精品解析：云南开远市第一中学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

开远一中2025～2026学年高一上学期期中考试 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册第一章～第四章4.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2 （ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 函数且的图象所过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数的解析式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 若函数为上的奇函数，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 10. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. 的图象经过点 B. 在内的值域为 C. 在定义域上单调递减 D. 的图象关于轴对称 11. 已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为，则的定义域为___． 13. 已知函数，则的单调递减区间为___________. 14. 已知实数，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知函数， （1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图； （2）根据函数图象，写出函数的单调区间； （3）若，求实数t的值． 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数取值范围. 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开远一中2025～2026学年高一上学期期中考试 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册第一章～第四章4.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定为，. 故选：B 2. （ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 函数且的图象所过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令，求出的值，即为图象所过定点的坐标. 【详解】令，得 即 所以的图象所过定点 故选：B. 4. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式，求出其解集，根据充分不必要条件的概念进行判断即可. 【详解】因为. 设它的充分不必要条件为，则集合满足是的真子集. 结合选项知，满足题意，故C成立. 故选：C 5. 已知函数，则函数的解析式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用配凑法求解析式即可. 【详解】，且，所以，. 故选：B. 6. 若函数为上的奇函数，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意，，得， 此时，定义域为R，则， 则函数为上的奇函数， 所以. 故选：A. 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以， ， 而，所以，当时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：B 8. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于B，举反例即可判断；对于ACD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，则，即，故C正确； 对于D，若，则，且，则， 则，故D正确； 故选：ACD 10. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. 的图象经过点 B. 在内的值域为 C. 在定义域上单调递减 D. 的图象关于轴对称 【答案】AB 【解析】 【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断． 【详解】将点的坐标代入，可得，则， 对A，当，，所以的图象经过点，A正确； 根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性， 函数在内的值域为，故CD错误，B正确， 故选：AB． 11. 已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，令得； B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性； C选项，赋值得到； D选项，根据C选项，由求得，，变形得到，结合在定义域上单调递增，得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，令得，∴，A正确； B选项，任选，且，中，令，得， 因为当时，，又，所以， 故， 所以在定义域上单调递增，B正确； C选项，中，令得， 故， 故，C错误； D选项，因为，所以，中，令得， ∵，∴， 由于在定义域上单调递增，故，解得，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为，则的定义域为___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出的定义域为，再由即得. 【详解】因函数的定义域为， 则， 于是由， 解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数，则单调递减区间为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性法则，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】可由复合而成， 由于函数在定义域内单调递增， 而函数在单调递增，在单调递减， 所以的单调递减区间为， 故答案为： 14. 已知实数，则的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由换元法与基本不等式求解， 【详解】令， （当且仅当，即时，取等号）． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集交集的概念运算即可； （2）先判断集合间的包含关系，再列出不等式即可. 【小问1详解】 ， 若，， 所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以 即实数m的取值范围是. 16. 已知函数， （1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图； （2）根据函数的图象，写出函数的单调区间； （3）若，求实数t的值． 【答案】（1）答案见解析 （2）增区间为，减区间为 （3）或3 【解析】 分析】（1）根据题中分段函数解析式作图即可； （2）根据图象直接得出单调区间； （3）可知，结合单调性即可得结果. 【小问1详解】 函数的简图如下： 【小问2详解】 由图可知，函数的增区间为，减区间为； 【小问3详解】 因为，且函数在上单调递增，在上单调递减， 若，则实数t的值为或3. 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）是奇函数 （2）在上递增 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再利用函数奇偶性定义判断即得. （2）化函数式为，结合反比例函数及对数函数单调性判断单调性. （3）由（2），利用单调性解不等式. 【小问1详解】 函数中，，解得， 函数的定义域为，， 所以函数是奇函数. 【小问2详解】 函数，而函数在上递减， 函数在上递减，所以函数在上递增. 【小问3详解】 由已知及（2）得，，则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1）， （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【解析】 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【小问1详解】 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据列式求解； （2）根据单调性定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. 【小问1详解】 因为，代入得：即， 解得：. 【小问2详解】 由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减. 【小问3详解】 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $