上海市第二中学2027届高三上学期摸底考数学试卷

2027届市二中学高三上摸底考数学 一、填空题 1.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中，其重心相对与水面的高度h(单位：m)与起跳后的 时间1（单位：s)存在关系h()=-4.912+4.81+11.该运动员在1=2s时的瞬时速度是 m/s. 2.设曲线y=a(x-1)-nx在点(1,0)处的切线方程为y=2x,则a=_ 3.已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的严格减函数，若f(m-)+f(I-2m)>0,则实数m取值范围 为 4.五一节放假期间，甲、乙、丙三人来圆门旅游的概率分别是分行京，已知三人的行动相互之间设有 影响，那么这段时间内至少有1人来厦门旅游的概率为一· 5.设(x-1)(x+1)°=a+a,x+a2x2+ax3+..+a6x,则a=(结果用数值表示) 6.若函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为 7.函数y=log（x-l)+1(a>0,a≠)，图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m>0, >0则功+号的最小值是一 8.已知an(a-月)=)，amB=-7,且a,Bc(0,).则2a-B的值为一 9.已知P是直线上x+2y+6=0上一动点，过点P作圆C:x2+y2+2x-3=0的两条切线，切点分别为A、 B.则四边形PACB面积的最小值为 0如图，已知椭圆B的方程为。+1(Q>6>0A为椭圆的左顶点，B,0 在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆的离心率等 于 11.如图，已知在多面体ABCDEF中，平面ABCD是正方形，CE⊥平面ABCD,BF/ICE,且AB=CE=3, BF=2,取AB的中点G,点H为线段CE上的一动点. ①当CH=1时，HG/平面ADF: ②直线CD与AE所成角的正切值为√5： D ③存在点H使GH⊥DF; 第1页共5页 ④AF的中点到平面ABE的距离为 则以上说法正确的序号是 2 2.已知)=22x+引，若存在0] 使得f(x)=f(x)=f(x),若x+x+x的最 大值为M,最小值为N,则M-N= 二、单选题 12 2 13.在等比数列{an}中，a+a2+a+a,+a+a。+a,+a= 4 则 L+L+L+L+L+八+上+上=( 4a243a1a5a6a,4s 24 A.-6 B.- 25 C.14 5 D.2 14.函数f(x)=(x2-2x)e的图象大致是( B 15.在对角线AC,=6的正方体ABCD-A,B,C,D,中，正方形BCC,B,所在平面内的动点P到直线D,C、DC 的距离之和为4，则P℃·P℃的取值范围是( ) A.[-2,] B.[0,] c.[-1,川 2 16.已知点P是△ABC所在平面内的动点，且满足OP=OA+入 AB AC A丽AG (1>O),射线AP与边BC交 于点D,若∠B4C=号，回-1，则DC的最小值为( A.√5 B.2 C.25 D.45 第2页共5页 三、解答题 17.已知等差数列{an}满足：S。=21,S,=28,其中Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项； 2》令点=(-少2a,-02a,+证明：4+6+-%三异 4n 2n+11 √5-tanB 18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且tanA= 1+√3tanB (1)求角C的大小： (2)若2 sin Acos B+sinC=2sin(A+B),判断aABC的形状， 第3页共5页 19.如图一，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图二所 示的四棱锥D-ABCE,其中平面DAE⊥平面ABCE. D M 图一 图二 (1)设F为CD的中点，在AB上是否存在一点M,使得MF∥平面DAE.若存在，请证明；若不存在， 请说明理由； (2)求直线BD,与平面CD,E所成角的正弦值. 20.已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数，且f(2)=3若对任意的m,n∈[-2,2]，m+n≠0，都有 f(m)+()>0. m+n (1)若f(2a-1)+f(-a)<0,求实数a的取值范围： (2)若不等式f(x)≤(5-2a)1+1对任意x∈[-2,2]和a∈[-1,2]都恒成立，求实数1的取值范围. 第4页共5页 21.双面线-芳-6>0的左、有焦点分别为尽、月，直线过5且与双曲线交于人B两点 (1)若1的倾斜角为受，△4B是等边三角形，求双曲线的渐近线方程： (2)设b=5,若1的斜率存在，且(FA+FB)·AB=0,求I的斜率. 第5页共5页 2027届市二中学高三上摸底考数学试卷 一、填空题 1.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中，其重心相对与水面的高度h(单位：)与起跳后的 时间1（单位：s)存在关系h(0=-4.912+4.8t+11,该运动员在1=2s时的瞬时速度是 m/s. 【答案】-14.8 【解析】h(t)=-9.81+4.8,h(2)=-9.8×2+4.8=-14.8ms. 2.设曲线y=a(x-1)-nx在点(1,0)处的切线方程为y=2x,则a=一 【答案】3 【解析】因为曲线y=a(x-)-lnx在点(1,0)处的切线方程为y=2x,所以y=a-1 故曲线y=a(x-1)-lnx在点(1,0)切线的斜率为a-l. 又因为曲线y=a(x-1)-nx在点(1,0)处的切线方程为y=2x,所以a-1=2,故a=3. 3.已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的严格减函数，若f(m-I)+f(1-2m)>0,则实数m取值范围 为 【答案】(0,2) 【解析】由题可知，奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数，则f(-x)=-f(x), :f(m-)+f(1-2m)>0,则f(m-l)>-f(1-2m)=f(2m-1), 「-3<m-1<3 (-2<m<4 -3<2m-1<3,即-1<m<2,解得：0<m<2, m-1<2m-1 m>0 所以实数m取值范围为0<m<2. 4、五一节放侵期间，甲、乙、丙三人来厦门旅游的概*分别是分号子已知三人的行动相互之间没有 影响，那么这段时间内至少有1人来厦门旅游的概率为 【答案】 【解析】由题意可得3人中没有人来景德镇旅游的概率为 号 第1页共12页 所以至少有1人来景德镇旅游的概率为1-4= 5.设(x-1)(x+1)3=a,+ax+a2x2+ax3++a6x°，则a4=（结果用数值表示) 【答案】0 【解析】因为(x-l(x+1)°=(x-l0(x+5x+10x23+10x2+5x+）=a+ax+ax2+ax+.+ax, 则4=10-10=0. 6.若函数f(x)=x2-3a2x+a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为 【容】停树 【解析】令f(x)=3x2-3a2=0,∴.x=±a, 当f'(x)>0时，x>a或x<-a:当f'(x)<0时，-a<x<a. 所以f(x)i大值=f(-a）=2d+a,f(x)小值=f(a)=a-2a, 2a3+a>0 ·a-2a<0→a> 21 a>0 7.函数y=log(x-1)+l(a>0,a≠1)，图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m>0, m>0,则二+2的最小值是 m n 【答案】8 【解析】对于函数y=log（x-1)+1(a>0,a≠I),令x-1=1,求得x=2,y=1, 可得函数的图象恒过定点A(2,1), 若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m>0,n>0.则有1=2m+n, 则1+2-2m+”+4m+2n=4+”+4m≥4+2.n=8,当且仅当”=4m时，取等号， m n m m n m n m n 枚上+2的最小值是8. m n 8.已知an(a-)=克an0=-7,且a,BeQ,列.则2a-B的值为一 【答案】子 第2页共12页 1加器 11 3 ma--e-月ra小e2品-. 因为amB=0,所以B<,因为ama-号0，所以0<a≤ 2 所以-<a-<0,而ana-)-分0，所以-r<a-B<-受 所以2a-B∈（←元，0），所以2a-B=-3π」 4 9.已知P是直线上：x+2y+6=0上一动点，过点P作圆C:x2+y2+2x-3=0的两条切线，切点分别为A、 B.则四边形PACB面积的最小值为 【答案】2 【解析】由题意得：圆的方程为：(x+1)2+y2=4,∴.圆心为(-1,0)，半径r为2， 又：四边形PACB的面积S=PAAC=√PC2-AC2,AC=2√PC2-4, 所以当PC最小时，四边形PACB面积最小，将(-l,O)代入点到直线的距离公式，IPCn= -1+61=5, 22+17 P4PBV-21Sm=2.P42, 2 故四边形PACB面积的最小值为2. 10.如图，已知椭圆E的方程为号+茶=1(a>6>0,4为稀圆的左顶点，么，C在祸圆上，若四边形O4C 为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆的离心率等于 【答案】22 【解析】：AO是与x轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，.BC/1OA, 所以B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数， B、C两点是关于y轴对称的. 由题知：OA=a,四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a, 可设8（小c侣小，代入椭圆方程解得：1 26 设D为椭圆的右顶点，：∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形，.∠COD=30°， 第3页共12页 对C点：tan30°= 2 ,解得：a=3b, a 3 2 根据：a2=c2+b,得：a=c2+ 9 e=22 ,e2=8 3 I1.如图，已知在多面体ABCDEF中，平面ABCD是正方形，CE⊥平面ABCD,BF//CE,且AB=CE=3, BF=2,取AB的中点G,点H为线段CE上的一动点. ①当CH=1时，HG/平面ADF; ②直线CD与AE所成角的正切值为√5： ③存在点H使GH⊥DF: ④AF的中点到平面ABE的距离为5.则以上说法正确的序号是 【答案】①③④ 【解析】对①，如图l,取BF的中点T,连接GH,HT,GT, 由题意，BT//CH,BT=CH,即四边形BCHT是平行四边形， 所以TH∥BC,而BC∥AD,所以TH∥AD, 义G,T分别为AB,FB的中点， G 所以GT∥AF,而THOGT=T,AF∩AD=A, 图 所以平面TGHI1平面ADF,故HG/I平面ADF,故①正确： 对②，如图2，因为AB∥CD,所以直线CD与AE所成角即为直线AB与AE所成角， 连接BE,则∠EAB(或其补角)是所求角， 因为EC⊥平面ABCD,所以EC⊥AB, 又AB⊥BC,且EC∩BC=C,所以AB⊥平面BCEF,则AB⊥BE, 所以an∠BAB=BE=V反，故②错误： 图2 AB 对于③，以C为坐标原点，CD,CB,CE所在方向分别为x,yz轴的正方向建立如图3的空间直角坐标系， 则c(33,0,D3,oFQ3,2,设H00, 所以m=(3-3,月DF--3,2, D 若GH⊥DF→GHDF=0, 图3 第4页共12页 所以-子(3-3x3+2h-0,解得h=}, 因为h≤3，符合题意，故③正确： 对④，如图4，取AF的中点为Q,则2到平面ABE的距离即为F到平面ABE的距离的一半， 设所求距离为d,由勾股定理易得：BE=3√2， 则斯-e-8m×2d-335x2d=35d, VE-ABF= x5me×BC=×5×3x2x3=3, 3^2 H D 所以32d=3→d= 2 G B 即2到平面ABE的距离为？，故④正确。 图4 故答案为：①③④ 12.已知/=2n2x+引，若存在0 使得f(x)=f(x)=f(x),若x+x+的最 大值为M,最小值为N,则M-N= 【答案】贸 【解折】作出商数了=2s2x+骨）的图像如图所示，令2x+号-受+xe), 则函数的对称销为：=音+经化e刀， 由图可知西数=22x+写到关于x各侣x-经对称， 12 设x<2<x,则当x=0时，x+x2+x取最小值， 此时()-f)=f()-5,可得名=若= 故N=0+元+π=7红 6 6 当%=受时，+名+%取最大值， 此时/代)=6)儿)=-5，可得写受 3, 故M=花+2r+3π-8r 2323 所以M-N=8r-7π、3z 362 第5页共12页 二、单选题 12 13.在等比数列{a,}中，a+a,+4+a,+a,+a。+a,+4= 、2 ,则 1+L+L+上+上+上+L+=( ) a az as as as as a7 as A.-6 c.4 D.2 【答案】A 【解析】++上+上+上+L+L+1-8++马+4+马+8+“+6 a az as as asas a as ads aza ajas asas 2 2 :等比数列{a,}中a4,=-亏，而a4,=a,4=a4,=a4,=- :++2+2++2++=-a+a,+a+a,+a,+a,+a,+a)=-x2 -6. a az as as as do az as 2 25 故选：A 14.函数f(x)=(x2-2x)e的图象大致是（ 【答案】A 【解析】令f(x)=(x2-2xe=0,解得：x=0或x=2,排除C、D: f'(x)=(2x-2)e+(x2-2x)e*=(x2-2)e*, 当x>√2或x<-√2时，f'(x)>0,当-2<x<2时，f'(x)<0, 故f(x)在（∞，-V2),V2,+∞）上单调递增，在(-√2，V瓦)上单调递减，故选：A. 15.在对角线AC=6的正方体ABCD-AB,C,D,中，正方形BCC,B所在平面内的动点P到直线D,C、DC 的距离之和为4，则PC·PC的取值范围是( 第6页共12页 A.[-2,1] B.[0,] C.[-1,1] 【答案】A 【解析】设P(x,y),因为点P到直线D,C、DC的距离之和为4， 所以点P到点C和点C的距离之和为4， 由椭圆的定义可知：点P的轨迹是椭圆的一部分， 以CC所在的直线为x轴，线段CC,的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 因为正方体的体对角线AC=6,所以正方体的棱长为2√3， 则C(-5,0),C(5,0,所以c=5,a=2,b=1, B 可得点P的钱迹为椭圆等+户1， 所以PC=(5-x-y),Pc=(5-x-y), 则P℃·PC=(V3-x(-5-x+y2=x2+y2-3 =2+1--3=3x2-2, 4 4 因为-2≤x≤2，所以0≤2≤4，所以-2≤2x-2≤1， 4 由此可得-2≤PC·PC≤1，故选：A. 16.已知点P是△ABC所在平面内的动点，且满足OP=OA+2 AB AC (1>0),射线AP与边BC交 AB AC 于点D,若∠B4C=号，网=1，则BC的最小值为( A.5 B.2 C.2W5 D.45 【答案】C AB AC 【解析】 AB 表示与B共线的单位向量， Ac 表示与AC共线的单位向量， AB AC 的分向与∠BAC的平分线一致， 第7页共12页 .OP=0A+ AB AC -a--需 所以点P在∠BAC的平分线上，即AD为∠BAC的角平分线， 在△ABD中，∠BAD=号，AD=1,利用正弦定理知：BD=AD sinπ 2 sin B 3 sinB 5 同理，在aMCD中，CD=4D π xsin-= 2 sin C 3 sin C 5 5 BC=BD+CD= 2+2 =(1+1 其中B+C=花 3 sin B'sin C 2sin B sin C 析可知当B=C=亚时，BC取得最小值，即BC,~ x2x-1 =25 6 sin 6 故选：C 三、解答题 17.己知等差数列{an}满足：S。=21,S,=28,其中Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{a}的通项； (2)令6，=(-ヅ2a,-02a,+0,证明：么+6+6， 4n 2n+2 2n+1 【答案】(1)an=n;(2)见解析 【解析】(1)数列{an}为等差数列，依题意S。=21,S,=28,所以 6a,+15d=21 7a+21d=28 所以4，=1，d=1,所以an=n. (2)b,=(-1) 2a-2a(lr2-旷3+ 4n +a**a-(+兮传》…旷2-4旷] =1-(-2+s1*2n2 2n+12n+1 18.在aABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且tanA= 3-tan B 1+√3tanB (1)求角C的大小； 第8页共12页 (2)若2 sin Acos B+sinC=2sin(A+B),判断△ABC的形状， 【答案】(1) 行；2)等腰三角形 √3-tanB tan-tan B 【解析】(1)因为tanA= 3 tan l+V3 tan B 1+tan交.tanB 所以A=-B+kπ，keZ,即A+B=T+kπ，k∈Z, 3 3 因为4+Be(0,,所以4+B=写，故C=元-(4+B)- 3 (2)由A+B+C=π，所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B), 故由2 sin Acos B+sinC=2sin(A+B)→2 sin Acos B+sin(A+B)=2sin(A+B), 则2 sin Acos B=sin(A+B),化简得sin Acos B-cosAsin B=0, 即sin(A-B)=0,所以A-B=0, 叉因为4+B=元-C=写，所以A=B= π 6 所以△ABC是等腰三角形. 19.如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所 示的四棱锥D-ABCE,其中平面D,AE⊥平面ABCE. 0 E 图一 图二 (I)设F为CD,的中点，在AB上是否存在一点M,使得MF∥平面DAE.若存在，请证明；若不存在， 请说明理由： (2)求直线BD与平面CD,E所成角的正弦值. 【答案】(1)存在，且AM=AB:(2)互 4 3 【解析】(I)存在，且AM=AB, 4 第9页共12页 J-J- 取DE的中点L,连接AL,FL, :FL/IEC,ECIIAB,FLIIAB且FL=二AB, .FL//AM,FL=AM, ∴.AMFL为平行四边形，.MF/IAL, 因为MFCADE上，ALC平面ADE,所以MF/I平面ADE. 放线段8上存在满足愿意的点从且他-子 M (2)取AB的中点K,AE的中点O,连接OK, D,O⊥AE,OK⊥AK, 因为平面D,AE⊥平面ABCE,则D,O⊥平面ABCE, 故以O为坐标原点，OA,OK,OD,为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得B(-V2,22,0,C(-22,2,0,E(-V20,0,D,(0,0,2), EC=(-V2,2,0,ED=(V2,0,W2),BD=(2,-22,2), 12 D 设平面CD,E的一个法向量为m=(x,y,z), 由 m-EC=0m∫-V2x+V2y=0 mD=0即{5x+52=0】 令x=1,解得y=1,z=-1,所以m=(1,1,-1), 设直线BD与平面CD,E所成角为O, m-BD sin=cos(m,BD》 2v2 -2 m BD, V3×123 所以直线BD,与平面CD,E所成角的正弦值为2 20.已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数，且f(2)=3若对任意的m,n∈[-2,2]，m+n≠0，都有 f(m)+f(n)>0. m+n (1)若f(2a-1)+f(-a)<0,求实数a的取值范围： (2)若不等式f(x)≤(5-2a)1+1对任意x∈[-2,2]和a∈[-l,2]都恒成立，求实数t的取值范围 第10页共12页 【答案（[小 (2)[2,+o). 【解析】(1)设任意x,x2,满足-2≤x<x2≤2， 由题意可得/6)-)=x)+-6)=f+化(k-x)<0, x+(-x2) 即f(x)<f(x), ∴f(x)在定义域[-2,2]上是增函数. 2sa<1, 则f2a-)<f@)可化为-2≤2a-1<a≤2，解得 的取值范潤为) (2)由(1)知不等式f(x)≤(5-2a)1+1对任意x∈[-2,2]和a∈[-1,2]都恒成立， fx(x)≤(5-2a)1+1对任意的a∈[-1,2]都恒成立， .f(2)=3≤(5-2a)t+1恒成立， 即21a-51+2≤0对任意的a∈[-l,2]都恒成立， 令g(a)=21a-51+2,a∈[-l,2], 则只需〈 g(-1)=-71+2≤0 8(2)=-1+2≤01 解得1≥2，.1的取值范围[2，+o). 双曲线x21b>0)的左、右焦点分别为乃，直线/过乃且与双曲线交于AB两 （①)若1的候斜角为宁6听B是等边三角形，求双曲线的浙近线方程， (2)设b=√5，若I的斜率存在，且(EA+FB)·AB=0,求I的斜率. 【答案】(1)y=士反x;(2)士压 【解析】(1)设A(xA,ya). 由题意，E(c,0),c=+b,y只=b2(c2-)=b, 因为△FAB是等边三角形，所以2C=V3y, 即41+b2)=36,解得62=2. 第11页共12页 故双曲线的渐近线方程为y=±√2x. (2)由已知，F(-2,0),F(2,0). 设A(x,y),B(x2,2),直线：y=k(x-2).显然k≠0. x-g-1 由 3 ，得（k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0. y=k(x-2) 因为1与双曲线交于两点，所以k2-3≠0，且△=36(1+k2)>0. 设AB的中点为M(xM,yM). 由(A+FB)·AB=0即FM·AB=0,知FM⊥AB,故k5Mk=-1. 5学-器m=-2小0w是写 而x,=当+五=2k2 3k 所以兰写=1，得号藏1的斜率为±5 5 第12页共12页