精品解析：广东佛山市南海区石门中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

石门中学2025―2026学年上学期期中考试 高三数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若对任意的x大于0，不等式x2﹣ax+2＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A. a＜2 B. ﹣2a＜2 C. a＞2 D. a＜﹣2或a＞2 【答案】A 【解析】 【分析】把不等式化为a＜x，求出x的最小值，即可求得实数a的取值范围． 【详解】当x＞0时，不等式x2﹣ax+2＞0化为x2+2＞ax， 即a＜x； 又x22， 当且仅当x，即x时取“＝”； 所以实数a的取值范围是a＜2． 故选：A． 2. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质 3. 已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知恒成立，然后根据二次项系数是否为0，进行分类讨论，求出结果即可. 【详解】因为函数的定义域是R，即恒成立， （1）若，则有意义，符合题意； （2）若，则，解得， 综上实数a的取值范围是， 故选：B. 4. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由平移规律求出，再分析的单调性和值域，结合的性质转化不等式求解. 【详解】将向下平移1个单位，再向右平移1个单位可得，即. 当时，单调递增，值域为； 当时，单调递增，值域为. 由于，故，若要满足， 解，得；满足， 解，因式分解得，解得或. 取交集得的取值范围为. 5. 如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，得到动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，在所在平面建立平面直角坐标系，求得直线和的方程，联立方程组，求得，得到的长，进而求得，结合弧长公式，即可求解. 【详解】如图（1）所示，过点作，分别交于点， 则动点在平面上的射影轨迹为线段， 设当与重合时，有；当与重合时，有， 则由为定长，可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，如图（1）所示， 在所在平面建立如图（2）所示的平面直角坐标系， 则，，，，直线，直线， 联立方程组，解得，即，则， 又由，可得，所以，， 所以动点的轨迹长度为. 故选：A． 【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略： 1、解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键. 6. 已知命题：，，则（ ） A. ：， B. ：， C. ：， D. ：， 【答案】D 【解析】 【详解】易得，：， 7. 如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A. 是奇数且 B. 是偶数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是偶数，是奇数，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的图象性质判断得解. 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 8. 如图（1）（2）分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为，B组成对数据的样本相关系数为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布趋势以及紧密程度，可判断出相关系数的大小关系，即得答案. 【详解】由题图（1）可知，散点几乎分布在一条直线上，且成正相关，∴， 由题图（2）可知，散点分散在一条直线附近，也成正相关，∴， 图（1）中的散点分布更紧密，因此A组成对数据的线性相关程度比B组强一些， ∴， 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题．每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：直接观察即可；对于B：做差法判断；对于C：构造函数，确定函数单调性后可判断；对于D：构造函数，确定单调性，然后通过化简整理后可判断. 【详解】对于A选项，不一定大于1，故A错误. 对于B选项，因为，则， 所以，故B正确. 一题多解，根据糖水不等式，，，可知B正确. 对于C选项，， 令，则，则在上单调递增. 又因为，所以，即，故C正确. 对于D选项，因为， 所以， 令，令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 则，即成立，故D正确. 一题多解 根据对数平均不等式，，可知D正确. 故选：BCD. 10. 如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 的最小值为 C. 平面平面 D. 异面直线与所成角的最大值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据和可证平面；根据是正三角形可得当为中点时，取的最小值；由面面平行的判定定理可得平面平面；异面直线与所成角即为与所成角，当为中点时，与所成角取得最大值. 【详解】正方体中，平面，平面，， 正方形中，，，平面，故A正确； 是正三角形，且边长为，当为中点时，取的最小值为，故B正确； 正方体中，且，故四边形是平行四边形， ，平面，平面，平面， 同理可得平面，，平面平面，故C正确； 易得，则异面直线与所成角即为与所成角，且当为中点时，与所成角的最大值为，故D错误. 故选：ABC. 11. 某市对2017年至2021年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 盈利店铺的个数 260 240 215 200 180 根据所给数据，得出关于的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 该市2017年至2021年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数 B. y关于t的线性回归方程为 C. 估计该市2023年烧烤店盈利店铺的个数为147 D. 预测从2028年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100 【答案】ABC 【解析】 【分析】由平均数的计算方法可判断A；代入样本中心点可得回归方程，可判断B；代入可判断C；令，解不等式，可判断D. 【详解】由已知数据得，，故A正确； 因为关于的回归直线过点，所以，所以， 所以关于的线性回归方程为.故B正确； 2023年的年份代码为7，故2023年该市烧烤店盈利店铺的个数约为.故C正确； 令，由，得，故从2026年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100.故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 二项式展开式中的系数为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】将化为，利用二项式系数结合组合数的计算，求得答案. 【详解】因为， 故展开式中的系数为， 故答案为：5 13. 关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 14. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且. （1）证明：平面平面； （2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，由题意，， 又，故. 又，故， 所以四边形为平行四边形，则. 由平面，故平面， 又面，故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，四边形为平行四边形，从而得到，根据平面可得平面，从而得到需求证的面面垂直. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：， 故 设平面的法向量 而， 故，令，得 设所求角的大小为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）0；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据为纯虚数，可得实部，虚部，联立即可求得答案. （2）根据复数相等的条件，列出方程组，即可求导答案. 【详解】（1）因为为纯虚数，所以， 解得. （2）因为， 根据复数相等的条件可得：， 解得. 综上当时，为纯虚数，当时，. 17. 已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． （2）假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值． 【答案】（1）0.8186； （2）①；② 3 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求得，得，判断产品为正品的质量差在内，利用正态曲线的对称性和相应的额概率值计算即得. （2）① 依题意，利用古典概型概率公式计算即得； ②依题，运用二项分布概率公式可得，利用求导得到当时即时，取得最大值. 【小问1详解】 由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为： ， 依题得，，，所以， 则优等品的质量差在即内，一等品的质量差在即内， 所以正品的质量差在和内，即内， 故该企业生产的产品为正品的概率： ； 【小问2详解】 ①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有种选法， 故某箱产品抽检被记为B的概率为：． ②由题意，一箱产品抽检被记为的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为的概率为 ， 由， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为． 此时由，可解得：（舍去）， ∴时，5箱产品恰有3箱被记为的概率最大，最大值为． 18. 作出下列函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）图象如图所示： 函数在和为减函数， 值域为：； （2）图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数， 值域为：； （3）图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数， 值域为：； 【解析】 【分析】（1）将函数转化为，利用反比例函数的性质作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域； （2）将函数转化为，利用二次函数的性质作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域； （3）将函数转化为，利用二次函数的性质结合翻折变换作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域； 【详解】（1），图象如图所示： 函数在和为减函数， 因为，所以，故值域为：； （2），图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数， 当时，取得最小值，故值域：； （3），图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：； 19. 如图，三棱锥中，，且，. （1）当三棱锥的体积最大时， ①求证：； ②求其外接球的表面积； （2）设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】（1）①证明： 三角形的面积为定值，且 ， 当三棱锥 的体积最大时， 平面， 平面 ，； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由于三角形的面积为定值，当三棱锥 的体积最大时， 平面，从而可证；② 先证 平面 ，可得，而 到的距离相等，所以为三棱锥 的外接球的球心. 求出外接球半径，利用外接球的表面积公式即可求解. （2）如图建立空间直角坐标系，设为的中点，，可设，得 ，利用空间向量法可得的表达式，再构造函数，利用导数研究函数的单调性即可求得的最小值. 【小问1详解】 ①略 ②由①知，当三棱锥的体积最大时，平面 ， 平面 ， 平面 ，， 又 为的中点， 到的距离相等， 即为三棱锥 的外接球的球心. 设外接球半径为，则， 三棱锥的外接球的表面积为 ； 【小问2详解】 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 设为的中点，， 可设 ，由 ，得， 又 ，设平面的法向量 ， 则，即，令则 ， 可得平面的法向量 又 ，设平面的法向量 ， 则 ，即，令，则 ， 可得平面的法向量 , 则 ； 设 ，则 ， 易知 单调递减： 单调递增， 当 时， ， 所以 的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二小问中，如何设点 坐标是解题关键，利用空间向量法表达出，通过构造函数，求出函数的最小值是难点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门中学2025―2026学年上学期期中考试 高三数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若对任意的x大于0，不等式x2﹣ax+2＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A. a＜2 B. ﹣2a＜2 C. a＞2 D. a＜﹣2或a＞2 2. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：，，则（ ） A. ：， B. ：， C. ：， D. ：， 7. 如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A. 是奇数且 B. 是偶数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是偶数，是奇数，且 8. 如图（1）（2）分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为，B组成对数据的样本相关系数为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 二、多项选择题（本大题共3小题．每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 的最小值为 C. 平面平面 D. 异面直线与所成角的最大值是 11. 某市对2017年至2021年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 盈利店铺的个数 260 240 215 200 180 根据所给数据，得出关于的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 该市2017年至2021年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数 B. y关于t的线性回归方程为 C. 估计该市2023年烧烤店盈利店铺的个数为147 D. 预测从2028年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 二项式展开式中的系数为____________． 13. 关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______. 14. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且. （1）证明：平面平面； （2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的值． 17. 已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． （2）假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值． 18. 作出下列函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域： （1）； （2）； （3）； 19. 如图，三棱锥中，，且，. （1）当三棱锥的体积最大时， ①求证：； ②求其外接球的表面积； （2）设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $