第一章 勾股定理 单元质量检测卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图。以R△18C的两边往外作的正方形，其面积分别为S,,若=100,8=36，则B8C边长 为() B A.64 B.16 C.8 D.4 2.中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一.下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是( b B a a b e b a 3.如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条 “路”.这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了() 万达广场草地 5m 12m A.4m B.2m C.5m D.3m 4.△ABC的三边长分别为a,b,C,由下列条件能判断△ABC为直角三角形的是() 试卷第1页（共3页） A.a=2,b=3,c=4 B.a=2,b=4,c=5 C.a=v2 b=3 c=2 D.a=1 b=v2 c=3 5.五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积， 问含有问号的那个正方形的面积是多少？() 22 A.12 B.14 C.15 D.17 6.一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是() A.15 B.8 C.6 D.4 7.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,E均在小正方形的顶点上.以点A为圆心， AB长为半径画弧，圆弧交CE于点D,则DE的长为() B.2.1 c.v5 D.5 8.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,AD=12,CD=13,则四边形ABCD的面 积为() B D A.30 B.32 C.36 D.40 9.如图，一圆柱体的底面周长为l0cm,高AB为l2cm,BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表 面爬行到点C的最短路程为() 试卷第2页（共3页） A.17cm B 13cm C 12cm D.2VGem 10.如图，在△ABC中，AC=AD,BD=10,CD=8,记AB长为x,AC长为y.当x,'的值发生变 化时，下列代数式的值不变的是() A.x+y B.x-y C.+ D.2-y2 二、填空题 11.如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积分 别是，，则8+ ,则 S S2 12.如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形， 该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成.在一次数学实践活动中，某数学小组制 作了“赵爽弦图”，其中∠ABC=90°，阴影部分的面积是49，AB=5,则大正方形ACDE的边长是 13.已知∠BAD=90°，AB=4,AD=3,BC=13,CD=12,连接BD,则∠BDC的度数为° B 14.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题有一个水池，水面是一个边长为10尺(AB=10 试卷第3页（共3页） 尺)的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是AB的中点），它高出水面1尺(MP=1尺)，如果把 这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面(MN=BN),则水的深度PW为一， M B 15.如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风 吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶卫着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为一米. D B E 16.如图，等腰直角△AOB,等腰直角△COD,∠AOB=∠COD=90,A0=3,C0=4,连接AD,BC相交 于点M,则AC2+BD2= B M 三、解答题（每题9分，共72分) 17.如图，CD为Rt△MBC的斜边4B上的高，设CD=h,D=m,BD=n.求证： h2=mn n m Dn B 18.如图，在△ABD中，AB=13,BC=5,AC=CD=12,试求线段AD的长. 试卷第4页（共3页） D 19.数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度.假设风筝放飞时风筝线在空中被 拉直.小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离BC的长为80米，AB的长为100米，牵 线放风筝的手到地面的距离为1.6米(BE=1.6米).求风筝离地面的垂直高度AD的长为多少米 20.如图，一张三角形纸片ABC,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.将纸片沿直线DE折叠，使点A 与B重合，求CD的长 21.如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A、B两点分别位于池塘两端，利用现有 工具无法直接测得A、B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C,使点C能直接到达点 A和点B,在AB的延长线上取一点D,使得BD=12米.经测量AC=34米，CD=16米，CB=20米， 请你计算点A、B之间的距离. 22.为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速 值，即大型汽车限速值由8Okmh调整为70km/h,小型汽车限速值由90km/h调整为80kmh,如图，一辆小 试卷第5页（共3页） 汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方60m的C处（即AC=60m), 过了4s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100m 小汽车 小汽车 B---1 、iA 检测仪 (I)求BC的长： (2)这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由.（参考数据：lm/s=3.6kmh) 23.如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.己知直角三角形的两 直角边长分别为a,b,斜边长为C.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了 勾股定理a2+b2=c2. 图1 图2 图3 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程. (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,b=6,求空白部分的面积。 (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3. 已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，求该风车状图案的面积. 24.如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的高. D 横梁 图1 图2 图3 (I)若CD=2,AD=4,BD=8,求证：AB⊥AC: (2)根据(1)中的结论，小明发现：当满足AD=BDCD时，△ABC一定为直角三角形.小明的判断正 确吗？为什么？ 试卷第6页（共3页） (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形， 已知斜梁BD L AC于点D.经测量，斜梁AC=5m,BD=2.4m,横梁BC=4m.若横梁BC与竖梁AB 垂直则为安全房梁.请判断该房梁是否安全，并说明理由 试卷第7页（共3页） 第一章勾股定理单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∴． 2．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 3．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 4．的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 5．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】D 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 6．一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 7．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E均在小正方形的顶点上．以点A为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点D，则的长为（     ） A． B．2.1 C． D．5 【答案】C 【分析】根据网格得出和的长度，利用半径相等得到的长，再在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由网格图可知，，，， 弧是以点为圆心，长为半径画的，点在弧上， ， 在中，由勾股定理得：． 8．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定，从而四边形的面积即为两个直角三角形的面积的和求解． 【详解】 解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积为 ． 9．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 10．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 二、填空题 11．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 12．如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 【答案】13 【分析】根据正方形面积公式求出阴影部分边长为7，结合图形得出与的数量关系，求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：阴影部分的面积是49， 中间小正方形的边长为， 由图可知，中间小正方形的边长等于， ， ， ， 在中，，由勾股定理得：， 大正方形的边长是13． 13．已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 14．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【答案】12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 15．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为_______米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，列方程组解决几何问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设旗杆高度为，利用勾股定理列出方程，然后联立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，则， 假设旗杆高度为， ∵， 由勾股定理得， ∴， 整理得①， 同理，由勾股定理得， 整理得②， 得，， ∴， ∴原旗杆的高度为10米， 故答案为：10． 16．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】 证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】略 18．如图，在中，，，，试求线段的长． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 19．数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【答案】风筝离地面的垂直高度为米 【分析】在中，由勾股定理求得的长，再利用求解即可． 【详解】解：依题意得，，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 答：风筝离地面的垂直高度为米． 20．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，求的长． 【答案】 【分析】设，先利用勾股定理逆定理证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 解得，即． 21．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 22．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2） 略 23．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 24． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $