专题2：勾股定理的应用 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理六大应用场景，以题载法构建从空间展开到生活实践的问题链，强化数学建模与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |展开立体图形求最短路径|10题（圆柱/长方体/台阶）|空间图形平面化构造直角三角形|空间观念→平面几何→勾股定理应用| |梯子旗杆滑动|4题（动态滑动/断裂问题）|动态情境中建立方程模型|实际问题→直角三角形边长关系→运算能力| |安全范围|2题（台风/暗礁影响）|点到直线距离与安全半径比较|几何直观→最短距离计算→应用意识| |能否通过|2题（木板过门/卡车进厂）|物体尺寸与通道对角线比较|矩形性质→对角线计算→模型观念| |数学文化|2题（荷花问题/赵爽弦图）|古算题转化数学模型|数学文化→抽象能力→勾股定理推导| |生活应用|4题（小鸟飞行/车速检测）|生活场景距离高度计算|数学眼光→现实问题抽象→推理意识|

专题2：勾股定理的应用 一、展开立体图形求最短路径问题 1．如图1，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm 2．如图2所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（　　） A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定 3．如图3，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（　　） A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm 4．如图4，圆柱的底面半径是4，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（π取3）（　　） A．9 B．13 C．14 D．25 5．如图5，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　） A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm 6．如图6，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　） A．5 B．25 C．10+5 D．35 图1 图2 图3 图4 图5 图6 7．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm 8.如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（　　） A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米 9．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　 　cm（杯壁厚度不计）． 图1 图2 图3 10．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上． （1）若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 　 　尺． （2）若绕n周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 　 　尺． 二、梯子旗杆滑动问题 1.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 处，发现此时绳子末端距离地面 ，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为 A. B. C. D. 2. 如图，一架长 的梯子 斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 ． （1）这架梯子的顶端距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米? 3. 如图所示，从电线杆离地面 处向地面拉一条 长的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远? 4. 如图，一根电线杆在离地面 处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部 处．求电线杆折断之前有多高． 三、安全范围问题 1. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点 向点 运动，已知点 为一海港，且点 与直线 上两点 ， 的距离分别为 和 ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域． （1）海港 受台风影响吗?为什么? （2）若台风的速度为 ，台风影响该海港持续的时间有多长? 2. 如图所示，海中有一小岛 ，在该岛周围 海里内有暗礁．今有货船由西向东航行，开始在 岛南偏西 的 处，往东航行 海里后，到达该岛南偏西 的 处，之后继续向东航行．你认为货船继续向东航行，会有触礁的危险吗?计算后说明理由． 四、能否通过 1. 小红家最近新盖了房子，室内装修时，木工师傅让小红爸爸去建材市场买一块长 ，宽 的薄木板用来做家居面，到了市场爸爸看到满足这个尺寸的木板有点大，买还是不买爸爸犹豫了，因为他知道他家门框高只有 ，宽只有 ，他不知道这块木板买回家后能不能完整的通过自家门框．请你替小红爸爸解决一下难题，帮他算一算要买的木板能否通过自家门框进入室内． （备用图可供做题参考，薄木板厚度可以忽略不计） 2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由. 五、数学文化问题 1.印度荷花问题： 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边； 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅? 2. 阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为 和 时，那么斜边的长为 ．”．上述记载表明了：在 中，如果 ，， ，那么 ，， 三者之间的数量关系是：  ． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如下图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： ，  ． 又    ， ， 整理得 ，  ． 六、生活中应用题 1. 如图所示，有一只小鸟在一棵高 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 ，高 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以 的速度飞向小树树梢；这只小鸟最快要多久才能到达小树树梢? 2. 在一颗树的 高处有两只猴子，其中一只爬下树走到离树 远的 处，而另一只爬到树顶后直接跃到 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，那么这棵树多高? 3. 如图，一个直径为 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外 ，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度和杯子的高度． 4. 《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过 ．如图所示，一辆小汽车在一条城市街道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方 处，过了 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 ，这辆小汽车超速了吗? 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2：勾股定理的应用 一、展开立体图形求最短路径问题 1．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm 【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm， ∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm， ∴AC2＝22+22＝4+4＝8， ∴AC＝2dm， ∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4dm． 故选：A． 2．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（　　） A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定 【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开， ∵底面半径为2cm， ∴BC＝＝2π≈6cm， 在Rt△ABC中， ∵AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB＝＝＝10cm． 故选：B． 3．如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（　　） A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm 【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC＝3×16÷2＝24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB＝＝30cm． 故选：C． 4．如图，圆柱的底面半径是4，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（π取3）（　　） A．9 B．13 C．14 D．25 【解答】解：展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即4π≈12，矩形的宽是圆柱的高5． 根据两点之间线段最短， 知最短路程是矩形的对角线的长，即＝13． 故选：B． 5．如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　） A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm 【解答】解：将长方体展开，连接AB′， 则AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm， 根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm． 故选：C． 6．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　） A．5 B．25 C．10+5 D．35 【解答】解：将长方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短， （1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20， 由勾股定理得：AB＝＝＝＝25． （2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30， 由勾股定理得，AB＝＝＝＝5． （3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB＝＝＝5； 由于25＜5＜5， 故选：B． 7．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172， 解得x＝17． 故选：B． 8.如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（　　） A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米 【解答】解：如图所示：最短距离为PA'的长度，将圆柱展开， PA'＝＝＝10cm， 最短路程为PA'＝10cm． 故选：B． 9．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　20　cm（杯壁厚度不计）． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）． 故答案为20． 10．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上． （1）若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 　25　尺． （2）若绕n周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 　　尺． 【解答】解：（1）如图所示，在Rt△ABC中， BC＝20，AC＝5×3＝15， ∴AB＝＝＝25（尺）， 答：葛藤长为25尺， 故答案为：25； （2）在Rt△ABC中， BC＝20，AC＝3n， ∴AB＝＝＝（尺）， 答：葛藤长为尺， 故答案为：． 二、梯子旗杆滑动问题 1.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 处，发现此时绳子末端距离地面 ，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为 A. B. C. D. 2. 如图，一架长 的梯子 斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 ． （1）这架梯子的顶端距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米? 3. 如图所示，从电线杆离地面 处向地面拉一条 长的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远? 4. 如图，一根电线杆在离地面 处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部 处．求电线杆折断之前有多高． 三、安全范围问题 1. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点 向点 运动，已知点 为一海港，且点 与直线 上两点 ， 的距离分别为 和 ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域． （1）海港 受台风影响吗?为什么? （2）若台风的速度为 ，台风影响该海港持续的时间有多长? 2. 如图所示，海中有一小岛 ，在该岛周围 海里内有暗礁．今有货船由西向东航行，开始在 岛南偏西 的 处，往东航行 海里后，到达该岛南偏西 的 处，之后继续向东航行．你认为货船继续向东航行，会有触礁的危险吗?计算后说明理由． 四、能否通过 1. 小红家最近新盖了房子，室内装修时，木工师傅让小红爸爸去建材市场买一块长 ，宽 的薄木板用来做家居面，到了市场爸爸看到满足这个尺寸的木板有点大，买还是不买爸爸犹豫了，因为他知道他家门框高只有 ，宽只有 ，他不知道这块木板买回家后能不能完整的通过自家门框．请你替小红爸爸解决一下难题，帮他算一算要买的木板能否通过自家门框进入室内． （备用图可供做题参考，薄木板厚度可以忽略不计） 2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由. 五、数学文化问题 1.印度荷花问题： 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边； 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅? 2. 阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为 和 时，那么斜边的长为 ．”．上述记载表明了：在 中，如果 ，， ，那么 ，， 三者之间的数量关系是：  ． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如下图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： ，  ． 又    ， ， 整理得 ，  ． 六、生活中应用题 1. 如图所示，有一只小鸟在一棵高 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 ，高 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以 的速度飞向小树树梢；这只小鸟最快要多久才能到达小树树梢? 2. 在一颗树的 高处有两只猴子，其中一只爬下树走到离树 远的 处，而另一只爬到树顶后直接跃到 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，那么这棵树多高? 3. 如图，一个直径为 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外 ，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度和杯子的高度． 4. 《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过 ．如图所示，一辆小汽车在一条城市街道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方 处，过了 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 ，这辆小汽车超速了吗? 5. 如图，，，，一机器人在点 处发现有一个小球自 点出发沿着 方向做匀速直线运动，机器人自 方向以与小球同样的速度前进拦截小球，在点 处截住了小球，求机器人行走的路程 ． 学科网（北京）股份有限公司 $