第一章 《勾股定理》 单元测试巩固卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册《勾股定理》单元巩固卷，融合文化传承（赵爽弦图、《九章算术》问题）与现实应用（无人机、绿化工程），覆盖定理应用、实际建模等核心知识点，适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形判定、赵爽弦图|基础巩固，结合图形对称性| |填空题|6/18|勾股树、最短路径|能力提升，融入古代数学名题| |解答题|8/72|无人机飞行、毕达哥拉斯树|综合应用，跨情境建模与创新探究|

第一章 《勾股定理》-北师大版数学八年级上册单元测试巩固卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1． 将下列长度的三条线段首尾顺次连结，能组成直角三角形的是(　　) A．4，5，6 B．5，8，12 C．6，8，10 D．6，7，8 2．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 3． 如图， 四边形ABCD中， AB=3， BC=4， CD=12， AD=13， ∠B=90°. 则四边形ABCD的面积是（　　）. A．72 B．66 C．42 D．36 4．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1-S2=12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°.正确结论的个数是 (　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6． 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 7． 如图， 在△ABC中， ∠B=90°， AB=3， BC=4， AC的中垂线分别交AC， BC于点D， E， 则BE的长是(　　) A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，∠CAB的平分线交BC于点D，则CD的长度为（　　） A．1cm B． C．2cm D．cm 9．两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　） A． B． C． D． 10．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成.如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c.若b-a=4，c=16，则每个直角三角形的面积为(　　) A．64 B．60 C．120 D．128 二、填空题（每题3分，共18分） 11． “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC= 　 　. 12．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是　 　． 13．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm． 14．如图，已知长方形纸板的边长DE=10，EF=11，在纸板内部画Rt△ABC，并分别以三边为边长向外作正方形，当边HI、LM和点 K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则△ABC的面积为　 　. 15．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1米，将它往前推4米至 C处时(即水平距离CD=4米)，踏板离地的垂直高度 CF=3米，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是　 　米. 16．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是　 　. 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17．如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 18．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 19． “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 20．如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB=CD. （1）求证：△ABC≌△CDE. （2）若AB=3，DE=4，求AE的长. 21．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 22．如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． （1）现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； （2）为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 23．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 24．如图 ①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，它的三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为40°的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形.图②是1次操作后得到的图形. （1）试画出2次操作后得到的图形. （2）已知最初的直角三角形斜边长为1cm，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和. （3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗?请借助数学软件进行探索. （4）重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”.如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状? 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不能组成直角三角形，不符合题意； B、52+82≠122，不能组成直角三角形，不符合题意； C、62+82=102，能组成直角三角形，符合题意； D、62+72≠82，不能组成直角三角形，不符合题意 故答案为：C . 【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可. 2．【答案】A 【解析】【解答】设折断处离地面的高度为 x 尺，则折断后竹竿上部的长度为(10 - x)尺。竹竿折断后，地面上的部分、折断处到地面的高度、以及折断的部分构成一个直角三角形，其中： 直角边分别为 x 尺（垂直高度）和 3 尺（地面水平距离）； 斜边为(10 - x)尺（折断部分）。 根据勾股定理，可列出方程： 故答案为：A； 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过设未知数，将折断的竹竿抽象为直角三角形的斜边，利用勾股定理建立方程求解。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：连接AC， 在 中， 由勾股定理得： ∴四边形ABCD的面积 =36. 故答案为：D. 【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出 根据三角形的面积公式求出和 的面积即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：设BC=a，AC=b，AB=c， ∴依题意得：S1=a2，S2=b2，S3=c2， ∵S3+S1-S2=12 在Rt△ABC中，由勾股定理得：c2=a2+b2 ∴S3=S1+S2， ∴S1+S2+S1-S2=12， ∴S1=6， ∴ 即图中阴影部分的面积为3 故选：A. 【分析】设BC=a， AC=b， AB=c， 则S1=a2，S2=b2，S3=c2，根据勾股定理得c2=a2+b2，继而S3=S1+S2，结合已知条件得S1=6，然后根据即图中阴影部分的面积. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：如图 ∵直线l是该图案的对称轴， ∴∠AOB=∠DOC，∠BOF=∠COE，②正确； 假设正方形网格长度为1，则OA=OB=OC=OD=，AB=CD=，BC=2，在△OAB和△OBC中，OA=OB=OC，只能得出∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，无法得出 ∠BOC=∠AOB，∴③错误； 连接BD，如图， ∵OB=OD=，BD=， 此时BD2=OB2+OD2，即∠BOD=90°，∴④正确； ∵ ∠AOD=∠AOB+∠BOD=∠AOB+90°，∠AOB+∠BOC=∠AOC=∠BOD=90°， ∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+90°+∠BOC=180°，即①正确； 综上，①②④正确，正确结论的个数是3个。 故答案为：B。 【分析】本题根据对称性，可以首先判断出②正确，然后利用勾股定理求出AB、CD的长度，并结合图形判断③错误；利用勾股定理逆定理判断出④正确，最后结合④的结论以及对称性，变形计算即可判断出①正确，从而得出答案。 6．【答案】B 【解析】【解答】解：由勾股定理知AC=，设B到AC的距离为d， ， 即有，得d=. 故答案：B. 【分析】由勾股定理知AC的长，同时求出△ABC的面积，由等面积法可得，由此可得点B到AC的距离. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4， 由勾股定理，得. ∵ AC的中垂线分别交AC， BC于点D， E ，即DE是AC的垂直平分线， ∴AE=CE. 设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，因此AE=4-x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2+BE2=AE2，即32+x2=(4 - x)2， 整理，得9+x2=16-8x+x2， 消去x2，得9=16-8x， 解得. 故答案为：D . 【分析】先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长；再利用垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），设未知数构建边的关系；最后在Rt△ABE中，由勾股定理列出方程求解，即可得出答案. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：过点 作 于点 ； 在 中，， 由勾股定理得 ； 是 的平分线，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）； 设 ， ， ， 即 ， 化简得 ，，解得 。 故答案为：B 【分析】本题主要考察角平分线的性质、勾股定理及三角形面积公式的综合应用。首先，要求 的长度，可利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），过 作 构造相等线段 。先通过勾股定理求出斜边 的长度，再根据三角形的面积关系， 的面积等于 与 的面积之和，将 和 设为未知数 ，代入面积公式列出方程，求解方程即可得到 的长度。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意S梯形== 化简得：=， 故答案为：C. 【分析】根据图形面积的构成“S梯形==”并整理即可求解. 10．【答案】B 【解析】【解答】解： 由勾股定理得 又 ∴2ab=162-42=240， 每个直角三角形的面积为， 故答案为： B. 【分析】 根据勾股定理可知a2+b2=c2，再根据b-a=4，c=16，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积. 11．【答案】12 【解析】【解答】解：设BC=x，则BD=BA=x+1， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即（x+1）2=52+x2， 解得x=12， 即BC=12， 故答案为：12． 【分析】设BC=x，则BD=BA=x+1，在Rt△ABC中，根据勾股定理列方程，求出x的值解答即可． 12．【答案】4 【解析】【解答】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 【分析】本题考查勾股定理在“勾股树”中的应用，利用勾股定理的面积转化关系求解。根据勾股定理，直角三角形两直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，即，，且斜边对应的正方形面积之和又等于正方形A的面积，即，因此。所有正方形的面积和为，将和代入，可得，即，由此求解正方形A的面积。 13．【答案】17 【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，宽为8dm，长为， 则点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【分析】将三级台阶的侧面展开得到一个长方形，该长方形的长为三级台阶的宽与高的和，宽为8dm，根据两点之间线段最短可得点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，然后利用勾股定理求解即可. 14．【答案】6 【解析】【解答】解：延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P， 设AC=b，BC=a，则 同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN， ∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PF=FK=AN=PE=a， ∵DE=10，EF=11， ∴2b+a=10，2a+b=11， ∴a+b=7， ∴a2+b2=49-2ab， ∵长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和， ∴， 整理得：5ab+2(a2+b2)=110， 把a2+b2=49-2ab，代入得：5ab+2(49-2ab)=110， ∴ab=12， ∴△ABC的面积为. 故答案为：6. 【分析】延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，设AC=b，BC=a，则，证明△ABC≌△BjK≌△JKF≌△KAN，再利用长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和进而求得ab=12，即可求解. 15．【答案】5 【解析】【解答】解：设绳索AC的长是xm，则AB=xm， ∵DE=FC=3m，BE=1m， ∴AD=AB+BE-DE=x+1-3=(x-2)m ∵AC2=AD2+CD2 ∴x2=(x-2)2+42 ∴x=5， ∴AC=5m. 故答案为：5. 【分析】设绳索AC的长是xm，则AB=xm，得到AD=AB+BE-DE=x+1-3=(x-2)m，由勾股定理得x2=(x-3)2+42，求出x的值，即可得到AC的长. 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28， ∴， 在Rt△ABE中，由勾股定理得， ∵AE+BE=7， ∴， ∴AE·BE. ∴. 如图， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EH//FG，EF//GH，∠FEH=∠FGH=90°，EH=FG=EF=GH， ∴∠PAE=∠QCG，∠AEP=∠CGQ=90°， ∵AH=CG， ∴AE=AH-EH，CG=CF-FG， ∴AE=CG， ∴△AEP△CGQ， ∴，EP=GQ， ∴， ∵EF=GH，PF=EF-EP，HQ=GH-GQ， ∴PF=HQ， ∴. ∴△CFP与△AEP的面积差是. 故填：. 【分析】观察图形，根据题意可证明△AEP△CGQ，则△CFP与△AEP的面积差等于的面积，也是正方形EFGH面积的一半；已知正方形ABCD的面积和AE+BE=7，根据勾股定理和完全平方和变形公式，求得AE·BE的值，从而求出正方形EFGH的面积. 17．【答案】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 【解析】【分析】 （1）利用勾股定理的逆定理即可证明求解； （2）设米，则米，根据线段垂直平分线的性质可得米，在中，结合勾股定理建立方程，解方程即可得到结果. （1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 18．【答案】（1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程. （2）解：，，， ∴ 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 【解析】【分析】（1）连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出答案即可； （2）先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可. （1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； （2）解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 19．【答案】（1）解：在中，， 由勾股定理得：（米）． ，米， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：解：如图，设回收后风筝位于点F， 回收后风筝线长为（米）， 在中，（米）． 风筝下降高度（米）． 答：风筝的垂直高度下降米． 【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案. （2）设回收后风筝位于点F，根据边之间的关系可得BF，再根据勾股定理可得DF，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）在中，， 由勾股定理得：（米）． ，米， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：如图，设回收后风筝位于点F， 回收后风筝线长为（米）， 在中，（米）． 风筝下降高度（米）． 答：风筝的垂直高度下降米． 20．【答案】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE， ∵∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°， ∴∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠DCE=90°， ∴∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA） （2）解：由勾股定理得AC=， 而CE=AC=5，故AE=. 【解析】【分析】(1)由垂直产生的互余关系可得∠BAC=∠DCE，由此可证 △ABC≌△CDE； (2)由勾股定理可得AC的长，由全等的性质知CE的长，由此可得AE的长. 21．【答案】解∶ 设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理得：， 解得：， ∴ 即水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺 【解析】【分析】根据题意，找到题中的直角三角形，设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，由勾股定理得，解得x=12，则 芦苇的长度是13尺。 22．【答案】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 【解析】【分析】（1）过点作，交于点D，等腰三角形的性质求出，然后在中利用勾股定理可求出新路长度； （2）先在中利用勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． （1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 23．【答案】（1）解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是24米； （2）解：在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米． 【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得OB，再根据边之间的关系即可求出答案. （2）根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是24米； （2）解：在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米． 24．【答案】（1）解：2次操作后的图形如图所示 . （2）解：如图，根据规律可得因为最初的直角三角形斜边长为1cm， 所以 所以 所以 所以2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和为 （3）解：形成自相似的分型结构，正方形无限扩展，整体形状类似树状分型. （4）生成对称的树状分型，分支对称分布，整体呈现规则的几何图形. 【解析】【分析】（1）根据条件作图即可； （2）根据勾股数的结论解答即可； （3）根据多次操作得到的图形解答即可； （4）根据图形解答即可. 学科网（北京）股份有限公司 $