专题05 三角函数与解三角形（期中真题汇编，广东专用）高三数学上学期

专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）设，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据商数关系和平方关系求解即可. 【详解】 ，所以， 解得或（舍）， 故选：B. 2．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用三角函数同角基本关系式及诱导公式求解. 【详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 3．（2026·广东中山·三模）已知，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】 ，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】 本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 4．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（       ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【分析】 根据题意得到乙和丁的判断只有一个正确，分丁的判断正确和乙的判断正确，结合三角函数的符号和正切的倍角公式，即可求解. 【详解】 由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且， 若丁的判断正确，即，则， 此时丙的判断错误，不符合题意； 若乙的判断正确，即，此时满足，且， 此时甲、丙都正确，符合题意. 故选：D. 5．（2026·广东东莞·联考）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由，应用诱导公式及已知即可求解. 【详解】 由， 所以. 故选：B 6．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用诱导公式化简得，进而得，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】 由题意有：，所以， 所以. 故选：B. 7．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）已知，且，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据同角三角函数关系得出则，再应用诱导公式计算求解. 【详解】 已知，且，则， 则， 则. 故选:C. 8．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）若，且，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】 ，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 9．（2026·广东中山·三模）已知是第一象限角，且，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用诱导公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】 由题意可得，即， 因为是第一象限角，所以，，， 所以，， 所以， 故答案为： 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）若角的终边经过点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用任意角三角函数的定义求出和，再结合二倍角公式求解即可. 【详解】 由题意得角的终边经过点， 结合任意角三角函数的定义得， ， 由二倍角公式得，故A正确. 故选：A 2．（2026·广东深圳理工附·质量监测）若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据两角和的正切公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可求解. 【详解】 由，可得，即，解得， 所以. 故选：A. 3．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】 由，可得， 即，即得， . 故选：B. 4．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用两角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化 【详解】 因为，解得， 所以 . 故选：C 5．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）在中，若，则是（       ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 【答案】C 【分析】 根据和差角公式以及诱导公式可得，即可判断为钝角. 【详解】 由题意，得．即 所以． 又，故为钝角三角形． 故选：C 6．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用二倍角公式及齐次法求解. 【详解】 由，得，解得， 所以. 故选：A 7．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）已知，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 【详解】 由可得 ， 故选：C 8．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知函数. （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）若，求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再代入计算可得； （2）根据正弦函数的性质计算可得； （3）首先求出，从而求出，再由两角差的余弦公式计算可得. (1) 小问详解： 因为 ， 所以； (2) 小问详解： 由（1）可知， 令，, 解得，, 所以函数的单调递减区间为. (3) 小问详解： 又∵，∴， ∵，则， ∴， ∴， 所以 . 9．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知，，，，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由同角三角函数的基本关系，求出，，再由角的变换及两角差的余弦公式得解. 【详解】 因为，，所以， 因为，，所以， 所以由可得， 所以 ， 故答案为： 10．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）已知，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 解法一：根据和差化积即可求解；解法二：用和、差角的正余弦公式结合和差化积公式化简、求值即可． 【详解】 解法一：由已知及和差化积公式： ， ， 得① ， ② ， ①② ，得 ，． 解法二：由，，得 ， ， 由于，故两式相除可得. 故答案为：． 11．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据两角和的正弦公式可得，根据完全平方和公式及同角三角函数的平方关系可得，将所求式子切化弦代入即可求解. 【详解】 ∵，∴， ∴，∴， ∴. 故答案为：. 12．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）计算的值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用降幂公式及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】 故答案为： 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】由五点作图知， ，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质 2．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）（多选）已知函数和，则（       ） A. 和的最小正周期相同 B. 和在区间上的单调性相同 C. 的图象向右平移个单位长度得到的图象 D. 和的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】 根据函数的单调性，对称性，周期性及函数的平移变换分别判断个选项. 【详解】 对于A：和的最小正周期均为，选项A正确； 对于B：当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递增，选项B正确； 对于C：的图象向右平移个单位长度所得函数为，选项C错误； 对于D：，选项D正确. 故选：ABD. 3．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）（多选）已知函数，则（     ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称 【答案】ABC 【分析】 由周期公式可判断A，通过代入可判断B，通过整体代入可判断C，通过平移结合诱导公式可判断D. 【详解】 对于A，由周期公式可得最小正周期为，正确， 对于B，由，则，由正弦函数的单调性可知在区间上单调递增，正确； 对于C，当时，，正确； 对于D，图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到，显然图像关于轴不对称，错误， 故选：ABC 4．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知函数的图象关于直线对称，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据三角恒等变换公式化简，再根据函数的对称性得到，，最后由诱导公式计算可得. 【详解】 因为 ， 因为函数的图象关于直线对称， 所以，， 所以，， 所以，. 故选：D 5．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（       ） A. 该图象对应的函数解析式为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递减 【答案】AB 【分析】 根据图象可知，，，进而求出，结合三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】 由图象可知，，即， 所以，又， 可得，即， 又因为，所以，所以，故A正确； 当时，， 满足正弦函数的对称轴，故B正确、C错误； 当时，则，函数不单调，故D错误. 故选：AB 6．（2026·广东深圳宝安中学·联考）函数的对称中心坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】根据正切函数的对称中心整体代换求解． 【详解】 令）， 解得， 故函数的对称中心为， 故选：C． 7．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）下列函数中，图象关于点对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将给定点的坐标代入各个选项逐一验证即可得解. 【详解】 对于A，当时，，函数图象关于点不对称，A不是； 对于B，当时，，函数图象关于点不对称，B不是； 对于C，当时，，函数图象关于点不对称，C不是； 对于D，当时，无意义，函数图象关于点对称，D是. 故选：D 8．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】 设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 9．（2026·广东深圳理工附·质量监测）若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根辅助角公式和正弦函数最值求解即可. 【详解】 ， 其中,且为锐角， 因为在上单调递增，且， 所以，则的最大值为， 此时． 故选：D. 10．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题设有，再结合求得，最后根据图象平移写出解析式. 【详解】 由是奇函数，则，，又，可得， 当，，则，不合题设； 当，，则，故； 所以， 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故. 故选：A 11．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）（多选）某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为分钟．假设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系为，1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为米，则（       ） A. 当时， B. 当时， C. ， D. 若在这段时间内，恰有三次取得最大值，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 设函数关系的解析式为，根据题意可求得参数，即可得解析式，判断C；将代入，即可判断A，B；求出的表达式，求得其取最大值时，结合题意列出不等式，即可求得范围，判断D. 【详解】 设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（，，）， 则，，所以（）， 依题意，所以， 当时且在0附近为增函数，所以，故（）， 则当时，，A，C正确； 当时，，B错误； 对于D：依题意，， 所以 ， 今，，解得，， 所以当，时取得最大值， 由于在这段时间内，恰有三次取得最大值， 故，解得， 所以．故D正确． 故选：ACD． 12．（2026·广东深圳宝安中学·联考）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】由点到直线的距离表示出，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得，即可求出的最大值. 【详解】由题意，点到直线的距离为， 则， 其中，， 所以当且仅当，时，取得最大值， 即. 故选：C 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题. 13．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）若函数为偶函数，则取得最小值时，（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】 根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. 14．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】设，化简函数为，得到函数在上前三个零点，列出不等式组，即可求解． 【详解】由题意，因为，可得， 设，则函数 则函数在上，前三个零点分别是， 所以 ，解得. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 15．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由正弦函数的单调性结合题意可得. 【详解】 由题意可得， 即， 令，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 16．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先根据函数的图象，可得，，进而可得，.将点代入，结合，即可得.令，则，所以方程在上有两个不相等的实数根等价于函数的图象与直线在上有两个交点.在同一平面直角坐标系下画出函数，的图象与直线，数形结合即可求解. 【详解】 根据函数的部分图象，可得，，∴，∴，∴. 由函数经过点，根据五点法作图可得，∴. 又，∴，. 令，则当时，， 所以方程在上有两个不相等的实数根，即方程在上有两个不相等的实数根，等价于函数的图象与直线在上有两个交点.在同一平面直角坐标系下画出函数，的图象与直线如下图所示： 由图可知：方程在上有两个不相等的实数根时，则实数的取值范围为. 故选：B. 17．（2026·广东中山·三模）（多选）已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（       ） A.  B. 函数在上单调递减 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 【答案】AB 【分析】 根据图象，结合函数的单调性与其导函数正负的关系，先判断两个图象 中哪个是的图象，哪个是的图象，进而列出关于的方程组 求解，再结合特殊点求解参数，由此确定函数和的解析式， 再判断各个选项的正误即可． 【详解】 因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故 ，从而 ． 又，所以，由得， 故，． 选项A：的最小正周期为，故，A正确． 选项B：令，解得， 故函数在上单调递减，B正确． 选项C：由于，， 故的图象不关于点中心对称，故C错误． 选项D：， 其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误． 故选：AB 18．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知函数，且在上有且只有一个零点，则（       ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，结合余弦函数的图象性质求出，进而求出目标值. 【详解】 函数，由，得，而，解得， 则，由，得， 由在上有且只有一个零点，得，解得， 而，因此，，所以. 故选：A 19．（2026·广东深圳宝安中学·联考）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 是的一个最小正周期 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 是图象的一条对称轴 【答案】BC 【分析】 根据函数周期性定义，奇偶性定义，对称性定义，复合函数单调性，结合诱导公式计算，二倍角公式化简，逐个判断各选项的正误. 【详解】 根据诱导公式，可得：，所以是的一个周期. 下面判断是否为最小正周期： . ， 所以是的最小正周期，则不是的一个最小正周期，A选项错误.  函数的定义域为，关于原点对称. 可得： 所以是偶函数，B选项正确.  已知,当时，，根据复合函数单调性，知道在单调递减， 故C选项正确.  由于，当，即为图象的对称轴， 所以不是图象的一条对称轴，D选项错误.  故选：BC. 20．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）（多选）已知将函数的图象向左平移得函数的图象，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小正周期为 B.  C. 的对称轴为 D. 若函数，则在上有6个零点 【答案】ACD 【分析】 借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期性计算可得A；结合平移性质计算可得，即可得B；利用正弦型函数对称轴计算可得C；计算出后，将的图象画出即可得D. 【详解】 ； 对A：依题意，，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：由，令，， 解得，，故的对称轴为，故C正确； 对D： ， 令，则， 在直角坐标系中分别作出的图象如图所示， 观察可知，它们在上有6个交点， 即在上有6个零点，故D正确.    故选：ACD. 21．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，且，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据周期求出，再根据求出，最后根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】 由图可得函数的最小正周期且，所以， 所以，又， 所以，则， 所以， 又，所以， 则. 故答案为： 22．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）结合数量积的坐标运算，利用二倍角公式和辅助角公式得，然后利用周期求得，然后利用正弦函数的对称性求解对称中心； （2）先根据三角函数变换法则求得，令，则，将问题转化为在上只有一个解，画出与的图象，数形结合即可求解. (1) 小问详解： 因为，， 所以 ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令得，，所以函数的对称中心为； (2) 小问详解： 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解，    由的图象可得， 或， 所以的取值范围是. 23．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）若函数在上有最大值，则的最小正周期为　　　　　　　　　　　，的取值范围为　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由最小正周期的计算公式及换元法和正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】 的最小正周期， 令，当时，， 由函数在上有最大值，可转化为在上有最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 故答案为：；. 24．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式并求其单调递减区间； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调减区间     （2）      【分析】 （1）根据三角恒等变换化简，进而结合周期公式求得，进而可得的解析式，再根据三角函数的性质求解单调递减区间； （2）转化问题为恰有3个不相等的实数根，进而结合正弦函数的图象求解即可. (1) 小问详解： 由， 则最小正周期，即. 令， 解得， 则单调减区间. (2) 小问详解： 因为，则， 当时，， 若恰有3个不相等的实数根， 则，解得， 则实数的取值范围为. 25．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）已知函数． （1）求函数的对称中心及对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1）对称中心为，对称轴方程为：；     （2）最大值为，最小值为0．      【分析】 （1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为，利用正弦函数的对称性，求解即可． （2）当时，，可得，即可得出函数的最值． (1) 小问详解： ， 令，解得， 对称轴方程为：． 令，解得， 函数的对称中心为． (2) 小问详解： 当时，， 由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为， 函数的最大值为，最小值为0． 26．（高三上·广东汕头金山中学·期中）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为　　　　　　　　　. 【答案】5 【分析】 先根据是的零点，是图象的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到合适的最大值即可． 【详解】 由题意可得， 即，解得， 又因为在上单调， 所以，即 因为要求的最大值，令，因为是的对称轴， 所以，又，解得， 所以此时， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 即函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 故在不单调，不符合题意舍去； 令，因为是的对称轴， 所以，又，解得， 所以此时， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故在不单调，不符合题意舍去； 同理，令，， 令，解得， 在上单调递减，因为， 所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5． 故答案为：5. 27．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）已知向量，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）（）；     （2）.      【分析】 （1）先根据向量的数量积结合二倍角公式和辅助角公式，化简函数，得，再根据正弦函数的单调性，即可求解； （2）由（1）得，代入已知条件得，再利用正弦的两角差公式进行凑角求解即可. (1) 小问详解： 因为向量，， 所以函数 ， 令（）， 解不等式得（）， 所以函数的单调递增区间为（）. (2) 小问详解： 由（1）得，， 又，即， 又，所以， 又，所以，所以， 所以 ， 所以的值为. 28．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且. （1）求； （2）求的单调增区间，并说明在上的单调性； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）     （2） 单调增区间为； 当时，单调递增，当时，单调递减     （3） 【分析】 （1）解方程，结合求解； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）说明是等差数列，根据求和公式求解. (1) 小问详解： 由，得， 所以或， 解得或， 因为且， 所以时，或，解得或 当时，， 此时，而，不合题意， 所以. (2) 小问详解： 由（1）， 由，得， 因为，所以单调增区间为， 因为，所以， 当，即时单调递增， 当，即时，单调递减； (3) 小问详解： 当时，由或， 得或，又， 所以的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列， 偶数项构成以为首项，公差为的等差数列. 所以当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 所以 29．（2026·广东中山·三模）已知函数，其中. （1）若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围； （2）当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先化简得到，由在上恰有2个极值点，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解； （2）由，得到，求得，且，再由正弦定理，求得，结合和三角函数的性质，即可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 解：由， 因为，可得 又因为在上恰有2个极值点，则满足， 解得，所以的取值范围为. (2) 小问详解： 解：当时，可得 由，可得，即， 因为，可得，所以， 解得，所以， 又由正弦定理，可得， 所以， 又因为，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先在中应用余弦定理求出，再根据同角关系求出，然后在中应用正弦定理即可求出的值. 【详解】 在中，由余弦定理得：， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得：，即，解得. 故选：D 2．（高三上·广东梅县东山中学·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（       ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】 根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可判断A的正误，根据正弦定理边角转化后可判断B的正误，根据诱导公式可判断C的正误，根据三角形解的个数可得，计算后可判断D的正误. 【详解】 对于A，因为，由正弦定理可得， 故，因为， 故或，故或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，设为外接圆的半径， 因为，故，故即，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，故， 故，故即，故C正确； 对于D，因为满足条件的有两个， 所以即，故D正确. 故选：BCD. 3．（高三上·广东汕头金山中学·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为（       ）. A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【分析】 根据题意，求得，得到，由结合余弦定理，求得，进而得到且，即可求解. 【详解】 由，可得，解得， 因为，所以， 又. 由余弦定理得，所以， 因为，所以，解得，则，可得， 所以，所以为等边三角形. 故选：C. 4．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 先由得，对于A，由角即可判断得解；对于B，分析得出矛盾进而得，结合诱导公式即可得解；对于C，由和结合二倍角公式和诱导公式求出角A、B、C即可得解；对于D，结合选项C利用正弦定理即可得解. 【详解】 因为，所以， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，若角，则由及得及，不符合， 故角，则由及得， 所以即，故B正确； 对于C，由上， 所以由得，整理得， 解得或，由得，故， 所以，，故，故C正确； 对于D，因为即，所以由正弦定理，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：对于选项C，可知是探究角A与角C的关系，所以应将已知条件代入等量关系中再切化弦，接着结合二倍角公式和诱导公式进行运算和转化求出角A，进而可依据已知条件求出角B、C即可得解. 5．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出三角形是直角三角形，利用基本不等式求得周长的最小值. 【详解】 依题意，， 由得， 即， ， 由于是锐角，所以， 与一正一负，或， 若 ，即 ， 由于， 所以，所以 ， ，此不等式组无解，所以 不成立. 同理可得 不成立. 所以， 所以 ，所以，. 所以， 所以三角形的周长， 当且仅当时等号成立，所以三角形的周长的最小值为. 故选：A 【点睛】 本题涉及几何中的面积和周长问题，结合了三角函数和基本不等式，考查了学生的综合解题能力．解题过程中，利用基本不等式求周长的最小值，这是本题的关键点之一．基本不等式的应用不仅要找到正确的表达式，还需要验证等号成立的条件，以确保最小值能够实际取到． 6．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用余弦定理求出. （2）利用正弦定理角化边，再利用已知求出三角形面积. (1) 小问详解： 在中，由及余弦定理得，而， 所以. (2) 小问详解： 由，得，而，且， 则，解得， 所以的面积. 7．（2026·广东深圳理工附·质量监测）在中，内角的对边分别是，且. （1）求的值； （2）若的周长为18，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解; （2）由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解. (1) 小问详解： 因为，，所以 因为，所以， 则. (2) 小问详解： 因为，所以. 因为，所以，解得. 因为的周长为18，所以，解得， 则. 故的面积为. 8．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设，求边上的高. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理得，结合同角三角函数平方关系即可求解； （2）先求，由正弦定理得，进而得，再由平方关系求，利用两角和的正弦公式求，进而求解. (1) 小问详解： 由和正弦定理，可得， 因为，所以， 两边取平方，可得， 解得，因，则得； (2) 小问详解： 由（1）可得. 由和正弦定理，可得，， 又，故为锐角，则. 所以. 因，则. 边上的高为. 9．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简，即可得解； （2）利用余弦定理求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以， 即，化简得， 又，所以， 又，所以； (2) 小问详解： 由余弦定理得， 又，由（1）可得， 所以，又，所以． 10．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）已知，为边上一点，且，，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理，由将边转化为角，再利用三角恒等变换求解； （2）先求得，然后在中，利用余弦定理求得. (1) 小问详解： 由正弦定理，且， 得， ， ，则，因为，所以， 又，所以； (2) 小问详解： 如图所示：    因为，所以，设， 则， ， 在中，由余弦定理得，解得， 故. 11．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）在锐角中，内角所对的边分别为，，，已知． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理进行变化角，再结合三角恒等变换可得，进而可求结果； （2）根据锐角三角形可得，根据三角恒等变换可得，分类讨论，结合正切函数分析运算. (1) 小问详解： 因为，由正弦定理可得， 则， 整理得， 注意到，则，可得，即， 所以. (2) 小问详解： 因为，则， 且为锐角三角形，则 ，解得， 又因为 ， 当时，则，则， 所以； 当时，则，则， 所以； 当时，则，则 所以； 综上所述：的取值范围. 12．（2026·广东东莞·联考）已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. (1) 小问详解： 因为， 所以， ， ， ， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以，所以有，所以. (2) 小问详解： 因为，且的面积为， 所以有 ， 所以，即，所以周长为. 13．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）如图，在中，是边上的一点，，. （1）证明：； （2）若为的中点，，，，求三角形的面积. 【答案】（1）证明：依题意，.     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用等高的两个三角形面积等于底边的比，结合三角形面积公式推理得证. （2）由（1）的结论求出及已知可得，再利用三角形面积公式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，得，为锐角， 由（1）及为的中点，得，而，， 则，解得，因此，， 所以的面积. 14．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知为锐角三角形，，且. （1）求； （2）求； （3）若的面积为7，求外接圆的周长. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据同角三角函数基本关系求得，利用三角形的性质得，由及两角和差的正弦公式求解即可； （2）根据及求得，利用建立方程求得或，由角为锐角，即可得解； （3）先根据两角和的正弦公式求得，然后由正弦定理求得，利用三角形面积求得，解方程组得，最后利用正弦定理求得外接圆的半径，即可得解. (1) 小问详解： 因为，所以， 又，所以， 即，解得（负数舍去），所以， 所以，又， 所以， 联立得，； (2) 小问详解： 由（1）可得，又， 所以，即， 所以， 所以， 解得或， 因为角为锐角，所以，则； (3) 小问详解： 由（1）（2）知， ， 由正弦定理得，所以，即，① 因为的面积为，所以，② 由① ② 得，设外接圆的半径为， 则由正弦定理得， 所以外接圆的周长为. 15．（2026·广东深圳宝安中学·联考）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． （1）证明：； （2）若，边上的高为，求． 【答案】（1） 因为，所以， 在中，，所以． 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以，即， 所以．     （2）      【分析】 （1）利用三角形的面积公式结合二倍角的正弦定理可得出，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出所证结论成立； （2）解法1：利用两角和的正切公式可求出的值，过作，过作，、分别为垂足，设，在中，应用勾股定理求出的值，然后在，利用勾股定理可求出的值； 解法2：利用同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式求出的值，然后利用正弦定理可求出的值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，所以，由（1）知． 法1：因为， 所以为锐角三角形． 过作，过作，、分别为垂足， 由，设， 因为，所以，， 所以在中，，，，所以，解得， 所以在中，，即．    法2：因为，又因为，解得，． 因为，所以，所以，． 由，得，解得． 由正弦定理，得，解得． 16．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）在锐角中，内角的对边分别是，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助余弦定理的推论计算即可得； （2）借助正弦定理可将边化为角，再结合锐角三角形性质计算即可得. (1) 小问详解： 因为，则， 则， 因为，所以； (2) 小问详解： 因为，所以，则， 由正弦定理，得， 所以， 因为为锐角三角形， 所以 ，解得， 所以，所以， 所以，即的取值范围为. 17．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解； （2）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解. (1) 小问详解： ，则由正弦定理得， 即， ，， 又，，，； (2) 小问详解： 在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 又因为，所以， 所以三角形周长为 ， 因为，即，所以， ，， 所以. 18．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）在中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． (1) 小问详解： 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； (2) 小问详解： 因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 19．（高三上·广东梅县东山中学·期中）在中，角的对边分别为，且满足． （1）求； （2）已知，且为锐角三角形，为其外心． ①若点到边的距离，求； ②设为垂心，为内心，且不是等边三角形，求比值的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；②.      【分析】 （1）利用正弦定理将等式化简，然后根据角的范围求出即可. （2）① 根据正弦定理求出三角形外接圆半径，然后根据外心到边长的距离与三角形内角的关系，可求出，最后根据和差倍角的正切公式即可求出；② 根据向量的加减求出，进而求出比值的范围. (1) 小问详解： 因为，所以根据正弦定理得. 因为， 所以，因为， 所以，又，故． (2) 小问详解： ① 外心到边的距离为，其中为外接圆半径．由已知得． 由正弦定理得，将代入得． 所以， 从而，所以． 因此． ② 由为锐角三角形得． 设，不妨取，对应等边三角形，应排除． 由及， 计算得． 所以，结合， 因此． 20．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则　　　　　　　　　　；的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 先由条件和余弦定理即可得角C，再由正弦定理和辅助角公式可得所求式子的最大值. 【详解】 由，又， 所以，，且. 所以是钝角，且. 再由，得，，且. 所以 （其中） 所以，当且仅当，时，，取得最大值. 故答案为：；. 21．（2026·广东中山·三模）在中，内角的对边分别为，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求边上的高． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正余弦定理边角互化，即可代入求解， （2）根据同角关系可得，即可利用等面积法即可求解. (1) 小问详解： ∵， 由正余弦边角关系得，① ， 又，②                  由① ② 得，， ∴，∴ (2) 小问详解： 由（1）得，， ∵为锐角，∴， ∴的面积， ∴，设边上的高为， 则的面积， ∴，即边上的高为． 22．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）在中，角满足. （1）求； （2）若的角平分线交线段于点，求的面积. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用同角公式求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理及三角形面积公式求解即可. (1) 小问详解： 在中，由，得， 则，而，解得， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得， ，， 在中，由正弦定理得， 所以的面积为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）设，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·广东中山·三模）已知，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（       ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5．（2026·广东东莞·联考）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）已知，且，则（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）若，且，则的值为　　　　　　　　　． 9．（2026·广东中山·三模）已知是第一象限角，且，则　　　　　　　　　　. 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）若角的终边经过点，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·广东深圳理工附·质量监测）若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）在中，若，则是（       ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 6．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知，则（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）已知，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 8．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知函数. （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）若，求的值. 9．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知，，，，则的值为　　　　　　． 10．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）已知，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）计算的值为　　　　　　　　　　. 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A.  B.  C.  D.  2．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）（多选）已知函数和，则（       ） A. 和的最小正周期相同 B. 和在区间上的单调性相同 C. 的图象向右平移个单位长度得到的图象 D. 和的图象关于直线对称 3．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）（多选）已知函数，则（     ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称 4．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知函数的图象关于直线对称，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（       ） A. 该图象对应的函数解析式为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递减 6．（2026·广东深圳宝安中学·联考）函数的对称中心坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）下列函数中，图象关于点对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·广东深圳理工附·质量监测）若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）（多选）某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为分钟．假设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系为，1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为米，则（       ） A. 当时， B. 当时， C. ， D. 若在这段时间内，恰有三次取得最大值，则的取值范围为 12．（2026·广东深圳宝安中学·联考）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）若函数为偶函数，则取得最小值时，（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（2026·广东中山·三模）（多选）已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（       ） A.  B. 函数在上单调递减 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 18．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知函数，且在上有且只有一个零点，则（       ） A. 0 B.  C.  D.  19．（2026·广东深圳宝安中学·联考）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 是的一个最小正周期 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 是图象的一条对称轴 20．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）（多选）已知将函数的图象向左平移得函数的图象，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小正周期为 B.  C. 的对称轴为 D. 若函数，则在上有6个零点 21．（高三上·广东梅县东山中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，且，则　　　　　　　　　　. 22．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 23．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）若函数在上有最大值，则的最小正周期为　　　　　　　　　　　，的取值范围为　　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式并求其单调递减区间； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 25．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）已知函数． （1）求函数的对称中心及对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 26．（高三上·广东汕头金山中学·期中）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为　　　　　　　　　. 27．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）已知向量，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值. 28．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且. （1）求； （2）求的单调增区间，并说明在上的单调性； （3）求数列的前项和. 29．（2026·广东中山·三模）已知函数，其中. （1）若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围； （2）当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围. 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（高三上·广东梅县东山中学·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（       ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为 3．（高三上·广东汕头金山中学·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为（       ）. A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 4．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 7．（2026·广东深圳理工附·质量监测）在中，内角的对边分别是，且. （1）求的值； （2）若的周长为18，求的面积. 8．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设，求边上的高. 9．（25-26学年高三上·广东河源龙川县第一中学·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若，，求c． 10．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）已知，为边上一点，且，，求. 11．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）在锐角中，内角所对的边分别为，，，已知． （1）求； （2）求的取值范围． 12．（2026·广东东莞·联考）已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 13．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）如图，在中，是边上的一点，，. （1）证明：； （2）若为的中点，，，，求三角形的面积. 14．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知为锐角三角形，，且. （1）求； （2）求； （3）若的面积为7，求外接圆的周长. 15．（2026·广东深圳宝安中学·联考）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． （1）证明：； （2）若，边上的高为，求． 16．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）在锐角中，内角的对边分别是，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 17．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 18．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）在中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 19．（高三上·广东梅县东山中学·期中）在中，角的对边分别为，且满足． （1）求； （2）已知，且为锐角三角形，为其外心． ①若点到边的距离，求； ②设为垂心，为内心，且不是等边三角形，求比值的取值范围． 20．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则　　　　　　　　　　；的最大值为　　　　　　　　　　. 21．（2026·广东中山·三模）在中，内角的对边分别为，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求边上的高． 22．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）在中，角满足. （1）求； （2）若的角平分线交线段于点，求的面积. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．B 2．A 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．【答案】 【分析】 首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】 ，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 9．【答案】 【分析】 利用诱导公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】 由题意可得，即， 因为是第一象限角，所以，，， 所以，， 所以， 故答案为： 考点02 三角恒等变换 1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．C 8．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再代入计算可得； （2）根据正弦函数的性质计算可得； （3）首先求出，从而求出，再由两角差的余弦公式计算可得. (1) 小问详解： 因为 ， 所以； (2) 小问详解： 由（1）可知， 令，, 解得，, 所以函数的单调递减区间为. (3) 小问详解： 又∵，∴， ∵，则， ∴， ∴， 所以 . 9．【答案】 【分析】 由同角三角函数的基本关系，求出，，再由角的变换及两角差的余弦公式得解. 【详解】 因为，，所以， 因为，，所以， 所以由可得， 所以 ， 故答案为： 10．【答案】 【分析】 解法一：根据和差化积即可求解；解法二：用和、差角的正余弦公式结合和差化积公式化简、求值即可． 【详解】 解法一：由已知及和差化积公式： ， ， 得① ， ② ， ①② ，得 ，． 解法二：由，，得 ， ， 由于，故两式相除可得. 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 根据两角和的正弦公式可得，根据完全平方和公式及同角三角函数的平方关系可得，将所求式子切化弦代入即可求解. 【详解】 ∵，∴， ∴，∴， ∴. 故答案为：. 12．【答案】 【分析】 利用降幂公式及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】 故答案为： 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．D 2．ABD 3．ABC 4．D 5．AB 6．C 7．D 8．B 9．D 10．A 11．ACD 12．C 13．C 14．C 15．B 16．B 17．AB 18．A 19．BC 20．ACD 21．【答案】 【分析】 根据周期求出，再根据求出，最后根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】 由图可得函数的最小正周期且，所以， 所以，又， 所以，则， 所以， 又，所以， 则. 故答案为： 22．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）结合数量积的坐标运算，利用二倍角公式和辅助角公式得，然后利用周期求得，然后利用正弦函数的对称性求解对称中心； （2）先根据三角函数变换法则求得，令，则，将问题转化为在上只有一个解，画出与的图象，数形结合即可求解. (1) 小问详解： 因为，， 所以 ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令得，，所以函数的对称中心为； (2) 小问详解： 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解，    由的图象可得， 或， 所以的取值范围是. 23．【答案】①     ② 【分析】 由最小正周期的计算公式及换元法和正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】 的最小正周期， 令，当时，， 由函数在上有最大值，可转化为在上有最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 故答案为：；. 24．【答案】（1）单调减区间     （2）      【分析】 （1）根据三角恒等变换化简，进而结合周期公式求得，进而可得的解析式，再根据三角函数的性质求解单调递减区间； （2）转化问题为恰有3个不相等的实数根，进而结合正弦函数的图象求解即可. (1) 小问详解： 由， 则最小正周期，即. 令， 解得， 则单调减区间. (2) 小问详解： 因为，则， 当时，， 若恰有3个不相等的实数根， 则，解得， 则实数的取值范围为. 25．【答案】（1）对称中心为，对称轴方程为：；     （2）最大值为，最小值为0．      【分析】 （1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为，利用正弦函数的对称性，求解即可． （2）当时，，可得，即可得出函数的最值． (1) 小问详解： ， 令，解得， 对称轴方程为：． 令，解得， 函数的对称中心为． (2) 小问详解： 当时，， 由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为， 函数的最大值为，最小值为0． 26．【答案】5 【分析】 先根据是的零点，是图象的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到合适的最大值即可． 【详解】 由题意可得， 即，解得， 又因为在上单调， 所以，即 因为要求的最大值，令，因为是的对称轴， 所以，又，解得， 所以此时， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 即函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 故在不单调，不符合题意舍去； 令，因为是的对称轴， 所以，又，解得， 所以此时， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故在不单调，不符合题意舍去； 同理，令，， 令，解得， 在上单调递减，因为， 所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5． 故答案为：5. 27．【答案】（1）（）；     （2）.      【分析】 （1）先根据向量的数量积结合二倍角公式和辅助角公式，化简函数，得，再根据正弦函数的单调性，即可求解； （2）由（1）得，代入已知条件得，再利用正弦的两角差公式进行凑角求解即可. (1) 小问详解： 因为向量，， 所以函数 ， 令（）， 解不等式得（）， 所以函数的单调递增区间为（）. (2) 小问详解： 由（1）得，， 又，即， 又，所以， 又，所以，所以， 所以 ， 所以的值为. 28．【答案】（1）     （2） 单调增区间为； 当时，单调递增，当时，单调递减     （3） 【分析】 （1）解方程，结合求解； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）说明是等差数列，根据求和公式求解. (1) 小问详解： 由，得， 所以或， 解得或， 因为且， 所以时，或，解得或 当时，， 此时，而，不合题意， 所以. (2) 小问详解： 由（1）， 由，得， 因为，所以单调增区间为， 因为，所以， 当，即时单调递增， 当，即时，单调递减； (3) 小问详解： 当时，由或， 得或，又， 所以的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列， 偶数项构成以为首项，公差为的等差数列. 所以当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 所以 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先化简得到，由在上恰有2个极值点，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解； （2）由，得到，求得，且，再由正弦定理，求得，结合和三角函数的性质，即可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 解：由， 因为，可得 又因为在上恰有2个极值点，则满足， 解得，所以的取值范围为. (2) 小问详解： 解：当时，可得 由，可得，即， 因为，可得，所以， 解得，所以， 又由正弦定理，可得， 所以， 又因为，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 考点04 解三角形 1．D 2．BCD 3．C 4．BCD 5．A 6．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用余弦定理求出. （2）利用正弦定理角化边，再利用已知求出三角形面积. (1) 小问详解： 在中，由及余弦定理得，而， 所以. (2) 小问详解： 由，得，而，且， 则，解得， 所以的面积. 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解; （2）由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解. (1) 小问详解： 因为，，所以 因为，所以， 则. (2) 小问详解： 因为，所以. 因为，所以，解得. 因为的周长为18，所以，解得， 则. 故的面积为. 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理得，结合同角三角函数平方关系即可求解； （2）先求，由正弦定理得，进而得，再由平方关系求，利用两角和的正弦公式求，进而求解. (1) 小问详解： 由和正弦定理，可得， 因为，所以， 两边取平方，可得， 解得，因，则得； (2) 小问详解： 由（1）可得. 由和正弦定理，可得，， 又，故为锐角，则. 所以. 因，则. 边上的高为. 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简，即可得解； （2）利用余弦定理求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以， 即，化简得， 又，所以， 又，所以； (2) 小问详解： 由余弦定理得， 又，由（1）可得， 所以，又，所以． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理，由将边转化为角，再利用三角恒等变换求解； （2）先求得，然后在中，利用余弦定理求得. (1) 小问详解： 由正弦定理，且， 得， ， ，则，因为，所以， 又，所以； (2) 小问详解： 如图所示：    因为，所以，设， 则， ， 在中，由余弦定理得，解得， 故. 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理进行变化角，再结合三角恒等变换可得，进而可求结果； （2）根据锐角三角形可得，根据三角恒等变换可得，分类讨论，结合正切函数分析运算. (1) 小问详解： 因为，由正弦定理可得， 则， 整理得， 注意到，则，可得，即， 所以. (2) 小问详解： 因为，则， 且为锐角三角形，则 ，解得， 又因为 ， 当时，则，则， 所以； 当时，则，则， 所以； 当时，则，则 所以； 综上所述：的取值范围. 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. (1) 小问详解： 因为， 所以， ， ， ， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以，所以有，所以. (2) 小问详解： 因为，且的面积为， 所以有 ， 所以，即，所以周长为. 13．【答案】（1）证明：依题意，.     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用等高的两个三角形面积等于底边的比，结合三角形面积公式推理得证. （2）由（1）的结论求出及已知可得，再利用三角形面积公式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，得，为锐角， 由（1）及为的中点，得，而，， 则，解得，因此，， 所以的面积. 14．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据同角三角函数基本关系求得，利用三角形的性质得，由及两角和差的正弦公式求解即可； （2）根据及求得，利用建立方程求得或，由角为锐角，即可得解； （3）先根据两角和的正弦公式求得，然后由正弦定理求得，利用三角形面积求得，解方程组得，最后利用正弦定理求得外接圆的半径，即可得解. (1) 小问详解： 因为，所以， 又，所以， 即，解得（负数舍去），所以， 所以，又， 所以， 联立得，； (2) 小问详解： 由（1）可得，又， 所以，即， 所以， 所以， 解得或， 因为角为锐角，所以，则； (3) 小问详解： 由（1）（2）知， ， 由正弦定理得，所以，即，① 因为的面积为，所以，② 由① ② 得，设外接圆的半径为， 则由正弦定理得， 所以外接圆的周长为. 15．【答案】（1） 因为，所以， 在中，，所以． 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以，即， 所以．     （2）      【分析】 （1）利用三角形的面积公式结合二倍角的正弦定理可得出，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出所证结论成立； （2）解法1：利用两角和的正切公式可求出的值，过作，过作，、分别为垂足，设，在中，应用勾股定理求出的值，然后在，利用勾股定理可求出的值； 解法2：利用同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式求出的值，然后利用正弦定理可求出的值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，所以，由（1）知． 法1：因为， 所以为锐角三角形． 过作，过作，、分别为垂足， 由，设， 因为，所以，， 所以在中，，，，所以，解得， 所以在中，，即．    法2：因为，又因为，解得，． 因为，所以，所以，． 由，得，解得． 由正弦定理，得，解得． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助余弦定理的推论计算即可得； （2）借助正弦定理可将边化为角，再结合锐角三角形性质计算即可得. (1) 小问详解： 因为，则， 则， 因为，所以； (2) 小问详解： 因为，所以，则， 由正弦定理，得， 所以， 因为为锐角三角形， 所以 ，解得， 所以，所以， 所以，即的取值范围为. 17．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解； （2）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解. (1) 小问详解： ，则由正弦定理得， 即， ，， 又，，，； (2) 小问详解： 在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 又因为，所以， 所以三角形周长为 ， 因为，即，所以， ，， 所以. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． (1) 小问详解： 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； (2) 小问详解： 因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 19．【答案】（1）     （2）①；②.      【分析】 （1）利用正弦定理将等式化简，然后根据角的范围求出即可. （2）① 根据正弦定理求出三角形外接圆半径，然后根据外心到边长的距离与三角形内角的关系，可求出，最后根据和差倍角的正切公式即可求出；② 根据向量的加减求出，进而求出比值的范围. (1) 小问详解： 因为，所以根据正弦定理得. 因为， 所以，因为， 所以，又，故． (2) 小问详解： ① 外心到边的距离为，其中为外接圆半径．由已知得． 由正弦定理得，将代入得． 所以， 从而，所以． 因此． ② 由为锐角三角形得． 设，不妨取，对应等边三角形，应排除． 由及， 计算得． 所以，结合， 因此． 20．【答案】①     ② 【分析】 先由条件和余弦定理即可得角C，再由正弦定理和辅助角公式可得所求式子的最大值. 【详解】 由，又， 所以，，且. 所以是钝角，且. 再由，得，，且. 所以 （其中） 所以，当且仅当，时，，取得最大值. 故答案为：；. 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正余弦定理边角互化，即可代入求解， （2）根据同角关系可得，即可利用等面积法即可求解. (1) 小问详解： ∵， 由正余弦边角关系得，① ， 又，②                  由① ② 得，， ∴，∴ (2) 小问详解： 由（1）得，， ∵为锐角，∴， ∴的面积， ∴，设边上的高为， 则的面积， ∴，即边上的高为． 22．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用同角公式求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理及三角形面积公式求解即可. (1) 小问详解： 在中，由，得， 则，而，解得， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得， ，， 在中，由正弦定理得， 所以的面积为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $