专题04 函数的基本性质（期中真题汇编，云南专用）高一数学上学期

专题04 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．B 2．C 3．AC 4．D 5．A 6．B 7．C 8．D 9．B 10．ACD 11．B 12．D 13．C 14．A 15．A 16．AC 17．B 18．C 19．D 20．CD 21．ABD 22．D 23．C 24．B 25．D 26．C 27．C 28．AB 29．D 30．B 31．AC 32．B 33．B 34．B 35．BCD 36．C 37．A 38．ABD 39．C 40．A 41．B 42．CD 43．ABD 44．B 45．B 46．C 47．D 48．BCD 49．BCD 50．BCD 51．ACD 52．ACD 53．ACD 54．【答案】 【详解】根据奇函数的性质得出在上为增函数，再利用单调性和奇函数的性质求解即可. 【详解】 解：是奇函数且在为增函数， 在上为增函数， 又， ， 当，即时，， 即，解得：； 当，即时，， 即，解得：； 综上所述：. 故答案为：. 55．【答案】 【分析】 先得到在上的单调性，再由单调性解不等式. 【详解】 根据题意可得在上是减函数，且，则由，得， 解得，所以不等式的解集是. 故答案为：. 56．【答案】3 【分析】 作出函数图象，数形结合即可解题. 【详解】 令，即，解得或， 则当时，， 所以 ，故函数的图象如图所示： 数形结合可知，当时，. 故答案为：3 57．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，利用，可得解析式； （2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围． (1) 小问详解： 因为为奇函数，，设，则， 则, 因为为奇函数，则 ， 则 ． (2) 小问详解： 当时，为单调递增函数， 由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数， 又∵，∴， 故有： ，则有 ，解得： 所以实数a取值范围是： 58．【答案】 【分析】 作出的图象，方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点，数形结合可得答案. 【详解】 ， 作出函数图象，如图： 方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点， 所以. 故答案为： 59．【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，则 又，所以， 所以，即， 所以在上单调递增.      【分析】 （1）根据函数的奇偶性求得的解析式. （2）利用函数单调性的定义，计算，从而判断出在上单调递增. (1) 小问详解： 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，； 当时，. 综上， ； (2) 小问详解： 略 60．【答案】（1）函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得， 令，则，令，则. 为定义在上的奇函数.     （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则， ， . 又， ， 又当时，， ，即，即， 在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函数的奇偶性和单调性，由 求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由得， 的定义域为且在上是单调递减的， ，解得， 不等式的解集为. 61．【答案】（1），     （2） 由（1）可得，此时为奇函数，满足题意. 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，所以， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）先得函数的解析式，再根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数， 可知，即，则. 由，解得， 则满足题意，故，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以 ，解得. 则关于的不等式的解集为. 62．【答案】（1）     （2） 在上单调递减，证明如下： 因为当时，，当时，， 由（1）知， 所以， 当，即， 所以， 即在上单调递减，则； 当，则， 所以， 即在上单调递减，则， 综上，易知在上单调递减，得证．     （3）      【分析】 （1）令，代入计算，可得，分别讨论和两种情况，代入检验，分析即可得答案. （2）由（1）知，当时，可得，代入化简，可得，根据单调性的定义，可得的单调性，同理当，可得的单调性，综合即可得证. （3）由（2）可得的单调性，根据题意，可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. (1) 小问详解： 令.，则， 故，可得， 令，则， 当时，则，即，与题设不符， 当时，则，符合题意， 所以． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知在上单调递减， 因为， 所以，即， 可得或， 所以不等式解集为． 63．【答案】（1）0；0     （2）偶函数     （3）.      【分析】 （1）利用赋值法计算可得； （2）对任意非零实数，，令，即可得到，再令，即可得解； （3）首先说明在区间上单调递增，再得到，则不等式转化为，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. (1) 小问详解： 因为对任意且，都满足， 令，得，， 令，得， . (2) 小问详解： 对任意非零实数，，令， 可得. 在上式中，令，得， 即对任意非零实数，都有， 是偶函数. (3) 小问详解： 对任意且，有， 由（2）知， 在区间上单调递增. ， ， 是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 原不等式转化为， 解得或或， 原不等式的解集为. 64．【答案】（1）；     （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．     （3） .      【分析】 （1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以，即 因为，所以． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上， . 65．【答案】（1）     （2）     （3）2034      【分析】 （1）根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求出值. （2）问题转化为，恒成立，分离参数求出最值即可得解. （3）求出函数解析式，结合指数函数、二次函数求出给定区间上的最值，再列式求解. (1) 小问详解： 函数为偶函数， 得恒成立， 即恒成立，而不恒为0， 所以. (2) 小问详解： 当时，函数的图象恒在图象的上方，则，恒成立， 即，则对恒成立， 函数，， 又函数在R上单调递减，在上单调递增，则函数在上单调递减， ，于是，解得， 所以实数的取值范围是. (3) 小问详解： 依题意，， 由，得，则当时，，当时，， 于是，解得， 所以实数的值为2034. 66．【答案】 【分析】 先求的单调性，再利用可得，再利用消元法化简，利用一元二次函数求最值. 【详解】 ，则， 等号成立条件为，，显然等号不能同时取到，则， 故在上单调递增， 由， 以及得，， 则， 欲求其最大值，故，则， 等号成立时，，故的最大值为. 故答案为： 67．【答案】（1）在区间上单调递增，在区间，上单调递减     （2）， ，    .， ，，， 所以：， 故： 函数在区间内是“上凸函数”.     （3）      【分析】 （1）结合对勾函数的单调性即可得结果； （2）根据“上凸函数”的定义，利用作差法即可得结果； （3）根据（2）中的结果可得，进而可得结果. (1) 小问详解： 当时，， 由对勾函数的性质可得其在在区间和上单调递增， 在区间，上单调递减. 由于在上连续， 所以函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）得： ，有 ，且 ，且. . 当且仅当，取得最大值. 最大值为. 68．【答案】 【分析】 根据在上单调递增，在上单调递减，得在上的单调性，则可得，求解即可. 【详解】 当时，，故函数在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得，又， 所以， 则且，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 69．【答案】（1）     （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增．     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的性质及求解，进而验证即可； （2）根据函数单调性的定义求证即可； （3）根据函数的奇偶性及单调性转化问题为解不等式组 ，进而求解即可. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，故， 又因为，则， 此时，，则， 所以函数为奇函数，满足题意， 故函数的解析式为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数为奇函数， 由，则， 由（2）知，函数在上单调递增， 则 ，解得， 所以不等式的解集为. 70．【答案】（1）8     （2）1      【分析】 （1）根据题意得，进而结合二次函数的性质求最值即可得答案； （2）令，进而根据函数单调性与函数值的符号得到，再根据“偏差”函数的概念解即可. (1) 小问详解： 解：， 因为，， 所以，即， 所以函数与的“偏差”为8. (2) 小问详解： 解：令， ∵，均为上的单调递减函数， ∴是上的单调减函数， 令得，， 又，， 所以 所以，即的“偏差”为， 因为的“偏差”为， 所以，解得 所以，当的“偏差”为，. 71．【答案】（1）     （2） 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数.     （3） 由，则， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 即，故函数在上单调递减.      【分析】 （1）根据对数函数的定义，真数大于0，求解即得. （2）根据函数奇偶性的判断方法，求得与的之间的关系，求解即可. （3）由函数单调性的定义求解即可. (1) 小问详解： 由题意得：且， 解得，所以函数定义域为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 72．【答案】（1）；     （2）上单调递减，在上单调递增.      【分析】 （1）根据给定条件，利用方程组法求出函数解析式. （2）令，利用二次函数单调性，结合复合函数单调性求解. (1) 小问详解： 由，得， 联立两式消去，得，解得，而， 所以的解析式为. (2) 小问详解： 由（1）知，，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 73．【答案】（1）     （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增；     （3）      【分析】 （1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. (1) 小问详解： 由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有 ，解得， 所以原不等式的解集为． 74．【答案】 【分析】 由题意可得为增函数，根据分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】 由题意可得为增函数， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 75．【答案】（1）；     （2） 任取，，且，则 ， 所以且，则，即， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故的值域为；     （3）.      【分析】 （1）根据背景有，代入解析式求参数值，即可得对称中心； （2）应用单调性的定义判断函数的单调性，再由单调性求函数的值域； （3）问题化为在上的值域是值域的子集，利用对称性、单调性求函数的值域，再由包含关系求参数范围. (1) 小问详解： 设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得恒成立， 所以且，于是，故的对称中心为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对任意，总存在，使得， 于是问题化为在上的值域是值域的子集， 在单调递增，图象关于点对称且过点，则在单调递增， 所以在上单调递增，又，， 所以在的值域为，在的值域为， ， ，解得，则的取值范围是. 76．【答案】（1）；     （2） ；     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质，代入自变量求函数值； （2）由奇函数的性质求时函数解析式，即可得； （3）由函数解析式，应用分类讨论法列不等式求解集. (1) 小问详解： 因为为上的奇函数，所以， 所以； (2) 小问详解： 因为为上的奇函数，当时， 所以时，， 因此 ； (3) 小问详解： 由，得 或 ，解得或， 所以不等式解集为. 77．【答案】16 【分析】 由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得. 【详解】 为奇函数 函数关于点对称 函数关于点对称 与图像的8个交点关于点对称 ,,, 可得 同理可知 故答案为： 78．【答案】（1）     （2） 函数为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为， 且， 所以是奇函数.     （3） 在区间上单调递增，证明如下： 设任意，且， 则， 因为，则，， 可得，即， 所以函数在区间上是增函数.      【分析】 （1）根据题意，将的坐标代入函数的解析式，即可得的值； （2）根据题意，先分析函数的定义域，进而判断与的关系即可； （3）根据题意，由作差法结合单调性的定义分析可得答案 (1) 小问详解： 根据题意，函数的图象过点， 则有，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 79．【答案】（1）    的单调递增区间为：， 单调递减区间为：；     （2） 【分析】 （1）利用奇函数图象关于原点对称，可作图分析函数的单调性； （2）利用奇函数恒等式可求解对称区域解析式，即可求解. (1) 小问详解： 根据奇函数的图象关于原点对称可得图象,如图所示：    结合图象可得函数的单调递增区间为：， 单调递减区间为：； (2) 小问详解： 因为时，， 当时，， ， 因为函数为奇函数，， 所以当时，， 又函数为奇函数且定义域为，则， 故 . 80．【答案】 【分析】 根据偶函数的性质得到函数的单调性，再分，，三种情况解不等式. 【详解】 函数是上的偶函数，且在区间上是增函数， 所以，且在区间上是减函数， 因为，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，不符合题意， 所以的解集为， 故答案为： 81．【答案】（1）     （2） 函数在区间上单调递增，证明如下： 设且， ， ，即， 函数在区间上单调递增；     （3）      【分析】 （1）利用奇函数的定义和所过点的坐标可求答案； （2）利用单调性的定义进行证明即可； （3）先求出的值域，再求出的最大值和最小值，代入可得答案. (1) 小问详解： 函数是奇函数，定义域为， 即， ， 即， 故， 又函数的图象经过点，即，解得， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题可知：的定义域为， 因为使得成立，， 由（2）知函数在上单调递增， 同理可得在递增，在递减，在递减， ， ， ， ， ， 故t的取值范围为. 82．【答案】 【分析】 利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果. 【详解】 画出函数的图象如下图所示： 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 83．【答案】（1）     （2）     （3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.      【分析】 （1）根据函数为奇函数，求出，的值； （2）根据（1）的结论，分组相加即可； （3）利用类比推理即可得出. (1) 小问详解： 设的对称中心为点，， 则为奇函数，即， ， ，即， ， 整理得，， ，解得 ，即， 函数图象的对称中心为； (2) 小问详解： 由（1）知， ， ， 且， ； (3) 小问详解： 推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 84．【答案】（1），     （2）因为时，， ，，且， ， 因为，，，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数.     （3） 【分析】 （1）先求，然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由奇函数定义可知.设时，，根据已知函数式及奇函数定义即可求解. (1) 小问详解： 因为时，，所以. 因为为上的奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，； 当时，，则，所以. 综上， . 85．【答案】 【分析】 由函数是定义在上的偶函数，可得，因为在区间上单调递减，所以，求解可得其解集. 【详解】 因为函数是定义在上的偶函数，所以可转化为. 因为在区间上单调递减，，所以， 化简得，解得. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 86．【答案】（1）是函数的“保值”区间，理由如下： 因为函数在上单调递增， 所以， 所以在上的值域为， 所以是函数的“保值”区间；     （2）不存在，理由如下： 函数在，上单调递增， 若,是在,的保值区间，则 ， ，是方程同号的两个不等实根， 由，得，，则方程无实根， 所以函数不存在“保值”区间．      【分析】 （1）由函数的单调性确定最值，从而得值域即可得结论； （2）假定存在“保值”区间,，借助单调性建立方程，判定方程解的情况即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 87．【答案】（1） 函数在上为增函数，证明如下： 由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 经检验，时，， 所以是上的奇函数，满足题意， 又，解得，故，. 且，则， 因为，所以，，，， 所以，即，故在上为增函数.     （2）.      【分析】 （1）根据奇函数性质求b，由可得a，然后利用单调性定义证明即可； （2）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，结合定义域求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为奇函数，所以， 不等式可化为， 又在上是增函数，所以 ，解得， 所以关于t的不等式解集为. 88．【答案】（1）①     （2）①或；②      【分析】 （1）根据“平稳函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； ② 由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. (1) 小问详解： 对于①在上单调递增 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故①是在上的“平稳函数”； (2) 小问详解： ① 二次函数为，对称轴为直线， 在上单调递增，在上单调递减， 当，， 当时，， 当时，． 若，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去），； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，（舍去）； 若，在上单调递减， 则，解得（舍去）． 综上所述，或； ② 易知，二次函数对称轴为直线， 又，且 ， ， 当时，在上单调递增 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 89．【答案】 【分析】 利用分离常数项整理函数得，结合函数的奇偶性，即可得解. 【详解】 ， 设， 因为，所以为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 则， 所以. 故答案为：. 90．【答案】 【分析】 对的范围分类讨论，结合分段函数的最小值求解. 【详解】 因为 , 当且时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，而不是，这与矛盾，不符合题意，所以. 因为二次函数的图象的对称轴为直线， 当，即时，则函数在上单调递增， 根据题意，有，此时，； 当，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时不存在. 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 91．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）由题意可得对任意都成立，分与讨论，利用判别式法列不等式即可求解. （2）由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围.； （3）由题意，根据题意可得即可.令，则，令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可. (1) 小问详解： 由题意，函数的定义域为， 则不等式对任意都成立． ①当时，得，此时函数定义域为，不合题意； ②当时，欲使不等式即对任意都成立， 则 ，即 ，解得． 综上，实数的取值范围为． (2) 小问详解： 函数在区间上单调递增， 由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递增，且在上恒成立， 当时，在上单调递减，且，显然不符合题意； 当时，开口向下，对称轴为， 在上单调递减，显然不符合题意； 当时，开口向上，对称轴为， 由题意得 ，解得． 综上a的取值范围是. (3) 小问详解： 当时，． 所以当时，； 令，显然在上递增，则． 则. 令，, 若存在实数满足对任意，都存在， 使得成立，则只需. ①当即时，函数在上单调递增． 则．解得，与矛盾； ②当即时，函数在上单调递减， 在上单调递增．则，解得； ③当即时，函数在上单调递减． 则．解得，与矛盾． 综上，存在实数满足条件，其取值范围为． 【点睛】 结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 92．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）根据函数的奇偶性，利用方程组法可得函数解析式； （2）结合函数的奇偶性与单调性可解不等式； （3）化简函数解析式，分离参数可得，设，结合函数值域及基本不等式可得参数范围. (1) 小问详解： 函数为上的偶函数，为上的奇函数，且， ， 即 ， 解得，； (2) 小问详解： 因为是奇函数. 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 由可得，解得， 即所求不等式的解集为； (3) 小问详解： 因为函数在上有零点， 即在上有根， 所以在上有根， 令，易知其在上单调递增，且， ， 因为，当且仅当时等号成立，即， ，即实数的最小值为. 93．【答案】（1） 因为的定义域为，所以的定义域为，的定义域关于原点对称. 令，则，得. 令，则， 所以，即， 所以为奇函数.     （2） 任取，，且，则，所以. 令，，则， 所以，即， 所以，故在上单调递增.     （3） 命题“对任意正有理数，恒成立”是真命题. 理由如下：因为是一个正有理数，所以，，， 所以原命题等价于对任意，，恒成立. 因为 ， 所以，所以， 所以， 所以对任意正有理数，成立，所以原命题是真命题.      【分析】 （1）通过赋值法结合奇函数的定义即可求出； （2）根据函数单调性的定义，判断的正负性即可 （3）设，根据表达式化简得，进而可证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 94．【答案】（1），     （2） 函数在上单调递增.证明如下： 任取，且， 则， 因为，则，，，， 所以，所以， 所以函数在上单调递增；     （3）      【分析】 （1）由函数是定义在上的奇函数，则，结合，求出，，即可得到函数的解析式； （2）任取且，化简，然后判断的符号，即可判断函数的单调性； （3）由题可得，再根据函数在上的单调递增，列不等式 ，求解即可. (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数的解析式为，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以， 由可得， 因为函数在上的单调递增， 则 ，解得. 95．【答案】（1） 因为，所以是的“下位序列”.     （2）；     （3）      【分析】 （1）根据“下位序列”的定义判断即可； （2）由条件可得，然后利用作差法比较大小即可； （3）根据“下位序列”的定义列不等式组，利用不等式组求出的范围，然后将恒成立问题转化最值问题，即可求出正整数的最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为是的“下位序列”，所以， 又均为正数， ，即， ，即， 所以. (3) 小问详解： 由题，可得 ，又均为整数， 所以 ， ， ，对集合内的每一个正整数都成立， 所以， 所以正整数的最小值为4049. 96．【答案】 【分析】 根据函数为偶函数，可得函数定义域关于原点对称可求解，再根据偶函数的定义，可求解，再求即可. 【详解】 因为偶函数定义域关于原点对称，所以，即， 又因为，所以，即，， 所以. 故答案为：. 97．【答案】（1） 证明：由函数在上单调增函数知，的值域为， 所以是函数的一个“翻倍区间”；     （2）存在，，，     （3）      【分析】 （1）根据在上的单调性和值域可证； （2）根据“翻倍区间”的定义列方程组求解可得； （3）转化为方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，利用二次函数性质求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 假设存在一个“翻倍区间”， 由函数是上的单调增函数，有 ，    解得，0，，，0，， 由知所有“翻倍区间”为，，. (3) 小问详解： 由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数， 而，可得，解得， 由② 知 ，可得，是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 即方程在上有两个不等实根 或者在上有两个不等实根， 则有 或 ， 解得或， 综上，故实数的取值范围为. 98．【答案】 【分析】 根据已知有，将问题化为是在上值域的子集，应用分类讨论研究的值域，列不等式求参数范围. 【详解】 由，则，而，故， 对任意的，总存在，使得成立，而， 所以是在上值域的子集， 由的图象开口向上，且对称轴为， 当，即，则在上单调递增，故， 此时是的子集，则且，可得； 当，即，则在上单调递减，在上单调递增，故， 此时是的子集，则且，易知无解； 当，即，则在上单调递减，在上单调递增，故， 此时是的子集，则且，易知无解； 当，即，则在上单调递减，故， 此时是的子集，则且，可得； 综上，. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）的图象大致是（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于（  　  ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上任意，当时，恒有，则称函数f(x)为“函数”下列函数中的“函数”有（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知 ，若对任意，均有，则函数可以是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为（       ） A. (－∞，0] B. [0，＋∞) C. (－∞，＋∞) D. [1，＋∞) 6．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知定义在R上的函数，下列说法中正确的个数是（       ） ①是偶函数；②是奇函数；③是偶函数；④是偶函数；⑤是偶函数. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，，0)上有 A. 最小值－8 B. 最大值－8 C. 最小值－6 D. 最小值－4 9．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知函数是奇函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 的递减区间为 D. 是奇函数 11．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）定义运算 ，则函数的部分图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）若函数 是增函数，则a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）若函数 是上的单调函数，则的取值范围（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）函数 是上的增函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）给出下列四个命题是真命题的是（       ） A. 函数与函数表示同一个函数； B. 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； C. 函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到； D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为； 21．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（       ） A.  B. 是奇函数 C. 是增函数 D.  22．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）已知函数满足，若函数与图象的交点为，则所有交点的横坐标之和为（       ） A. 0 B. m C.  D.  24．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）已知函数 满足在上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）函数的图象与的图象的交点个数为（     ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 28．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（多选）设函数的定义域为，，，若，，则（       ） A. ， B. 是偶函数 C. 在上单调 D. 可能是奇函数 29．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）奇函数f(x)在上的解析式是f(x)=x（1+x），则f(x)在上有（　　） A. 最大值-1/4 B. 最大值1/4 C. 最小值-1/4 D. 最小值1/4 31．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（    ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 32．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知是上的奇函数，且满足，当时，，则等于（       ） A.  B. 2 C. -98 D. 98 33．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（        ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 34．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在上单调递增，则（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）（多选）已知函数的图象经过点，，则（     ） A.  B.  C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 36．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知函数 满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（       ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）（多选）已知定义在上的函数满足对任意的，，均有，当时，，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 是奇函数 C. 是减函数 D. 的解集是（0，1） 39．（25-26学年高一上·云南多校·期中）函数的大致图象为（     ） A.      B.      C.      D.      40．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（       ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知函数 是上的增函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（     ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数在上递增 D.  43．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则满足（       ） A.  B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 44．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）已知奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）对任意两个实数，定义 ，若，则下列关于函数的说法错误的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个根 C. 不等式的解集为(1，2) D. 函数的值域为 46．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）定义在上的奇函数满足：对，，且，都有，且，设，，，则（     ） A.  B.  C.  D. ，，大小关系不确定 47．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  48．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）（多选）已知函数，是定义在R上的非常数函数，满足，，且为奇函数，则（       ）． A. 为奇函数 B. 为偶函数 C.  D.  49．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）（多选）已知，均是定义域为的函数，且是奇函数，.若，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C. 的解集为 D. 若在上恒成立，则a的最大值为 50．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）已知函数，的定义域均为，为偶函数，，，，则（   ） A.  B.  C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于点对称 51．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 函数为奇函数 B. 当时，在上单调递增 C. 若方程有实根，则 D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2026个交点，记为，则的值为4052 52．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 关于的方程有个不同的解 C. 在上单调递减 D. 当时，恒成立. 53．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）（多选）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（     ） A.  B.  C. 在上的最大值是2 D. 不等式的解集为 54．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知奇函数在为增函数，且，则不等式的解集为　　　　　　　　　　． 55．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知是定义域为的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集是　　　　　　　　. 56．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）给定函数，，，用表示，中的最小者，记为，当时，的最大值为　　　　　　　　. 57．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 58．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是　　　　　　. 59．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性并用定义证明． 60．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：. 61．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于的不等式. 62．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数在上满足，且当时，；当时，． （1）求的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）求关于的不等式的解集． 63．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 64．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 65．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知为偶函数，. （1）求实数的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）已知函数在上的最大值与最小值之和为2025，求实数的值. 66．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知函数，若实数满足，则的最大值为　　　　　　　　　　　　． 67．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数. （1）请说明的单调性（无需证明过程）； （2）证明此函数在内是“上凸函数”； （3）已知，且，求的最大值. 68．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知函数的定义域为，若，则的取值范围为　　　　　　. 69．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 70．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）俄国数学家切比雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为，求的值. 71．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数且. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若且，判断函数在内的单调性并用定义证明. 72．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）讨论的单调性. 73．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知定义在上的函数图象关于原点对称． （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式． 74．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）已知 满足对任意实数，都有，则实数的取值范围是　　　　　. 75．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称的图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数（即满足：.给定函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性，并求在上的值域； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 76．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）已知为上的奇函数，当时，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）解不等式. 77．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则　　　　　　　. 78．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数的图象过点. （1）求实数的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）判断函数在上的单调性并证明. 79．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示.        （1）请将函数的图象补充完整，根据图象写出函数在上的单调区间； （2）求函数在上的解析式. 80．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）已知函数是上的偶函数，且在区间上是增函数，若，则不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　. 81．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）设a，b是实数，函数为奇函数，其函数图象经过点. （1）求a，b的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明： （3）已知函数的定义域为，对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 82．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）设函数 ，若，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 83．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）根据第（1）问的结论，求 的值； （3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 84．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求，的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 85．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则不等式的解集为　　　　　　　　． 86．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）判断是否是函数的“保值”区间，并说明理由； （2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由. 87．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）函数是定义在上的奇函数，且． （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于的不等式． 88．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）若函数Q在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数Q是在上的“平稳函数”． （1）函数①；②；③，其中函数______是在上的“平稳函数”（填序号）； （2）已知函数． ①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值； ②已知函数，若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数，使得，求的值． 89．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）设函数的最大值为，最小值为，则　　　　． 90．（25-26学年高一上·云南多校·期中）设函数 ，若是函数的最小值，则实数的取值范围是　　　　　． 91．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数，其中为实数. （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 92．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数和具有如下性质：①定义域都为；②是偶函数，是奇函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求函数和的解析式； （2）解不等式：； （3）若函数的图象在区间上有零点，求实数的最小值. 93．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数的定义域为，对任意实数，，都有.当0时，. （1）设函数，判断的奇偶性，并说明理由. （2）证明：在上单调递增. （3）判断命题“对任意正有理数，恒成立”的真假，并说明理由. 94．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求满足不等式的的取值范围. 95．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“下位序列“． （1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列“吗？请简单说明理由； （2）设、、、均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系，并说理； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 96．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）若函数是偶函数，且其定义域为，则　　　　　　　　. 97．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”. （1）证明：是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围. 98．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知．若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）的图象大致是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 写出的分段形式，判断各区间的单调性及其最值，即可确定图象. 【详解】 由题设 ，故上递减，上递增，且最小值， 根据各选项图象知：B符合要求. 故选：B 2．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于（  　  ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】 因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 则. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上任意，当时，恒有，则称函数f(x)为“函数”下列函数中的“函数”有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 利用熟悉函数的奇偶性和单调性来进行判断即可. 【详解】 对于定义域上的任意，恒有，则是奇函数， 对于定义域上任意，当时，恒有，则是定义域内的单调递增函数， 由于是奇函数且是单调递增函数，故A正确； 由于不是奇函数，故B错误； 作出函数 的图象： 由图可得图象关于原点对称，函数是奇函数且单调递增，故C正确； 由于是在内单调递增，但在定义域内不是单调递增，故D错误； 故选：AC. 4．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知 ，若对任意，均有，则函数可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，取特殊值验证的方法判断A，B，C，根据满足的条件判断D. 【详解】 对于A，，当时，不妨取，则， 此时不成立，即不成立，A错误； 对于B，，当时，不妨取，则， 则不成立，即不成立，B错误； 对于C，，不妨取，则， 此时不成立，即不成立，C错误； 对于D，，当时，则， 此时恒成立，即成立， 当时，则，此时恒成立，即成立， 故对任意，均有，D正确， 故选：D 5．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为（       ） A. (－∞，0] B. [0，＋∞) C. (－∞，＋∞) D. [1，＋∞) 【答案】A 【分析】 利用函数是偶函数，可得，解出．再利用二次函数的单调性即可得出单调区间． 【详解】 解：函数是偶函数，，，化为，对于任意实数恒成立，，解得． ，其单调递增区间为，． 故选：A． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性和对称性的应用，熟练掌握函数的奇偶性和二次函数的单调性是解题的关键，属于基础题． 6．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由函数为奇函数，可得函数为偶函数，再根据，可得在上单调递减，即为 或 ，根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】 由已知当，， 则， 设，， 则在上单调递减； 由是定义在上的奇函数， 则，所以当时，，不满足题意； 当时，为偶函数，且， 又函数在上单调递减， 则在上单调递增， 当时，由，可得，则； 当时，由，可得，则； 综上所述， 故选：B. 7．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知定义在R上的函数，下列说法中正确的个数是（       ） ①是偶函数；②是奇函数；③是偶函数；④是偶函数；⑤是偶函数. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 直接利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】 定义在R上的函数， ① 令， 则是偶函数； ② 令， 则是奇函数； ③ 令， 则是偶函数； ④ 令， 则是偶函数； ⑤ 令， 则和的关系不确定，不能判断奇偶性. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题. 8．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，，0)上有 A. 最小值－8 B. 最大值－8 C. 最小值－6 D. 最小值－4 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性与单调性即可得到结果. 【详解】∵y＝f（x）和y＝x都是奇函数， ∴af（x）+bx也为奇函数， 又∵F（x）＝af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8， ∴af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6， ∴af（x）+bx在（﹣∞，0）上有最小值﹣6， ∴F（x）＝af（x）+bx+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣4， 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F（x）﹣2＝af（x）+bx也为奇函数，是解答本题的关键． 9．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知函数是奇函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据是奇函数，由求解. 【详解】 解：的定义域为， 因为是奇函数， 所以， 即 ， 所以． 故选：B． 10．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 的递减区间为 D. 是奇函数 【答案】ACD 【分析】 利用反比例函数的性质判断ABC选项，由奇函数的定义判断D选项. 【详解】 函数是反比例函数，结合反比例函数的性质可知， 的定义域为，关于原点对称，A选项正确； 的值域为，B选项错误； 的图象为一三象限双曲线，递减区间为，C选项正确； ，是奇函数，D选项正确. 故选：ACD 11．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）定义运算 ，则函数的部分图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知定义，写出的分段函数形式，再画出其大致图象，即可得. 【详解】 当，则， 当，则或， 由题设 ，其大致图象如下， 故选：B 12．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由的单调性，进而得的单调性，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】 函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是， 故选：D. 13．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定函数图象，分别确定函数值为正及为负时的取值范围，再求出不等式的解集. 【详解】 观察图象，函数满足，当时，，当时，； 函数满足，当时，，当或时，； 由不等式，得，则， 所以原不等式的解集为. 故选：C 14．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）若函数 是增函数，则a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分段函数各段均为增函数，且在分段处也满足单增的关系列式即可. 【详解】 由题可知为增函数，故对称轴小于等于1， 且当时，故 ，解得. 故选：A 15．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用奇函数的性质可求得所求代数式的值. 【详解】 因为函数是定义在上的奇函数，且当时，， 则. 故选：A. 16．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据题意，结合二次函数，幂函数，对勾函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】 对于A，由函数的定义域为，且， 所以函数为的奇函数， 又由幂函数的性质，可得函数在为单调递增函数，所以A符合题意； 对于B，由二次函数的图象与性质，可得函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C，由函数的定义域为，且满足， 所以为定义域上的奇函数， 又由对勾函数的性质，可得函数在单调递增，所以C符合题意； 对于D，由函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，所以D不符合题意. 故选：AC. 17．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）若函数 是上的单调函数，则的取值范围（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据的开口方向，确定分段函数在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围. 【详解】 因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在上的单调递增，所以要满足： ，解得： 故选：B 18．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由函数的奇偶性以及定义域判断BD，由判断AC. 【详解】 由图可知，函数为奇函数，且定义域不是. 对于B，的定义域为，故B错误； 对于D，，即该函数为偶函数，故D错误； 对于AC，两个函数的定义域都为，因为，所以A错误，C正确； 故选：C 19．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）函数 是上的增函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用两段函数递增和端点值的大小关系建立不等式组，求解不等式组即可. 【详解】 因为为增函数，所以 ，解得. 故选：D 20．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）给出下列四个命题是真命题的是（       ） A. 函数与函数表示同一个函数； B. 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； C. 函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到； D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为； 【答案】CD 【分析】根据函数有关的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，定义域为，定义域为，所以两个函数不是同一函数，A选项是假命题. 对于B选项，奇函数在处不一定有定义，所以B选项是假命题. 对于C选项，根据函数图像变换的知识可知C选项是真命题. 对于D选项，函数的定义域为，则函数满足，即函数的定义域为，所以D选项是真命题. 故选：CD 【点睛】本小题主要考查函数相同的概念，考查奇函数的性质，考查函数图像变换，考查抽象函数定义域的求法，属于基础题. 21．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（       ） A.  B. 是奇函数 C. 是增函数 D.  【答案】ABD 【分析】 对于选项A和选项B：利用奇函数的定义以及奇函数在原点有定义就有即可判断； 对于C：举反例即可判断；对于D：分别令和即可判断. 【详解】 对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确. 故选:ABD 22．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由奇函数性质可得，再利用计算即可得. 【详解】 由是定义在上的奇函数，则，则， 则当时，，则. 故选：D. 23．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）已知函数满足，若函数与图象的交点为，则所有交点的横坐标之和为（       ） A. 0 B. m C.  D.  【答案】C 【分析】 判断出和图象的对称性，由此求得. 【详解】 依题意函数满足，即的图象关于对称. 函数的图象也关于对称性， 所以若函数与图象的交点分别为，，…，，则. 故选：C. 24．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）已知函数 满足在上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用分段函数的单调性法则以及二次函数的单调性可得答案. 【详解】 由分段函数的单调性可得： ， 解得：. 故选：B 25．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数的定义域可排除B，再利用特殊值的函数值的符号即可排除AC. 【详解】 解：，则， 所以函数的定义域为，故排除B； 当时，，故排除A； ，故排除C. 故选：D. 26．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由偶函数的性质和单调性可解. 【详解】 因为是定义域为的偶函数， 所以，， 又当时，是减函数，， 所以. 故选：C. 27．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）函数的图象与的图象的交点个数为（     ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【分析】 画出函数图像即可求解. 【详解】 在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，        由图可知，两函数的图象的交点个数为4. 故选：C. 28．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（多选）设函数的定义域为，，，若，，则（       ） A. ， B. 是偶函数 C. 在上单调 D. 可能是奇函数 【答案】AB 【分析】 根据绝对值得意义可判断A，根据偶函数定义及性质判断B、C，利用反证法可判断D. 【详解】 因为，所以，故A正确； 由，得，所以是偶函数， 根据偶函数的对称性可知，函数在不上单调，故B正确，C错误； 若是奇函数，结合选项B知， ，所以， 即，这与矛盾，故D错误. 故选：AB. 29．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由在单调递增，结合为奇函数可得，在上递增，再由等价于 或 ，即可求解集. 【详解】 因为对任意的，，且，都有成立， 所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数， 所以在单调递增， 由，则， 当时，，解得； 当时，，解得； 由可得. 故选：D 30．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）奇函数f(x)在上的解析式是f(x)=x（1+x），则f(x)在上有（　　） A. 最大值-1/4 B. 最大值1/4 C. 最小值-1/4 D. 最小值1/4 【答案】B 【分析】先根据奇函数性质求f(x)在上解析式，再根据二次函数性质求最值. 【详解】当时，， 所以当时，取最大值，选B. 【点睛】已知函数的奇偶性求函数解析式，主要抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 31．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（    ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【答案】AC 【分析】 根据奇偶函数的定义依次判断AB即可；根据奇偶函数的性质，结合复合函数的单调性判断CD即可. 【详解】 因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 所以， 所以和均为偶函数，A正确，B错误； 又因为在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，故C正确，D错误. 故选：AC 32．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知是上的奇函数，且满足，当时，，则等于（       ） A.  B. 2 C. -98 D. 98 【答案】B 【分析】 利用题设条件分析、推理出函数的周期性即可计算作答. 【详解】 因是上的奇函数，则有，即， 于是得，从而有是周期函数，周期， 而时，，则， 所以等于2. 故选：B 33．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（        ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可. 【详解】 由题意知，则， 即，所以， 即，所以函数的周期为， 所以， 故选：B 34．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在上单调递增，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意得到函数的对称轴，从而得到的值和函数在上的单调性，由函数单调性判断各选项. 【详解】 因为函数的定义域为，且是偶函数， 则对任意的，，故函数的图象关于直线对称， 所以， 因为函数在单调递增，故函数在上单调递减， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，与0的大小关系不确定，D错， 故选：B. 35．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）（多选）已知函数的图象经过点，，则（     ） A.  B.  C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】 现根据函数图象经过的点坐标求出参数值，然后判断函数是否为偶函数以及求解不等式即可. 【详解】 因为函数的图象经过点， 那么 ，解得， 所以A错误，B正确； 所以，定义域为关于轴对称，而， 所以函数是偶函数，关于轴对称，所以C正确； 不等式变形为， 所以，化简得. 化简得，解得或，所以不等式的解集为. 所以D正确. 故选：BCD. 36．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知函数 满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】 对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 37．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据函数与图象关于轴对称判断B，判断函数，的奇偶性，再结合其与函数的图象关系，判断AC，再根据函数关于原点对称判断D， 【详解】 函数的图象与函数的图象关于轴对称，不满足要求，B错误； 设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，A正确； 设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，C错误； 函数的图象与函数的图象关于原点对称，D错误； 故选：A. 38．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）（多选）已知定义在上的函数满足对任意的，，均有，当时，，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 是奇函数 C. 是减函数 D. 的解集是（0，1） 【答案】ABD 【分析】 令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B正确；令 且，证得，结合为奇函数和，可判定C不正确；分和，求得不等式的解集，可判定D正确. 【详解】 由函数满足， 对于A，令时，可得，可得，所以A正确； 对于B，令时，，可得， 所以函数为奇函数，所以B正确； 对于C，由，可得 令 且，可得， 所以， 因为当时，，可得，即 所以函数在上为单调递增函数， 又因为为奇函数，所以在上为单调递增函数，且， 但函数在上为单调递增函数，所以C不正确； 对于D，由不等式， 当时，，则满足，解得； 当时，，则满足，此时解集为空集， 所以不等式的解集为，所以D正确. 故选：ABD. 39．（25-26学年高一上·云南多校·期中）函数的大致图象为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 利用函数的特殊值及奇偶性排除A，B，D即可得解. 【详解】 当时，，排除选项A；因为的定义域为，且，所以为奇函数，排除选项B；当时，，排除选项D. 故选：C 40．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意求与的函数关系式，进而可得结果. 【详解】 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以 ，所以A正确，BCD错误； 故选：A. 41．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知函数 是上的增函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据分段函数的单调性列不等式组求解即得. 【详解】 依题意，需使 ，解得， 即的取值范围为. 故选：B 42．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（     ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数在上递增 D.  【答案】CD 【分析】 根据高斯函数定义分析函数，判断各选项. 【详解】 对于A、B：根据定义，表示不超过的最大整数， 所以当是整数时，，， 当不是整数时，设，其中，， 所以，所以，故A错误，B错误； 对于C：当时，，是增函数，C正确； 对于D：因为， 所以，D正确； 故选：CD. 43．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则满足（       ） A.  B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【分析】 利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，函数的定义域为， 令，可得，则， 故函数是奇函数，B对； 对于C选项，任取、且，则， 即，所以， 所以，函数为上的减函数， 所以，在上有最大值，C错； 对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对. 故选：ABD. 44．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）已知奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 因为奇函数是定义在上的减函数， 由得， 所以 ，解得. 故选：B. 45．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）对任意两个实数，定义 ，若，则下列关于函数的说法错误的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个根 C. 不等式的解集为(1，2) D. 函数的值域为 【答案】B 【分析】 根据定义写出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项. 【详解】 由题意可得， ， 作出函数图象，如图所示： 由图象可知，为偶函数，故A正确； 方程有三个解，故B错误； 由 ，当时，解得，可得交点坐标， 由 ，当时，解得，可得交点坐标 由图像可知：的解集为(1，2)，故C正确； 由图可知，的最大值为，值域为，故D正确. 故选：B 46．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）定义在上的奇函数满足：对，，且，都有，且，设，，，则（     ） A.  B.  C.  D. ，，大小关系不确定 【答案】C 【分析】 由在上为减函数，且为奇函数，再由判断. 【详解】 因函数是上的奇函数，且在上为减函数， 则，又， 则，，， 即. 故选：C. 47．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，构造函数，利用函数单调性定义确定在的单调性，再结合奇偶性求解不等式. 【详解】 设函数，由为上的奇函数，得， 则函数是上的偶函数，又， 依题意，对任意的，且，都有， 则函数在上单调递增，由，得， 不等式， 则 或 ，于是 或 ， 解得或，所以原不等式的解集为. 故选：D 48．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）（多选）已知函数，是定义在R上的非常数函数，满足，，且为奇函数，则（       ）． A. 为奇函数 B. 为偶函数 C.  D.  【答案】BCD 【分析】 根据已知条件，利用变量代换可推出函数的周期，继而推出，结合函数是定义在R上的非常数函数，即可判断的奇偶性，判断A，B；利用的周期可求得的值，判断C；根据结合变量代换可推出，从而将化为，结合的周期求值即可判断D. 【详解】 函数是定义在R上的非常数函数， 由于为奇函数，故， 即，即， 由于，用代换x可得， 结合得：，即， 结合得， 即，故， 即4为函数的周期，故，故为偶函数， 由于是定义在R上的非常数函数，故不是奇函数，故A错误，B正确； 由于，故，即， 故， 故，故C正确； 由得， 而为偶函数且，故， 则， 因为，所以， 故，D正确， 故选：BCD 【点睛】 难点点睛：本题考查了抽象函数的性质的应用问题，涉及到函数的奇偶性以及周期性，难点在于要根据已知条件，经过变量代换，推出函数的周期，进而推出函数为偶函数，从而再根据之间的关系，推出，结合函数的周期性，即可求出和式，的值. 49．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）（多选）已知，均是定义域为的函数，且是奇函数，.若，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C. 的解集为 D. 若在上恒成立，则a的最大值为 【答案】BCD 【分析】 对A,B，取为代入，根据，的性质化简，再进行联立求解可得，；对C，根据分式不等式求解即可；对D，代入，可得在上恒成立，再参变分离求解即可. 【详解】 对A,B，由① ，故. 又是奇函数，，故，. 故②. ① -② 可得，代入① 可得， 故，故A错误，B正确； 对C，即，故，解得，故C正确； 对D，在上恒成立， 即在上恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故，则a的最大值为，故D正确. 故选：BCD 50．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）已知函数，的定义域均为，为偶函数，，，，则（   ） A.  B.  C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】 先由可得C正确，再由及为偶函数可得BD正确，A错误. 【详解】 对于A：因为为偶函数，所以，则， 再由，令，得，所以，故A错误； 对于C：因为，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D：由，得，所以， ，且，所以，即， 所以，所以的图象关于点对称，故D正确； 对于B：由为偶函数，得，即， 且，所以， 以代替，得——① .再以代替，得——② ， 联立① ② 得，再以代替，得，故B正确. 故选：BCD. 51．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 函数为奇函数 B. 当时，在上单调递增 C. 若方程有实根，则 D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2026个交点，记为，则的值为4052 【答案】ACD 【分析】 对于A，根据题意改写函数得到新解析式即可判断；对于B.可用特殊值法判断错误；对于C.令参变分离得到，根据函数的值域即可求得的取值范围；对于D根据题意可知和关于中心对称，所以交点也关于中心对称，即对称的横或纵坐标之和为2，由此得出答案. 【详解】 对于A，设， 函数的定义域为，关于原点对称，且， 故函数为奇函数，A正确； 对于B，因，，同理， ， 由，当时， ， 即此时在上不是单调递增，故B错误； 对于C，由，可得，因，故可得， 因 可得，故，故C正确； 对于D，当时，由A知函数关于中心对称，又函数关于中心对称， 故两函数的这2026个交点关于对称， 故，故D正确. 故选：ACD. 52．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 关于的方程有个不同的解 C. 在上单调递减 D. 当时，恒成立. 【答案】ACD 【分析】 求的值判断选项A；当时验证结论是否正确去判断选项B；由在上的解析式去判断选项C；分析法证明不等式去判断选项D. 【详解】 选项A：.判断正确； 选项B： 画出部分图像如下： 当时，由，可得 或 由 ，可得或；由 ，可得 即当时，由可得3个不同的解，不是5个. 判断错误； 选项C：当时，， 若即，则 则，为减函数； 当时， 若即，则 则，为减函数； 当时， 若即，则 则，为减函数； 综上，在上单调递减. 判断正确； 选项D：当时，可化为， 同一坐标系内做出与的图像如下： 等价于 即，而恒成立. 判断正确. 故选：ACD 【点睛】 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 53．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）（多选）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（     ） A.  B.  C. 在上的最大值是2 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】 令求出判断A；令得到，再替换、判断B；再利用定义法证明函数的单调性判断C；根据已知不等式化为，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式判断D. 【详解】 因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代替，，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD 54．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知奇函数在为增函数，且，则不等式的解集为　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】根据奇函数的性质得出在上为增函数，再利用单调性和奇函数的性质求解即可. 【详解】 解：是奇函数且在为增函数， 在上为增函数， 又， ， 当，即时，， 即，解得：； 当，即时，， 即，解得：； 综上所述：. 故答案为：. 55．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知是定义域为的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先得到在上的单调性，再由单调性解不等式. 【详解】 根据题意可得在上是减函数，且，则由，得， 解得，所以不等式的解集是. 故答案为：. 56．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）给定函数，，，用表示，中的最小者，记为，当时，的最大值为　　　　　　　　. 【答案】3 【分析】 作出函数图象，数形结合即可解题. 【详解】 令，即，解得或， 则当时，， 所以 ，故函数的图象如图所示： 数形结合可知，当时，. 故答案为：3 57．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，利用，可得解析式； （2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围． (1) 小问详解： 因为为奇函数，，设，则， 则, 因为为奇函数，则 ， 则 ． (2) 小问详解： 当时，为单调递增函数， 由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数， 又∵，∴， 故有： ，则有 ，解得： 所以实数a取值范围是： 58．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 作出的图象，方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点，数形结合可得答案. 【详解】 ， 作出函数图象，如图： 方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点， 所以. 故答案为： 59．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性并用定义证明． 【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，则 又，所以， 所以，即， 所以在上单调递增.      【分析】 （1）根据函数的奇偶性求得的解析式. （2）利用函数单调性的定义，计算，从而判断出在上单调递增. (1) 小问详解： 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，； 当时，. 综上， ； (2) 小问详解： 略 60．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：. 【答案】（1）函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得， 令，则，令，则. 为定义在上的奇函数.     （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则， ， . 又， ， 又当时，， ，即，即， 在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函数的奇偶性和单调性，由 求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由得， 的定义域为且在上是单调递减的， ，解得， 不等式的解集为. 61．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1），     （2） 由（1）可得，此时为奇函数，满足题意. 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，所以， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）先得函数的解析式，再根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数， 可知，即，则. 由，解得， 则满足题意，故，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以 ，解得. 则关于的不等式的解集为. 62．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数在上满足，且当时，；当时，． （1）求的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）     （2） 在上单调递减，证明如下： 因为当时，，当时，， 由（1）知， 所以， 当，即， 所以， 即在上单调递减，则； 当，则， 所以， 即在上单调递减，则， 综上，易知在上单调递减，得证．     （3）      【分析】 （1）令，代入计算，可得，分别讨论和两种情况，代入检验，分析即可得答案. （2）由（1）知，当时，可得，代入化简，可得，根据单调性的定义，可得的单调性，同理当，可得的单调性，综合即可得证. （3）由（2）可得的单调性，根据题意，可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. (1) 小问详解： 令.，则， 故，可得， 令，则， 当时，则，即，与题设不符， 当时，则，符合题意， 所以． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知在上单调递减， 因为， 所以，即， 可得或， 所以不等式解集为． 63．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 【答案】（1）0；0     （2）偶函数     （3）.      【分析】 （1）利用赋值法计算可得； （2）对任意非零实数，，令，即可得到，再令，即可得解； （3）首先说明在区间上单调递增，再得到，则不等式转化为，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. (1) 小问详解： 因为对任意且，都满足， 令，得，， 令，得， . (2) 小问详解： 对任意非零实数，，令， 可得. 在上式中，令，得， 即对任意非零实数，都有， 是偶函数. (3) 小问详解： 对任意且，有， 由（2）知， 在区间上单调递增. ， ， 是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 原不等式转化为， 解得或或， 原不等式的解集为. 64．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 【答案】（1）；     （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．     （3） .      【分析】 （1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以，即 因为，所以． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上， . 65．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知为偶函数，. （1）求实数的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）已知函数在上的最大值与最小值之和为2025，求实数的值. 【答案】（1）     （2）     （3）2034      【分析】 （1）根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求出值. （2）问题转化为，恒成立，分离参数求出最值即可得解. （3）求出函数解析式，结合指数函数、二次函数求出给定区间上的最值，再列式求解. (1) 小问详解： 函数为偶函数， 得恒成立， 即恒成立，而不恒为0， 所以. (2) 小问详解： 当时，函数的图象恒在图象的上方，则，恒成立， 即，则对恒成立， 函数，， 又函数在R上单调递减，在上单调递增，则函数在上单调递减， ，于是，解得， 所以实数的取值范围是. (3) 小问详解： 依题意，， 由，得，则当时，，当时，， 于是，解得， 所以实数的值为2034. 66．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知函数，若实数满足，则的最大值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求的单调性，再利用可得，再利用消元法化简，利用一元二次函数求最值. 【详解】 ，则， 等号成立条件为，，显然等号不能同时取到，则， 故在上单调递增， 由， 以及得，， 则， 欲求其最大值，故，则， 等号成立时，，故的最大值为. 故答案为： 67．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数. （1）请说明的单调性（无需证明过程）； （2）证明此函数在内是“上凸函数”； （3）已知，且，求的最大值. 【答案】（1）在区间上单调递增，在区间，上单调递减     （2）， ，    .， ，，， 所以：， 故： 函数在区间内是“上凸函数”.     （3）      【分析】 （1）结合对勾函数的单调性即可得结果； （2）根据“上凸函数”的定义，利用作差法即可得结果； （3）根据（2）中的结果可得，进而可得结果. (1) 小问详解： 当时，， 由对勾函数的性质可得其在在区间和上单调递增， 在区间，上单调递减. 由于在上连续， 所以函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）得： ，有 ，且 ，且. . 当且仅当，取得最大值. 最大值为. 68．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知函数的定义域为，若，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据在上单调递增，在上单调递减，得在上的单调性，则可得，求解即可. 【详解】 当时，，故函数在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得，又， 所以， 则且，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 69．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）     （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增．     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的性质及求解，进而验证即可； （2）根据函数单调性的定义求证即可； （3）根据函数的奇偶性及单调性转化问题为解不等式组 ，进而求解即可. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，故， 又因为，则， 此时，，则， 所以函数为奇函数，满足题意， 故函数的解析式为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数为奇函数， 由，则， 由（2）知，函数在上单调递增， 则 ，解得， 所以不等式的解集为. 70．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）俄国数学家切比雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为，求的值. 【答案】（1）8     （2）1      【分析】 （1）根据题意得，进而结合二次函数的性质求最值即可得答案； （2）令，进而根据函数单调性与函数值的符号得到，再根据“偏差”函数的概念解即可. (1) 小问详解： 解：， 因为，， 所以，即， 所以函数与的“偏差”为8. (2) 小问详解： 解：令， ∵，均为上的单调递减函数， ∴是上的单调减函数， 令得，， 又，， 所以 所以，即的“偏差”为， 因为的“偏差”为， 所以，解得 所以，当的“偏差”为，. 71．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数且. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若且，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【答案】（1）     （2） 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数.     （3） 由，则， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 即，故函数在上单调递减.      【分析】 （1）根据对数函数的定义，真数大于0，求解即得. （2）根据函数奇偶性的判断方法，求得与的之间的关系，求解即可. （3）由函数单调性的定义求解即可. (1) 小问详解： 由题意得：且， 解得，所以函数定义域为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 72．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）讨论的单调性. 【答案】（1）；     （2）上单调递减，在上单调递增.      【分析】 （1）根据给定条件，利用方程组法求出函数解析式. （2）令，利用二次函数单调性，结合复合函数单调性求解. (1) 小问详解： 由，得， 联立两式消去，得，解得，而， 所以的解析式为. (2) 小问详解： 由（1）知，，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 73．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知定义在上的函数图象关于原点对称． （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）     （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增；     （3）      【分析】 （1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. (1) 小问详解： 由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有 ，解得， 所以原不等式的解集为． 74．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）已知 满足对任意实数，都有，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可得为增函数，根据分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】 由题意可得为增函数， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 75．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称的图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数（即满足：.给定函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性，并求在上的值域； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2） 任取，，且，则 ， 所以且，则，即， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故的值域为；     （3）.      【分析】 （1）根据背景有，代入解析式求参数值，即可得对称中心； （2）应用单调性的定义判断函数的单调性，再由单调性求函数的值域； （3）问题化为在上的值域是值域的子集，利用对称性、单调性求函数的值域，再由包含关系求参数范围. (1) 小问详解： 设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得恒成立， 所以且，于是，故的对称中心为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对任意，总存在，使得， 于是问题化为在上的值域是值域的子集， 在单调递增，图象关于点对称且过点，则在单调递增， 所以在上单调递增，又，， 所以在的值域为，在的值域为， ， ，解得，则的取值范围是. 76．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）已知为上的奇函数，当时，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）解不等式. 【答案】（1）；     （2） ；     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质，代入自变量求函数值； （2）由奇函数的性质求时函数解析式，即可得； （3）由函数解析式，应用分类讨论法列不等式求解集. (1) 小问详解： 因为为上的奇函数，所以， 所以； (2) 小问详解： 因为为上的奇函数，当时， 所以时，， 因此 ； (3) 小问详解： 由，得 或 ，解得或， 所以不等式解集为. 77．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则　　　　　　　. 【答案】16 【分析】 由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得. 【详解】 为奇函数 函数关于点对称 函数关于点对称 与图像的8个交点关于点对称 ,,, 可得 同理可知 故答案为： 78．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数的图象过点. （1）求实数的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）判断函数在上的单调性并证明. 【答案】（1）     （2） 函数为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为， 且， 所以是奇函数.     （3） 在区间上单调递增，证明如下： 设任意，且， 则， 因为，则，， 可得，即， 所以函数在区间上是增函数.      【分析】 （1）根据题意，将的坐标代入函数的解析式，即可得的值； （2）根据题意，先分析函数的定义域，进而判断与的关系即可； （3）根据题意，由作差法结合单调性的定义分析可得答案 (1) 小问详解： 根据题意，函数的图象过点， 则有，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 79．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示.        （1）请将函数的图象补充完整，根据图象写出函数在上的单调区间； （2）求函数在上的解析式. 【答案】（1）    的单调递增区间为：， 单调递减区间为：；     （2） 【分析】 （1）利用奇函数图象关于原点对称，可作图分析函数的单调性； （2）利用奇函数恒等式可求解对称区域解析式，即可求解. (1) 小问详解： 根据奇函数的图象关于原点对称可得图象,如图所示：    结合图象可得函数的单调递增区间为：， 单调递减区间为：； (2) 小问详解： 因为时，， 当时，， ， 因为函数为奇函数，， 所以当时，， 又函数为奇函数且定义域为，则， 故 . 80．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）已知函数是上的偶函数，且在区间上是增函数，若，则不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据偶函数的性质得到函数的单调性，再分，，三种情况解不等式. 【详解】 函数是上的偶函数，且在区间上是增函数， 所以，且在区间上是减函数， 因为，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，不符合题意， 所以的解集为， 故答案为： 81．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）设a，b是实数，函数为奇函数，其函数图象经过点. （1）求a，b的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明： （3）已知函数的定义域为，对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2） 函数在区间上单调递增，证明如下： 设且， ， ，即， 函数在区间上单调递增；     （3）      【分析】 （1）利用奇函数的定义和所过点的坐标可求答案； （2）利用单调性的定义进行证明即可； （3）先求出的值域，再求出的最大值和最小值，代入可得答案. (1) 小问详解： 函数是奇函数，定义域为， 即， ， 即， 故， 又函数的图象经过点，即，解得， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题可知：的定义域为， 因为使得成立，， 由（2）知函数在上单调递增， 同理可得在递增，在递减，在递减， ， ， ， ， ， 故t的取值范围为. 82．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）设函数 ，若，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果. 【详解】 画出函数的图象如下图所示： 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 83．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）根据第（1）问的结论，求 的值； （3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【答案】（1）     （2）     （3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.      【分析】 （1）根据函数为奇函数，求出，的值； （2）根据（1）的结论，分组相加即可； （3）利用类比推理即可得出. (1) 小问详解： 设的对称中心为点，， 则为奇函数，即， ， ，即， ， 整理得，， ，解得 ，即， 函数图象的对称中心为； (2) 小问详解： 由（1）知， ， ， 且， ； (3) 小问详解： 推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 84．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求，的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 【答案】（1），     （2）因为时，， ，，且， ， 因为，，，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数.     （3） 【分析】 （1）先求，然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由奇函数定义可知.设时，，根据已知函数式及奇函数定义即可求解. (1) 小问详解： 因为时，，所以. 因为为上的奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，； 当时，，则，所以. 综上， . 85．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则不等式的解集为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由函数是定义在上的偶函数，可得，因为在区间上单调递减，所以，求解可得其解集. 【详解】 因为函数是定义在上的偶函数，所以可转化为. 因为在区间上单调递减，，所以， 化简得，解得. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 86．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）判断是否是函数的“保值”区间，并说明理由； （2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由. 【答案】（1）是函数的“保值”区间，理由如下： 因为函数在上单调递增， 所以， 所以在上的值域为， 所以是函数的“保值”区间；     （2）不存在，理由如下： 函数在，上单调递增， 若,是在,的保值区间，则 ， ，是方程同号的两个不等实根， 由，得，，则方程无实根， 所以函数不存在“保值”区间．      【分析】 （1）由函数的单调性确定最值，从而得值域即可得结论； （2）假定存在“保值”区间,，借助单调性建立方程，判定方程解的情况即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 87．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）函数是定义在上的奇函数，且． （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） 函数在上为增函数，证明如下： 由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 经检验，时，， 所以是上的奇函数，满足题意， 又，解得，故，. 且，则， 因为，所以，，，， 所以，即，故在上为增函数.     （2）.      【分析】 （1）根据奇函数性质求b，由可得a，然后利用单调性定义证明即可； （2）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，结合定义域求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为奇函数，所以， 不等式可化为， 又在上是增函数，所以 ，解得， 所以关于t的不等式解集为. 88．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）若函数Q在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数Q是在上的“平稳函数”． （1）函数①；②；③，其中函数______是在上的“平稳函数”（填序号）； （2）已知函数． ①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值； ②已知函数，若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】（1）①     （2）①或；②      【分析】 （1）根据“平稳函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； ② 由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. (1) 小问详解： 对于①在上单调递增 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故①是在上的“平稳函数”； (2) 小问详解： ① 二次函数为，对称轴为直线， 在上单调递增，在上单调递减， 当，， 当时，， 当时，． 若，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去），； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，（舍去）； 若，在上单调递减， 则，解得（舍去）． 综上所述，或； ② 易知，二次函数对称轴为直线， 又，且 ， ， 当时，在上单调递增 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 89．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）设函数的最大值为，最小值为，则　　　　． 【答案】 【分析】 利用分离常数项整理函数得，结合函数的奇偶性，即可得解. 【详解】 ， 设， 因为，所以为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 则， 所以. 故答案为：. 90．（25-26学年高一上·云南多校·期中）设函数 ，若是函数的最小值，则实数的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 对的范围分类讨论，结合分段函数的最小值求解. 【详解】 因为 , 当且时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，而不是，这与矛盾，不符合题意，所以. 因为二次函数的图象的对称轴为直线， 当，即时，则函数在上单调递增， 根据题意，有，此时，； 当，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时不存在. 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 91．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数，其中为实数. （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）由题意可得对任意都成立，分与讨论，利用判别式法列不等式即可求解. （2）由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围.； （3）由题意，根据题意可得即可.令，则，令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可. (1) 小问详解： 由题意，函数的定义域为， 则不等式对任意都成立． ①当时，得，此时函数定义域为，不合题意； ②当时，欲使不等式即对任意都成立， 则 ，即 ，解得． 综上，实数的取值范围为． (2) 小问详解： 函数在区间上单调递增， 由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递增，且在上恒成立， 当时，在上单调递减，且，显然不符合题意； 当时，开口向下，对称轴为， 在上单调递减，显然不符合题意； 当时，开口向上，对称轴为， 由题意得 ，解得． 综上a的取值范围是. (3) 小问详解： 当时，． 所以当时，； 令，显然在上递增，则． 则. 令，, 若存在实数满足对任意，都存在， 使得成立，则只需. ①当即时，函数在上单调递增． 则．解得，与矛盾； ②当即时，函数在上单调递减， 在上单调递增．则，解得； ③当即时，函数在上单调递减． 则．解得，与矛盾． 综上，存在实数满足条件，其取值范围为． 【点睛】 结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 92．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数和具有如下性质：①定义域都为；②是偶函数，是奇函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求函数和的解析式； （2）解不等式：； （3）若函数的图象在区间上有零点，求实数的最小值. 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）根据函数的奇偶性，利用方程组法可得函数解析式； （2）结合函数的奇偶性与单调性可解不等式； （3）化简函数解析式，分离参数可得，设，结合函数值域及基本不等式可得参数范围. (1) 小问详解： 函数为上的偶函数，为上的奇函数，且， ， 即 ， 解得，； (2) 小问详解： 因为是奇函数. 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 由可得，解得， 即所求不等式的解集为； (3) 小问详解： 因为函数在上有零点， 即在上有根， 所以在上有根， 令，易知其在上单调递增，且， ， 因为，当且仅当时等号成立，即， ，即实数的最小值为. 93．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知函数的定义域为，对任意实数，，都有.当0时，. （1）设函数，判断的奇偶性，并说明理由. （2）证明：在上单调递增. （3）判断命题“对任意正有理数，恒成立”的真假，并说明理由. 【答案】（1） 因为的定义域为，所以的定义域为，的定义域关于原点对称. 令，则，得. 令，则， 所以，即， 所以为奇函数.     （2） 任取，，且，则，所以. 令，，则， 所以，即， 所以，故在上单调递增.     （3） 命题“对任意正有理数，恒成立”是真命题. 理由如下：因为是一个正有理数，所以，，， 所以原命题等价于对任意，，恒成立. 因为 ， 所以，所以， 所以， 所以对任意正有理数，成立，所以原命题是真命题.      【分析】 （1）通过赋值法结合奇函数的定义即可求出； （2）根据函数单调性的定义，判断的正负性即可 （3）设，根据表达式化简得，进而可证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 94．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求满足不等式的的取值范围. 【答案】（1），     （2） 函数在上单调递增.证明如下： 任取，且， 则， 因为，则，，，， 所以，所以， 所以函数在上单调递增；     （3）      【分析】 （1）由函数是定义在上的奇函数，则，结合，求出，，即可得到函数的解析式； （2）任取且，化简，然后判断的符号，即可判断函数的单调性； （3）由题可得，再根据函数在上的单调递增，列不等式 ，求解即可. (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数的解析式为，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以， 由可得， 因为函数在上的单调递增， 则 ，解得. 95．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“下位序列“． （1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列“吗？请简单说明理由； （2）设、、、均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系，并说理； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 【答案】（1） 因为，所以是的“下位序列”.     （2）；     （3）      【分析】 （1）根据“下位序列”的定义判断即可； （2）由条件可得，然后利用作差法比较大小即可； （3）根据“下位序列”的定义列不等式组，利用不等式组求出的范围，然后将恒成立问题转化最值问题，即可求出正整数的最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为是的“下位序列”，所以， 又均为正数， ，即， ，即， 所以. (3) 小问详解： 由题，可得 ，又均为整数， 所以 ， ， ，对集合内的每一个正整数都成立， 所以， 所以正整数的最小值为4049. 96．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）若函数是偶函数，且其定义域为，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数为偶函数，可得函数定义域关于原点对称可求解，再根据偶函数的定义，可求解，再求即可. 【详解】 因为偶函数定义域关于原点对称，所以，即， 又因为，所以，即，， 所以. 故答案为：. 97．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”. （1）证明：是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围. 【答案】（1） 证明：由函数在上单调增函数知，的值域为， 所以是函数的一个“翻倍区间”；     （2）存在，，，     （3）      【分析】 （1）根据在上的单调性和值域可证； （2）根据“翻倍区间”的定义列方程组求解可得； （3）转化为方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，利用二次函数性质求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 假设存在一个“翻倍区间”， 由函数是上的单调增函数，有 ，    解得，0，，，0，， 由知所有“翻倍区间”为，，. (3) 小问详解： 由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数， 而，可得，解得， 由② 知 ，可得，是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 即方程在上有两个不等实根 或者在上有两个不等实根， 则有 或 ， 解得或， 综上，故实数的取值范围为. 98．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知．若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知有，将问题化为是在上值域的子集，应用分类讨论研究的值域，列不等式求参数范围. 【详解】 由，则，而，故， 对任意的，总存在，使得成立，而， 所以是在上值域的子集， 由的图象开口向上，且对称轴为， 当，即，则在上单调递增，故， 此时是的子集，则且，可得； 当，即，则在上单调递减，在上单调递增，故， 此时是的子集，则且，易知无解； 当，即，则在上单调递减，在上单调递增，故， 此时是的子集，则且，易知无解； 当，即，则在上单调递减，故， 此时是的子集，则且，可得； 综上，. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $