专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，云南专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）若函数为奇函数，则（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 根据奇函数的性质，，解得，验证为奇函数. 【详解】 因为函数为奇函数，且，所以. 验证当时，，，满足题意， 故选：B 2．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知，，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数运算可求，故可求的值. 【详解】 由，得，即， 由，得，所以. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）已知，则　　　　　　. 【答案】2 【分析】 对方程两边取平方，即可求出答案. 【详解】 由两边取平方得， 即，解得. 故答案为：2 4．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. （2）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 （1） . （2）原式 . 5．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 应用指数幂的运算性质化简求值即可. 【详解】 由. 故答案为： 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数，则的值域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指数函数单调性求出函数值域. 【详解】 函数在上单调递增，则， 所以的值域为. 故选：A 2．（25-26学年高一上·云南多校·期中）设，，，则，，的大小顺序是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合幂的运算性质可得，，结合幂函数的单调性比较的大小. 【详解】 因为，， 所以，， 因为函数为增函数，， 所以， 故. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）若，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用指数函数的单调性有，即可得答案. 【详解】 由在定义域上递增，且，则. 故选：B 4．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知关于的函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据指数函数（且）的图象过定点，利用整体法求解. 【详解】 因为指数函数（且）的图象过定点， 令，即，得对应的函数值， 所以函数（且）的图象恒过定点． 故选：C． 5．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【详解】 令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 6．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）函数的单调递增区间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】 由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 7．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知函数的定义域为. （1）求函数的单调区间；（2）求函数的值域. 【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）. 【详解】试题分析： (1)利用换元思想,将问题转化为二次函数的单调性问题,再利用复合函数单调性“同增异减”的原则进行判定;(2),∴,利用（1）的结论与单调性确定函数的值域. 试题解析：(1)令,则==, 当时是减函数, 此时==是减函数, 当时,是减函数, 此时==是增函数, ∴函数的单调增区间为,单调减区间为. (2),∴,∴值域为. 8．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年； （3）今后最多还能砍伐多少年. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意列出即可求解； （2）列式，将的值代入即可求解； （3）列式，再将的值代入即可求解. (1) 小问详解： 设每年砍伐面积的百分比为， 则，即，解得， 所以每年砍伐面积的百分比为； (2) 小问详解： 设到今年为止，该森林已砍伐了年， 则，即，化简得， 所以，解得， 故到今年为止，该森林已砍伐了年； (3) 小问详解： 设从今年开始，以后砍伐了年，则年后剩余面积为， 令，即，即， 所以，解得， 故今后最多还能砍伐年. 9．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知指数函数． （1）若在上的最大值为16，求的值； （2）当时，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，按分类，利用指数函数单调性求出最大值. （2）等价变形给定不等式，构造函数，利用单调性求出最大值并建立不等式求出范围. (1) 小问详解： 当时，在上单调递减，，则； 当时，在上单调递增，，则， 所以的值为或. (2) 小问详解： 不等式，令函数， 依题意，对，恒成立，而当时，函数在上单调递增， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围是. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 根据指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】 由，则，即. 故答案为：6. 2．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）根据分数指数幂与根式的转化及指数运算计算化简求值即可； （2）根据对数运算律计算求值. (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： ． 3．（25-26学年高一上·云南多校·期中）计算： （1）； （2）已知，求的值． 【答案】（1）     （2）3      【分析】 （1）根据指数的运算性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质求解出与，进而求解即可. (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： 显然， 而，所以可得． 4．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）设，（为自然对数的底数），，若不是函数的极值点，则的最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 求导函数，根据题意得的根为，从而表示出，再令新函数，求导函数，判断单调性与最大值. 【详解】 由题知， ， 因不是函数的极值点，所以 的根为， 所以，即， 则，令， ， 因为时，，时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为： 5．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）求值： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，结合指数幂的运算公式，计算即可求解； （2）根据题意，结合对数的运算公式，计算即可求解. (1) 小问详解： 由指数幂的运算公式， 可得 . (2) 小问详解： 由对数的运算性质， 可得 . 6．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）计算： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据对数的运算性质求解，即可得答案； （2）将两边平方，即可求出，再利用求出的值，即可求得答案. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 由，则，即， ， 又，则，故， 故. 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合对数函数和指数函数性质证明，，，由此比较的大小. 【详解】 因为，在上单调递增，在上单调递增， 所以，，， 所以． 故选：D． 2．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据对数的性质求对数复合函数的定义域. 【详解】 由题意，解得或， 故函数的定义域为． 故选：D 3．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）设命题p：关于x的不等式对一切恒成立，命题q：对数函数在上单调递减，那么p是q的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 p为真，利用判别式小于0恒成立求解a的范围；q为真时，由对数函数的单调性求解a的范围q，然后利用充分必要条件的判定得答案. 【详解】 解：关于x的不等式对一切恒成立， 则，即， ∴p为真：； 对数函数在上单调递减， 则，即. ∴q为真：. ∵， ∴p是q的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】 本题考查了充分条件、必要条件，同时考查了一元二次不等式恒成立、对数函数的性质，属于基础题. 4．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 结合指数函数、对数函数的单调性，判断a、b、c与0、1之间的大小关系即可求解． 【详解】 因为，，， 所以． 故选：B． 5．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）“”是“”的（       ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】C 【分析】 根据单调性解对数不等式和指数不等式，再根据充分必要性判断，即可得到答案. 【详解】 得到，得到， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C． 6．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）设，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据指数函数与对数函数性质判断即可 【详解】 因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即； 因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 所以. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（多选）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据不等式的性质、幂函数的单调性、指数函数的单调性以及对数函数的定义域和单调性等概念.我们将分别根据这些性质来判断每个选项是否成立. 【详解】 对于选项A，对于幂函数，它在R上是增函数.因为，所以，选项A成立. 对于选项B，已知且.根据不等式的性质，当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变，所以，选项B不成立. 对于选项C，指数函数在R上是增函数.因为，所以，选项C成立. 对于选项D，因为，所以.对数函数在上是增函数.所以，选项D不成立. 故选：AC. 8．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立． （1）如果p是真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，得到在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）由（1）知，再由命题真命题，得到，根据中只有一个真命题，分类讨论，即可求解. (1) 小问详解： 解：由命题函数定义域为， 设，则在上恒成立， 当时，，不能恒成立，不符合题意（舍去）； 当时，则满足 ，解得， 综上可得，实数的取值范围为. (2) 小问详解： 解：由（1）知，命题为真命题，则， 又由命题 ，使得不等式成立， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 因为中只有一个真命题， 当为真命题，为假命题时，可得 ，解得； 当为假命题，为真命题时，可得 ，此时无解， 综上可得，实数的取值范围为. 9．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知函数，且的图象恒过点，则函数的单调递减区间为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先由指数函数性质求点的坐标，再结合对数函数单调性，二次函数单调性及复合函数单调性判断方法求结论. 【详解】 当时，得， 所以的图象过定点， 即， 所以， 令，解得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以在上单调递减， 即的单调递减区间为. 故答案为：. 10．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）奇函数，证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数．     （3）      【分析】 （1）根据对数的真数大于零列不等式求解即可； （2）根据函数奇偶性定义即可求解； （3）根据对数函数的单调性及定义域即可求解． (1) 小问详解： 由题意得且， 解得，所以函数定义域为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，则， 则且， 解得． 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）函数的零点所在的区间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】 因为均为上的增函数，故为上的增函数， 而，， 故的零点所在的区间为， 故选：B. 2．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）函数的零点个数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接解方程即可得答案. 【详解】 令，可得。解得，所以函数只有一个零点， 故选：B． 3．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】A 【分析】 依次求时的值，由此可得，再求其比值. 【详解】 当时，， 当时，， 当时，， 故；故， 所以. 故选：A. 4．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）函数的零点所在的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由解析式判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】 .因为在上为增函数，且，， 所以的零点所在的区间为. 故选：C 5．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】 由题意且，结合指数函数的单调性解不等式求解即可. 【详解】 由题意，令且，则， 由在上单调递减，且， 所以该种果树从栽种开始至少需要5年才能进入“稳定期”. 故选：B 6．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）已知指数函数过点 ，则（       ） A.  B. 在上单调递增 C. 方程的解仅为0 D. 方程恰有两个解，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】 待定系数法求解析式判断A；求解的解析式利用指数函数单调性判断B；分类讨论解方程判断C；讨论的单调性及值域范围即可判断D. 【详解】 由题意设，因为过点，解得，故A正确； 当时，，所以在上单调递增，故B正确； 当时，所以，解得， 当时，，不符合题意，所以方程的解仅为0，故C正确； 当时，可得单调递增，故，所以， 当时，由B知，因为，，所以， 综上，方程恰有两个解，则的取值范围为，故D错误. 故选：ABC. 7．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 【答案】（1），，；     （2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元．      【分析】 （1）根据题目中的正比关系设出函数解析式，代入已知数据求出系数即可； （2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，列出收益的算式，利用配方法求收益的最大值. (1) 小问详解： 依题意设，由，得； 设，由，得. (2) 小问详解： 设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元， ，∵， 当，万元时，收益最大万元， 故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元， 投资收益最大为3万元． 【详解】 8．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站20 km处建仓库，则和分别为1万元和16万元，设两项费用之和为S（单位：万元）. （1）写出S关于x的解析式； （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使S最小？并求出最小值. 【答案】（1）     （2）应该把仓库建在距离车站5千米，费用最小为万元      【分析】 （1）由题意可设，，由于时，，代入求解即可； （2）由基本不等式求解最小值即可. (1) 小问详解： 由题意可设，，由于时，， 所以代入解得：，， 所以. 故：. (2) 小问详解： ， 当且仅当，即等号成立. 应该把仓库建在距离车站千米，费用最小为万元. 9．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 【答案】（1） 由题意可知， ，解得，. 所以.易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形.     （2）     （3）      【分析】 （1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，即可证明函数的图象是轴对称图形； （2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可； （3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求出实数的值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 不等式可化为，即， 解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为. (3) 小问详解： 由（1）可知，， 由题意可知，，得，即， 令，又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得. 10．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1），     （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.      【分析】 （1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. (1) 小问详解： 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. (2) 小问详解： 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 11．（25-26学年高一上·云南多校·期中）为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. （1）求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） （2）求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 【答案】（1）     （2）年产量为万件时，年利润取得最大值万元      【分析】 (1)根据年利润年销售额固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可； (2)当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，最后综合即可． (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 ； (2) 小问详解： 当时，， 此时，； 当时，， 当且仅当，即时，取得等号． 因为，所以年产量为万件时，年利润取得最大值万元． 12．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）设为实数，函数. （1）若函数在区间上单调递减，求的取值范围； （2）若在区间上有两个不相等的实数解，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由二次函数的性质，可得单调递减区间为，结合题干条件分析即得解； （2）利用二次函数根的分布列出不等式组，解出即可. (1) 小问详解： 由题意可得在上单调递减， 要使函数在区间上单调递减，则. (2) 小问详解： 因为的对称轴为， 要使在区间上有两个不相等的实数解， 则 ，解得：. 13．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 【答案】（1）     （2）0.6元/kw•h      【分析】 （1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，得出电力部门的收益即可； （2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． (1) 小问详解： 设下调后的电价为x元/kw•h， 依题意知用电量增至，电力部门的收益为 (2) 小问详解： 依题意有 ， 整理得 ， 解此不等式得， 答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【点睛】 本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 14．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）设满足满足，则　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 由题意转化为和是方程的根，即可求解. 【详解】 ， 所以是的根，也是方程的根， 函数是增函数，所以，则. 故答案为：1. 15．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若关于的方程的两根为，，且，求的值； （3）若，，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）或.     （3）.      【分析】 （1）构造方程，解方程组即可求出函数解析式； （2）由一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由不等式恒成立转化为判别式不大于0求解即可. (1) 小问详解： 由，① 得，② ②① ，得， 所以. (2) 小问详解： 由（1）得，由，得， 则，得或， ，. 由， 化简得，解得或. (3) 小问详解： 由，得， 因为，，所以， 解得，所以的取值范围为. 16．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的销售收入为505元. 提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量 （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设过去一个月该工艺品日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】（1）     （2）且定义域为     （3）      【分析】 （1）根据题意得到，解之即可得解； （2）利用表格中数据的增长趋势选定模型，再利用待定系数法求得，从而得到所求函数解析式和定义域； （3）利用（1）（2）中结论，得到，分类讨论的取值范围，结合基本不等式与函数的单调性即可得解. (1) 小问详解： 由题意得，第10天每件销售价格为元，第10天的销售量为50件， 所以，得； (2) 小问详解： 由表格数据知：日销售量随时间的增长先增后减， 而①，②两函数都是单调函数，显然① ②不符合， 而③满足题意，故选③， 则 ，解得 ，则， 综上，且定义域为； (3) 小问详解： 由（1）（2）知，，，， 则 ， 所以 ， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时最小值为441元； 当时，在上单调递减， 此时最小值为元； 显然， 所以的最小值为. 17．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能．根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且 当该公司一年内共生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元；当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） ;     （2）当万部时，利润取得最大值为3680万元.      【分析】 （1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． (1) 小问详解： 因为当生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上 ． (2) 小问详解： ①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合① ②知，当万部时，取得最大值为3680万元． 18．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数 ，已知函数. （1）直接写出的单调区间（无需证明）； （2）若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间是和，的单调递减区间是和.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）分析得到的解析式，作出的图象则单调区间可知； （2）分析得到的解析式，将问题转化为“的图象有四个交点”，根据对称性结合图象可求的取值范围； （3）令，根据单调性先分析出的值域，然后将问题转化为“与的图象有四个交点，求的取值范围”，结合图象可求得结果. (1) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递增区间是和，的单调递减区间是和. (2) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若方程有四个不相等的实数根，则的图象有四个不同交点，所以， 由图象的对称性可知，， 所以， 由的解析式可知，所以， 所以的取值范围是. (3) 小问详解： 令，， 因为均在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 所以的值域为，即的值域为； 因为 ，令，则， 当时，无解，此时方程不可能有四个实数根，舍去； 当时，令，解得或， 所以 ， 问题转化为“与的图象有四个交点”， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若要使得满足题意，则 ，解得， 所以的取值范围是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．B 2．A 3．【答案】2 【分析】 对方程两边取平方，即可求出答案. 【详解】 由两边取平方得， 即，解得. 故答案为：2 4．【答案】（1）（2） 【分析】 （1）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. （2）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 （1） . （2）原式 . 5．【答案】 【分析】 应用指数幂的运算性质化简求值即可. 【详解】 由. 故答案为： 考点02 指数函数 1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．D 7．【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）. 【详解】试题分析： (1)利用换元思想,将问题转化为二次函数的单调性问题,再利用复合函数单调性“同增异减”的原则进行判定;(2),∴,利用（1）的结论与单调性确定函数的值域. 试题解析：(1)令,则==, 当时是减函数, 此时==是减函数, 当时,是减函数, 此时==是增函数, ∴函数的单调增区间为,单调减区间为. (2),∴,∴值域为. 8．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意列出即可求解； （2）列式，将的值代入即可求解； （3）列式，再将的值代入即可求解. (1) 小问详解： 设每年砍伐面积的百分比为， 则，即，解得， 所以每年砍伐面积的百分比为； (2) 小问详解： 设到今年为止，该森林已砍伐了年， 则，即，化简得， 所以，解得， 故到今年为止，该森林已砍伐了年； (3) 小问详解： 设从今年开始，以后砍伐了年，则年后剩余面积为， 令，即，即， 所以，解得， 故今后最多还能砍伐年. 9．【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，按分类，利用指数函数单调性求出最大值. （2）等价变形给定不等式，构造函数，利用单调性求出最大值并建立不等式求出范围. (1) 小问详解： 当时，在上单调递减，，则； 当时，在上单调递增，，则， 所以的值为或. (2) 小问详解： 不等式，令函数， 依题意，对，恒成立，而当时，函数在上单调递增， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围是. 考点03 对数 1．【答案】6 【分析】 根据指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】 由，则，即. 故答案为：6. 2．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）根据分数指数幂与根式的转化及指数运算计算化简求值即可； （2）根据对数运算律计算求值. (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： ． 3．【答案】（1）     （2）3      【分析】 （1）根据指数的运算性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质求解出与，进而求解即可. (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： 显然， 而，所以可得． 4．【答案】 【分析】 求导函数，根据题意得的根为，从而表示出，再令新函数，求导函数，判断单调性与最大值. 【详解】 由题知， ， 因不是函数的极值点，所以 的根为， 所以，即， 则，令， ， 因为时，，时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为： 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，结合指数幂的运算公式，计算即可求解； （2）根据题意，结合对数的运算公式，计算即可求解. (1) 小问详解： 由指数幂的运算公式， 可得 . (2) 小问详解： 由对数的运算性质， 可得 . 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据对数的运算性质求解，即可得答案； （2）将两边平方，即可求出，再利用求出的值，即可求得答案. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 由，则，即， ， 又，则，故， 故. 考点04 对数函数 1．D 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 7．AC 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，得到在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）由（1）知，再由命题真命题，得到，根据中只有一个真命题，分类讨论，即可求解. (1) 小问详解： 解：由命题函数定义域为， 设，则在上恒成立， 当时，，不能恒成立，不符合题意（舍去）； 当时，则满足 ，解得， 综上可得，实数的取值范围为. (2) 小问详解： 解：由（1）知，命题为真命题，则， 又由命题 ，使得不等式成立， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 因为中只有一个真命题， 当为真命题，为假命题时，可得 ，解得； 当为假命题，为真命题时，可得 ，此时无解， 综上可得，实数的取值范围为. 9．【答案】 【分析】 先由指数函数性质求点的坐标，再结合对数函数单调性，二次函数单调性及复合函数单调性判断方法求结论. 【详解】 当时，得， 所以的图象过定点， 即， 所以， 令，解得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以在上单调递减， 即的单调递减区间为. 故答案为：. 10．【答案】（1）     （2）奇函数，证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数．     （3）      【分析】 （1）根据对数的真数大于零列不等式求解即可； （2）根据函数奇偶性定义即可求解； （3）根据对数函数的单调性及定义域即可求解． (1) 小问详解： 由题意得且， 解得，所以函数定义域为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，则， 则且， 解得． 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．ABC 7．【答案】（1），，；     （2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元．      【分析】 （1）根据题目中的正比关系设出函数解析式，代入已知数据求出系数即可； （2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，列出收益的算式，利用配方法求收益的最大值. (1) 小问详解： 依题意设，由，得； 设，由，得. (2) 小问详解： 设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元， ，∵， 当，万元时，收益最大万元， 故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元， 投资收益最大为3万元． 【详解】 8．【答案】（1）     （2）应该把仓库建在距离车站5千米，费用最小为万元      【分析】 （1）由题意可设，，由于时，，代入求解即可； （2）由基本不等式求解最小值即可. (1) 小问详解： 由题意可设，，由于时，， 所以代入解得：，， 所以. 故：. (2) 小问详解： ， 当且仅当，即等号成立. 应该把仓库建在距离车站千米，费用最小为万元. 9．【答案】（1） 由题意可知， ，解得，. 所以.易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形.     （2）     （3）      【分析】 （1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，即可证明函数的图象是轴对称图形； （2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可； （3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求出实数的值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 不等式可化为，即， 解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为. (3) 小问详解： 由（1）可知，， 由题意可知，，得，即， 令，又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得. 10．【答案】（1），     （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.      【分析】 （1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. (1) 小问详解： 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. (2) 小问详解： 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 11．【答案】（1）     （2）年产量为万件时，年利润取得最大值万元      【分析】 (1)根据年利润年销售额固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可； (2)当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，最后综合即可． (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 ； (2) 小问详解： 当时，， 此时，； 当时，， 当且仅当，即时，取得等号． 因为，所以年产量为万件时，年利润取得最大值万元． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由二次函数的性质，可得单调递减区间为，结合题干条件分析即得解； （2）利用二次函数根的分布列出不等式组，解出即可. (1) 小问详解： 由题意可得在上单调递减， 要使函数在区间上单调递减，则. (2) 小问详解： 因为的对称轴为， 要使在区间上有两个不相等的实数解， 则 ，解得：. 13．【答案】（1）     （2）0.6元/kw•h      【分析】 （1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，得出电力部门的收益即可； （2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． (1) 小问详解： 设下调后的电价为x元/kw•h， 依题意知用电量增至，电力部门的收益为 (2) 小问详解： 依题意有 ， 整理得 ， 解此不等式得， 答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【点睛】 本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 14．【答案】1 【分析】 由题意转化为和是方程的根，即可求解. 【详解】 ， 所以是的根，也是方程的根， 函数是增函数，所以，则. 故答案为：1. 15．【答案】（1）     （2）或.     （3）.      【分析】 （1）构造方程，解方程组即可求出函数解析式； （2）由一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由不等式恒成立转化为判别式不大于0求解即可. (1) 小问详解： 由，① 得，② ②① ，得， 所以. (2) 小问详解： 由（1）得，由，得， 则，得或， ，. 由， 化简得，解得或. (3) 小问详解： 由，得， 因为，，所以， 解得，所以的取值范围为. 16．【答案】（1）     （2）且定义域为     （3）      【分析】 （1）根据题意得到，解之即可得解； （2）利用表格中数据的增长趋势选定模型，再利用待定系数法求得，从而得到所求函数解析式和定义域； （3）利用（1）（2）中结论，得到，分类讨论的取值范围，结合基本不等式与函数的单调性即可得解. (1) 小问详解： 由题意得，第10天每件销售价格为元，第10天的销售量为50件， 所以，得； (2) 小问详解： 由表格数据知：日销售量随时间的增长先增后减， 而①，②两函数都是单调函数，显然① ②不符合， 而③满足题意，故选③， 则 ，解得 ，则， 综上，且定义域为； (3) 小问详解： 由（1）（2）知，，，， 则 ， 所以 ， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时最小值为441元； 当时，在上单调递减， 此时最小值为元； 显然， 所以的最小值为. 17．【答案】（1） ;     （2）当万部时，利润取得最大值为3680万元.      【分析】 （1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． (1) 小问详解： 因为当生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上 ． (2) 小问详解： ①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合① ②知，当万部时，取得最大值为3680万元． 18．【答案】（1）的单调递增区间是和，的单调递减区间是和.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）分析得到的解析式，作出的图象则单调区间可知； （2）分析得到的解析式，将问题转化为“的图象有四个交点”，根据对称性结合图象可求的取值范围； （3）令，根据单调性先分析出的值域，然后将问题转化为“与的图象有四个交点，求的取值范围”，结合图象可求得结果. (1) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递增区间是和，的单调递减区间是和. (2) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若方程有四个不相等的实数根，则的图象有四个不同交点，所以， 由图象的对称性可知，， 所以， 由的解析式可知，所以， 所以的取值范围是. (3) 小问详解： 令，， 因为均在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 所以的值域为，即的值域为； 因为 ，令，则， 当时，无解，此时方程不可能有四个实数根，舍去； 当时，令，解得或， 所以 ， 问题转化为“与的图象有四个交点”， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若要使得满足题意，则 ，解得， 所以的取值范围是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）若函数为奇函数，则（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知，，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）已知，则　　　　　　. 4．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）（1）； （2）． 5．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数，则的值域为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·云南多校·期中）设，，，则，，的大小顺序是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）若，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知关于的函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）函数的单调递增区间是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知函数的定义域为. （1）求函数的单调区间；（2）求函数的值域. 8．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年； （3）今后最多还能砍伐多少年. 9．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知指数函数． （1）若在上的最大值为16，求的值； （2）当时，若对恒成立，求的取值范围． 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 2．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）求下列各式的值： （1）； （2）． 3．（25-26学年高一上·云南多校·期中）计算： （1）； （2）已知，求的值． 4．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）设，（为自然对数的底数），，若不是函数的极值点，则的最大值为　　　　　　. 5．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）求值： （1）； （2）． 6．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）计算： （1）； （2）已知，求的值. 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）设命题p：关于x的不等式对一切恒成立，命题q：对数函数在上单调递减，那么p是q的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）“”是“”的（       ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 6．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）设，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（多选）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立． （1）如果p是真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围． 9．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知函数，且的图象恒过点，则函数的单调递减区间为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围． 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）函数的零点所在的区间是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）函数的零点个数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  4．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）函数的零点所在的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）已知指数函数过点 ，则（       ） A.  B. 在上单调递增 C. 方程的解仅为0 D. 方程恰有两个解，则的取值范围为 7．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 8．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站20 km处建仓库，则和分别为1万元和16万元，设两项费用之和为S（单位：万元）. （1）写出S关于x的解析式； （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使S最小？并求出最小值. 9．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 10．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 11．（25-26学年高一上·云南多校·期中）为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. （1）求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） （2）求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 12．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）设为实数，函数. （1）若函数在区间上单调递减，求的取值范围； （2）若在区间上有两个不相等的实数解，求的取值范围. 13．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 14．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）设满足满足，则　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若关于的方程的两根为，，且，求的值； （3）若，，求的取值范围. 16．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的销售收入为505元. 提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量 （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设过去一个月该工艺品日销售收入为（单位：元），求的最小值. 17．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能．根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且 当该公司一年内共生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元；当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 18．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数 ，已知函数. （1）直接写出的单调区间（无需证明）； （2）若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $