1.2.3 常用逻辑用语 课件-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

数学 高一年级 第一学期 集合与逻辑单元 1.2 常用逻辑用语（3） 沪教版 《普通高中教科书 数学 必修第一册》 1 常用逻辑用语 1.2 反证法 3 2 （一）创设情境 引入课题 《世说新语》记载:王戎七岁，尝与诸小儿游.看道边李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动.人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李.”取之，信然.  王戎的推理方法 假设“李子甜” 树又在道旁，则李子必被人摘走 与“树在道旁而多子”矛盾 “李子甜”的假设不成立 所以“树在道旁而多子，此必苦李” 求证：两直线相交，有且只有一个交点. 证明：假如两条直线相交不止一个交点， 设其中的两个不同交点分别为P、Q. 这与“过两点有且仅有一条直线”公理矛盾. 所以两条直线相交不止一个交点是不可能的. 所以两条直线相交有且只有一个交点. （一）创设情境 引入课题 这样，过不同的两点P、Q就有两条直线. （二）形成概念 理解辨析 【问题1】如何理解反证法？ 反证法 （二）形成概念 理解辨析 【问题1】如何理解反证法？ 反证法 （二）形成概念 理解辨析 【问题1】如何理解反证法？ 反证法 （二）形成概念 理解辨析 【问题1】如何理解反证法？ 反证法 （二）形成概念 理解辨析 【问题1】如何理解反证法？ 反证法 【问题2】运用反证法证明问题的步骤是怎样的？ 反证法 （二）形成概念 理解辨析 【问题3】如何表述一个陈述句的否定形式？ 反证法 （二）形成概念 理解辨析 【问题3】如何表述一个陈述句的否定形式？ 反证法 表1-2 一些常用的否定形式 （二）形成概念 理解辨析 元素个数一般指正整数 【问题3】如何表述一个陈述句的否定形式？ 反证法 （二）形成概念 理解辨析 （三）例题讲解 巩固新知 （三）例题讲解 巩固新知 （三）例题讲解 巩固新知 （四）课堂练习 迁移应用 教材P18 练习1.2（3） 1.证明：假设n不是奇数，即n为偶数， 设n=2k，k, 则, 所以是偶数.这与条件“是奇数”矛盾. 所以，假设不成立，n是奇数. 2.证明：假设结论不成立，即a=b且b=c，所以a=c，这与已知条件a矛盾. 所以，假设不成立，原命题成立. （五）课堂小结 作业布置 反证法 假设结论不成立（陈述句的否定形式） 步骤 理解反证法 导出矛盾（条件、公理、定理等） 假设不成立，则结论成立 推理（说理充分 推理严谨） 逻辑推理 （五）课堂小结 作业布置 （五）课堂小结 作业布置 结 束 语 逻辑用语有作为， 命题条件样样会. 集合思想来帮忙， 反证推理显神威！ 谢谢观看 在推理过程中，要判断命题“若 ，则 ”是假命题，只要存在一个满足条件 但不满足结论 的对象就行了.但是要判断命题“若 ，则 ”是真命题，就需要证明所有满足条件 的对象都满足结论 .有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 与已知条件 是偶数矛盾. 所以，假设不成立，即 是偶数. 例1 设 .证明:若 是偶数，则 也是偶数. 证明 假设 是奇数. 设 , ， 因为 这说明 是奇数， 首先假设结论 不成立( 为假)，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“ 为假”是不可能发生的，即结论 是正确的.这样的证明方法叫反证法. 一个陈述句不能构成矛盾，两个分别表示完全相反的含义的陈述句叫做一对矛盾.这里，在 是整数的前提之下， 是奇数与 是偶数就是一对矛盾. 根据逻辑学上的规定，真命题经过正确的推理得到的是真命题.经过正确的推理，能够得到假命题，那么推理的起点不会是真命题.因此假设“ 是奇数”就是一个假命题，换言之， 是偶数. 第一步：假设命题的结论不成立； 第二步：从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； 第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 陈述句的否定形式就是和它的含义完全相反的陈述句，非此即彼. 至少存在一个 满足性质 且 集合 中满足性质 的元素 最多有一个 至少存在一个 不满足性质 【说明】对于陈述句 ，可以用集合语言表述为： 满足 .我们可以借助集合语言帮助理解. 一个陈述句的否定形式的否定形式是它本身. 陈述句的否定形式就是和它的含义完全相反的陈述句，非此即彼. 例 “ 或 ”的否定形式是“ 且 ”； “ 且 ”的否定形式是“ 或 ”. 所以假设不成立， 所以 或 . 证明 假设 且 ， 例2 设 .证明:若 ，则 或 . 则 ， 这与已知条件 矛盾. 将其代入 ，得 ， 即 ，故 是偶数. 再由例1知 也是偶数. 于是 、 有公因数2， 这与 、 互素的假设矛盾. 所以假设不成立， 即 是无理数. 例3 证明: 是无理数. 证明 假设 是有理数. 设 ,其中 与 是互素的正整数. 于是 . 两边平方得 ,所以 是偶数. 由例1知 也是偶数. 于是设 ， 为正整数. 希帕索斯考虑一个边长为1的等腰直角三角形，根据勾股定理，其斜边长应该是“2的平方根”.如果毕达哥拉斯学派的断言“万物皆数”是正确的，那么应该存在一个有理数（即整数之比），恰好等于“根号2”.希帕索斯很快就证明，这是一个矛盾的结论. 例3 证明: 是无理数. [基础练习] 教材P21 A组10. 补充题 1.已知 是实数，且满足 求证： 中至少有一个不大于10. 2.已知 是实数，若 是有理数， 是无理数. 求证： 是无理数. [能力拓展]（选做） 1.已知 是整数，若 为偶数. 求证： 中至少有两个是偶数. 2.设 ，且 两两不等. 求证： 是偶数. $