专题10 计数原理、概率、随机变量及其分布（期中真题汇编，广东专用）高三数学上学期

专题10 计数原理、概率、随机变量及其分布 4大高频考点概览 考点01 排列与组合 考点02 二项式定理 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 考点04 随机变量及其分布列 考点01 排列与组合 1．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（     ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 考点02 二项式定理 1．（高三上·广东汕头金山中学·期中）（多选）已知的展开式中各项系数的绝对值之和为，第三项的二项式系数为，则（       ） A.  B.  C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中第二项为 2．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（       ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 3．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）二项式展开式中的系数为　　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）在的展开式中，含的项的系数是　　　　　　（请用具体数字作答） 5．（2026·广东东莞·联考）的展开式中，的系数为　　　　　　　　. 6．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）的展开式中的系数为　　　　　　　　. 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 1．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． （1）现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 2．（高三上·广东汕头金山中学·期中）有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的5个红球和10个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时结束．则最后只剩红球的概率为　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为. （1）经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； （2）若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求事件发生的概率. 1 2 1 2 4．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为　　　　　　　　；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望　　　　　　　 5．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）某科研小组研发了一款新式无人机，其生产过程有4道工序，前3道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测，包括智能检测与人工检测，其中智能检测为次品的会自动淘汰，合格的进入流水线进行人工检测.已知该新式无人机在生产中前3道工序的次品率分别为，，. （1）若某批次生产了这款新式无人机1000架，记X为该批次经过前3道工序合格的架数，求的数学期望； （2）已知某批次的新式无人机智能检测显示合格率为，在智能检测合格的前提下，求人工随机抽检一架新式无人机恰好为合格品的概率； （3）该科研小组为了庆祝获得研究成果，举行联欢晚会，晚会期间，该小组组织了一个现场抽奖游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运观众，每次都要有放回地含有10张红色卡片和10张绿色卡片的箱子中随机抽取一张，指挥无人机运送匹克球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的匹克球，乙箱中没有球，若抽到红色卡片，则从甲箱中运一个匹克球到乙箱；若抽到绿色卡片，则从甲箱中运两个匹克球到乙箱，当乙箱中的匹克球数目达到9个，下一轮直接达到11个，获得优惠券，游戏结束；当乙箱中的匹克球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得大礼包时游戏结束.求游戏结束时，幸运观众获得优惠券的概率. 考点04 随机变量及其分布列 1．（2026·广东东莞·联考）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 2．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． （2）假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值． 3．（高三上·广东汕头金山中学·期中）袋子A和B中都装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出1个红球的概率是，从B中摸出1个红球的概率为p. （1）若A，B两个袋子中的球数之比为1：2，将A，B中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p的值； （2）从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止. ①求恰好摸5次停止的概率； ②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量X的分布列及数学期望. 0 1 2 3 4．（2026·广东东莞·联考）已知甲、乙进行围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，每局无平局，每局比赛结果互不影响．比赛规则如下：若一方先获胜3局，则该方获胜，比赛结束． （1）求比赛四局结束的概率； （2）在前两局比赛甲获胜的条件下，再比赛局结束，求的分布列与数学期望． 1 2 3 1 2 3 5．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.9 0.7 0.2 获得的公益基金额/元 800 2000 4000 规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. （1）求该嘉宾未获得猜歌曲C歌名的资格的概率； （2）设该嘉宾获得的公益基金总额为元，求的分布列及均值. 0 800 2800 6800 0 800 2800 6800 6．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有4个选项，至少2个正确选项，不会出现4个正确选项，全部选对得6分，选错得0分.若正确答案有2个选项，选对1个得3分；若有3个选项，选对1个得2分，选对2个得4分.已知每道多选题的正确选项为2个与3个的概率都是，学生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误. （1）若学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，求他得6分的概率； （2）学生甲做第三道多选题时随机选择1个选项的得分记为，随机选择2个选项的得分记为，试比较，的大小. 7．（2026·广东深圳宝安中学·联考）一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数， ，则的数学期望为　　　　　　（用表示）． 8．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则6维空间“立方体”的顶点数为　　　　　　　　　　；若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则　　　　　　　　　　. 1 2 6 9．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点01 排列与组合 考点02 二项式定理 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 考点04 随机变量及其分布列 考点01 排列与组合 1．B 考点02 二项式定理 1．BD 2．B 3．【答案】5 【分析】 将化为，利用二项式系数结合组合数的计算，求得答案. 【详解】 因为， 故展开式中的系数为， 故答案为：5 4．【答案】24 【分析】 求出展开式的通项，得到展开式中含的项，得到系数. 【详解】 因为展开式的通项为， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为24， 故答案为：24 5．【答案】60 【分析】 根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】 二项式展开式的通项公式：， 令，解得， 所以可得第三项中的系数是. 故答案为：60 6．【答案】 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，令，或，即可求得答案. 【详解】 因为的展开式的通项：， 取项的组合方式：展开式中的项是由乘以展开式中的项，与乘以展开式中的项相加得到， 故需求解展开式中和时的情况， 所以的展开式中的系数为, 故答案为： 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 1．【答案】（1）4     （2）     （3）      【分析】 （1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. (1) 小问详解： 由题意可知，，由二项分布的期望公式可得． (2) 小问详解： 记事件分别表示该学生来自甲，乙，丙组，事件B表示该同学能猜对，所以，， 由全概率公式可得． 所以，该学生能猜对的概率为． (3) 小问详解： 由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为， 记得分为的概率为，且， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 ． 因此，戊组获胜的概率为． 2．【答案】 【分析】 最后一个球规定为红球，只需考虑剩余个红球在前个位置的放法种数即可. 【详解】 在个红球，个白球中，个红球的放法有种，即基本事件总数为， 由于最后一个是红球，那么在前个球中有个白球，个红球，其中个红球的放法有种， 故所求概率． 故答案为：. 3．【答案】（1）的分布列如下： 的期望为     （2）（ⅰ）证明如下： ① ② ①-② 得：. 又， 则， 即. （ⅱ）      1 2 【分析】 （1）需要确定随机变量的取值，再分别计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望； （2）（i）通过建立与的递推关系来证明两者相等；（ii）通过一系列递推关系找出的通项公式，从而求出. (1) 小问详解： 的可能取值为1和2，且； ， 则的分布列如下： 则的期望为. 1 2 (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）③ ， ①+② 得：. 由③ 知 又； 则有，其中； 则是以为首项，为公比的等比数列. 可得：；所以 4．【答案】①     ② 【分析】 先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】 设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 5．【答案】（1）950架     （2）     （3）.      【分析】 （1）先由独立事件的概率公式求解一架新式无人机经过前3道工序后是合格品的概率，再由二项分布求解期望即可； （2） 根据条件概率的概率公式计算即可； （3）设乙箱中有个球的概率为，结合全概率公式，找到递推关系，构造等比数列进行求解，最终求出即可. (1) 小问详解： 设新式无人机经过前3道工序后是合格品的概率为， 则， 由条件，可得，所以的数学期望为（架）. (2) 小问详解： 设新式无人机智能检测合格为事件，人工检测合格为事件，则，， 所以， 即人工随机抽检一架新式无人机恰好为合格品的概率约为. (3) 小问详解： 设乙箱中有个球的概率为， 第一次抽到红色卡片，新式无人机运送1个匹克球，概率为，即， 乙箱中有2个球，有两类情况，所以， 乙箱中有个球的情况有： （i）无人机已运送个球，又抽到绿色卡片，其概率为； （ii）无人机已运送个球，又抽到红色卡片，其概率为； 所以，且， 所以，所以， 即当时数列是公比为的等比数列， 所以， 又，所以当时也成立， 所以，，，， 上述各式相加得， 又，所以，， 经检验，当时上式也成立， 所以， 所以，， 即游戏结束时获得优惠券的概率为. 考点04 随机变量及其分布列 1．BC 2．【答案】（1）0.8186；     （2）①；② 3      【分析】 （1）由频率分布直方图求得，得，判断产品为正品的质量差在内，利用正态曲线的对称性和相应的额概率值计算即得. （2）① 依题意，利用古典概型概率公式计算即得； ② 依题，运用二项分布概率公式可得，利用求导得到当时即时，取得最大值. (1) 小问详解： 由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为： ， 依题得，，，所以， 则优等品的质量差在即内，一等品的质量差在即内， 所以正品的质量差在和内，即内， 故该企业生产的产品为正品的概率： ； (2) 小问详解： ① 从件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有种选法， 故某箱产品抽检被记为B的概率为：． ② 由题意，一箱产品抽检被记为的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为的概率为 ， 由， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为． 此时由，可解得：（舍去）， ∴时，5箱产品恰有3箱被记为的概率最大，最大值为． 3．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球，利用古典概型的概率公式求得. （2）①利用相互独立事件的概率公式即可求解； ②利用独立重复试验的概率公式分别计算概率，写出分布列，求出数学期望； (1) 小问详解： 设袋子A中有个球，则袋子B中有个球. 由，得 . (2) 小问详解： ①从中有放回地摸球，属于独立重复实验，所以概率 ②由题意可得：随机变量的取值为. ； ； ； . 的分布列是： . 0 1 2 3 4．【答案】（1）     （2）      1 2 3 【分析】 （1）分甲获胜和乙获胜两种情况求解即可； （2）由题意可得的可能取值为，并求出相应的概率，进而求解其分布列及数学期望． (1) 小问详解： 当比赛四局结束时，若甲获胜，则甲第四场胜，前三场胜两场输一场， 则甲获胜的概率为； 当比赛四局结束时，若乙获胜，则乙第四场胜，前三场胜两场输一场， 则乙获胜的概率为， 故比赛四局结束的概率为. (2) 小问详解： 由题意，的可能取值为， 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故此局必为甲胜， 则； 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这两局中第一局乙胜，第二局甲胜， 则； 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这三局中，要么乙全部胜，要么乙胜前两局，甲胜最后一局， 则； 所以的分布列为 故． 1 2 3 5．【答案】（1）     （2）的分布列为： ，均值为元      0 800 2800 6800 【分析】 （1）根据互斥事件的加法概率公式和独立事件的乘法概率公式求解即可； （2）写出该嘉宾获得的公益基金总金额为随机变量的所有可能值，计算出对应的概率，即可得分布列及均值. (1) 小问详解： 设“该嘉宾猜对歌曲A歌名”为事件A，设“该嘉宾猜对歌曲B歌名”为事件B， 则， 设“该嘉宾未获得猜歌曲C歌名的资格”为事件E， 则. (2) 小问详解： 由题意的所有可能取值为， 所以，， ，， 所以的分布列为： 的均值为：(元). 0 800 2800 6800 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件概率公式即可求解. （2）先得到的可能取值，再根据古典概率公式，全概率公式计算出各个取值对应的概率，最后根据数学期望公式计算即可. (1) 小问详解： 设学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，得6分为事件， 得6分当且仅当正确选项为3个且学生恰好选中这3个.正确选项为3个的概率为， 在此情况下，从4个选项中随机选择3个，选对的概率为，故所求概率. (2) 小问详解： 由题意的可能取值为，， ，， 所以， 的可能取值为，， ，， 所以， 故. 7．【答案】 【分析】 由题知，，利用，可求得. 【详解】 由题知， ， ， ， . 故答案为：. 8．【答案】① 64    ② 【分析】 由题根据分步计数乘法原理，即可确定顶点个数；由离散型随机变量的分布列步骤，数学期望公式即可求解． 【详解】 （1）对于维坐标，， 所以共有种不同的点，即共有个顶点． （2）①对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种， 所以， 则的分布列为： 所以，， . 故答案为：64， 1 2 6 【点睛】 关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 9．【答案】 【分析】 依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】 依题意的可能取值为、、、， 所以，，， ， 所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 计数原理、概率、随机变量及其分布 4大高频考点概览 考点01 排列与组合 考点02 二项式定理 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 考点04 随机变量及其分布列 考点01 排列与组合 1．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（     ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 【答案】B 【分析】 利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】 选个空盒：种， 分配个小球到个非空盒 情况一（分法）：种 情况二（分法）：种 总分配方法; 种， 总放法数：种 故选： 考点02 二项式定理 1．（高三上·广东汕头金山中学·期中）（多选）已知的展开式中各项系数的绝对值之和为，第三项的二项式系数为，则（       ） A.  B.  C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中第二项为 【答案】BD 【分析】 由赋值法即可判断A，由二项式系数的定义即可判断B，由展开式的通项公式代入计算，即可判断CD. 【详解】 的展开式中各项系数的绝对值之和与的展开式中各项系数 之和相等，令，则，故A错误； 且第三项的二项式系数为，即， 所以，故B正确； 的展开式的通项公式为， 令，解得，故C错误； 由，令，则第二项为，故D正确； 故选：BD 2．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（       ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【分析】 先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式的常数项，进而得解. 【详解】 令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式的常数项为. 故选：B 3．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）二项式展开式中的系数为　　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 将化为，利用二项式系数结合组合数的计算，求得答案. 【详解】 因为， 故展开式中的系数为， 故答案为：5 4．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）在的展开式中，含的项的系数是　　　　　　（请用具体数字作答） 【答案】24 【分析】 求出展开式的通项，得到展开式中含的项，得到系数. 【详解】 因为展开式的通项为， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为24， 故答案为：24 5．（2026·广东东莞·联考）的展开式中，的系数为　　　　　　　　. 【答案】60 【分析】 根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】 二项式展开式的通项公式：， 令，解得， 所以可得第三项中的系数是. 故答案为：60 6．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）的展开式中的系数为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，令，或，即可求得答案. 【详解】 因为的展开式的通项：， 取项的组合方式：展开式中的项是由乘以展开式中的项，与乘以展开式中的项相加得到， 故需求解展开式中和时的情况， 所以的展开式中的系数为, 故答案为： 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 1．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． （1）现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 【答案】（1）4     （2）     （3）      【分析】 （1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. (1) 小问详解： 由题意可知，，由二项分布的期望公式可得． (2) 小问详解： 记事件分别表示该学生来自甲，乙，丙组，事件B表示该同学能猜对，所以，， 由全概率公式可得． 所以，该学生能猜对的概率为． (3) 小问详解： 由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为， 记得分为的概率为，且， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 ． 因此，戊组获胜的概率为． 2．（高三上·广东汕头金山中学·期中）有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的5个红球和10个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时结束．则最后只剩红球的概率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 最后一个球规定为红球，只需考虑剩余个红球在前个位置的放法种数即可. 【详解】 在个红球，个白球中，个红球的放法有种，即基本事件总数为， 由于最后一个是红球，那么在前个球中有个白球，个红球，其中个红球的放法有种， 故所求概率． 故答案为：. 3．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为. （1）经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； （2）若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求事件发生的概率. 【答案】（1）的分布列如下： 的期望为     （2）（ⅰ）证明如下： ① ② ①-② 得：. 又， 则， 即. （ⅱ）      1 2 【分析】 （1）需要确定随机变量的取值，再分别计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望； （2）（i）通过建立与的递推关系来证明两者相等；（ii）通过一系列递推关系找出的通项公式，从而求出. (1) 小问详解： 的可能取值为1和2，且； ， 则的分布列如下： 则的期望为. 1 2 (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）③ ， ①+② 得：. 由③ 知 又； 则有，其中； 则是以为首项，为公比的等比数列. 可得：；所以 4．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为　　　　　　　　；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望　　　　　　　 【答案】①     ② 【分析】 先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】 设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 5．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）某科研小组研发了一款新式无人机，其生产过程有4道工序，前3道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测，包括智能检测与人工检测，其中智能检测为次品的会自动淘汰，合格的进入流水线进行人工检测.已知该新式无人机在生产中前3道工序的次品率分别为，，. （1）若某批次生产了这款新式无人机1000架，记X为该批次经过前3道工序合格的架数，求的数学期望； （2）已知某批次的新式无人机智能检测显示合格率为，在智能检测合格的前提下，求人工随机抽检一架新式无人机恰好为合格品的概率； （3）该科研小组为了庆祝获得研究成果，举行联欢晚会，晚会期间，该小组组织了一个现场抽奖游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运观众，每次都要有放回地含有10张红色卡片和10张绿色卡片的箱子中随机抽取一张，指挥无人机运送匹克球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的匹克球，乙箱中没有球，若抽到红色卡片，则从甲箱中运一个匹克球到乙箱；若抽到绿色卡片，则从甲箱中运两个匹克球到乙箱，当乙箱中的匹克球数目达到9个，下一轮直接达到11个，获得优惠券，游戏结束；当乙箱中的匹克球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得大礼包时游戏结束.求游戏结束时，幸运观众获得优惠券的概率. 【答案】（1）950架     （2）     （3）.      【分析】 （1）先由独立事件的概率公式求解一架新式无人机经过前3道工序后是合格品的概率，再由二项分布求解期望即可； （2） 根据条件概率的概率公式计算即可； （3）设乙箱中有个球的概率为，结合全概率公式，找到递推关系，构造等比数列进行求解，最终求出即可. (1) 小问详解： 设新式无人机经过前3道工序后是合格品的概率为， 则， 由条件，可得，所以的数学期望为（架）. (2) 小问详解： 设新式无人机智能检测合格为事件，人工检测合格为事件，则，， 所以， 即人工随机抽检一架新式无人机恰好为合格品的概率约为. (3) 小问详解： 设乙箱中有个球的概率为， 第一次抽到红色卡片，新式无人机运送1个匹克球，概率为，即， 乙箱中有2个球，有两类情况，所以， 乙箱中有个球的情况有： （i）无人机已运送个球，又抽到绿色卡片，其概率为； （ii）无人机已运送个球，又抽到红色卡片，其概率为； 所以，且， 所以，所以， 即当时数列是公比为的等比数列， 所以， 又，所以当时也成立， 所以，，，， 上述各式相加得， 又，所以，， 经检验，当时上式也成立， 所以， 所以，， 即游戏结束时获得优惠券的概率为. 考点04 随机变量及其分布列 1．（2026·广东东莞·联考）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 【答案】BC 【分析】 由判断； 由两点分布的定义判断； 由正态曲线的对称性判断； 由二项分布的定义判断 【详解】 若，则，故错误； 若随机变量Y服从两点分布，则，故, ，故正确； 若随机变量ξ服从正态分布，，则 ，， 故正确； 若随机变量η服从二项分布，则 故错误. 故选：. 2．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． （2）假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值． 【答案】（1）0.8186；     （2）①；② 3      【分析】 （1）由频率分布直方图求得，得，判断产品为正品的质量差在内，利用正态曲线的对称性和相应的额概率值计算即得. （2）① 依题意，利用古典概型概率公式计算即得； ② 依题，运用二项分布概率公式可得，利用求导得到当时即时，取得最大值. (1) 小问详解： 由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为： ， 依题得，，，所以， 则优等品的质量差在即内，一等品的质量差在即内， 所以正品的质量差在和内，即内， 故该企业生产的产品为正品的概率： ； (2) 小问详解： ① 从件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有种选法， 故某箱产品抽检被记为B的概率为：． ② 由题意，一箱产品抽检被记为的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为的概率为 ， 由， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为． 此时由，可解得：（舍去）， ∴时，5箱产品恰有3箱被记为的概率最大，最大值为． 3．（高三上·广东汕头金山中学·期中）袋子A和B中都装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出1个红球的概率是，从B中摸出1个红球的概率为p. （1）若A，B两个袋子中的球数之比为1：2，将A，B中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p的值； （2）从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止. ①求恰好摸5次停止的概率； ②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量X的分布列及数学期望. 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球，利用古典概型的概率公式求得. （2）①利用相互独立事件的概率公式即可求解； ②利用独立重复试验的概率公式分别计算概率，写出分布列，求出数学期望； (1) 小问详解： 设袋子A中有个球，则袋子B中有个球. 由，得 . (2) 小问详解： ①从中有放回地摸球，属于独立重复实验，所以概率 ②由题意可得：随机变量的取值为. ； ； ； . 的分布列是： . 0 1 2 3 4．（2026·广东东莞·联考）已知甲、乙进行围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，每局无平局，每局比赛结果互不影响．比赛规则如下：若一方先获胜3局，则该方获胜，比赛结束． （1）求比赛四局结束的概率； （2）在前两局比赛甲获胜的条件下，再比赛局结束，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）     （2）      1 2 3 【分析】 （1）分甲获胜和乙获胜两种情况求解即可； （2）由题意可得的可能取值为，并求出相应的概率，进而求解其分布列及数学期望． (1) 小问详解： 当比赛四局结束时，若甲获胜，则甲第四场胜，前三场胜两场输一场， 则甲获胜的概率为； 当比赛四局结束时，若乙获胜，则乙第四场胜，前三场胜两场输一场， 则乙获胜的概率为， 故比赛四局结束的概率为. (2) 小问详解： 由题意，的可能取值为， 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故此局必为甲胜， 则； 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这两局中第一局乙胜，第二局甲胜， 则； 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这三局中，要么乙全部胜，要么乙胜前两局，甲胜最后一局， 则； 所以的分布列为 故． 1 2 3 5．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.9 0.7 0.2 获得的公益基金额/元 800 2000 4000 规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. （1）求该嘉宾未获得猜歌曲C歌名的资格的概率； （2）设该嘉宾获得的公益基金总额为元，求的分布列及均值. 【答案】（1）     （2）的分布列为： ，均值为元      0 800 2800 6800 【分析】 （1）根据互斥事件的加法概率公式和独立事件的乘法概率公式求解即可； （2）写出该嘉宾获得的公益基金总金额为随机变量的所有可能值，计算出对应的概率，即可得分布列及均值. (1) 小问详解： 设“该嘉宾猜对歌曲A歌名”为事件A，设“该嘉宾猜对歌曲B歌名”为事件B， 则， 设“该嘉宾未获得猜歌曲C歌名的资格”为事件E， 则. (2) 小问详解： 由题意的所有可能取值为， 所以，， ，， 所以的分布列为： 的均值为：(元). 0 800 2800 6800 6．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有4个选项，至少2个正确选项，不会出现4个正确选项，全部选对得6分，选错得0分.若正确答案有2个选项，选对1个得3分；若有3个选项，选对1个得2分，选对2个得4分.已知每道多选题的正确选项为2个与3个的概率都是，学生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误. （1）若学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，求他得6分的概率； （2）学生甲做第三道多选题时随机选择1个选项的得分记为，随机选择2个选项的得分记为，试比较，的大小. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件概率公式即可求解. （2）先得到的可能取值，再根据古典概率公式，全概率公式计算出各个取值对应的概率，最后根据数学期望公式计算即可. (1) 小问详解： 设学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，得6分为事件， 得6分当且仅当正确选项为3个且学生恰好选中这3个.正确选项为3个的概率为， 在此情况下，从4个选项中随机选择3个，选对的概率为，故所求概率. (2) 小问详解： 由题意的可能取值为，， ，， 所以， 的可能取值为，， ，， 所以， 故. 7．（2026·广东深圳宝安中学·联考）一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数， ，则的数学期望为　　　　　　（用表示）． 【答案】 【分析】 由题知，，利用，可求得. 【详解】 由题知， ， ， ， . 故答案为：. 8．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则6维空间“立方体”的顶点数为　　　　　　　　　　；若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则　　　　　　　　　　. 【答案】① 64    ② 【分析】 由题根据分步计数乘法原理，即可确定顶点个数；由离散型随机变量的分布列步骤，数学期望公式即可求解． 【详解】 （1）对于维坐标，， 所以共有种不同的点，即共有个顶点． （2）①对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种， 所以， 则的分布列为： 所以，， . 故答案为：64， 1 2 6 【点睛】 关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 9．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】 依题意的可能取值为、、、， 所以，，， ， 所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $