专题09 统计与概率（期中真题汇编，山东专用）高三数学上学期

专题09 统计与概率 7大高频考点概览 考点01 统计 考点02 线性回归方程 考点03 独立性检验 考点04 排列与组合 考点05 二项式定理 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 考点07 随机变量及其分布列 考点01 统计 1．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）（多选）已知一组正实数样本数据，满足，则（       ） A. 若，则样本数据的第60百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 D. 将组中的每个数据变为原来的3倍，则所得的新样本数据的方差变为原数据方差的3倍 【答案】BC 【分析】 根据百分位数的求法，可判断A的正误；根据极差的概念，分析可判断B的正误；根据中位数、平均数的性质，结合图象，可判断C的正误；根据方差的求法，化简整理，可判断D的正误. 【详解】 选项A：因为，为整数， 所以第60百分位数为，故A错误； 选项B：极差为最大值与最小值之差， 若去掉样本为中间数据，则最大值与最小值不变，此时极差不变，故B正确； 选项C：右边“拖尾”，则最高峰偏左，中位数靠近高峰处， 右边“拖尾”，说明数据中存在较大的值，这些较大值会拉高平均值，使平均值靠右， 所以样本数据的平均数大于中位数，故C正确； 选项D：设原数据平均数为，方差为，则， 新数据为，则平均数为，新方差， 所以新样本数据的方差变为原数据方差的9倍，故D错误. 故选：BC 2．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示．则这20人年龄的60%分位数为（　　） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 【答案】C 【分析】 结合表格数据根据百分位数的概念求解即可. 【详解】 因为，又， 这20人年龄的60%分位数为. 故选：C. 3．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B. 若随机变量，且，则 C. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D. 在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 【答案】BCD 【分析】 根据百分位数、正态分布、决定系数的意义以及残差的定义进行判断即可. 【详解】 对于A： 先将数据从小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30共10个数据， 因为，为整数，所以第70%分位数是第7项和第8项的平均值， 即，所以A错误； 对于B： 因为，正态分布关于对称， 所以，所以， 所以B正确； 对于C： 在回归分析中，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，即越大，模型的拟合效果越好，所以C正确； 对于D： 残差点所在的带状区域宽度越窄，说明残差越小，模型对数据的拟合精度越高，所以D正确. 故选：BCD. 4．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. （1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. （2）为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ （3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），1.2万份；     （2）认为对饮品的喜欢程度与性别有关；     （3）6300份.      【分析】 （1）求出，，，代入得到，求出，销售量关于温度变量的线性回归方程，代入，求出，从而得到温度在区间时的该饮品的日销售量. （2）先进行零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联，利用公式求出，进行比较得到结论； （3）设这100天的日均销售量为，求出，从而得到这100天的日均销售量. (1) 小问详解： ， ， ，所以， ，销售量关于温度变量的线性回归方程为， 当. 所以温度在区间时的该饮品的日销售量估计为1.2万份. (2) 小问详解： 零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联. . 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对饮品的喜欢程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. (3) 小问详解： 设这100天的日均销售量为， 则，所以这100天的日均销售量为6300份. 考点02 线性回归方程 1．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）某景区自从实行门票打折、开展沉浸式体验活动、推出特色美食、不断提高服务质量等措施后，旅游人数明显增加.下表是该景区改进措施后，前5个月的旅游人数y（单位：十万）与第x个月的数据； x（月份） 1 2 3 4 5 y（人数） 2 3 5 7 8 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程 并预测第8个月的旅游人数. （2）为了解景区游客性别与满意度的关系，随机抽查了200名游客，得到如下的列联表： 性别 满意 不满意 合计 男 100 150 女 30 合计 请填写上表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为游客是否满意与性别有关. 参考公式：，其中. α 0.050 0.010 0.001 α 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），130万；     （2）列联表如下： 能认为游客是否满意与性别有关.      性别 满意 不满意 合计 男 100 50 150 女 20 30 50 合计 120 80 200 【分析】 （1）由公式求出回归直线方程，代入预测第8个月的旅游人数. （2）完成表格数据，根据公式求出，判断游客是否满意与性别有关. (1) 小问详解： ，, ， ，则， 当时，，所以预测第8个月的旅游人数为130万人. (2) 小问详解： 由题意填写列联表如下： 零假设为：游客是否满意与性别无关， ， 所以依据小概率值的独立性检验，我们可以推断不成立， 即认为游客是否满意与性别有关. 性别 满意 不满意 合计 男 100 50 150 女 20 30 50 合计 120 80 200 考点03 独立性检验 1．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）石墨烯发热膜在生产生活中应用广泛.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. （1）根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； （单位：次） A材料 B材料 合计 试验成功 试验失败 合计 （2）制作1吨石墨烯发热膜有甲、乙两个环节，其中甲环节生产合格的概率为，乙环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.若生产不合格还需进行修复，甲环节的修复费用为3万元，乙环节修复费用均为2万元.设随机变量为制作石墨烯发热膜所产生的修复费用，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1) 单位：次 A材料 B材料 合计 试验成功 90 60 150 试验失败 10 40 50 合计 100 100 200 ，试验结果与材料有关 (2) 的分布列为 0 3 5 ， 【分析】（1）利用等高堆积条形图作出列联表，根据卡方公式及独立性检验思想计算即可； （2）利用条件列出分布列计算期望即可. 【详解】（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下： 单位：次 A材料 B材料 合计 试验成功 90 60 150 试验失败 10 40 50 合计 100 100 200 零假设为：试验结果与材料无关. 计算可得， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为试验结果与材料有关. （2）的可能取值为0，2，3，5. ，，，， 则的分布列为 0 3 5 数学期望. 考点04 排列与组合 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A. 144 B. 120 C. 72 D. 24 【答案】D 【详解】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种 考点：排列、组合及简单计数问题 2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（     ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 【答案】B 【分析】 利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】 选个空盒：种， 分配个小球到个非空盒 情况一（分法）：种 情况二（分法）：种 总分配方法; 种， 总放法数：种 故选： 考点05 二项式定理 1．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）（多选）已知 则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 利用二项展开式的通项公式求，判断A的真假；利用赋值法，令可判断B的真假；利用赋值法，分别令和，求出和可判断C的真假；设，求导，再令可判断D的真假. 【详解】 对A：因为，故A错误； 对B：令，得，故 B正确； 对C：令得① ， 令得②. ①       ② 得：；①② 得. 所以，故C正确； 对D：设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 2．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）的展开式中的系数是　　　　　　　　（用数字作答） 【答案】 【分析】 由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】 因为， 又展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数是. 故答案为： 3．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 借助赋值法，分别令及计算即可得. 【详解】 令，则，即， 令，则，即， 故. 故答案为：. 4．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）的展开式的常数项为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用二项式定理求解展开式中项的表达式，令表达式中x的幂次为零即可求解常数项． 【详解】 在中，， 令，解得，所以， 综上，展开式的常数项为． 故答案为：． 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 1．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据古典概型概率公式直接计算可得. 【详解】 当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品， 所以第二次抽到次品的概率为. 故选：B. 2．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出与，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算即可. 【详解】 设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，则， 因为，则， 因为， 所以. 故选：D 3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）（多选）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 由表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型直接计算；当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球，根据古典概率模型得到；分别计算出再根据条件概率公式即可得到的值；由，再分别计算出对应的每个概率即可. 【详解】 表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型，选项A正确； 当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球， 根据古典概率模型，选项B错误； 表示和同时发生，，当发生，即从甲袋取出一个红球放入乙袋， 此时乙口袋中装有3个红球，1个白球，， 根据条件概率公式可得，选项C正确； 综合以上分析得到 ，选项D正确. 故选：ACD 4．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）袋中大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 分别求出第一次取出白球和第一次取出白球且第二次取出白球的概率，再根据条件概率公式计算即得. 【详解】 设事件为第一次取出白球，事件为第二次取出白球， 因袋中一共有8个球，第一次取出白球的概率，此时袋中还剩下个球，其中白球个， 那么第一次和第二次都取出白球的概率为， 由条件概率公式，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是. 故答案为： 考点07 随机变量及其分布列 1．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）已知随机变量，若，则（       ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【分析】 首先根据正态分布的公式，可知符合正态分布，由对称性可求得 ，最终可求的值. 【详解】 由题意得：随机变量符合正态分布，且对称轴为； 由正态分布的对称性可得：； 所以； 故选：. 2．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知随机变量，则（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 由正态分布的对称性可得答案. 【详解】 由题意可得该正态分布的图象关于轴对称，又， 所以. 故选：B. 3．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出的所有可能取值后，计算其对应概率，结合期望公式计算即可. 【详解】 选取次数的所有可能取值为1，2，3，4， 则，，，， 故选取次数的数学期望. 故选：B. 4．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）一个箱子中装有大小质地完全相同的5个小球，其中黑球3个，红球2个.每次从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球. （1）求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球1个红球的概率； （2）求经过两次操作后，手上恰好有1个红球的概率； （3）设第次操作后停止试验的概率为，求当取最大值时，的取值. 【答案】（1）     （2）     （3）8或9      【分析】 （1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算. （2）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式求解. （3）依题意，列出的解析式，通过作商判断概率的增减性，即可求出的最大值以及此时的值. (1) 小问详解： “经过两次操作后，手上有1个黑球和1个红球”即第一次和第二次操作各取到了1个黑球和1个红球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上， 所以所求概率为. (2) 小问详解： “经过两次操作后，手上恰好有1个红球”， 即“两次操作中一次取到红球并留下，另一次无论取到何种颜色均放回”， 因此两次抛掷硬币，一次正面向上，一次反面向上， 所以所求概率为. (3) 小问详解： 依题意，， 由， 当时，，当时，，当时，， 所以当或9时，取最大值. 5．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为. （1）求取球一次分别取到黄球､白球的概率 （2）现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数. （i）求的分布列； （ii）求的数学期望. 【答案】（1），；     （2）（i） （ii）.      0 1 2 【分析】 （1）根据给定条件，利用古典概率求解即得. （2）（i）求出的可能取值，由（1）的结论，结合相互独立事件的概率公式求出所对应的概率并列出分布列；（ii）由（i）中分布列结合期望公式表示出，再利用错位相减法求和即得. (1) 小问详解： 依题意，取球一次取到黄球的概率，取到白球的概率. (2) 小问详解： （i）的可能取值为：， 由（1）得，，，， 所以的分布列为 （ii）的数学期望， 因此， 两式相减得， 所以 . 0 1 2 6．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. （1）时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：时，. 【答案】（1）的分布列为 数学期望为；     （2）；     （3） 由全概率公式得 . 所以. 当时，. . 因为，所以，即.      1 3 5 【分析】 （1）确定的可能取值，利用二项分布计算各取值得概率，列出分布列，根据分布列计算期望； （2）分析前2n-1局甲赢k局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据k的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1. （3）利用全概率公式求得，求出，求出，利用基本不等式得证. (1) 小问详解： 解：的可能取值为. ； . 的分布列为 . 1 3 5 (2) 小问详解： 当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. (3) 小问详解： 略 7．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）某学术机构计划在相邻的两周各举办一场不同主题的学术研讨会，分别由“理论组”和“应用组”负责．已知该机构有位研究员，每场会议需要邀请位研究员作报告和是固定的正整数，且）．假设“理论组”和“应用组”独立地、随机地从全部位研究员中各自选择人发出邀请，且所有邀请都能准确送达．记收到“理论组”或“应用组”邀请通知的研究员人数为． （1）当时，求研究员甲收到邀请通知的概率； （2）定义变量，记“第位研究员收到“理论组”或“应用组”邀请通知”为“”，否则记为“”，求； （3）求使取得最大值的整数． 【答案】（1）     （2），     （3） 当能被整除时，在和处达到最大值； 则当不能被整除时，在处达最大值.      【分析】 （1）先计算该研究员未获得邀请的概率，再借助对立事件计算即可得； （2）借助对立事件概率可求出，再结合期望公式计算即可得； （3）表示出基本事件总数与事件所包含的基本事件数可得，再解出不等式可得，则可分是否为整数进行讨论得解. (1) 小问详解： 设事件表示“研究员甲即没被“理论组”邀请，也没有被“应用组”邀请”， 则； (2) 小问详解： ； 由， 则； (3) 小问详解： 当时，只能取，有， 当，整数满足，其中是和中的较小者， “两组各自独立、随机的选择人发出邀请”所包含的基本事件总数为， 当时，同时收到两组人邀请的人数恰为， 仅收到一组人邀请的人数为， 则事件所含基本事件数为， 此时， 当，，即， 即， 化简得， 即，则， 假如成立， 则当能被整除时， ， 故在和处达到最大值； 则当不能被整除时， 在处达最大值.（注：表示不超过的最大整数）. 下证：， 因为，所以， ，故，显然 因此. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 统计与概率 考点01 统计 考点02 线性回归方程 考点03 独立性检验 考点04 排列与组合 考点05 二项式定理 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 考点07 随机变量及其分布列 考点01 统计 1．BC 2．C 3．BCD 4．【答案】（1），1.2万份；     （2）认为对饮品的喜欢程度与性别有关；     （3）6300份.      【分析】 （1）求出，，，代入得到，求出，销售量关于温度变量的线性回归方程，代入，求出，从而得到温度在区间时的该饮品的日销售量. （2）先进行零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联，利用公式求出，进行比较得到结论； （3）设这100天的日均销售量为，求出，从而得到这100天的日均销售量. (1) 小问详解： ， ， ，所以， ，销售量关于温度变量的线性回归方程为， 当. 所以温度在区间时的该饮品的日销售量估计为1.2万份. (2) 小问详解： 零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联. . 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对饮品的喜欢程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. (3) 小问详解： 设这100天的日均销售量为， 则，所以这100天的日均销售量为6300份. 考点02 线性回归方程 1．【答案】（1），130万；     （2）列联表如下： 能认为游客是否满意与性别有关.      性别 满意 不满意 合计 男 100 50 150 女 20 30 50 合计 120 80 200 【分析】 （1）由公式求出回归直线方程，代入预测第8个月的旅游人数. （2）完成表格数据，根据公式求出，判断游客是否满意与性别有关. (1) 小问详解： ，, ， ，则， 当时，，所以预测第8个月的旅游人数为130万人. (2) 小问详解： 由题意填写列联表如下： 零假设为：游客是否满意与性别无关， ， 所以依据小概率值的独立性检验，我们可以推断不成立， 即认为游客是否满意与性别有关. 性别 满意 不满意 合计 男 100 50 150 女 20 30 50 合计 120 80 200 考点03 独立性检验 1．【答案】(1) 单位：次 A材料 B材料 合计 试验成功 90 60 150 试验失败 10 40 50 合计 100 100 200 ，试验结果与材料有关 (2) 的分布列为 0 3 5 ， 【分析】（1）利用等高堆积条形图作出列联表，根据卡方公式及独立性检验思想计算即可； （2）利用条件列出分布列计算期望即可. 【详解】（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下： 单位：次 A材料 B材料 合计 试验成功 90 60 150 试验失败 10 40 50 合计 100 100 200 零假设为：试验结果与材料无关. 计算可得， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为试验结果与材料有关. （2）的可能取值为0，2，3，5. ，，，， 则的分布列为 0 3 5 数学期望. 考点04 排列与组合 1．D 2．B 考点05 二项式定理 1．BC 2．【答案】 【分析】 由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】 因为， 又展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数是. 故答案为： 3．【答案】 【分析】 借助赋值法，分别令及计算即可得. 【详解】 令，则，即， 令，则，即， 故. 故答案为：. 4．【答案】 【分析】 利用二项式定理求解展开式中项的表达式，令表达式中x的幂次为零即可求解常数项． 【详解】 在中，， 令，解得，所以， 综上，展开式的常数项为． 故答案为：． 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 1．B 2．D 3．ACD 4．【答案】 【分析】 分别求出第一次取出白球和第一次取出白球且第二次取出白球的概率，再根据条件概率公式计算即得. 【详解】 设事件为第一次取出白球，事件为第二次取出白球， 因袋中一共有8个球，第一次取出白球的概率，此时袋中还剩下个球，其中白球个， 那么第一次和第二次都取出白球的概率为， 由条件概率公式，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是. 故答案为： 考点07 随机变量及其分布列 1．C 2．B 3．B 4．【答案】（1）     （2）     （3）8或9      【分析】 （1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算. （2）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式求解. （3）依题意，列出的解析式，通过作商判断概率的增减性，即可求出的最大值以及此时的值. (1) 小问详解： “经过两次操作后，手上有1个黑球和1个红球”即第一次和第二次操作各取到了1个黑球和1个红球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上， 所以所求概率为. (2) 小问详解： “经过两次操作后，手上恰好有1个红球”， 即“两次操作中一次取到红球并留下，另一次无论取到何种颜色均放回”， 因此两次抛掷硬币，一次正面向上，一次反面向上， 所以所求概率为. (3) 小问详解： 依题意，， 由， 当时，，当时，，当时，， 所以当或9时，取最大值. 5．【答案】（1），；     （2）（i） （ii）.      0 1 2 【分析】 （1）根据给定条件，利用古典概率求解即得. （2）（i）求出的可能取值，由（1）的结论，结合相互独立事件的概率公式求出所对应的概率并列出分布列；（ii）由（i）中分布列结合期望公式表示出，再利用错位相减法求和即得. (1) 小问详解： 依题意，取球一次取到黄球的概率，取到白球的概率. (2) 小问详解： （i）的可能取值为：， 由（1）得，，，， 所以的分布列为 （ii）的数学期望， 因此， 两式相减得， 所以 . 0 1 2 6．【答案】（1）的分布列为 数学期望为；     （2）；     （3） 由全概率公式得 . 所以. 当时，. . 因为，所以，即.      1 3 5 【分析】 （1）确定的可能取值，利用二项分布计算各取值得概率，列出分布列，根据分布列计算期望； （2）分析前2n-1局甲赢k局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据k的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1. （3）利用全概率公式求得，求出，求出，利用基本不等式得证. (1) 小问详解： 解：的可能取值为. ； . 的分布列为 . 1 3 5 (2) 小问详解： 当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. (3) 小问详解： 略 7．【答案】（1）     （2），     （3） 当能被整除时，在和处达到最大值； 则当不能被整除时，在处达最大值.      【分析】 （1）先计算该研究员未获得邀请的概率，再借助对立事件计算即可得； （2）借助对立事件概率可求出，再结合期望公式计算即可得； （3）表示出基本事件总数与事件所包含的基本事件数可得，再解出不等式可得，则可分是否为整数进行讨论得解. (1) 小问详解： 设事件表示“研究员甲即没被“理论组”邀请，也没有被“应用组”邀请”， 则； (2) 小问详解： ； 由， 则； (3) 小问详解： 当时，只能取，有， 当，整数满足，其中是和中的较小者， “两组各自独立、随机的选择人发出邀请”所包含的基本事件总数为， 当时，同时收到两组人邀请的人数恰为， 仅收到一组人邀请的人数为， 则事件所含基本事件数为， 此时， 当，，即， 即， 化简得， 即，则， 假如成立， 则当能被整除时， ， 故在和处达到最大值； 则当不能被整除时， 在处达最大值.（注：表示不超过的最大整数）. 下证：， 因为，所以， ，故，显然 因此. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 统计与概率 7大高频考点概览 考点01 统计 考点02 线性回归方程 考点03 独立性检验 考点04 排列与组合 考点05 二项式定理 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 考点07 随机变量及其分布列 考点01 统计 1．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）（多选）已知一组正实数样本数据，满足，则（       ） A. 若，则样本数据的第60百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 D. 将组中的每个数据变为原来的3倍，则所得的新样本数据的方差变为原数据方差的3倍 2．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示．则这20人年龄的60%分位数为（　　） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 3．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B. 若随机变量，且，则 C. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D. 在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 4．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. （1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. （2）为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ （3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 考点02 线性回归方程 1．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）某景区自从实行门票打折、开展沉浸式体验活动、推出特色美食、不断提高服务质量等措施后，旅游人数明显增加.下表是该景区改进措施后，前5个月的旅游人数y（单位：十万）与第x个月的数据； x（月份） 1 2 3 4 5 y（人数） 2 3 5 7 8 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程 并预测第8个月的旅游人数. （2）为了解景区游客性别与满意度的关系，随机抽查了200名游客，得到如下的列联表： 性别 满意 不满意 合计 男 100 150 女 30 合计 请填写上表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为游客是否满意与性别有关. 参考公式：，其中. α 0.050 0.010 0.001 α 3.841 6.635 10.828 性别 满意 不满意 合计 男 100 50 150 女 20 30 50 合计 120 80 200 性别 满意 不满意 合计 男 100 50 150 女 20 30 50 合计 120 80 200 考点03 独立性检验 1．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）石墨烯发热膜在生产生活中应用广泛.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. （1）根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； （单位：次） A材料 B材料 合计 试验成功 试验失败 合计 （2）制作1吨石墨烯发热膜有甲、乙两个环节，其中甲环节生产合格的概率为，乙环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.若生产不合格还需进行修复，甲环节的修复费用为3万元，乙环节修复费用均为2万元.设随机变量为制作石墨烯发热膜所产生的修复费用，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 单位：次 A材料 B材料 合计 试验成功 90 60 150 试验失败 10 40 50 合计 100 100 200 0 3 5 单位：次 A材料 B材料 合计 试验成功 90 60 150 试验失败 10 40 50 合计 100 100 200 0 3 5 考点04 排列与组合 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A. 144 B. 120 C. 72 D. 24 2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（     ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 考点05 二项式定理 1．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）（多选）已知 则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）的展开式中的系数是　　　　　　　　（用数字作答） 3．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）的展开式的常数项为　　　　　　　　　　　． 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 1．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）（多选）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）袋中大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是　　　　　　． 考点07 随机变量及其分布列 1．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）已知随机变量，若，则（       ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.6 2．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知随机变量，则（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）一个箱子中装有大小质地完全相同的5个小球，其中黑球3个，红球2个.每次从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球. （1）求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球1个红球的概率； （2）求经过两次操作后，手上恰好有1个红球的概率； （3）设第次操作后停止试验的概率为，求当取最大值时，的取值. 5．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为. （1）求取球一次分别取到黄球､白球的概率 （2）现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数. （i）求的分布列； （ii）求的数学期望. 0 1 2 0 1 2 6．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. （1）时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：时，. 1 3 5 1 3 5 7．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）某学术机构计划在相邻的两周各举办一场不同主题的学术研讨会，分别由“理论组”和“应用组”负责．已知该机构有位研究员，每场会议需要邀请位研究员作报告和是固定的正整数，且）．假设“理论组”和“应用组”独立地、随机地从全部位研究员中各自选择人发出邀请，且所有邀请都能准确送达．记收到“理论组”或“应用组”邀请通知的研究员人数为． （1）当时，求研究员甲收到邀请通知的概率； （2）定义变量，记“第位研究员收到“理论组”或“应用组”邀请通知”为“”，否则记为“”，求； （3）求使取得最大值的整数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $