山东省青岛市五十八中高新校区2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025一2026年青岛五十八中高新校区高三期中考试 数学试题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的。 1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,5},则C(AUB)=() A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4} D.{4} 2.已知z=2+2 1-i ,则z-2=() A.-i B.i C.0 D.1 3.已知向量与的夹角为120°，|=3，a+引=V13,则等于() A.1 B.3 C.4 D.5 4.已知随机变量服从正态分布N(2,σ2)，且P(<4)=0.8,则P(0<<2)等于() A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若Sg=1,则a3+a=( A.-2 B.子 C.1 D. 6.设抛物线C:y2=2px(p>O)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂 足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则AF=() A.3 B.4 C.5 D.6 数学试题第1页（共4页） 7.已知(x1,y),（x2,y2)是函数y=2的图象上两个不同的点，则() +业<2 A.log?2 +y>2 B.log2 2 2 y+2<x+ C.log2 2 D.log,2 8.已知A(0,),B(1,2),C在T:x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则△ABC的面积() A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分 9.下图是函数y=sin(ox+p)的部分图像，则sin(cox+p)=（) A.sin(x+号)B.sim(号-2x) C.cos2x+若) D.cos(话-2y 10若函数f(x)）=ahr++总(a≠0)既有极大值也有极小值，则（）. A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 11.设正整数n=a020+a12+…+ak-12*1+a%2,其中a,∈{0,1，记 n)=a0+a1+…+k:则(） A.a(2n)=an) B.2n+3)=an+1 C.w8n+5)=4n+3) D.ad2”-）=n 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在(1+x)的二项展开式中，x2项的系数为 13.tan20°+tan40°+V3tan20°tan40°= 14.设函数f(x)=(x+a)n(x+b),若f()≥0，则a2+b2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 设f(x)=cos2x-sin2x+,xE(0,π). (1)求函数y=f(x)的单调增区间； (2)设△ABC为锐角三角形，角A所对的边a=V19,角B所对的边b=5.若f(A)=0, 求△ABC的面积 16.(15分) 已知f(x)=x2-(m+2)x+mlhx,m∈R (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1的解集； (2)若函数y=f(x)满足在(0，+∞)上存在极大值，求m的取值范围； 17.(15分) 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、 1,17万元的概率分别为名、方、：已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调 整中价格下降的概率都是p(0<p<1),设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整， 记乙项目产品价格在一年内的下降次数为5，对乙项目每投资十万元，取0、1、2时，一 年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量51、52分别表示对甲、乙两项目 各投资十万元一年后的利润 (1)求51、52的概率分布和数学期望E(5)、E(52)； (2)当E(5)<E(5)时，求P的取值范围. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知点A(-2,0),B(2,0),动点MKy)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的 轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E,连 结QE并延长交C于点G (i)证明：△PQG是直角三角形； (iⅱ)求△PQG面积的最大值！ 19.（17分) 已知Q:a41,a2,·,ak为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的n∈{1,2，…，m, 在Q中存在a,a+1,a+2,…,a+0之0)，使得4：+at1+a+2+…+a+j=n,则称Q为 m一连续可表数列. (1)判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； (2)若Q:41,a2,…,ak为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若Q:a41,2,…,ak为20-连续可表数列，且a1+a2+…+44<20,求证：k≥7. 数学试题第4页（共4页） 1.答案： 【答案】 因为A={1,3},B={2,3,5},所以AUB={1,2,3,5}, 因为U={1,2,3,4,5},Cw(AUB)={4} 故选：D 解析 由集合的运算计算即可求得， 点评 本题考查集合的运算，属于基础题， 2.答案： 【答案】 2-·a0-= 1-i 1.1-元1。(1-)2 则三= 故z一之=-i. 故选：A 解析 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解 点评 本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题， 3.答案： 【答案】 向量a与b的夹角为120°，|a=3,a+b1=V13, d.6=d16120=-号引6 → → 1d+62=d2+2d.6+62, .13=9-3b|+b12, ∴.|b=-1(舍去)或b=4, 故选：B. 解析 本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，再根据和的模两边平 方，联立解题，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可 点评 两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零， 其符号由夹角的余弦值确定 4.答案： 【答案】 .随机变量X服从正态分布N(2,σ2) 4=2,得对称轴是x=2. P(ξ<4)=0.8 ∴P(传≥4)=P(E≤0)=0.2， .P(0<ξ<4)=0.6 第4页共12页 .P(0<<2)=0.3 故选：C 解析 据随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，看出这组数据对应的正态曲线的对 称轴x=2,根据正态曲线的特点，得到P(0<5<2)=P (0<<4),得到结果 点评 22 本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称 呈钟形的曲线，其对称轴为x=山，并在x=时取最大值从x=4点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断 逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的. 5.答案： 【答案】 S9=1, 则S9= 9(a1+ag）- 2 9(ag+a7）=1,解得ag+a7= 2 9 故选：D 解析 根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质，即可求解 点评 本题主要考查等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题， 6.答案： 【答案】 由题知，F(号，0)，准线方程为：2=-号 设A(eo:0小则B(-号0 因为lBF:y=-2x+2, 0=-2x(-号)+2 所以〈 0--2×号+2 解得卫2 (y0=4 因为点A在C上，所以y02=2px0,即16=4x0,所以x0=4, 所以AF=20+号=4+1=5 故选：C 解析 写出抛物线的焦点和准线，设A(c0,0),得B(-号，0由点B、F在直线上建立方程，求出p和0，再由点A 在C上求出xo,再由焦半径公式即可求得 点评 本题考查抛物线的定义和直线方程的应用，属于基础题. 7.答案： 【答案】 (x11),(x2,y2)是y=22上的点， 则y1=21,y2=22, 21+22≥2√21.22=2√21+2，当且仅当x1=x2时，等号成立， 又(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2的图象上两个不同的点， 故班十2>2， 2 第5页共12页 两边同时取对数可得，1og2 1十业>1十22 2 2 故选：B 解析 根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解。 点评 本题主要考查函数与不等式的综合，考查转化能力，属于中档题 8.答案： 【答案】 因为过点A(0,1),B(1,2)的直线AB的方程为y=x+1, 曲线D:x2-y2=1(x≥1，y≥0)的渐近线为y=x, 所以AB与渐近线平行， 故当点C无限逼近渐近线时，△ABC在AB上的高无限逼近渐近线与AB的距离， 故△ABC的面积无最小值， 当点C位于(1,0)时，使得△ABC在边AB上的高最大，此时△ABC的面积有最大值， 故选：A 解析 根据题意可知AB的方程为y=x十1，故AB与双曲线的渐近线平行，从而可确定△ABC的面积无最小值， 当点C位于(1,0)时，△ABC的面积有最大值 点评 本题主要考查双曲线的性质，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题 9.答案： 【答案】 由图象知函数的周期7=2×（受-晋）=元，即西-不，即w=士2， 当w=2时，由五点作图法，得2×吾+9=元，所以4=罗 31 则f(a)=sim2z+)=cos(号-2z-) -cos(-2a)=cos(2+) =sin(受-2红-君)=sin(管-2， 2 当w=-2时，由五点作图法，得-2×晋十p=0,所以0=哥， 所以f(a)=sin(-2z+)=cos(2+) 故选：BC 解析 根据图象先求出函数的周期，和ω，利用五点法求出函数的的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可. 点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和w,利用三角函数的诱导公式进行转化是解 决本题的关键比较基础. 10.答案： 【答案】 函数定义域为(0，十∞)， f回=是-÷-器=贮-2 由题意，方程f'(C)=0即ax2-bm-2c=0有两个正根，设为x1,x2, 则有a1十2=名>0212=-22>0.△=B+8ac>0, 第6页共12页 ..ab>0,ac<0, .'ab.ac=a2bc <0,bc <0. 故选：BCD 解析 将函数有极大、极小值问题转化为导函数对应的方程有两个不等正实根来处理 点评 本题考查函数极值的基础知识，属简单题 11.答案： 【答案】 2n=a0·2+a1·22+.+ak-1·2k+ak2k+1,.w(2m)=w(m)=a0+a1+.+ak,A对； 当m=2时，2n+3=7=1.20+1·21+1·22,.w(7)=3. 2=0.20+12,.w(2)=0+1=1,∴.w(7)≠w(2)+1,.B错： 8m+5=a0·23+a1·24+.+ak2k+3+5=1.20+1.22+a023+a1…24+.+a%2k+3, ∴.w(8m+5)=a0+a1+..+ak+2. 4n+3=a0·22+a1·23+..+ak2k+2+3=1.20+1.21+a0·22+a1·23+..+ak2k+2, ∴.w(4n+3)=a0+a1+.+ak+2=w(8n+5)..C对； .2m-1=120+1·21+..+1.2m-1,.w(2m-1)=n,.D对. 故选：ACD. 解析 2m=a0·21+a1·22+..+ak-1·2k+ak·2k+1可判断A;取n=2可判断B: 把8n+5和4n+3都化成n=a0·20+a1·21+..+ak-1·2-1+ak,2k,可判断C: 2m-1=1·20+1.21+..+1.2m-1可判断D 点评 本题考查数列递推式，考查数学运算能力，属于难题， 12.答案： 【答案】 二项式(1+x)'展开式的通项公式为 Tr+1=C7·x, 令r=2,得展开式中x2的系数为C号=21. 故答案为：21 解析 利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数： 点评 本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题. 13.答案： 【答案】 tan60°=tan(20°+40°)= tan20°+tan40° 1-tan20°tan40 =v3 √3-v√3tan20°tan40°=tan20°+tan40° tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°=√3 故答案为：v 解析 利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值 点评 本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题 第7页共12页 14.答案： 【答案】 当x<-a时，x+a<0: 当x>-a时，x+a>0, 当-b<x<1-b时，ln(x+b)<0: 当x>1-b时，ln(x+b)>0: 若f(x)≥0恒成立，则必须-a=1-b,即b-a=1, 所以a2+6-a2+a+12-24a+》2+7≥号 所以当a=分6=司时，a2+取到最小植分 故答案为： 2 解析 根据对数的单调性可得-b<x<1-b时，ln(x+b)<0:当x>1-b时，n(x+b)>0:即可由恒成立得b- a=1,由二次函数的性质即可求最值. 点评 本题考查函数的性质应用，属于中档题 15.答案： 【答案】 (1)函数f(a)=cos2x-sin2x+1 2 =cos2红+是z(0,对， 由2km-T≤2红≤2hm,解得kx-≤2≤km,k∈乙， k=1时， 名m<红≤元 可得f()的增区间为，)： (2)设△ABC为锐角三角形， 角A所对边a=√19，角B所对边b=5, 若f(A)=0.即有c0s2A+号=0， 解得2A=号，即A-吉 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bc cos A, 化为c2-5c+6=0, 解得c=2或3， 19+4-25 若c=2,则cosB= 2×V19×2 <0, 即有B为钝角，c=2不成立， 则c=3, △ABC的面积为S=1 bcsin A= 2 ×5×3×9=15 2 4 解析 (I)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间： (2)由f(A)=0,解得A,再由余弦定理解方程可得c,再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值 点评 本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属 于中档题， 16.答案： 第8页共12页 【答案】 (1)由题意，f(1)=1-m-2=0,解得m=-1,所以f(x)=x2-x-lnx, 因为f(x)≤x2-1,所以x2-x-lnx≤x2-1→x+lnx-1≥0， 设g(z)=x+nx-1,x>0, 因为y=x与y=nx均为增函数，所以g(x)为增函数， 因为g(1)=0,所以由g(x)≥0，得x≥1， 所以不等式f(c)≤x2-1的解集为[1，十o∞)： 2)由题意.f'a)=2红-(m+2到+婴=22-m+2z+m-e-12x-网 当m≤0时，fe)=e-12x-m）≥0→r之1. m 故f()在(0,1)单调递减，在(1，+∞)单调递增，故f(x)无极大值，不成立： 当m>0时，当m=2时，f'(z)= 2(x-1)2 ≥0恒成立，f(x)在(0，十o∞)单调递增，故f(x)无极大值，不成 0<m<2时，f回=-120-m≥0→e≥1成0<红≤受 f(✉在(0，受)和(1，+∞)单调递增，在（受，1）单调递减，故f()在x=受处取得极大值： 2 当m>2时，f回=-12a-m≥0→≥碧0<≤1， 2 f(@)在(0,1)和（受，十∞）单调递增，在(1，受)单调递减，故f()在x=1处取得极大值： 综上，m的取值范围为(0,2)U(2,十∞) 解析 (1)由f(1)=0求得m,再结合函数的单调性解不等式即可： (2)求导后分类讨论即可求得。 点评 本题考查利用导数研究函数的极值，属于中档题 17.答案： 1.【答案】 由题意知ξ1概率分布为 51 1.2 1.18 1.17 P 1 1 1 6 2 3 E1=1.2× 1 6 +1.18× 3+1.17×专=1.18 由题设得2~B(2,P),则2的概率分布为 0 1 P (1-p)2 2p(1-p) .2的数学期望为 Eξ2=1.3×(1-P)2+1.25×2P(1-P)+0.2×P2=-P2-0.1P+1.3 2.【答案】 由E51<E2,得： -P2-0.1P+1.3>1.18 .(P+0.4)(P-0.3)<0, ∴.-0.4<P<0.3 第9页共12页