得到函数 的图象，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 12. 已知函数 （）的图象关于直线 对称，且 在 上单调递增，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 13. 已知数列 满足 ，其前 项和为 ，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 14. 已知 ， 均为锐角，，，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 15. 已知函数 （）在 上取得最大值 ，但取不到最小值 ，则 的取值范围是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 16. 已知函数 ，若直线 与曲线 在 上恰有两个不同交点，则 的取值范围是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、多项选择题（每题至少一个正确选项，错选不得分，漏选得部分分） 17. 已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 对称 C. 在 上单调递增 D. 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象 18. 已知 ，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 19. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 20. 已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 在 上单调递增 D. 直线 与 的图象在 上恰有 个交点 21. 新定义：若存在正常数 ，使得对任意 ，都有 ，则称 为函数 的一个“对称周期”。已知 ，则下列说法正确的是（　　） A. 是 的对称周期 B. 是 的对称周期 C. 是 的对称周期 D. 的对称周期为 （） 三、填空题 22. __________。 23. 已知 ，则 __________。 24. 已知函数 （）在 上的最小值为 ，则 的取值范围是 __________。 25. 在 中，，，则 的取值范围是 __________。 26. 方程 的实数解的个数为 __________。 27. __________。 28. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 在 上的值域为 __________。 29. 已知平面向量 ，，则 的最小值为 __________。 30. 新定义：若 满足 ，则称 为函数 的不动点。则函数 的不动点的个数为 __________。 31. 在 中，，，， 为角 的平分线（ 在 上），则 的长为 __________。 32. 已知 ，则函数 的最小值为 __________。 四、解答题（写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 33. 已知函数 。 （1）求 的最小正周期与图象对称轴方程； （2）求 在 上的值域； （3）求不等式 在 上的解集。 34. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，且满足 。 （1）判断 的形状； （2）若 ，且 的面积为 ，求边 的长。 35. 已知函数 （）。 （1）将 化成 的形式，并求其振幅； （2）若 在 上恰有一个最大值点和两个零点，求 的取值范围。 36. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，， 为 边的中点。 （1）求证：； （2）若 ，且 ，求 的面积。 37. 已知函数 。 （1）求 在 上的值域； （2）若方程 在 上有两个不相等的实数根 ，求实数 的取值范围，并求 的值。 38. 在 中，，，，点 在 边上，且 。 （1）用 ， 表示 ，并求 ； （2）求 。 39. 已知函数 （）。 （1）当 时，求 在 上的值域； （2）若 在开区间 上恰有两个不同的实数根，求 的取值范围。 40. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，。 （1）求边 的取值范围； （2）求 外接圆半径 的取值范围； （3）求 面积的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数专项训练详细答案解析 选择题答案速查表 题号1234 5678910111213141516 答案D C A CC CA B CC AA B AA B 题号1718192021 答案ABD ABC ACD BCD ACD 一、单项选择题解析 1.答案D。由sina+g=3 +43得2 (sin c +cosa)= 3， 两边Ψ方：1+sm2a=号 ，即1+sn2a=号，故sn2a= 3° 2.答案C。左移m个单位长度得g(x)=co 2x+2m-若.gx)为奇函数，首先 g0=co2m--0,故2m-看-受+k,即m-号+经.此时 gx)=c0s2x+号+h=±sin2x确为奇函数。故最小正平移星为m=写 kπ- π 3.答案A。零点满足ax+号k,即x 3。k=0时X<0舍去：k≥1时需 ⊙ -号<@m,即k<0+行怡有两个零点(k=12)等价于 2-as3oe得 8 (注意0=3时第三个零点x=π恰为开区间(0，元)的端点，不计入。) 4答案c.因号e0,子故os号n号（也可由cosX-nx=5ax+0行 3 3 4 3 sin 到，因x+经。又 3 3 2s分0<cos)。放as 3 37s 3 后3 COS- 6答案。两相邻零点之差为半周期：2D?,故T=九，0=2，又A=2。 f=0得g+o=ka,1o号只能k=0,9=各放fx刘=2sin2x- =2sin-2sin2=2. 36 6答案c.些点满足m2x京令0-2xe04,解为9=后是号，1g,共4 5π>4π舍去)。 个(6 7.答案A。a在b方向上的投影向量为 a:bb-2b-1b. 42 8.答案B。展开得tana+tan阝+tantan B=1,即tana+tanβ=1-tana tanB。若 tan tan B=1,则tana+tanB=0,此时tan a tan B=-tanc≤0，矛盾，故tan a tan B≠1。 丁是ma+p=n-l,+B=+ake2。 9.答案C。inB=bsnA-,2-三∈0.1’故有解。又bsinA=号a=2<b3 由“两边及其中一边的对角”解三角形的判定，B有两解，即满足条件的三角形有2 个。 10.答案c。fx=2sinx-,fx=-1即snx牙}- 4 2,解为 ×4至+2a或x-孕平+2，即X=2知或X=+2。名∈0，m]只能 =0,名[，2)只能=受。放+%票 (由0<9<π唯一确定)。 12.答案A。f(x)=2 sin @x+乃 3/。 关于直线x=π对称，则f(π)=±2，即 om+写+a,=+k(ke2).又在0， 32 6 上单调递增：0=ox+∈匹，on+乃 3’23 ππ ,须含于递增区间 2’2 (左端3 已在其中)，故受+号受o分于是k=0, 1 0三 6° 2π_1 .4π_1 13.答案B。a1=c053=-2,a,=c0s 3=2a,=cos2m=1,数列以3为周期，且 每周期三项之和为0，由2026=3×675+1，得Ss=a=- 14省案A。a为能角：sna=1-045,又cos1a+8)-告0且 +e0,,放e4pe受aa+e-1-2放 cosB=cos(@+B)-a=cos(a+B)cosa+sin(@+B)sina=-11+60-1 98982 15.答案A。Xe0,号 时0=ox+5∈ ππ+ 3 3’2 取得最大值1：区间须含受，即 学取不到最小值-1：该区间上s血0=-1仅在0=处取得，须不含受，即 17 3'3° 16. 答案0-2x+0时0e层号个》，k=m9- 2 逐-壁证特殊伯：k=-0时n0-解为0-后，共3个交点，排除：k号 时s血0=1仅0号一个，排除：k=子时sn0=-1,仅0=买 一个，排除。当 0<k<3时sin0e2,1, 解8--arcsinv石， 与 02=π-01∈2,6 π5π 均在区间内 (2a+0,1g舍去)，恰2个当多k<0时n0=v1, ,解 θ1=π-arcsinv∈ 与02=2π+arcsin v∈ 3π13π 2’6 均在区间内，恰2个。故 二、多项选择题解析 7.答案m,1=要n2xm2xn2x+引T-=元对. 2 2×5n+π 126 ,血=0，且该点处图象穿过X轴，是对称中心，对。c:X∈看号引 时9e合得，含号个年润，精：有移登得m2x-名+ π =sin2x,对。 18.答案ABC。A:sina cosa= tana=-2=-2 1+tan2a1+45,对。B: cos2&1-tana=154=-号，对。C:sina-sin a cos a=a tanQ=4十2=6，对。 1+tana D:(sina+cosa)2=1+2sina cosa=1-4= 号言故na+Qsu=±5，符号随《所在象限 而定，不能确定，错。 19.答案ACD。A:由正弦定理sinA>sinB~a>b,又三角形中大边对大角， a>bA>B,对。B:sin2A=sn2B→2A=2B或2A+2B=元，后者即C=号（直角三 角形)，结论不完整，错。C:展开得(a+b2-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab,故 cosC=,ab-号，C=,对。D:tanA+tanB=1-tan A tan B且tan Atan B≠1，故 aA+B,面A+Be0,,得A+B=景，C= 4，对。 20.答案BCD。A:fx+π)=|sin(x+π=lsinxl=f(x,最小正周期为π而非2π， 3π 错。B:f(-x)=sin(-x川=|sinx,对。C:x∈π，2 时f(x=-sinx单调递增，对。 D:1sm号在021上解为X合君6，价4个交点，对。 21.答案ACD。f(x+T)=f(T-x)即sin(2x+2T)=sin(2x-2T),由和差化积： 2s2xsin2T=0对一切x成立-sin2T=0-T-受(keN).AT=n时 sin2T=0,是，对。8：T=牙时sin乃=10，否，错。c:T=7时sinm=0,是，对。 D:由推导T-受kEN)均为对称周期，对 三、填空题解析 22.答案：1。sin105=sin75,原式 =sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin(15°+75)=sin90°=1。 23.答案：-3.ana=2→tana-1=2+2ana→ana=-3。故 51+tana sin 2a=- 2tanc&_-6_3 1+tana1+95° 1 24.答案： 3,+0。设0=0x- e-I.on-I 66'26° 最小值为-2须sin0=-1可取 即区间须含受（而受-永远取不到：受-君，解得ω≥号。 37π ωn_π、3π 10 到， 25.答案：3,2。余弦定理：a2=6+c2-2bccs2=b+c2+bc=3,故 (b+c=b2+c2+2bc=3+bc。由b2+c2≥2bc得3-bc≥2bc,即bc≤1；又三角形非退 化，bc>0。故(b+c2∈(3,4]，b+c∈(3,2]（上界在b=c=1时取得）。 26.答案：3。设h(x)=sinx-之，为奇函数，X=0是解。当x>0:h hm=-<0,且h在 乏，上连续，故恰有一个正根：由奇函数对称性恰有一个负 根。共3个实数解。 1 27.答案：16。sin10°=cos80,sin50=cos40,sin70°=cos20,故原式 cos 20'cos 40'co 80 sim 160sin20 28sin20°28sin20°16 受最小值2，端点处m子如-岩分最大值子对脑两数位1故 值域为[-2,1]。 29.答案：1。a+b=(sinx+1,cosx+3), la+bP-(x+1+(cox+3-5+2mx+3cox)-5+4smx+1 当x+了37+2：时取等号，故最小值为1。 32 30.答案：3。不动点满足sin受X,当X∈0川时，ysn受的图象是四弧，连接 〔0,0)与(1,1的弦为y=x,凹弧位于弦上方（仅在端点处重合），故sin受≥x,等号 仅在x=0,1处成立，即0,1为不动点；由f为奇函数，-1也是不动点；其余点均不 满足。共3个不动点：-1,0,1。 6V3 31.答案： 6等.设b=AC=3,c=AB=2,A=晋。角平分线长公式（推导见册末附 2bcc0s12×3x2×c0s 12×3 注)：AD= 2 2_63。 b+c 6 5 5 32.答案：3。令=inxe01.y=+2由y=1子<0（因0<≤1<2，y在 (0,1上单调递减，故最小值在t=1(即X=)处取得，ym=1+2=3。(注意：均值不 等式t+2≥22的等号条件=2取不到，故须改用单调性求最值。) 四、解答题解析 33. 《1)fx=cos2x+3sin2x=2sn2x+名，最小正周翔T=,对称箱满足 2x+合受+，即x=君+经(e2) 62 2xe周时9=2x+g sin0取遍[-1,1]，故值域为[-2,2]。 (3)fx)≥3即5in2x+≥ 6- 。 0=2x+合e1 则需 其中第二段与区间的交集为 7π13π 3’6 (因培8.换 8、I x=:第一段得 13π5π 第二段得 12’4 故解集为 34. (1)由正弦定理，c=2 bcos A即sinC=2 sin BcosA。而 2sin Bcos A=sin(A+B)+sin(B-A)=sin(n-C)+sin(B-A)=sin C+sin(B-A), 故sin(B-A)=0。又-π<B-A<π，所以B-A=0,即A=B,△ABC为等腰三角 形。 ②)由（1)A=B得a=b,且osA元古即bcosA=1,面积 S-号besinA=hsnA=93。两式平方相m:b2=((bA)+(binA)=1+3=4,b=2,故 =b2:(此时msA-,△BC为下三角形，验证面积为5x2=3,吻合：) 35. (1)f(x)=2sinox 6, 振幅为2。 (2)设日=wx+乃 xe0a时8e后on 6° 零点：日=k=0时0=0<号不在区间内；k之1时需≤0m+答即k≤0+若恰有 两个零点(k=12)等价于2≤0+信c3,即0∈ 117 6’6 最大值点：0=)+2k。k=0时0=)≥ 之6恒在区间内：k=1时需 5π≤on+ 6,即 o≥子：恰有一个最大值点等价于@子 综上，0∈ 117 6’3° 36. （1)证明：AD-AB+AC,故 AD-AgAC-0,6+2csa-2d+c 其中用到cos号：故AD号+c+be (2)AD=7得b2+c2+bc=28:又b+c=6得b2+c2+2bc=36。两式相减得bc=8。 故 。x3=23. Same-besinA 2 (此时b,c为方程t-6t+8=0的两根，即{b,c}={2,4},三角形存在。) 37. 。 s如0在该区间上的最大值为1(0=受 ),最小值为sin 4π=-3 32 (右端点， 3π 不在区间内)。故值域为[-3,2]。 (2)设v= 方程两根即sin0=v在 π4π 3 2 3’3 内恰有两解。当v∈ ,1 时，解 8,=arcsinv∈ ππ 与02=π-arcsinv∈ π2π 均在区间内，恰两解；当v= 3 32 2’3 时解 为0=亚2n ，其中0=写 对应=0为区间端点，且此时仅是边界情形：当 3 ve0,2 时仅0=π-arcsinv一解；当v∈ 2,0/ 时仅0=π-arcsinv∈ 4π T,3 一解。故两根均为内部点且恰有两解的条件为V∈ 即k∈(3,2)。此时由 9+9,=π（两根关于6=二对称）得 X1+X=22 + 3-π 2 61 即X+名为定值石 38. (1)由BD=2DC知D分BC为2：1，故 AD心+Bm=AB号d-B+Ac-心-号B+号C 3 由ABAC=2×4×c0s5号=4： of-号iar+4iBac+4Adc-g4+16+6a-g-9。 101=2要 g四西A0Aar-号Bc-专号4.敢 3 CoS∠BAD=AB·AD 4 3V21 |AB1川AD12x22I927=7. 3 39. (1)当a=1时，f(x)=sinx+cos2x=sinx+1-2sinx。令t=sinx∈[-1,1]， bi=-2r+1,对将编号e-1,最大值-号蜀点-1=-2,1-0 ,最小值-2。故值域为 -2,8 (2)f(x)=0即asinx+1-2sinx=0。令t=sinx,x∈(0，π)时t∈(0,1]，方程化为 22-t-1-0,两根之积为0，恰一正一负。记正根。-a+8a+8-0。由于 4 sinx=。在(0，m)内恰有两解（关于x=受对称的两个x)。∈(0,1：6=1时仅一 解(x=究)：t6>1时无解。而 t<1a+a2+8<4√a2+8<4-aa<4且a2+8<16-8a+a2a<1. 故a的取值范围为a<1。 40. (1)余弦定理：a2=b2+c2-2 bccos=(b+cP-3bc=16-3bc。由均值不等式 cb2-4,且bc0,故2=16-3bce416,即ae24 (2)由正弦定理a=2 RsinA=-3R,故R=号由(1)a∈[2,4)得R∈ 2343 3’3 (3)5=bc5inA源c≤9×4=5，当且仅当b=c=2(此时a=2,为三角形)时 4 4 取得。故面积最大值为3。 附注：角平分线长公式推导（第31题用） 设AD为△ABC中角A的平分线。由角平分线定理BD:DC=c:b,故 AD=bAB±cAC】 b+c 于是 bc2+c2b2+2bcAB·AC.1 AD2= 1 12b2c2(1+cosA) 4b'c'cos2A (b+c2 1 (b+c2 (b+c2 2bcos立.f代入b=3,c=2,A=号得AD=23 即AD= 2×3x2x 2_6V3. b+c 5 5