四川遂宁市第二中学校2025-2026学年九年级上期第一学月质量检测数学试题

**基本信息** 2025-2026学年九年级上期第一学月数学检测卷，聚焦二次根式、一元二次方程等核心知识，通过“差1方程”新定义题、矩形内正方形覆盖面积问题等设计，考查运算能力、模型意识与创新思维，适配月考阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|二次根式意义、一元二次方程定义|基础概念辨析，如第9题结合三角形三边关系考方程解| |填空题|6/24|分母有理化、根与系数关系|第24题矩形面积问题体现几何直观与模型意识| |解答题|7/72|方程应用、新定义探究|31题“差1方程”考查推理能力，29题结合直角三角形考根的应用|

2025-2026学年九上第一学月质量检测 数学试题 一．选择题（共18小题，每小题3分，共54分） 1、若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥1且x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1 【答案】B 2、在下列方程中，一元二次方程是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．3x2+7＝0 D．（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1 【答案】C． 3、下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4、下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 5、若与可以合并，则m可以是（　　） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】D． 6、若x﹣，则x﹣y的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】B． 7、已知x＝，y＝，则x2y+xy2＝（　　）[来源:学§科§网Z§X§X§K] A．2 B．2 C．10+2 D．5+ 【答案】B． 8、用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 9、三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．﹣11 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B． 10、如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0只有一个实数根，那么方程mx2﹣（m+2）x+（4﹣m）＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C． 11、已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A． 12、已知﹣1＜a＜4，则化简的结果是（　　） A．﹣3 B．3 C．2a﹣3 D．3﹣2a 【答案】C． 13、已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（ ） A. －3 B. 1 C. －3或1 D. －1或3 【答案】A 14、已知xy＜0，化简二次根式的正确结果为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B． 15、若实数a，b满足a2+3a＝2，b2+3b＝2，且a≠b，则（1+a2）（1+b2）＝（　　） A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】A． 16、对于有理数a、b，定义mn{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】A． 17、已知方程x²－8x＋15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为( ) A.13 B.11或13 C.11 D.12 【答案】A 18、如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，......以此类推， 那么的值是　　 A． B． C． D． 【答案】A 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 19、计算3的结果是 　 　． 【答案】2． 20、若与最简二次根式能合并成一项，则a＝　 　． 【答案】4 21、实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝　 　． 【答案】2． 22、设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则　 　． 【答案】9． 23、若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的一个根为 　 　． 【答案】x＝2021． 24、一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 。 【答案】7 三．解答题（共7小题，满分72分） 25、（8分）计算： ； （2）． （2）原式＝3﹣2+2＝3． 26、（8分）解方程： （1）x2﹣2x﹣7＝0； （2）3x（x﹣1）＝1﹣x． 解：（1）x2﹣2x﹣7＝0， 移项，得x2﹣2x＝7， 配方，得x2﹣2x+1＝7+1， 即（x﹣1）2＝8， ∴， 解得，． （2）3x（x﹣1）＝1﹣x， 移项，得3x（x﹣1）+（x﹣1）＝0， 因式分解，得（x﹣1）（3x+1）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+1＝0， 解得x1＝1，． 28、（10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+2＝0． （1）若x＝2是该方程mx2﹣3x+2＝0的一个根，求m的值； （2）若一元二次方程mx2﹣3x+2＝0有实数根，求m的取值范围． 解：（1）把x＝2代入方程得到4m﹣6+2＝0，解得m＝1，即m的值为1； （2）根据题意得m≠0且Δ＝（﹣3）2﹣8m≥0， 解得且m≠0， 即m的取值范围为且m≠0． 29、（12分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根恰好构成以3为直角边的直角三角形，求k值． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝1＞0， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，∴（x﹣k）（x﹣k﹣1）＝0 解得x1＝k，x2＝k+1，则x1＜x2，由勾股定理得，（k+1）2＝k2+9，解 得k＝4． 30、（12分）阅读下列运算过程，并完成各小题：＝＝；＝＝数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，模仿上例完成下列各小题： （1）＝　　； （2）﹣＝　　； 如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：＝＝＝﹣1＝＝＝﹣ （3）＝　2﹣　； （4）你能根据你得到的规律计算下题吗？+++…+（n为正整数） 解：（1）原式＝＝； （2）原式＝﹣＝﹣＝； （3）原式＝＝﹣＝2﹣； 故答案为；；2﹣． （4）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．[来源:学|科|网Z|X|X|K] 31、（14分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x2﹣5x﹣6＝0； ②x2﹣x＋1＝0； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值． （1）解：①解方程得：，或， ，不是“差1方程”； ②，∴， ，是“差1方程”； （2）解：方程得：，或， 方程是常数）是“差1方程”， 或，或； （3）解：由题可得：∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ，， ，，， 时，的最大值为9． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上期第一学月质量检测 数学试题 一．选择题（共18小题，每小题3分，共54分） 1、若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥1且x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1 2、在下列方程中，一元二次方程是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．3x2+7＝0 D．（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1 3、下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4、下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5、若与可以合并，则m可以是（　　） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 6、若x﹣，则x﹣y的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 7、已知x＝，y＝，则x2y+xy2＝（　　）[来源:学§科§网Z§X§X§K] A．2 B．2 C．10+2 D．5+ 8、用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 9、三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．﹣11 B．13 C．11或8 D．11和13 10、如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0只有一个实数根，那么方程mx2﹣（m+2）x+（4﹣m）＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 11、已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 12、已知﹣1＜a＜4，则化简的结果是（　　） A．﹣3 B．3 C．2a﹣3 D．3﹣2a 13、已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（ ） A. －3 B. 1 C. －3或1 D. －1或3 14、已知xy＜0，化简二次根式的正确结果为 （　　） A． B． C． D． 15、若实数a，b满足a2+3a＝2，b2+3b＝2，且a≠b，则（1+a2）（1+b2）＝（　　） A．18 B．12 C．9 D．6 16、对于有理数a、b，定义mn{a，b}为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 17、已知方程x²－8x＋15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为( ) A.13 B.11或13 C.11 D.12 18、 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，......以此类推， 那么的值是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 19、计算3的结果是 　 　． 20、若与最简二次根式能合并成一项，则a＝　 　． 21、实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝　 　． 22、设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则　 　． 23、若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的一个根为 　 　． 24、一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 。 三．解答题（共7小题，满分72分） 25、（8分）计算： （2）． 26、（8分）解方程： （1）x2﹣2x﹣7＝0； （2）3x（x﹣1）＝1﹣x． 28、（10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+2＝0． （1）若x＝2是该方程mx2﹣3x+2＝0的一个根，求m的值； （2）若一元二次方程mx2﹣3x+2＝0有实数根，求m的取值范围． 29、（12分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根恰好构成以3为直角边的直角三角形，求k值． 30、（12分）阅读下列运算过程，并完成各小题：＝＝；＝＝数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，模仿上例完成下列各小题： （1）＝　 　； （2）﹣＝　 　； 如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：＝＝＝﹣1 ＝＝＝﹣ （3）＝　 　； （4）根据你得到的规律计算：+++…+（n为正整数） 31、（14分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x2﹣5x﹣6＝0； ②x2﹣x＋1＝0； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $