专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，云南专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）不等式的解集为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 2．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）（多选）下列命题中，正确的有（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）若，则下列不等式一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）已知实数、满足，，则下列说法正确的有（   ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）下列说法中正确的是（       ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 若，则 D. 若，则 7．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）（多选）已知，，则（     ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 8．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）（多选）已知，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）（多选）下列命题正确的有（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）对于实数，，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）若a，b，c均为实数，则下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 12．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）若，，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）（多选）下列说法中，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知，，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）（多选）下列命题中，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为 C. ，，使得 D. 若､，，则最小值为 2．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）（多选）已知，且，则下列不等式恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）若，则的最小值为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知，则的最小值是（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）若，则函数的最小值是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）若，则函数的最小值为（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）若两个正实数，满足，则实数的最小值是（     ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 8．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（多选）已知正实数，满足，则下列结论正确的是（       ） A. 的最大值为3 B. 的最小值为3 C. 的最大值为6 D. 的最小值为6 9．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（       ） A. 的最小值为0 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为4 10．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）（多选）已知位于第一象限的点在曲线上，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）（多选）下列选项正确的有（       ） A. 当时，函数的最小值为 B. ，函数的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 当，时，若，则的最小值为 12．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 若正实数满足，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则的最大值为-2 D. 函数的最大值为 13．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）若，，则a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知正实数满足，则的最小值是（       ） A.  B. 4 C. 5 D.  15．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（       ） A. 10 B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）（多选）若，，且，则（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）（多选）下列选项正确的是（     ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则的最小值为2 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 18．（25-26学年高一上·云南多校·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是　　　　　　　　m. 19．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知正数x，y满足，且的最小值为k． （1）求k． （2）若a，b，c为正数，且，证明：． 20．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知，，，则的最大值是　　　　　　． 21．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是　　　　　　　． 22．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）若，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值是　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设． （1）求证：的周长为4； （2）试用表示的长，并求的取值范围； （3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值． 25．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为　　　　　　　　. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）设集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 5．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）使“”成立的一个充分不必要条件是（       ） A. 或 B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）已知，且关于的不等式恰有4个整数解，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知函数有两个零点和，若存在实数，使得，则实数的值可能是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）（多选）下列命题为假命题的是（       ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 不等式对一切实数恒成立，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 11．（25-26学年高一上·云南多校·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 14．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D. 或 15．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 16．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　. 18．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）解下列不等式（答案用集合表示）． （1）； （2）； （3）． 19．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数． （1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； （2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 20．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）若，是真命题，则实数的取值范围是　　　　　　　．（结果用集合表示） 21．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知全集，集合，集合. （1）当时，求； （2）设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 22．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）若，. （1）若的解集为，求的值； （2）当时，求关于的不等式的解集. 23．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知关于x的不等式 的解集为不等式的解集为A （1）求集合A; （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 24．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求的取值范围. 25．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为　　　　　　． 26．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）请写出一个值，使命题“，使”为真命题，则　　　　　　　　　　. 27．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）（1）已知，证明：. （2）已知a，b，c均为正数，求的最小值. （3）求关于x的不等式的解集. 28．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 29．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数是偶函数．当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （3）设，求在区间上的最大值，其中． 30．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 31．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 32．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）已知函数，不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）若命题成立”为真命题，求的取值范围. 33．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集是或，求实数、的值； （2）当时，，，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．B 2．BCD 3．C 4．ACD 5．B 6．AD 7．ACD 8．CD 9．BCD 10．ABC 11．BD 12．B 13．ABC 14．D 15．ABD 考点02 基本不等式 1．AB 2．BCD 3．D 4．A 5．D 6．C 7．C 8．AC 9．ABC 10．BCD 11．AD 12．ACD 13．B 14．B 15．B 16．BC 17．BD 18．【答案】24 【分析】 根据给定条件，列出篱笆总长表达式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】 令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以所用篱笆总长C最小值是24. 故答案为：24 19．【答案】（1）3；（2）证明：由（1）得，因为a，b，c为正数，所以①，当且仅当时取等号， 同理可得②，当且仅当时取等号， ③，当且仅当时取等号， ① +② +③得，当且仅当时取等号． 【分析】 （1）整体代入可得，由基本不等式可得； （2）由（1）得，再利用基本不等式直接可以得证. 【详解】 （1）正数x，y，且，所以， 又因为，，所以，当且仅当时取等号， ，故； （2）略 【点睛】 结论点睛：利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 20．【答案】 【分析】 根据已知的等式得出代入等式中，运用基本不等式进行求解即可. 【详解】 因为，所以，代入中，得， 由（当且仅当时取等号）， 于是有（当且仅当时取等号）， 因为，，所以， 因此有（当且仅当时取等号）， ，（当时取等号，即时，取等号）， 所以有（当且仅当时取等号）， 即（当且仅当时取等号），因此有（当且仅当时取等号），所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】 关键点睛：本题的关键一是通过已知等式对代数式进行消元变形；二是通过重要不等式，得到，进而应用基本不等式进行解题. 21．【答案】 【分析】 由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】 恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 22．【答案】 【分析】 利用基本不等式可求. 【详解】 ， 则， 当且仅当，即时取等号 故最小值为. 故答案为： 23．【答案】 【分析】 依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】 因为，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 24．【答案】（1）证明：由题意可知, 所以,所以, 所以（定值）. 所以的周长为定值4.     （2），     （3）当时，的面积取得最大值，为.      【分析】 （1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长； （2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围； （3）将的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 由折叠可知, 所以，即, 由（1）知,即，所以， 在直角△中，由勾股定理可得， 即，化简得， 因为,，所以且，即， 所以， (3) 小问详解： 在Rt中,, 所以, 当且仅当，即时等号成立，所以当时，的面积取得最大值，为. 25．【答案】 【分析】 由题意，再代入化简，再换元应用基本不等式求解最值即可. 【详解】 由题意，，故， 因为正数a，b满足，故. 令，则，， 故. 又，故当且仅当，即时， 取最大值. 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．C 2．D 3．A 4．D 5．D 6．B 7．A 8．CD 9．C 10．AC 11．A 12．D 13．C 14．A 15．CD 16．D 17．【答案】 【分析】 对分和，进行分类讨论. 【详解】 ① 当时，不等式为，不恒成立； ② 当时，由二次函数的图象和性质知 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 18．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）（2）（3）根据一元二次不等式的解法和分式不等式的解法解答本题. (1) 小问详解： 由，即，化简得，解得. 所以原不等式的解集为 (2) 小问详解： 由，得，解得， 所以原不等式的解集为. (3) 小问详解： 由得， 即，解得， 故原不等式的解集为． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用二次函数单调性的特征，列不等式求解；                                  （2）二次不等式恒成立问题，利用判别式求解. (1) 小问详解： 因为函数在区间上是单调递增函数， 且的函数图象抛物线开口向上，对称轴为，则有．        所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若对一切实数都成立， 则，解得． 所以实数的取值范围为. 20．【答案】 【分析】 讨论k是否等于0，结合判别式列出不等式，即可求得答案. 【详解】 由题意知，是真命题， 当时，即有恒成立，符合题意； 当时，则需满足 ，解得， 综合得实数的取值范围是， 故答案为： 21．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知，是的真子集，根据集合的包含关系可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 且， 则或，故或. (2) 小问详解： 因为是的充分不必要条件，则是的真子集，且，， 故，即实数的取值范围是. 22．【答案】（1）；     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）分析可知、是方程的解，利用韦达定理可求得实数的值； （2）由可得或，对与的大小进行分类讨论，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. (1) 小问详解： 解：因为关于的不等式的解集为，则， 所以，、是方程的解， ，解得. (2) 小问详解： 解：，，由得或. 当时，，原不等式的解为，原不等式的解集为； 当时，，不等式的解为，原不等式的解集为； 当时，原不等式为，不等式的解集为. 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 23．【答案】（1）     （2）或或，      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解与二次方程根的关系可得，即可利用因式分解求解， （2）根据充分不必要条件转化为,即可求解. (1) 小问详解： 由不等式 的解集为可知是的两个实数根，故且，解得， 所以为，变形为， 解得， 故不等式的解为，即 (2) 小问详解： 由于“”是“”的充分不必要条件，故, 若，则，满足， 若，则，则， 则 ，解得或， 综上可得或或 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，转化为，且和是方程的两个根，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）由（1）得到，结合基本不等式，求得，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. (1) 小问详解： 解：因为不等式的解集为或， 所以，且和是方程的两个根， 根据韦达定理，可得 ，解得. (2) 小问详解： 解：由（1）知，则， 因为，所以， 又因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 因为恒成立，所以， 则，即，解， 所以实数的取值范围是. 25．【答案】 【分析】 根据的解集为或得到，进而根据解一元二次不等式即可. 【详解】 由题意得的两个根为，， ，则， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 26．【答案】8（答案不唯一） 【分析】 根据命题为真命题求得的取值范围为，进而根据范围取值即可. 【详解】 因为命题“，使”为真命题， 所以，恒成立，即， 因为函数， 所以命题“，使”为真命题时的取值范围为 所以的值为中的任意值，故取即可. 故答案为：8（答案不唯一）. 27．【答案】（1）， 由，得，即， 所以. （2）2； （3）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【分析】 （1）根据给定条件，利用作差比较大小得证. （2）根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. （3）分类求解含参数的不等式. 【详解】 （1）略 （2）由，得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. （3）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 28．【答案】（1）     （2）     （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）应用不含参的一元二次不等式解法求解集； （2）应用等价转化为 ，求解集； （3）应用分类讨论求含参的一元二次不等式求解集. (1) 小问详解： ，不等式的解集为； (2) 小问详解： 不等式，等价于，等价于， 所以 ，可得，不等式的解集为； (3) 小问详解： 由， 当时，解不等式得； 当时，不等式无解； 当时，解不等式得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 29．【答案】（1） ； （2）或； （3）函数在区间上的最大值为 . 【分析】 （1）设，则，求得，结合函数为偶函数，即可求解； （2）由（1）及二次函数图象与性质，得到或，即可求解； （3）由（1）可知，函数 ，结合二次函数的图象与性质，分、和三种情况讨论，即可求解. 【详解】 （1）设，则，可得， 又由为偶函数，所以， 所以当时，， 所以 . （2）由（1）及二次函数，可得的增区间为，，减区间是，， 又函数在区间上具有单调性，且， 所以或，即或， 解得或， 故实数a的取值范围是或． （3）由（1）可知，函数 ，由于， 当时，， 作出在上的草图，如图所示， 由图象可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示： 由图像可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示， 由图像可知，； 综上所述： 函数在区间上的最大值为 . 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)根据题意，可转换成一元二次不等式解集为，所以即可。 (2) 不等式对任意恒成立，分离常数转化成恒成立问题，只用即可，利用基本不等式可求. (1) 小问详解： 由不等式的解集为，得解集为， 即解集为，可得，即， 解得，故的取值范围是. (2) 小问详解： 由不等式对任意恒成立， ，即对任意恒成立， 即对任意恒成立. ， ； 当且仅当，即时取等号. ，故的取值范围是. 31．【答案】（1），的值分别为，，或，.     （2）.      【分析】 （1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． (1) 小问详解： 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. (2) 小问详解： 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据韦达定理，即可求解； （2）根据命题转化为，转化为求二次函数的最大值，即可求解. (1) 小问详解： 的解集是， 且方程的两根分别为-1和4， 由韦达定理 ， ； (2) 小问详解： p为真命题，即能成立 只需， 由（1）知， 函数图象为抛物线，开口向上，对称轴， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 解得， 的取值范围是. 33．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由题意可知，为方程的两个实数根，根据根与系数的关系建立的等式计算求解即可； （2）方法1：由得，求出函数的对称轴，根据对称轴和开口方向得到在区间上单调递增，根据 ，，得到，从而得到的范围. 方法2：由得到，由 ，，得到，分离参数得到.由，得到的范围，从而得到的范围. (1) 小问详解： 不等式的解集是或，，为方程的两个实数根， ，. (2) 小问详解： 方法1：因为，所以，，所以，函数的对称轴为. 因为，，所以，在区间上单调递增，又因为，， 所以，解得. 又因为，所以，. 方法2：因为，所以，，因为，， 所以，即：，又因为，， 所以.因为，， 所以，又因为，所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）不等式的解集为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 将分式不等式转换为一元二次不等式求解. 【详解】 不等式 ，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 2．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）（多选）下列命题中，正确的有（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 利用不等式的性质可判断. 【详解】 当时，，A不正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，不等式两边同时乘，所以，C正确； 因为，所以，因为，所以，D正确. 故选：BCD 3．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）若，则下列不等式一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用举反例法，结合不等式性质，可得A、B、D的正误，利用作差法，可得C的正误. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，由，则，故C正确； 对于D，当时，，则，故D错误. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）已知实数、满足，，则下列说法正确的有（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 由不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】 因为实数、满足，， 对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，，由不等式的基本性质可得，B错； 对于C选项，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，由不等式的性质可得，故，故， 即，D对. 故选：ACD. 5．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】 ACD选项可以根据排除法解决，B选项根据不等式的性质判断. 【详解】 A选项，取，满足，但是，A选项错误； B选项，显然，则，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以可得，，B选项正确； C选项，取，，，此时，C选项错误； D选项，若，则，D选项错误. 故选：B 6．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）下列说法中正确的是（       ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【分析】 利用不等式性质可判断ABD；利用赋值法可判断C. 【详解】 A选项：，又，则，故A正确； B选项：，则，故B错误； 对于C，若，当，则，故C不正确； 对于D，若，则，则，即，故D正确. 故选：AD. 7．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）（多选）已知，，则（     ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断. 【详解】 对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 8．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）（多选）已知，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】CD 【分析】 由不等式的性质判断A、B，应用作差法比较大小判断C、D. 【详解】 A、B：由，根据不等式的性质知，A、B错， C：由，则，故，对， D：由，，则，故，对. 故选：CD 9．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）（多选）下列命题正确的有（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【分析】 根据不等式的性质，利用作差法，举反例等方法逐一判断各选项即可. 【详解】 对于A，若取，则，故A错误； 对于B，由可得，即可得，故B正确； 对于C，由可得，由不等式性质，可得，故C正确； 对于D，由， 因，，则，， 故，即得，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）对于实数，，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【分析】 利用不等式的性质，分析、推理判断ABC；举例说明判断D作答. 【详解】 对于A，，两边同时除以，则，A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，因为，则，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：ABC 11．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）若a，b，c均为实数，则下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】BD 【分析】 利用不等式的性质和作差比较法即得B,D正确；利用取特殊值和举反例排除A,C. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B，由，得，则， 即，故B正确； 对于C，若取则不成立，故C错误； 对于D，， 由， ，可得，即得，故D正确． 故选：BD. 12．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）若，，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据不等式的性质分析BC选项，根据作差法判断AD选项. 【详解】 对于A，时，，则，A错误； 对于B，由，则，而，因此，B正确； 对于C，若，，则，C错误； 对于D，若，，， 所以，D错误. 故选：B 13．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）（多选）下列说法中，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABC 【分析】 运用不等式的性质，结合差比法进行判断即可. 【详解】 A：因为，所以，即，因此，所以本选项说法正确； B：因为，所以，而，所以，因此本选项说法正确； C：，因为，， 所以，因此本选项说法正确； D：当时，，显然成立，，显然不成立， 所以本选项说法不正确， 故选：ABC 14．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知，，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，化简后求出，根据不等式的性质可得答案． 【详解】 设，即 故 ，解得 ， 故 由于，， 所以， 故，即 故选：D 15．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【详解】 由，得，所以，A正确. 因为，所以且，两式相加可得，即，B正确. ，因为，所以，则，C错误. ，因为，，， 所以，则，D正确. 故选：ABD. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）（多选）下列命题中，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为 C. ，，使得 D. 若､，，则最小值为 【答案】AB 【分析】 利用不等式的性质，基本不等式逐一判断即可. 【详解】 对于A：由于，所以，故，故A正确； 对于B：由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：当时，不成立，故C错误； 对于D：若、，，则，整理得， 即，所以，故的最大值为1，故D错误； 故选：AB． 2．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）（多选）已知，且，则下列不等式恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用基本不等式逐个选项判断即可. 【详解】 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 因为，所以， 所以，所以，故C正确； 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 又，故D正确． 故选：BCD 3．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）若，则的最小值为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【分析】 借助基本不等式计算即可得. 【详解】 由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为8. 故选：D. 4．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知，则的最小值是（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【分析】 根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】 因为，所以， 所以根据基本不等式的性质可得. 当且仅当时，即时等号成立. 此时的最小值为5. 故选：A. 5．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）若，则函数的最小值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 因为，可得，所以， 当且仅当时，即时，取得最小值. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）若，则函数的最小值为（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】 由，得，则， 当且仅当时取等号，所以函数的最小值为7. 故选：C 7．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）若两个正实数，满足，则实数的最小值是（     ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 【答案】C 【分析】 利用基本不等式可得答案. 【详解】 因为，， 所以，可得到，即， 当且仅当时取等号. 所以的最小值是16. 故选：C 8．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（多选）已知正实数，满足，则下列结论正确的是（       ） A. 的最大值为3 B. 的最小值为3 C. 的最大值为6 D. 的最小值为6 【答案】AC 【分析】 根据不等式的性质和重要不等式，对题干条件进行换元，求出代数式的范围即可. 【详解】 因为，所以，当且仅当时，等号成立，A正确，B错误； ，所以，当且仅当时，等号成立，C正确，D错误. 故选：AC. 9．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（       ） A. 的最小值为0 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为4 【答案】ABC 【分析】 由基本不等式可得AB正确，由二次函数的性质可得C正确，由乘“1”法可判断D错误. 【详解】 A：因为，结合，则， 所以，当且仅当时取等号，此时，故A正确； B：，当且仅当时，即时取等号，故B正确； C：，由二次函数的性质可得，当时，此时，最大值为，故C正确； D：，当且仅当，即时取等号，故D错误； 故选：ABC. 10．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）（多选）已知位于第一象限的点在曲线上，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 对A：计算后代换即可得；对B、C：借助基本不等式即可得；对D：借助消元法用b表示a后，借助二次函数的性质即可得. 【详解】 由题意可得，且，， 对A：由，即，故，故A错误； 对B：由，得， 当且仅当时，等号成立，即； 由，得， 当且仅当时，等号成立，即，故B正确； 对C：， 当且仅当即时，等号成立，故C正确； 对D：由，故，故， ，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）（多选）下列选项正确的有（       ） A. 当时，函数的最小值为 B. ，函数的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 当，时，若，则的最小值为 【答案】AD 【分析】 利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断A，根据基本不等式判断BC，根据“1”的妙用与变形，结合基本不等式，即可判断D. 【详解】 A.，，当时，函数去掉最小值1，故A正确； B.， 当，，得，所以的最大值为，故B错误； C. ， 设，则在区间单调递增，当时，取得最小值，所以函数的最小值为，故C错误； D.若，则，则， 当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD 12．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 若正实数满足，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则的最大值为-2 D. 函数的最大值为 【答案】ACD 【分析】 利用“1”的巧用结合基本不等式可判断A；利用基本不等式结合指数幂的性质判断B；根据对数的运算性质以及基本不等式可判断C；根据基本不等式可判断D. 【详解】 对于A，， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故A正确； 对于B，因为，，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立，故的最小值为，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故C正确； 对于D，因为，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故D正确， 故选：ACD. 13．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）若，，则a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，分离参数，利用基本不等式求出最大值，再利用能成立问题求出范围. 【详解】 ， 而 ，当且仅当，即时取等号， 所以a的取值范围为. 故选：B 14．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）已知正实数满足，则的最小值是（       ） A.  B. 4 C. 5 D.  【答案】B 【分析】 由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】 由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 15．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（       ） A. 10 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 推导出，，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】 因为正数、满足，可得，则， 所以，，，可得，，所以，，， 所以，， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 16．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）（多选）若，，且，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 利用基本不等式可得，即得，求出的范围，判断AB；利用基本不等式可得，化为，求出的范围，判断CD. 【详解】 ，，， ，解得，当且仅当 ，即时取等号， ，的取值范围是，A错误，B正确； ，，，化为， 解得，当且仅当 ，即时取等号， 的取值范围是，C正确，D错误， 故选：BC. 17．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）（多选）下列选项正确的是（     ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则的最小值为2 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 【答案】BD 【分析】 根据基本不等式的“一正二定三相等”，检验A，C即可排除，确定B正确；利用“1”的妙用结合基本不等式即可确定D正确. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，， 当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为2，故B正确； 对于C，因，则，由可得， 方程无实数解，故，故C错误； 对于D，因，，当且仅当时等号成立， 由 解得，即当时，的最小值为8，故D正确. 故选：BD. 18．（25-26学年高一上·云南多校·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是　　　　　　　　m. 【答案】24 【分析】 根据给定条件，列出篱笆总长表达式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】 令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以所用篱笆总长C最小值是24. 故答案为：24 19．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知正数x，y满足，且的最小值为k． （1）求k． （2）若a，b，c为正数，且，证明：． 【答案】（1）3；（2）证明：由（1）得，因为a，b，c为正数，所以①，当且仅当时取等号， 同理可得②，当且仅当时取等号， ③，当且仅当时取等号， ① +② +③得，当且仅当时取等号． 【分析】 （1）整体代入可得，由基本不等式可得； （2）由（1）得，再利用基本不等式直接可以得证. 【详解】 （1）正数x，y，且，所以， 又因为，，所以，当且仅当时取等号， ，故； （2）略 【点睛】 结论点睛：利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 20．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知，，，则的最大值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知的等式得出代入等式中，运用基本不等式进行求解即可. 【详解】 因为，所以，代入中，得， 由（当且仅当时取等号）， 于是有（当且仅当时取等号）， 因为，，所以， 因此有（当且仅当时取等号）， ，（当时取等号，即时，取等号）， 所以有（当且仅当时取等号）， 即（当且仅当时取等号），因此有（当且仅当时取等号），所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】 关键点睛：本题的关键一是通过已知等式对代数式进行消元变形；二是通过重要不等式，得到，进而应用基本不等式进行解题. 21．（25-26学年高一上·云南曲靖会泽县实验高级中学·期中）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】 恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 22．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）若，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用基本不等式可求. 【详解】 ， 则， 当且仅当，即时取等号 故最小值为. 故答案为： 23．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】 因为，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 24．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设． （1）求证：的周长为4； （2）试用表示的长，并求的取值范围； （3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值． 【答案】（1）证明：由题意可知, 所以,所以, 所以（定值）. 所以的周长为定值4.     （2），     （3）当时，的面积取得最大值，为.      【分析】 （1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长； （2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围； （3）将的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 由折叠可知, 所以，即, 由（1）知,即，所以， 在直角△中，由勾股定理可得， 即，化简得， 因为,，所以且，即， 所以， (3) 小问详解： 在Rt中,, 所以, 当且仅当，即时等号成立，所以当时，的面积取得最大值，为. 25．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意，再代入化简，再换元应用基本不等式求解最值即可. 【详解】 由题意，，故， 因为正数a，b满足，故. 令，则，， 故. 又，故当且仅当，即时， 取最大值. 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）设集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 化简集合，再根据交集的含义即可得到答案. 【详解】 ，则. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 解不等式化简集合A，再利用交集的定义求解. 【详解】 依题意，集合，而， 所以. 故选：D 3．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先解一元二次不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】 因为，，所以． 故选：A. 4．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 根据不等式的解法，求得，结合补集的运算，即可求解. 【详解】 由不等式，解得，即， 根据补集的概念及运算，可得或. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先化简集合，然后根据交集运算即可求得结果. 【详解】 解可得，所以. 所以. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）使“”成立的一个充分不必要条件是（       ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解不等式求出的充要条件，利用充分必要条件概念判断. 【详解】 ，即，等价于 ，解得， 所以的充要条件为， 使“”成立的一个充分不必要条件是. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 解不等式可得或，根据取值的范围大小即可知“”是“”的充分不必要条件. 【详解】 由不等式可得或； 易知是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8．（25-26学年高一上·云南多校·期中）（多选）已知，且关于的不等式恰有4个整数解，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】CD 【分析】 因式分解求的解集，根据解集恰有4个整数解列不等式，求解即可. 【详解】 关于x的不等式，即， 因为，故二次函数开口向下， 又，所以且， 当时，不等式的解集为， 因为，，所以区间内无整数解，不合题意； 当时，不等式的解为， 因为不等式有4个整数解，且，， 所以，可得. 故选：CD 9．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）已知函数有两个零点和，若存在实数，使得，则实数的值可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 依题意可得，再根据，即可得到，从而可得对称轴，根据零点的对称性得到另一个零点，即可得解； 【详解】 解：是的一个零点，所以， 又，由可得，由可得，函数图像是开口向下的抛物线，对称轴为，则 画出大致图像，如图： 到对称轴的距离为，则， 又，， 综上所述，函数的另一个零点可能是 故选：C 【点睛】 本题考查二次函数的性质的应用，属于中档题. 10．（25-26学年高一上·云南普洱景东彝族自治县第一中学·期中）（多选）下列命题为假命题的是（       ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 不等式对一切实数恒成立，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 【答案】AC 【分析】 对于A选项，通过给代入特殊值即可判断；对于B选项，利用不等式的可乘性，可加性证明即可判断；对于C选项，要对二次项系数要分两种情况讨论，即可判断，对于D选项，先解出不等式，再按照必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】 对于A选项，当时，， 故A错误，是假命题； 对于B选项，若且，则 ， 所以，即， 不等式的两边同时除以，可得， 故B正确，是真命题； 对于C选项，不等式对一切实数恒成立， ① 当时，原不等式可化为，恒成立， ② 当时，须满足 ，解得， 综上① ② 可知，故C错误，是假命题； 对于D选项，解不等式可得， 由，但是由不一定能推出， 所以是的一个必要不充分条件， 即“”是“”的一个必要不充分条件， 故D正确，是真命题； 故选：AC 11．（25-26学年高一上·云南多校·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】 由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 12．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由特称命题的否定转化得全称命题，再利用二次不等式恒成立问题的解法求解即可. 【详解】 因为“，”为假命题， 所以，为真命题， 所以，解得， 故的取值范围为， 故选：D． 13．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 根据一元二次不等式的解集求出参数、的值，再利用二次不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】 因为不等式的解集为，所以， 则方程的两根分别为、， 由韦达定理可得 ，解得 ， 所以，不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或. 故选：C. 14．（高一上·云南师范大学附属中学·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式的解集确定参数值，再应用一元二次不等式的解法求解集即可. 【详解】 由题设是的两个根，则 ， 所以，可得， 所以不等式的解集为. 故选：A 15．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】CD 【分析】 对于A项，利用一元二次不等式的性质可知A错误；对于B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；对于C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；对于D项，根据题意得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得D正确. 【详解】 对于A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A错误； 对于B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； 对于C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； 对于D选项，一元二次函数的值域为， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：CD. 16．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】 当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有 ，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 17．（25-26学年高一上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 对分和，进行分类讨论. 【详解】 ① 当时，不等式为，不恒成立； ② 当时，由二次函数的图象和性质知 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 18．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）解下列不等式（答案用集合表示）． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）（2）（3）根据一元二次不等式的解法和分式不等式的解法解答本题. (1) 小问详解： 由，即，化简得，解得. 所以原不等式的解集为 (2) 小问详解： 由，得，解得， 所以原不等式的解集为. (3) 小问详解： 由得， 即，解得， 故原不等式的解集为． 19．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知函数． （1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； （2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用二次函数单调性的特征，列不等式求解；                                  （2）二次不等式恒成立问题，利用判别式求解. (1) 小问详解： 因为函数在区间上是单调递增函数， 且的函数图象抛物线开口向上，对称轴为，则有．        所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若对一切实数都成立， 则，解得． 所以实数的取值范围为. 20．（25-26学年高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中）若，是真命题，则实数的取值范围是　　　　　　　．（结果用集合表示） 【答案】 【分析】 讨论k是否等于0，结合判别式列出不等式，即可求得答案. 【详解】 由题意知，是真命题， 当时，即有恒成立，符合题意； 当时，则需满足 ，解得， 综合得实数的取值范围是， 故答案为： 21．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知全集，集合，集合. （1）当时，求； （2）设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知，是的真子集，根据集合的包含关系可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 且， 则或，故或. (2) 小问详解： 因为是的充分不必要条件，则是的真子集，且，， 故，即实数的取值范围是. 22．（25-26学年高一上·云南曲靖马龙区第一中学·期中）若，. （1）若的解集为，求的值； （2）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）分析可知、是方程的解，利用韦达定理可求得实数的值； （2）由可得或，对与的大小进行分类讨论，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. (1) 小问详解： 解：因为关于的不等式的解集为，则， 所以，、是方程的解， ，解得. (2) 小问详解： 解：，，由得或. 当时，，原不等式的解为，原不等式的解集为； 当时，，不等式的解为，原不等式的解集为； 当时，原不等式为，不等式的解集为. 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 23．（25-26学年高一上·云南多校·期中）已知关于x的不等式 的解集为不等式的解集为A （1）求集合A; （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 【答案】（1）     （2）或或，      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解与二次方程根的关系可得，即可利用因式分解求解， （2）根据充分不必要条件转化为,即可求解. (1) 小问详解： 由不等式 的解集为可知是的两个实数根，故且，解得， 所以为，变形为， 解得， 故不等式的解为，即 (2) 小问详解： 由于“”是“”的充分不必要条件，故, 若，则，满足， 若，则，则， 则 ，解得或， 综上可得或或 24．（25-26学年高一上·云南凤庆县第一中学·期中）已知关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，转化为，且和是方程的两个根，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）由（1）得到，结合基本不等式，求得，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. (1) 小问详解： 解：因为不等式的解集为或， 所以，且和是方程的两个根， 根据韦达定理，可得 ，解得. (2) 小问详解： 解：由（1）知，则， 因为，所以， 又因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 因为恒成立，所以， 则，即，解， 所以实数的取值范围是. 25．（25-26学年高一上·云南永胜县第一中学·期中）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据的解集为或得到，进而根据解一元二次不等式即可. 【详解】 由题意得的两个根为，， ，则， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 26．（25-26学年高一上·云南昭通一中教研联盟·期中）请写出一个值，使命题“，使”为真命题，则　　　　　　　　　　. 【答案】8（答案不唯一） 【分析】 根据命题为真命题求得的取值范围为，进而根据范围取值即可. 【详解】 因为命题“，使”为真命题， 所以，恒成立，即， 因为函数， 所以命题“，使”为真命题时的取值范围为 所以的值为中的任意值，故取即可. 故答案为：8（答案不唯一）. 27．（25-26学年高一上·云南自治州·期中）（1）已知，证明：. （2）已知a，b，c均为正数，求的最小值. （3）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1）， 由，得，即， 所以. （2）2； （3）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【分析】 （1）根据给定条件，利用作差比较大小得证. （2）根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. （3）分类求解含参数的不等式. 【详解】 （1）略 （2）由，得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. （3）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 28．（25-26学年高一上·云南昆明嵩明县·期中）求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）     （2）     （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）应用不含参的一元二次不等式解法求解集； （2）应用等价转化为 ，求解集； （3）应用分类讨论求含参的一元二次不等式求解集. (1) 小问详解： ，不等式的解集为； (2) 小问详解： 不等式，等价于，等价于， 所以 ，可得，不等式的解集为； (3) 小问详解： 由， 当时，解不等式得； 当时，不等式无解； 当时，解不等式得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 29．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数是偶函数．当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （3）设，求在区间上的最大值，其中． 【答案】（1） ； （2）或； （3）函数在区间上的最大值为 . 【分析】 （1）设，则，求得，结合函数为偶函数，即可求解； （2）由（1）及二次函数图象与性质，得到或，即可求解； （3）由（1）可知，函数 ，结合二次函数的图象与性质，分、和三种情况讨论，即可求解. 【详解】 （1）设，则，可得， 又由为偶函数，所以， 所以当时，， 所以 . （2）由（1）及二次函数，可得的增区间为，，减区间是，， 又函数在区间上具有单调性，且， 所以或，即或， 解得或， 故实数a的取值范围是或． （3）由（1）可知，函数 ，由于， 当时，， 作出在上的草图，如图所示， 由图象可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示： 由图像可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示， 由图像可知，； 综上所述： 函数在区间上的最大值为 . 30．（25-26学年高一上·云南德宏州·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)根据题意，可转换成一元二次不等式解集为，所以即可。 (2) 不等式对任意恒成立，分离常数转化成恒成立问题，只用即可，利用基本不等式可求. (1) 小问详解： 由不等式的解集为，得解集为， 即解集为，可得，即， 解得，故的取值范围是. (2) 小问详解： 由不等式对任意恒成立， ，即对任意恒成立， 即对任意恒成立. ， ； 当且仅当，即时取等号. ，故的取值范围是. 31．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的值分别为，，或，.     （2）.      【分析】 （1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． (1) 小问详解： 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. (2) 小问详解： 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 32．（25-26学年高一上·云南昆明第一中学·期中）已知函数，不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）若命题成立”为真命题，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据韦达定理，即可求解； （2）根据命题转化为，转化为求二次函数的最大值，即可求解. (1) 小问详解： 的解集是， 且方程的两根分别为-1和4， 由韦达定理 ， ； (2) 小问详解： p为真命题，即能成立 只需， 由（1）知， 函数图象为抛物线，开口向上，对称轴， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 解得， 的取值范围是. 33．（25-26学年高一上·云南玉溪第一中学·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集是或，求实数、的值； （2）当时，，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由题意可知，为方程的两个实数根，根据根与系数的关系建立的等式计算求解即可； （2）方法1：由得，求出函数的对称轴，根据对称轴和开口方向得到在区间上单调递增，根据 ，，得到，从而得到的范围. 方法2：由得到，由 ，，得到，分离参数得到.由，得到的范围，从而得到的范围. (1) 小问详解： 不等式的解集是或，，为方程的两个实数根， ，. (2) 小问详解： 方法1：因为，所以，，所以，函数的对称轴为. 因为，，所以，在区间上单调递增，又因为，， 所以，解得. 又因为，所以，. 方法2：因为，所以，，因为，， 所以，即：，又因为，， 所以.因为，， 所以，又因为，所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $