专题02 函数概念与基本初等函数（期中真题汇编，广东专用）高三数学上学期

专题02 函数概念与基本初等函数 6大高频考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的图象 考点03 函数的基本性质 考点04 指、对、幂函数 考点05 函数与方程 考点06 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（       ） A. 或 B.  C.  D. 或 2．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）（多选）下列说法中正确的是（       ） A. 函数的值域为 B. 函数的零点所在区间为 C. 函数与互为反函数 D. 函数与函数为同一函数 3．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）已知函数 则　　　　　. 考点02 函数的图象 1．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）函数可能的图象大致是（     ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）作出下列函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域： （1）； （2）； （3）； 考点03 函数的基本性质 1．（2026·广东深圳宝安中学·联考）定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（       ） A.  B. 1 C.  D.  2．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知函数，满足，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）已知函数 ．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·广东深圳理工附·质量监测）（多选）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知函数，则的解集为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 当时，函数为奇函数，且在单调递增 B. 当时，函数为偶函数，且在单调递减 C. 当时，函数为奇函数，且在单调递增 D. 当时，函数为偶函数，且在单调递减 7．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 8．（高三上·广东梅县东山中学·期中）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知定义在上的函数满足，且对，当时都有，若，恒成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 定义域为的函数，且，则 B. 函数的最小值为1 C. 定义域为的函数满足，当时，，则 D. 定义域为的函数，，则 11．（2026·广东中山·三模）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，当时，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 在上为减函数 C. 为奇函数 D. 方程有且仅有6个实数解 13．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）设函数． （1）判断函数奇偶性并证明； （2）用单调性定义证明：函数在上单调递增． 14．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 15．（2026·广东中山·三模）已知函数. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）当时，求的值. 16．（2026·广东中山·三模）若函数是周期为2的奇函数，当时，，则　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）已知是偶函数，则的取值为　　　　　　． 18．（高三上·广东梅县东山中学·期中）若函数的图象存在对称轴，则的最小值为　　　　　　． 考点04 指、对、幂函数 1．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）（多选）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）下列计算错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（高三上·广东梅县东山中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A. 是奇数且 B. 是偶数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是偶数，是奇数，且 5．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）设，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（高三上·广东梅县东山中学·期中），则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（     ） A. 函数为奇函数 B.  C. 函数的值域为 D. 当时， 9．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）已知正实数 满足 则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）若，则　　　　　　　　 11．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　　　　　　 12．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有交点，则　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知，，则　　　　　　　　． 14．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知函数且的图像经过两个定点，则　　　　　　　　　　　. 考点05 函数与方程 1．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知函数 .若有2个零点，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）已知函数 ，若函数有3个零点，则实数的取值范围 A. (0, ) B.  C.  D. （0,1） 4．（2026·广东深圳理工附·质量监测）已知函数有两个零点，则a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）已知函数.若存在，使得，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为　　　　　　　　． 7．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知函数 ，当时，函数的值域为　　　　　　.若函数有三个不同零点，则的取值范围是　　　　　　. 考点06 函数的新定义 1．（2026·广东中山·三模）若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）（多选）若定义在上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于2，则称该函数是上的完美函数.下列判断正确的是（       ） A. 是上的完美函数 B. 若是上的完美函数，则也是上的完美函数 C. 是上的完美函数 D. 存在，使得是上的完美函数 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 专题02 考点01函数及其表示 考点02函数的图象 考点03函数的基本性质 考点04指、对、幂函数 考点05函数与方程 考点06函数的新定义 》】 考点01函数及其表示 1.B 2.ABC 3【管案1号 【分析】 代入计算出f-2,f2,相加即可. 【详解】 因为f2=log32+7=2,f-2=22 故答案为： 9-4 》 考点02函数的图象 1.B 2.A 3.【答案】(1)图象如图所示： 函数在(-∞，2)和(2，+∞)为减函数， 值域为：（-∞，1)U(1,+0): www.zxxk com 让教与学更高效 函数概念与基本初等函数 4所以-2+f2=是 1/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)图象如图所示： 函数在(-o,-2]和[0,2]为减函数，在[-2,0]和[2，+∞)为增函数， 值域为：[-4，+∞)： (3)图象如图所示： 2-0123 -0 0,号和1，+0为增函数 为减函数，在O, 值域为：[0，+∞)： 【分析】 (1)将函数转化为y=1+x2利用反比例函数的性质作图。再结合图家写出西数的单调区间和值玩： (2) 将函数转化为y= (x+22-4,X<0，利用二次函数的性质作图，再结合图象写出函数的单调区间 (x-2)2-4,x≥0 和值域： (3)将函数转化为y=x(x-1 利用二次函数的性质结合翻折变换作图，再结合图象写出函数的单调 区间和值域： 【详解】 1)y=-1 x-2 1+1 图象如图所示： 2/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 函数在(-∞，2)和(2，+∞)为减函数， 因为x-20.所以1+2产1，枚值城为：(-o0,1U1,+0 2》y=X-4=x+2-4,x0,图象如图所示 (x-22-4,x≥0 函数在(-∞，-2]和[0,2]为减函数，在[-2,0]和[2，+∞)为增函数， 当x=±2时，y取得最小值-4，故值域：-4，+o∞)： 3》y=x1-x川=x(x-1图象如图所示： 3 -2-10123 勇效-0侵数.年0，引1+汤资恤线o+m 考点03函数的基本性质 1.D 2.C 3/12 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 3.C 4.AC 5.B 6.C 7.A 8.D 9.A 10.ABD 11.D 12.ACD 13.【答案】(1)fx为奇函数，证明如下.(2)证明如下 【分析】 (1)用奇函数的性质证明即可. (2)用定义证明单调性即可. (1)小问详解： fx为奇函数： 证明：由题意知fx的定义域xXx≠0关于原点对称， 故得证； (2)小问详解： 证明：设任意的2<x1<X2, X1-X2<0,X1X2>4, 所以fx-fx2<0' 故函数fx在2，+o∞上单调递增 4【等】0f=米e1, (2) 函数fx在-1,1上为减函数， 4/12 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 证明如下：任取x'X,∈【-1,1且x<x 两小敌瓷 1+x31+x3 因为-1≤X<X≤1所以x-x,<0X1x2-1<01+x>0'1+x>0 所以fx-fx>0' 即fx小>fx,所以函数fx-1,1止为减函数. (3) 0今 【分析】 (1)根据函数的奇偶性和单调性列方程来求得Q,b,从而求得fx的解析式. (2)根据单调性的定义，计算fX-fx,>0来判断fx的单调性 (3)利用函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 1)小问详解： 因为函数fx=ax+b。 1+x是定义在-1,1止的奇函数， 所以f-X=-fx,即ax+b=ax+b 1+x2 1+X,解得b=0, 所以fx=ax 文，而1=-1，所以f1=号-1，解得a=-2, 所以fx=-2x 2,x∈-1,1 1+x (2)小问详解： 略 3)小问详解： 因为fx是奇函数， 所以不等式ft-1+f2t>0可化为f2t>f1-t, |-1≤2t≤1 因为函数fx在|-1,1上为减函数，所以-1≤t-1≤1，· 2t<1-t 5/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 舒0所以不5式21-f北-1s0的￥奥为0，号 15.【答案】(1) 易知gX=fx-1=2e-1=1x∈Rrgl-x=e1e=-g1x e'+1e*+1 ex+11+e" 则gx为奇函数， 所以gx的图象关于原点中心对称，证毕； (2)22. 【分析】 (1)利用函数的奇偶性证明即可； (2)利用函数的对称性结合倒序相加法计算即可. 1)小问详解： 略 (2)小问详解： 由上gx的图象关于原点中心对称，知fx的图象关于0,1中心对称， 所以f-x+fx=2, 2f*f105+f-95l*fi-a5*-+f05r 三ft*=f5i+fo5引+fact+f05 两式相加得2】 *2f-0o*n-95f95+n5f1-5 =22×f10.5+f-10.5=22×2 16.【答案】-4 【分析】 根据周期性和奇偶性的定义结合对数的运算化简求解即可. 6/12 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 【详解】 因为函数fx是周期为2的奇函数， 所floe,=flog4-1l83f2-l83fl-1og:3=-f8:3 因为1=log22<log23<log24=2, 所以fg:3=2341=4fo8号=-4 故答案为：-4. 17. 【答案】号 【分析】 由题意得f-x=fx,代入fx=ln2+x+ln1+ax解出即可. 【详解】 由题意有f-x=fx,即ln2-x+ln1-ax=lnl2+x+ln1+ax, 所以ln(2-x1-ax=ln2+x|1+ax,所以2-x1-ax=2+x1+ax, 解得4ax+2x=22a+1x=0.解得a=2 故答案为： 1-2 18.【答案】-4 【分析】 设fx的对称钟为x=b,则f26-X=fx.从而符到方库，求出8-8，收fx刘=×+4父-8x 令x+1=t,换元并配方得到当t=3时，fx)=gt取得最小值，最小值为-4. 【详解】 设f(x)的对称轴为x=b,则f(2b-x)=f(x), 即(2b-x+4(2b-x3+a(2b-x)=X+4x+ax 化简得(4b2-4bx+XP+44b2-4bx+x22b-x)+a(2b-x)=X+4x+ax (4b2-4bx+x2)(4b2-4bx+x2+8b-4x)+a(2b-x)=x4+4x3+ax 7/12 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 -8b+8x+24b2+24bx2-32b3+48b2+2ax+16b4+32b3+2ab=0' 8b+8=0 故需满足 24b2+24b=0 ,解得a=-8, 32b3+48b2+2a=0 b=-1 16b4+32b3+2ab=0 故f(x)=x+4x2-8x 令x+1=t,故x=t-1, 则f(x)=g=t-1+4t-13-81t-1=t-6+5=t-3-4 故当t=3时，即x=±口时，f(x)=gt取得最小值，最小值为-4. 故答案为：-4 》 考点04指、对、幂函数 1.ACD 2.D 3.C 4.D 5.A 6.B 7.A 8.AD 9.B 10.【答案】 10 【分析】 先求出x=10g43,再利用对数的运算公式化简求值 【详解】 .xlog34=1,∴.x= 1=1og43, 1og34 4433+110 从而4+4X=4og3+1 33 8/12 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 故答案为： 3 【点睛】 本题主要考查对数的运算和换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11.【答案】-1 【分析】 由幂函数f(x)=x在(0，+o)上递减得。<0：又由幂函数f代x=x为奇函数，验证即可求解 【详解】 因为幂函数f(x=x在(0，+o0)上递减，所以a=-2,-1,-号 又幂函数f(x=x为奇函数，所以a=-1 故答案为：-1 12.【答案】5 【分析】 根据幂函数的定义得到方程求出m的值，再代入检验即可. 【详解】 因为y=m2-4m-4x-m为幂函数，所以m2-4m-4=1解得m=-1或m=5 当m=-1时y=x2与x轴、y轴均有交点，故不符合题意； 当m=5时y=x4=1 ,定义域为xx≠0，与y轴没有交点， X 又x>0恒成立，所以y=x4>0恒成立，所以与X轴没有交点，符合题意. 所以m=5. 故答案为：5 13. 【答案】40.25 【分析】 根据题意，利用对数的运算法则，准确运算，即可求解 【详解】 因为og:5=a,1og2=b,可得a=lg5,b1og,2 9/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以ah=log,5×。 10g2=10g25×、1 log,5 4 故答案为：4 14.【答案】4V▣ 【分析】 根据题意，求出定点A,B的坐标，利用两点间的距离公式即可求解 【详解】 由x2-2x-2=1,得x-3川x+1=0,解得x=3或x=-1, 当x=3时，f3=3+1og32-2×3-2=3所以fx过定点A3,3时 当x=-1时，f-1=-1+1og1+2×1-2=-1所以fx过定点B-1,-1 所以AB=4吧石 故答案为：4V▣ D考点05函数与方程 1.C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.【答案】32 【分析】 根据题意，求得gx=(1-x2〔×2+ax+b的图形过点(1,0)，(-1,0得到gx的图象过点 (-3,0,(-5,0),结合g-1=g-3,g1=g-5,联立方程组，求得a,b的值，得出 fx=1-X2)(X+8x+15-c,再根据题意，得到x=-2必为函数y=fx的一个零点，结合f-2=0 求得c的值，即可求解. 【详解】 由函数fx=1-X2)(X2+ax+b-c' 10/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则函数gx=1-x2(X+ax+b的图形过点(1,0，(-1,0) 因为函数gx的图象关于x=-2对称，则函数9x的图象过点(-3,0)，(-5,0)， 可得g-1=0,g-31=1-9)(9-3a+b:且g-1=g-3可得g-3a+b=0 又由g11=0,g-51=|1-25)(25-5a+b且g11=g-5可得25-5a+b=0 9-3a+b=0 联立方程组25-5a+6=0，解得a=8,b=15, 所以gx=1-x2)(x2+8x+15 因为函数y=fx图像关于直线x=一2对称，且该函数有且仅有7个零点， 则x=-2必为函数y=fx的一个零点，即f引-2=0， 可得1(1-4)(4-8×2+15川-c=0:解得c=9 所以a+b+c=32. 故答案为：32 7.【答案】①(0，+∞ ②(2,4) 【分析】 当a=0时，结合指数函数与二次函数的性质，求得函数fx的值域，再由fx有三个不同零点，即fx=0 有三个实数根，结合对数的运算性质和二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解 【详解】 当a=0时，函数rx=Xt1,x≥0， 42",x<0 当x≥0时，可得fx=X+1可得fx≥1： 当x<0时，可得fx=4-2=2*2,可得0<fx<4 所以函数fx的值域为0，+o∞： 因为函数fx有三个不同零点，即fx=0有三个实数根， 当x<0时，fx=0,可得425-a=0.解得x=lo8号l8,a-2, 若fx在(-∞，0)上存在零点，则满足log2a-2<0,解得0<a<4: 11/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当x≥0时，由fx=0,可得x-ax+1=0, 若方程x2-ax+1=0在(0，+∞)上两个实数根，设两根分别为X1,X2, 4=-a2-4>0 则满足， x1+x2=a>0解得a>2, x1X2=1>0 综上可得，若函数fx有三个不同零点，实数Q的取值范围为2,4). 故答案为：（0，+∞)；（2,4) 列 考点06函数的新定义 1.D 2.ACD 12/12 专题02 函数概念与基本初等函数 6大高频考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的图象 考点03 函数的基本性质 考点04 指、对、幂函数 考点05 函数与方程 考点06 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（       ） A. 或 B.  C.  D. 或 【答案】B 【分析】 由题意知恒成立，然后根据二次项系数是否为0，进行分类讨论，求出结果即可. 【详解】 因为函数的定义域是R，即恒成立， （1）若，则有意义，符合题意； （2）若，则，解得， 综上实数a的取值范围是， 故选：B. 2．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）（多选）下列说法中正确的是（       ） A. 函数的值域为 B. 函数的零点所在区间为 C. 函数与互为反函数 D. 函数与函数为同一函数 【答案】ABC 【分析】 根据函数性质分别判断各选项. 【详解】 A选项：函数，当时，取最小值为，所以函数的值域为； B选项：因为函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，且，，所以其零点所在区间为，B选项正确； C选项：，即，可得，所以函数与函数互为反函数，C选项正确； D选项：函数与函数的定义域均为，，，不为同一函数，D选项错误； 故选：ABC. 3．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）已知函数 则　　　　　. 【答案】 【分析】 代入计算出，相加即可. 【详解】 因为，，所以. 故答案为：. 考点02 函数的图象 1．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，求得所以为奇函数，且，即可求解. 【详解】 由函数，可得其定义域为， 且， 所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称， 当时，，且，所以， 故选：B. 2．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）函数可能的图象大致是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据解析式可知为奇函数，排除B和D选项，结合函数的周期，，，的值和符号即可判断选项. 【详解】 依题意知函数的定义域为R，且满足， 故为奇函数，所以排除B和D选项； 因为函数的周期为， 又，，，排除C选项； 故选：A. 3．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）作出下列函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）图象如图所示：    函数在和为减函数， 值域为：； （2）图象如图所示：    函数在和为减函数，在和为增函数， 值域为：； （3）图象如图所示：    函数在和为减函数，在和为增函数， 值域为：； 【分析】 （1）将函数转化为，利用反比例函数的性质作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域； （2）将函数转化为 ，利用二次函数的性质作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域； （3）将函数转化为，利用二次函数的性质结合翻折变换作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域； 【详解】 （1），图象如图所示：    函数在和为减函数， 因为，所以，故值域为：； （2） ，图象如图所示：    函数在和为减函数，在和为增函数， 当时，取得最小值，故值域：； （3），图象如图所示：    函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：； 考点03 函数的基本性质 1．（2026·广东深圳宝安中学·联考）定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（       ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】D 【详解】根据奇偶性和周期性转化为即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求值，关键在于将自变量的取值转化到已知区间求值. 2．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知函数，满足，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】 函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 当时，因为，均在上单调递增， 所以在上单调递增，又为连续函数， 所以在上单调递增， 不等式，即，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）已知函数 ．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先由平移规律求出，再分析的单调性和值域，结合的性质转化不等式求解. 【详解】 将向下平移1个单位，再向右平移1个单位可得，即. 当时，单调递增，值域为； 当时，单调递增，值域为. 由于，故，若要满足， 解，得；满足， 解，因式分解得，解得或. 取交集得的取值范围为. 4．（2026·广东深圳理工附·质量监测）（多选）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 由偶函数的定义判断奇偶性，由给定的区间，去掉绝对值，化简选项中的函数式，在由正弦函数的单调性判断区间是否符合函数的单调递增区间，即可得到答案. 【详解】 对于A：，为偶函数， 当时，，， 的单调递减区间为， 的递增区间为， 而， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B：，为偶函数， 当时，，， 的单调递增区间为， 的单调递减区间为， 而， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C：，为偶函数， 当时，， 的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 而， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D：， 所以为非奇非偶函数，故D错误. 故选：AC. 5．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知函数，则的解集为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 是上的奇函数且在上递减，即可将原不等式等价转化为，求解即可. 【详解】 由于的定义域为，且，故是奇函数， 又因为均为在上的减函数， 则在上单调递减. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：B. 6．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 当时，函数为奇函数，且在单调递增 B. 当时，函数为偶函数，且在单调递减 C. 当时，函数为奇函数，且在单调递增 D. 当时，函数为偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合导数确定在上的单调性逐项判断. 【详解】 函数的定义域为R， 对于CD，当时，，， ，函数是奇函数，不是偶函数， 又，函数在上单调递增，C正确，D错误； 对于AB，当时，，，， 函数是偶函数，不是奇函数，在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增，AB错误. 故选：C 7．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】A 【分析】 依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得. 【详解】 因为定义域为的函数满足，则为奇函数， 又，所以， 所以，则是周期为的周期函数， 又因为，即， 又当时，，所以，解得， 所以， 所以. 故选：A 8．（高三上·广东梅县东山中学·期中）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质判断即可. 【详解】由指数函数性质知，函数为非奇非偶，A不正确，由反比例函数知在上为减函数， B不正确，由对数函数性质知为偶函数，C不正确，由正弦函数性质知为奇函数，且在上单调递增，D正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了常见基本初等函数的单调性及奇偶性，属于中档题. 9．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知定义在上的函数满足，且对，当时都有，若，恒成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意可得在上单调递增，则可将原不等式化为，再参变量分离后构造函数并结合导数研究其单调性后计算即可得. 【详解】 因为函数满足，所以， 因为对，当时都有， 所以在上单调递增， 所以等价于， 即，， 即，，即， 令，则， 则当时，，仅当时取等号，即在上单调递增， 故，即， 则实数的取值范围为. 故选：A. 10．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 定义域为的函数，且，则 B. 函数的最小值为1 C. 定义域为的函数满足，当时，，则 D. 定义域为的函数，，则 【答案】ABD 【分析】 借助代入计算可得A；借助同角三角函数基本关系与基本不等式计算可得B；借助赋值法计算可得C、D. 【详解】 A：由，则，则，即， 有， 即，则对于任意恒成立，故， 故，故A正确； B：， 当且仅当时等号成立，故B正确； C：，故C错误. D：令，则，则，故D正确. 故选：ABD. 11．（2026·广东中山·三模）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系. 【详解】 因为，定义域关于原点对称， ， 所以为上的偶函数， 当时,，设， 则，，， 所以即在上单调递减,所以, 所以在上单调递减,又因为为偶函数, 所以在上单调递增， 又因为,, 又因为, 因为,，所以, 所以，即, 所以, 所以, 即. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩. 12．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，当时，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 在上为减函数 C. 为奇函数 D. 方程有且仅有6个实数解 【答案】ACD 【分析】 根据已知得到、，进而有，再利用对称性、周期性判断A、B、C，结合区间解析式及对称性和周期性化为函数与的大致图象，数形结合确定零点个数判断D. 【详解】 由，则函数为奇函数， 即函数的图象关于点成中心对称，得， 由，则函数为偶函数， 即函数的图象关于直线成轴对称，得， 两式相加可得，则，即， A，，故A正确； B，由周期性知，函数在区间与上图象相同， 由函数的图象关于点 成中心对称， 则函数在区间与上的单调性相同，， 当时，， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误； C，由，则函数为奇函数，故C正确； D，由题意，作图如下： 则函数与有且仅有个交点， 所以有且仅有6个实数解，故D正确. 故选：ACD 13．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）设函数． （1）判断函数奇偶性并证明； （2）用单调性定义证明：函数在上单调递增． 【答案】（1）为奇函数，证明如下.     （2）证明如下.      【分析】 (1)用奇函数的性质证明即可. (2)用定义证明单调性即可. (1) 小问详解： 为奇函数； 证明：由题意知的定义域关于原点对称， 且，故得证； (2) 小问详解： 证明：设任意的， 则因为， 所以， 故函数在上单调递增 14．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1），     （2） 函数在上为减函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，，，， 所以， 即，所以函数在上为减函数．     （3）      【分析】 （1）根据函数的奇偶性和单调性列方程来求得，从而求得的解析式. （2）根据单调性的定义，计算来判断的单调性. （3）利用函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 所以，而，所以，解得， 所以，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为是奇函数， 所以不等式可化为， 因为函数在上为减函数，所以 ． 解得，所以不等式的解集为． 15．（2026·广东中山·三模）已知函数. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）当时，求的值. 【答案】（1） 易知，， 则为奇函数， 所以的图象关于原点中心对称，证毕；     （2）.      【分析】 （1）利用函数的奇偶性证明即可； （2）利用函数的对称性结合倒序相加法计算即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由上的图象关于原点中心对称，知的图象关于中心对称， 所以， 即， ， 两式相加得 ， 所以. 16．（2026·广东中山·三模）若函数是周期为2的奇函数，当时，，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据周期性和奇偶性的定义结合对数的运算化简求解即可. 【详解】 因为函数是周期为2的奇函数， 所以， 因为， 所以，. 故答案为：. 17．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）已知是偶函数，则的取值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意得，代入解出即可. 【详解】 由题意有，即， 所以，所以， 解得，解得， 故答案为：. 18．（高三上·广东梅县东山中学·期中）若函数的图象存在对称轴，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 设的对称轴为，则，从而得到方程，求出 ，故，令，换元并配方得到当时，取得最小值，最小值为. 【详解】 设的对称轴为，则， 即， 化简得， ， ， 故需满足 ，解得 ， 故， 令，故， 则， 故当时，即时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 考点04 指、对、幂函数 1．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）（多选）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 根据对数运算计算并判断A，C，D，应用指数运算计算并判断B. 【详解】 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项正确； 对于D：，D选项正确； 故选：ACD. 2．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）下列计算错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据分数指数幂，根式的运算公式即可判断AB，根据对数运算公式即可判断CD. 【详解】 由，故A正确，,故B正确； ，故C正确，，故D错误. 故选：D. 3．（高三上·广东梅县东山中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据已知的等式构造不等式，分析函数在上的单调性，得到与的大小关系，再根据对数的性质判断，可得结果. 【详解】 因为. 设（），因为，在都是增函数，所以在上单调递增. 所以，所以，故A错，C正确； 又因为，所以，所以或无意义，故B、D均不正确. 故选：C 4．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A. 是奇数且 B. 是偶数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是偶数，是奇数，且 【答案】D 【分析】 根据给定的图象，结合幂函数的图象性质判断得解. 【详解】 观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 5．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）设，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小. 【详解】 因为单调递减，所以， 因为单调递减，所以， 则的大小关系为. 故选：A. 6．（高三上·广东梅县东山中学·期中），则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用指数函数与对数函数的图像与性质即可求解. 【详解】 由于，，，所以； 故选：B 7．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据对数运算法则，指对互换即可得到结论. 【详解】 , 所以，所以 故选：A 8．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（     ） A. 函数为奇函数 B.  C. 函数的值域为 D. 当时， 【答案】AD 【分析】 先求出，再根据幂函数图象性质解决即可. 【详解】 设幂函数为 将代入解析式得，故，所以， 定义域为， 因为，故函数为奇函数，故A正确； 函数，故B错误； 显然的值域为，故C错误； 当时，， 即满足，故D正确 故选：AD 9．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）已知正实数 满足 则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将题设条件等价变形为进行放缩移项得到构造函数，利用其单调性即可得到. 【详解】 由可得 因，则有即（*） 设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键在于发现条件中指对数的结构特征，通过凑项、放缩，使之出现相同的数学结构，进行构造函数，利用函数的单调性得到大小关系. 10．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）若，则　　　　　　　　 【答案】 【分析】 先求出，再利用对数的运算公式化简求值. 【详解】 ， 从而， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查对数的运算和换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　　　　　　 【答案】 【分析】 由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】 因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 12．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有交点，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据幂函数的定义得到方程求出的值，再代入检验即可. 【详解】 因为为幂函数，所以，解得或， 当时与轴、轴均有交点，故不符合题意； 当时，定义域为，与轴没有交点， 又恒成立，所以恒成立，所以与轴没有交点，符合题意. 所以. 故答案为： 13．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，利用对数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】 因为，，可得，， 所以. 故答案为： 14．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知函数且的图像经过两个定点，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，求出定点的坐标，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】 由，得，解得或， 当时，，所以过定点； 当时，，所以过定点； 所以. 故答案为： 考点05 函数与方程 1．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知函数 .若有2个零点，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，转化为函数与函数的图象有2个交点，作出图象即可求解. 【详解】 令可得， 作出函数与函数的图象如下图所示： 当时，函数与函数的图象有2个交点， 此时，函数有2个零点. 因此，实数的取值范围是. 故选：C 2．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 已知可将方程转化为，结合的定义可得，即，解不等式，再分别判断个区间内解的情况. 【详解】 ，即， 因为，所以可得，解得， 当时，满足题意； 当时，即，解得，满足题意； 当时，即，解得，满足题意，所有实数根之和为， 故选：A. 3．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）已知函数 ，若函数有3个零点，则实数的取值范围 A. (0, ) B.  C.  D. （0,1） 【答案】D 【分析】 函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数的取值范围． 【详解】 因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知， 实数的取值范围是． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查函数的零点，方程的根以及两函数的图象的交点个数之间的关系应用，意在考查数形结合和转化思想的应用，属于中档题． 4．（2026·广东深圳理工附·质量监测）已知函数有两个零点，则a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求导，通过，讨论导数正负，确定函数单调性，再结合零点存在性定理可求解. 【详解】 函数的定义域为，，， 当时，，单调递减，至多有一个零点，不符题意； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以， 设，易知， 又，则在单调递增， 所以时， 因为时，，时，， 根据零点存在定理，有且仅有两个零点， 所以的取值范围是． 故选：A 5．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）已知函数.若存在，使得，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】由可得出，令，其中，由题意可知，实数的取值范围即为函数在上的值域，求出函数在上的值域即可得解. 【详解】 由，可得，令，其中， 由于存在，使得，则实数的取值范围即为函数在上的值域. 由于函数、在区间上为增函数，所以函数在上为增函数. 当时，，又， 所以，函数在上的值域为. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 6．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，求得的图形过点，得到的图象过点，结合，，联立方程组，求得的值，得出，再根据题意，得到必为函数的一个零点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】 由函数， 则函数的图形过点， 因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点， 可得，且，可得， 又由，且，可得， 联立方程组 ，解得， 所以， 因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点， 则必为函数的一个零点，即， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 7．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知函数 ，当时，函数的值域为　　　　　　.若函数有三个不同零点，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 当时，结合指数函数与二次函数的性质，求得函数的值域，再由有三个不同零点，即有三个实数根，结合对数的运算性质和二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解. 【详解】 当时，函数 ， 当时，可得，可得； 当时，可得，可得， 所以函数的值域为； 因为函数有三个不同零点，即有三个实数根， 当时，由，可得，解得， 若在上存在零点，则满足，解得； 当时，由，可得， 若方程在上两个实数根，设两根分别为， 则满足 解得， 综上可得，若函数有三个不同零点，实数的取值范围为. 故答案为：；. 考点06 函数的新定义 1．（2026·广东中山·三模）若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 即有两个不同实根，令，则在上有两个不同实根，利用二次方程根的分布即可． 【详解】 且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”， ，即有两个不同实根， 令，则在上有两个不同实根， ， 则的取值范围为． 故选：D． 2．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）（多选）若定义在上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于2，则称该函数是上的完美函数.下列判断正确的是（       ） A. 是上的完美函数 B. 若是上的完美函数，则也是上的完美函数 C. 是上的完美函数 D. 存在，使得是上的完美函数 【答案】ACD 【分析】 选项A利用函数奇偶性找出对称中心，再利用基本不等式求最值结合定义即可得出，根据定义分析即可得出选项B，先判断奇偶性，然后利用函数导数判断函数单调性以及复合函数单调性，求出函数最值分析即可得出选项C，利用函数导数分析函数单调性从而求出最值作差得出的条件，然后验证对称性即可得出D选项. 【详解】 对于A，令，则函数的定义域为，关于原点对称， 由，可知该函数为奇函数，对称中心为， 当时，，当且仅当时取到等号， 当时，，当且仅当时取到等号， 当时，，故最大值为，最小值为，两者的差为2，符合题意，故A正确； 对于B，若是上的完美函数，设其对称中心为，则的对称中心为， 因的最值的差为最值的差的2倍，若的最值的差为2，则最值的差为4，不满足定义，故B不正确； 对于C，关于原点对称，令， 由 ，即函数为奇函数，对称中心为， 令，则，当时，显然， 当时，，故在上单调递减， 又在定义域上单调递增，故在上单调递减， 所以， ， 则 因， 所以，满足题意，故C正确； 对于D，因，则， 因为，所以， 当时，，所以在上单调递减， 故， 当时，，所以在上单调递增， 故， 故的最值差为， 又 ，即函数关于点对称， 即存在满足题意，故D正确. 故选：ACD. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $