专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，云南专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由所求集合是由函数的图象上的点组成的集合可得. 【详解】 因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合，即集合的元素为点的坐标， 所以“函数的图象”的集合表示. 故选:D. 2．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）（多选）下列图形中，不是以为自变量的函数的图象的是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】BC 【分析】 根据函数的定义依次判断各个选项. 【详解】 对于AD，均满足函数的定义； 对于B，存在着一个的值对应着多个的值，不符合函数的定义，故它不能表示以为自变量的函数的图象； 对于C，图形与轴有两个交点，即有两个函数值与对应，不满足函数定义，故C不能表示以为自变量的函数的图象. 故选：BC. 3．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数的定义，结合各个选项的图象，即可求解. 【详解】 根据函数定义，在自变量的取值范围内，任意的取值，有且只有一个值与之对应， 从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点， 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线， 与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于D选项，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点， 从而不能表示是的函数； 故选：D． 4．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（       ） 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先判断不同用水单价计算不同用水量用完水的缴费情况，然后看其本月交纳的水费在那个范围，就可以确定其本月用水量的范围，再根据价格计算用水量即可. 【详解】 先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为6元，所以为，故本月用水量为. 故选：B 5．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）下列各组函数表示同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 判断函数的定义域与对应法则是否相同即可． 【详解】 对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数； 对于B，，定义域不同，故不为同一函数； 对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数： 对于D，，定义域不同，故不为同函数． 故选：C． 6．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】 函数的定义域需满足不等式 ，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 7．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）定义运算 ，则函数的部分图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据运算得到函数解析式作图判断. 【详解】 ， 其图象如图所示： 故选：B 8．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知函数 ，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 结合复合函数的定义，利用题目分段函数的解析式即可求解. 【详解】 因为，又 ， 所以. 故选：C. 9．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）下列各组函数表示相同函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据相同函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数即可. 【详解】 A：的定义域为，的定义域为，不是同一函数； B：的定义域为，的定义域为，不是同一函数； C：的定义域均为，且对应法则相同，为同一函数； D：的定义域为，的定义域为，不是同一函数. 故选：C． 10．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数在上的值域为 C. 的图象关于原点成中心对称 D. 函数与函数的图象关于直线对称 【答案】BD 【分析】 利用抽象函数定义域的求法可判断A；利用二次函数的值域求法可判断B；利用关于原点对称的函数的定义域也关于原点对称可判断C；利用互为反函数的两个函数图象关于直线对称可判断D. 【详解】 对于A，，解得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故值域为，故B正确； 对于C，由，则函数定义域不关于原点对称，故C不正确； 对于D，函数与函数互为反， 则两个函数图象关于直线对称，故D正确. 故选：BD． 11．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据根式和分式的性质即可求解. 【详解】 定义域需满足： 所以定义域为 . 故选：C 12．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）已知，则函数的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用换元法求解即可. 【详解】 令，则， 所以，所以. 故选：D 13．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）下列四组函数中，表示同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D.  【答案】ABD 【分析】 利用同一个函数的定义依次判断选项即可. 【详解】 与的定义域和对应法则相同，是同一函数，A正确. 与的定义域和对应法则相同，是同一函数，B正确. 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，C错误. 与的定义域和对应法则相同，是同一函数，D正确. 故选：ABD 14．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数 ， 其中表示不超过的最大整数，如，，则（     ） A.  B.  C. 0 D.  【答案】B 【分析】 根据函数和的解析式，先求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】 由函数 和 ， 因为，所以， 所以. 故选：B. 15．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）下列各组函数表示相同函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据同一函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数是否为同一函数即可. 【详解】 A：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； B：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； C：的定义域为，的定义域为，不是同一函数； D：的定义域均为R，且对应法则相同，为同一函数. 故选：D 16．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）下列各组函数中，与表示同一函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【分析】 利用同一函数的定义即可求解. 【详解】 对于A，的定义域为，的定义域为,则两个函数定义域不相同，所以与不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为,则两个函数定义域不相同，所以与不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，，对应关系也相同，所以与是同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为,则两个函数定义域不相同，所以与不是同一函数，故D错误； 故选：C 17．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知函数 ，则（       ） A.  B. 3 C. 1 D. 19 【答案】B 【分析】 根据已知函数解析式可先求，然后代入可求. 【详解】 由 ，则. 故选：B 18．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数的定义域是，则的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据的定义域，求出的定义域，再据此确定的定义域. 【详解】 已知函数的定义域为，， 则的取值范围为，即的定义域为. 对于函数，由 ， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 19．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BCD 【分析】 分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可. 【详解】 对于选项A：函数的定义域为，的定义域为， 所以两个函数不相等，故A错误； 对于选项B：函数的定义域为，的定义域为， 且，所以两个函数相等，故B正确； 对于选项C：函数的定义域为， 的定义域为， 且 ，所以两个函数相等，故C正确； 对于选项D：函数的定义域为，而的定义域为， 但是，所以两个函数相等，故D正确； 故选：BCD. 20．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数的解析式列不等式组即得. 【详解】 因为函数， 所以 ，解得且， 所以函数的定义域为：. 故选：D 21．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）（多选）下列各组中两个函数是同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【分析】 判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】 对于选项A，与只是表示自变量的字母不同，是同一函数，故A正确； 对于选项B，需满足，中可以等于，所以不是同一函数，故B错误； 对于选项C，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故C错误； 对于选项D， ，显然，所以是同一函数，故D正确. 故选：AD. 22．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）已知函数 ，且，则（     ） A. －4或4 B. 1 C. 4 D. －1或1 【答案】D 【分析】 分和两种情况求解即可. 【详解】 解：根据题意，当，，则. 当，，则. 综上所述，或1. 故选：D. 23．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知实数，函数 若，则的值为（   ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】A 【分析】 根据给定的分段函数，按分段判断代入列式求解. 【详解】 当时，，，由， 得，解得，则； 当时，，，由， 得，解得，矛盾，无解， 所以的值为. 故选：A 24．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）（多选）以下说法错误的是（     ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为4 【答案】AD 【分析】 A由同一个函数的定义域和对应法则相同判断；B应用分离常数法，结合分式型函数的性质确定值域判断；C根据充分、必要性定义确定条件间的推出关系判断；D应用换元法，结合对勾函数的性质求最小值判断. 【详解】 A：由的定义域为R，而的定义域为，故不是同一个函数，错； B：由在上都单调递减，易知其值域为，对； C：由满足，但不满足，充分性不成立， 由，则，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，对； D：令，且在上单调递增，故最小值为，错. 故选：AD 25．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.下列命题中正确的是（     ） A.  B. ， C. ， D. 若，，则方程的解集为 【答案】ABD 【分析】 根据高斯函数的定义，逐项判断即可 【详解】 由高斯函数定义显然A正确； 对于B，不妨取，，故B正确； 对于C，不妨取，，故C错误； 对于D，因为当时，，所以方程等价于， 又因为表示不超过的最大整数，所以恒成立， 即对任意，恒成立，所以方程的解集为，故D正确. 故选：ABD 26．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知，则　　　　　. 【答案】 【分析】 令，解得，代入即可得结果. 【详解】 令，解得， 所以. 故答案为：. 27．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数满足，则　　　　　　　　　　. 【答案】8 【分析】 令，得，代入计算即可求解. 【详解】 令，得，则. 故答案为：8 28．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分段函数的解析式，结合对数运算即可求解. 【详解】 由题意知，，． 故答案为： 29．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意范围均在中，再列式求解的范围即可. 【详解】 由题意， ，解得. 故答案为： 30．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知函数 ，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数定义分类计算. 【详解】 由已知， 故答案为：， 31．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数的解析式有意义，列出不等式组，求得不等式组的解集，即可得到答案. 【详解】 由函数有意义，则满足 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 32．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知点在函数的图象上. （1）求的定义域； （2）求的值域. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将点代入求解可得，再根据分式定义域求解即可； （2）根据分式的值域求解即可. (1) 小问详解： 由题意，解得，故. 故，即，故的定义域为. (2) 小问详解： ，故的值域为. 33．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知函数 ，且. （1）求的解析式； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） ；     （2）.      【分析】 （1）由，求出的值即可得答案； （2）分、求解即可. (1) 小问详解： 因为， 所以，解得， 所以 (2) 小问详解： 当时，则有， 解得，不满足，故舍去； 当时，则有，解得或（舍去） 综上，. 34．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）函数的定义域是　　　　　. 【答案】 【分析】 应用分式、根式的性质列不等式求函数的定义域. 【详解】 由函数解析式知 ，则函数定义域为. 故答案为： 35．（25-26学年高一上·云南多校·期中）若函数，则　　　　　　　　，函数的定义域为　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 利用换元法求解析式，再根据函数定义域的求法求解即可. 【详解】 令，则，所以，即， 则，所以，解得. 故答案为：；. 36．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数，若，则　　　　　　　　. 【答案】5 【详解】先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用得出的值. 【详解】 令，则，. 因为，所以，解得. 故答案为： 【点睛】 求解复合函数的解析式时，只需用换元法，令，用含的式子表示出然后代入原函数解析式便可得出的解析式. 37．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（1）已知函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式； （3）求函数，的值域. 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】 （1）利用待定系数法，设，根据条件列出关于的方程，即可求得答案； （2）利用解方程组法，即写出关于的方程组，从而求得解析式． （3）利用换元法，令，然后利用二次函数的性质求解. 【详解】 （1）设，则， 所以，所以 ，解得 或 . 所以或. （2）因为① ， 用代替，得② ①②得：， 所以. （3）令，又，则，且， 所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，， 所以， 所以函数的值域是. 38．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）函数的最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用换元法及二次函数的性质即可求解. 【详解】 令，则，所以， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以函数在单调递增，在上单调递减. 所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：. 39．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知函数的定义域为，集合． （1）求； （2）若集合，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；     （2）或，      【分析】 （1）利用根式、分式的性质求函数定义域，解分式不等式求解集确定集合，再由集合的交补运算求集合； （2）根据已知有，讨论是否为空，列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 由的解析式知 ，可得，故， 所以或， 由 ，故， 所以或； (2) 小问详解： 由，即， 当时，，可得， 当时， ，可得， 综上，或 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知点在幂函数的图象上，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】根据幂函数定义可得的值，再将点代入即可得出结果. 【详解】点在幂函数的图象上， ，且， 解得， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查的是幂函数定义，是基础题. 2．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）若幂函数的图象关于轴对称，则（       ） A. 8 B.  C. 4 D. 2 【答案】C 【分析】 本题主要考查幂函数的性质，先根据幂函数的定义求出或，然后根据函数图象关于轴对称即可求解. 【详解】 由题意得，得或， 又因为是偶函数，所以. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用抽象函数的定义域的求法，解一个一元三次不等式可得答案. 【详解】 由题得，得. 因为函数在上单调递增，所以， 解得. 故选：C 4．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】 因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 5．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）已知幂函数为偶函数，则（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 由幂函数的定义可得出关于的等式，可求出的值，再结合函数的奇偶性进行验证即可. 【详解】 因为幂函数为偶函数，则， 即，解得或， 当时，函数为奇函数，不合乎题意； 当时，函数为偶函数，合乎题意. 故. 故选：A. 6．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）（多选）若实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【分析】 利用不等式的性质判断A，利用幂函数的性质判断C，举反例判断B，D即可. 【详解】 对于A，因为，，所以，故A正确， 对于B，令，，满足，不满足，故B错误， 对于C，令，由幂函数性质知在上单调递增， 因为，所以，即，故C正确， 对于D，令，，满足，不满足，故D错误. 故选：AC 7．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据幂函数的定义域、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】 A选项，在上单调递减，不符合题意； B选项，的定义域是，图象不关于原点对称，不符合题意； C选项，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意； D选项，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，符合题意. 故选：D 8．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）已知幂函数，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 当的图象经过点时，为奇函数 C. 若幂函数的图象经过点，函数在为减函数 D. 函数的图象都不经过第四象限 【答案】BCD 【分析】 根据幂函数的定义及性质即可判断. 【详解】 因为是幂函数， 所以，解得：， 则. 对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：当的图象经过点时，有，解得：. 则，此时函数为奇函数，故选项B正确； 对于选项C：若幂函数的图象经过点， 则，解得：， 则，此时函数在为减函数，故选项C正确； 对于选项D：因为，当时，由不等式性质可得：， 所以函数的图象都不经过第四象限，故选项D正确. 故选：BCD 9．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（       ） A. 1 B. 2 C. 1或3 D. 3 【答案】C 【分析】 根据幂函数为奇函数，且在区间上单调递增可得答案. 【详解】 因为在区间上单调递增，所以，解得， 又因为，所以，且为奇函数，所以， 故选：C. 10．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为　　　　　　． 【答案】、、 【分析】 根据幂函数的性质判断即可. 【详解】 因为在上单调递增，且幂函数恒过点， 当时在上单调递减， 当时在上单调递增，且越大在上增长趋势越快， 所以要使对任意的成立，则，故符合题意的有、、. 故答案为：、、 11．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）若是幂函数，则　　　　　　　　　　. 【答案】.25 【分析】 利用幂函数的定义求出，进而求出函数值. 【详解】 由是幂函数，得，解得，则， 所以. 故答案为： 12．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据题意要得，且，从而可求出的值 【详解】 ∵是幂函数， ∴，即，∴或． 当时，，是幂函数，且满足当时，随的增大而减小； 当时，，是幂函数，但不满足当时，随的增大而减小，故舍去． ∴实数的值为2． 故答案为：2 13．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得，即得函数解析式； （2）利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得. (1) 小问详解： 因函数为幂函数，且在上单调递增， 则 解得，故； (2) 小问详解： 因为函数为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式可化为 所以，即 解得或， 故实数a的取值范围为. 14．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知幂函数是偶函数，则　　　　　　. 【答案】2 【分析】 根据给定条件，利用幂函数的定义及偶函数特性求出. 【详解】 幂函数是偶函数，则，解得或， 当时，是偶函数； 而当时，是奇函数，不符合题意， 所以. 故答案为：2 15．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）已知幂函数的图象经过点，则　　　　　. 【答案】 【分析】 根据幂函数及其所过的点求参数值，再代入自变量求函数值. 【详解】 由题设 ，则，所以. 故答案为： 16．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知幂函数的图象经过点. （1）证明：. （2）求函数在上的值域. 【答案】（1） 证明：设幂函数为， 则，解得，所以. 因为， 所以.     （2）      【分析】 （1）设，求出解析式，继而即可证明； （2）利用单调性求值域即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，因为在上均单调递减， 所以在上单调递增， 所以，， 所以在上的值域为. 17．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知幂函数在区间上单调递减，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果． 【详解】 由题意，解得或， 又函数在区间上单调递减，则，∴． 故答案为：． 18．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知幂函数满足． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义，结合求出解析式； （2）根据幂函数的定义域以及单调性求解不等式即可. (1) 小问详解： 由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故． (2) 小问详解： 由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是． 19．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知幂函数是奇函数，函数. （1）求； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）若在上的最小值为，求. 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据幂函数定义得到方程，结合函数的奇偶性，求出； （2）根据二次函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （3）分，和三种情况，结合函数单调性，得到方程，求出或5. (1) 小问详解： 由题意得，得或. 当时，是偶函数，不符合题意； 当时，是奇函数，符合题意， 故. (2) 小问详解： 由（1）得，图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即的取值范围为. (3) 小问详解： 当，即时，在上单调递减， ，解得，舍去； 当，即时，在上单调递增， ，解得，符合； 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，， 解得或0（舍去）. 故或5. 20．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）若幂函数为偶函数，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由幂函数的定义得，解出，并根据为偶函数，进行检验，得到的值. 【详解】 因为为幂函数，则，解得或. 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，所以. 故答案为：. 21．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知幂函数在区间单调递增. （1）求k的值; （2）若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）1     （2）存在m=3      【分析】 （1）根据幂函数的定义，可求得k值，根据的单调性，分析判断，即可得答案. （2）由（1）得，则，分别讨论对称轴、和三种情况，根据二次函数的性质，求解即可得答案. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，在区间单调递减，不符合题意， 当时，在区间单调递增，符合题意， 所以. (2) 小问详解： 由 （1） 函数的解析式为， 由函数，得， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， ① 当即时，则，解得，满足题意； ② 当时，即时，则，无解，舍去； ③ 当时，即时，则，解得，不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为4. 22．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）已知幂函数的图象过点，则满足的的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先写出幂函数的表达式，再利用单调性即可1求得. 【详解】 已知幂函数的图象过点， 所以，故，则， 所以是偶函数，且在区间上是增函数， 则， 解得：或， 即的取值范围为. 故答案为： 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）为了提倡节约用电，某地对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费标准如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的月平均用电量为250千瓦时，则该户居民当年需交纳的电费为（     ） A. 1826元 B. 1840元 C. 1842元 D. 1848元 【答案】C 【分析】 根据月均用电可得全年用电量，再根据表格分段计算即可. 【详解】 由题意，全年用电量为千瓦时， 故需交纳的电费为. 故选：C 2．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 【答案】（1）的最大值为，相应月研发经费万元；     （2）      【分析】 （1）由基本不等式得到，并求出此时月研发经费万元； （2）由题意得到不等式，求出答案. (1) 小问详解： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时月研发经费万元. (2) 小问详解： 由题意得，， 整理可得，解得， 故月研发经费的取值范围为. 3．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）为了节能减排，学校决定安装一个可使用年的太阳能供热设备，并接入电网.安装这种设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常热水供应，安装后采用太阳能和电能互补的模式.设在此模式下，安装后学校每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是 （为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元.记（单位：万元）为学校安装这种太阳能设备的费用与学校年所消耗的电费之和. （1）求常数的值； （2）写出的解析式； （3）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）50；     （2） ；     （3）当为5平方米时，取得最小值，最小值是30万元.      【分析】 （1）由题意知，由此即可解出答案； （2）由题意知，将代入即可； （3）分别求出与时的最小值，再比较得到时的最小值. (1) 小问详解： 依题意得，，所以，解得，故的值为50. (2) 小问详解： 依题意可知， 又由（1）得， ， 当时，， 当时，， 所以 . (3) 小问详解： 当时，，二次函数开口向下，对称轴， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，所以； 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以； 又，故. 所以当为5平方米时，取得最小值，最小值是30万元. 4．（25-26学年高一上·云南多校·期中）某产品上市的第1天至第天的销售量（单位：克）近似地满足如图①所示的函数关系，单价（单位：元/克）近似地满足如图②所示的函数关系，其中图②中前一段为线段，后一段的函数解析式为，其中，为常数.        （1）分别求这50天内每天的销售量与的函数表达式，每天的单价与的函数表达式. （2）当为何值时，第天的销售收入（单位：元）最大？最大的销售收入是多少元？ 【答案】（1） ，     （2）第20天的销售收入最大，最大的销售收入是4550元.      【分析】 （1）根据已知可得出函数为分段函数.根据每段函数的图象特点结合已知，设出解析式，代入相关点，得出参数值，即可得出答案； （2）结合（1）的答案，分，，三种情况，分别求出的表达式.然后根据函数的单调性，求出各段的最大值，即可得出答案. (1) 小问详解： 当，时，设， 由 ，解得 . 当，时，设， 由 ，解得 . 所以 当，时，设， 由 ，解得 当，时，， 由 ，解得 所以 . (2) 小问详解： 当，时，， 易得在上单调递增，所以当时，. 当，时，， 由，得，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，. 当，时，， 易得在上单调递减，所以. 综上所述，第20天的销售收入最大，最大的销售收入是4550元. 5．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且 ，当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）     （2）50台，900万元      【分析】 （1）利用利润销售收入成本公式列式求解即可； （2）利用二次函数性质和基本不等式计算求解即可. (1) 小问详解： 由题意可得，当时，，故, 故当时，； 当时，． 故年利润关于年产量的函数关系式为 (2) 小问详解： 由（1）得当时，； 当时，； 当时，        ， 当且仅当，即时，等号成立，． 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元． 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元． 6．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元. （1）估计该设备从第几年开始实现总盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】（1）第2年     （2） 方案二更合理，理由如下： 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备， 总利润为万元； 综上所述：两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适.      【分析】 （1）设为前n年的总盈利额，，根据，解不等式得到答案. （2）根据二次函数性质和均值不等式分别计算总利润，得到总利润相同，再比较时间得到答案. (1) 小问详解： 设为前n年的总盈利额， ， 由得，又，故该设备从第2年开始实现总盈利； (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】（1）     （2）9万件      【分析】 （1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. (1) 小问详解： 根据题意得，当时，， 当时，， 故 (2) 小问详解： 当时，， 且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时. 当时，，当且仅当时，等号成立. 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）（多选）下列图形中，不是以为自变量的函数的图象的是（     ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（       ） 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）下列各组函数表示同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）定义运算 ，则函数的部分图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知函数 ，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）下列各组函数表示相同函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数在上的值域为 C. 的图象关于原点成中心对称 D. 函数与函数的图象关于直线对称 11．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）已知，则函数的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）下列四组函数中，表示同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D.  14．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数 ， 其中表示不超过的最大整数，如，，则（     ） A.  B.  C. 0 D.  15．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）下列各组函数表示相同函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）下列各组函数中，与表示同一函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 17．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知函数 ，则（       ） A.  B. 3 C. 1 D. 19 18．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数的定义域是，则的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 20．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）（多选）下列各组中两个函数是同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 22．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）已知函数 ，且，则（     ） A. －4或4 B. 1 C. 4 D. －1或1 23．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知实数，函数 若，则的值为（   ） A.  B.  C.  D. 1 24．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）（多选）以下说法错误的是（     ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为4 25．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.下列命题中正确的是（     ） A.  B. ， C. ， D. 若，，则方程的解集为 26．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知，则　　　　　. 27．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数满足，则　　　　　　　　　　. 28．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　. 30．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知函数 ，则　　　　　　. 31．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知点在函数的图象上. （1）求的定义域； （2）求的值域. 33．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知函数 ，且. （1）求的解析式； （2）若，求实数的值. 34．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）函数的定义域是　　　　　. 35．（25-26学年高一上·云南多校·期中）若函数，则　　　　　　　　，函数的定义域为　　　　　　　　. 36．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数，若，则　　　　　　　　. 37．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（1）已知函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式； （3）求函数，的值域. 38．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）函数的最大值为　　　　　　. 39．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知函数的定义域为，集合． （1）求； （2）若集合，求实数的取值范围． 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知点在幂函数的图象上，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）若幂函数的图象关于轴对称，则（       ） A. 8 B.  C. 4 D. 2 3．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）已知幂函数为偶函数，则（     ） A.  B.  C.  D. 或 6．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）（多选）若实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）已知幂函数，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 当的图象经过点时，为奇函数 C. 若幂函数的图象经过点，函数在为减函数 D. 函数的图象都不经过第四象限 9．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（       ） A. 1 B. 2 C. 1或3 D. 3 10．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为　　　　　　． 11．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）若是幂函数，则　　　　　　　　　　. 12．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 14．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知幂函数是偶函数，则　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）已知幂函数的图象经过点，则　　　　　. 16．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知幂函数的图象经过点. （1）证明：. （2）求函数在上的值域. 17．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知幂函数在区间上单调递减，则　　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知幂函数满足． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 19．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知幂函数是奇函数，函数. （1）求； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）若在上的最小值为，求. 20．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）若幂函数为偶函数，则　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知幂函数在区间单调递增. （1）求k的值; （2）若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 22．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）已知幂函数的图象过点，则满足的的取值范围是　　　　　　　　. 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）为了提倡节约用电，某地对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费标准如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的月平均用电量为250千瓦时，则该户居民当年需交纳的电费为（     ） A. 1826元 B. 1840元 C. 1842元 D. 1848元 2．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 3．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）为了节能减排，学校决定安装一个可使用年的太阳能供热设备，并接入电网.安装这种设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常热水供应，安装后采用太阳能和电能互补的模式.设在此模式下，安装后学校每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是 （为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元.记（单位：万元）为学校安装这种太阳能设备的费用与学校年所消耗的电费之和. （1）求常数的值； （2）写出的解析式； （3）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 4．（25-26学年高一上·云南多校·期中）某产品上市的第1天至第天的销售量（单位：克）近似地满足如图①所示的函数关系，单价（单位：元/克）近似地满足如图②所示的函数关系，其中图②中前一段为线段，后一段的函数解析式为，其中，为常数.        （1）分别求这50天内每天的销售量与的函数表达式，每天的单价与的函数表达式. （2）当为何值时，第天的销售收入（单位：元）最大？最大的销售收入是多少元？ 5．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且 ，当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 6．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元. （1）估计该设备从第几年开始实现总盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由. 7．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．D 2．BC 3．D 4．B 5．C 6．C 7．B 8．C 9．C 10．BD 11．C 12．D 13．ABD 14．B 15．D 16．C 17．B 18．D 19．BCD 20．D 21．AD 22．D 23．A 24．AD 25．ABD 26．【答案】 【分析】 令，解得，代入即可得结果. 【详解】 令，解得， 所以. 故答案为：. 27．【答案】8 【分析】 令，得，代入计算即可求解. 【详解】 令，得，则. 故答案为：8 28．【答案】 【分析】 根据分段函数的解析式，结合对数运算即可求解. 【详解】 由题意知，，． 故答案为： 29．【答案】 【分析】 根据题意范围均在中，再列式求解的范围即可. 【详解】 由题意， ，解得. 故答案为： 30．【答案】 【分析】 根据分段函数定义分类计算. 【详解】 由已知， 故答案为：， 31．【答案】 【分析】 根据函数的解析式有意义，列出不等式组，求得不等式组的解集，即可得到答案. 【详解】 由函数有意义，则满足 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将点代入求解可得，再根据分式定义域求解即可； （2）根据分式的值域求解即可. (1) 小问详解： 由题意，解得，故. 故，即，故的定义域为. (2) 小问详解： ，故的值域为. 33．【答案】（1） ；     （2）.      【分析】 （1）由，求出的值即可得答案； （2）分、求解即可. (1) 小问详解： 因为， 所以，解得， 所以 (2) 小问详解： 当时，则有， 解得，不满足，故舍去； 当时，则有，解得或（舍去） 综上，. 34．【答案】 【分析】 应用分式、根式的性质列不等式求函数的定义域. 【详解】 由函数解析式知 ，则函数定义域为. 故答案为： 35．【答案】①     ② 【分析】 利用换元法求解析式，再根据函数定义域的求法求解即可. 【详解】 令，则，所以，即， 则，所以，解得. 故答案为：；. 36．【答案】5 【详解】先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用得出的值. 【详解】 令，则，. 因为，所以，解得. 故答案为： 【点睛】 求解复合函数的解析式时，只需用换元法，令，用含的式子表示出然后代入原函数解析式便可得出的解析式. 37．【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】 （1）利用待定系数法，设，根据条件列出关于的方程，即可求得答案； （2）利用解方程组法，即写出关于的方程组，从而求得解析式． （3）利用换元法，令，然后利用二次函数的性质求解. 【详解】 （1）设，则， 所以，所以 ，解得 或 . 所以或. （2）因为① ， 用代替，得② ①②得：， 所以. （3）令，又，则，且， 所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，， 所以， 所以函数的值域是. 38．【答案】 【分析】 利用换元法及二次函数的性质即可求解. 【详解】 令，则，所以， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以函数在单调递增，在上单调递减. 所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：. 39．【答案】（1）或；     （2）或，      【分析】 （1）利用根式、分式的性质求函数定义域，解分式不等式求解集确定集合，再由集合的交补运算求集合； （2）根据已知有，讨论是否为空，列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 由的解析式知 ，可得，故， 所以或， 由 ，故， 所以或； (2) 小问详解： 由，即， 当时，，可得， 当时， ，可得， 综上，或 考点02 幂函数 1．C 2．C 3．C 4．A 5．A 6．AC 7．D 8．BCD 9．C 10．【答案】、、 【分析】 根据幂函数的性质判断即可. 【详解】 因为在上单调递增，且幂函数恒过点， 当时在上单调递减， 当时在上单调递增，且越大在上增长趋势越快， 所以要使对任意的成立，则，故符合题意的有、、. 故答案为：、、 11．【答案】.25 【分析】 利用幂函数的定义求出，进而求出函数值. 【详解】 由是幂函数，得，解得，则， 所以. 故答案为： 12．【答案】2 【分析】 根据题意要得，且，从而可求出的值 【详解】 ∵是幂函数， ∴，即，∴或． 当时，，是幂函数，且满足当时，随的增大而减小； 当时，，是幂函数，但不满足当时，随的增大而减小，故舍去． ∴实数的值为2． 故答案为：2 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得，即得函数解析式； （2）利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得. (1) 小问详解： 因函数为幂函数，且在上单调递增， 则 解得，故； (2) 小问详解： 因为函数为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式可化为 所以，即 解得或， 故实数a的取值范围为. 14．【答案】2 【分析】 根据给定条件，利用幂函数的定义及偶函数特性求出. 【详解】 幂函数是偶函数，则，解得或， 当时，是偶函数； 而当时，是奇函数，不符合题意， 所以. 故答案为：2 15．【答案】 【分析】 根据幂函数及其所过的点求参数值，再代入自变量求函数值. 【详解】 由题设 ，则，所以. 故答案为： 16．【答案】（1） 证明：设幂函数为， 则，解得，所以. 因为， 所以.     （2）      【分析】 （1）设，求出解析式，继而即可证明； （2）利用单调性求值域即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，因为在上均单调递减， 所以在上单调递增， 所以，， 所以在上的值域为. 17．【答案】 【详解】根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果． 【详解】 由题意，解得或， 又函数在区间上单调递减，则，∴． 故答案为：． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义，结合求出解析式； （2）根据幂函数的定义域以及单调性求解不等式即可. (1) 小问详解： 由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故． (2) 小问详解： 由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是． 19．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据幂函数定义得到方程，结合函数的奇偶性，求出； （2）根据二次函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （3）分，和三种情况，结合函数单调性，得到方程，求出或5. (1) 小问详解： 由题意得，得或. 当时，是偶函数，不符合题意； 当时，是奇函数，符合题意， 故. (2) 小问详解： 由（1）得，图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即的取值范围为. (3) 小问详解： 当，即时，在上单调递减， ，解得，舍去； 当，即时，在上单调递增， ，解得，符合； 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，， 解得或0（舍去）. 故或5. 20．【答案】 【分析】 由幂函数的定义得，解出，并根据为偶函数，进行检验，得到的值. 【详解】 因为为幂函数，则，解得或. 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，所以. 故答案为：. 21．【答案】（1）1     （2）存在m=3      【分析】 （1）根据幂函数的定义，可求得k值，根据的单调性，分析判断，即可得答案. （2）由（1）得，则，分别讨论对称轴、和三种情况，根据二次函数的性质，求解即可得答案. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，在区间单调递减，不符合题意， 当时，在区间单调递增，符合题意， 所以. (2) 小问详解： 由 （1） 函数的解析式为， 由函数，得， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， ① 当即时，则，解得，满足题意； ② 当时，即时，则，无解，舍去； ③ 当时，即时，则，解得，不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为4. 22．【答案】 【分析】 先写出幂函数的表达式，再利用单调性即可1求得. 【详解】 已知幂函数的图象过点， 所以，故，则， 所以是偶函数，且在区间上是增函数， 则， 解得：或， 即的取值范围为. 故答案为： 考点03 函数的应用（一） 1．C 2．【答案】（1）的最大值为，相应月研发经费万元；     （2）      【分析】 （1）由基本不等式得到，并求出此时月研发经费万元； （2）由题意得到不等式，求出答案. (1) 小问详解： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时月研发经费万元. (2) 小问详解： 由题意得，， 整理可得，解得， 故月研发经费的取值范围为. 3．【答案】（1）50；     （2） ；     （3）当为5平方米时，取得最小值，最小值是30万元.      【分析】 （1）由题意知，由此即可解出答案； （2）由题意知，将代入即可； （3）分别求出与时的最小值，再比较得到时的最小值. (1) 小问详解： 依题意得，，所以，解得，故的值为50. (2) 小问详解： 依题意可知， 又由（1）得， ， 当时，， 当时，， 所以 . (3) 小问详解： 当时，，二次函数开口向下，对称轴， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，所以； 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以； 又，故. 所以当为5平方米时，取得最小值，最小值是30万元. 4．【答案】（1） ，     （2）第20天的销售收入最大，最大的销售收入是4550元.      【分析】 （1）根据已知可得出函数为分段函数.根据每段函数的图象特点结合已知，设出解析式，代入相关点，得出参数值，即可得出答案； （2）结合（1）的答案，分，，三种情况，分别求出的表达式.然后根据函数的单调性，求出各段的最大值，即可得出答案. (1) 小问详解： 当，时，设， 由 ，解得 . 当，时，设， 由 ，解得 . 所以 当，时，设， 由 ，解得 当，时，， 由 ，解得 所以 . (2) 小问详解： 当，时，， 易得在上单调递增，所以当时，. 当，时，， 由，得，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，. 当，时，， 易得在上单调递减，所以. 综上所述，第20天的销售收入最大，最大的销售收入是4550元. 5．【答案】（1）     （2）50台，900万元      【分析】 （1）利用利润销售收入成本公式列式求解即可； （2）利用二次函数性质和基本不等式计算求解即可. (1) 小问详解： 由题意可得，当时，，故, 故当时，； 当时，． 故年利润关于年产量的函数关系式为 (2) 小问详解： 由（1）得当时，； 当时，； 当时，        ， 当且仅当，即时，等号成立，． 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元． 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元． 6．【答案】（1）第2年     （2） 方案二更合理，理由如下： 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备， 总利润为万元； 综上所述：两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适.      【分析】 （1）设为前n年的总盈利额，，根据，解不等式得到答案. （2）根据二次函数性质和均值不等式分别计算总利润，得到总利润相同，再比较时间得到答案. (1) 小问详解： 设为前n年的总盈利额， ， 由得，又，故该设备从第2年开始实现总盈利； (2) 小问详解： 略 7．【答案】（1）     （2）9万件      【分析】 （1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. (1) 小问详解： 根据题意得，当时，， 当时，， 故 (2) 小问详解： 当时，， 且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时. 当时，，当且仅当时，等号成立. 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $