专题04 圆、直线与圆的位置关系（期中真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题04 圆、直线与圆的位置关系 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）圆的圆心坐标与半径分别为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 配方后可得圆心坐标和半径． 【详解】 由圆，可得圆， 所以圆心坐标为，半径为． 故选：D． 2．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）圆与圆的位置关系不可能为（    ） A. 相切 B. 相交 C. 内含 D. 外离 【答案】C 【分析】 求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】 ， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 3．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断. 【详解】 由圆的方程可化为，   ，又点在圆外，则，，综上. 故选：D. 4．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）已知三点，动点满足，若，则线段（为原点）长度的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上，再结合点到圆上点距离最值求解. 【详解】 设，由，，得点为的中点，则. 又，，则，， 因此，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 线段长度的最大值为. 故选：D 5．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】 因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 6．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出已知圆的圆心关于直线对称的点，再利用轴对称的性质求出半径，即得对称圆的方程. 【详解】 由题意得圆的圆心坐标为，半径为． 设点关于直线对称的点， 则 ，解得，． 由轴对称的性质得新圆的半径为， 对称的圆的方程为，故A正确. 故选：A 7．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】 设，，由，得： ，则有 ， 因为为圆上任意一点， 所以，代入 可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 8．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】 设，则，. 因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以， 即，解得. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）（多选）已知直线，圆，为圆上任意一点，则（       ） A. 直线过定点 B. 若圆关于直线l对称，则 C. 的最大值为 D. 的最大值为3 【答案】BC 【分析】 A：将直线方程化为，根据 可确定出定点坐标；B：考虑直线经过圆心的情况；C：根据的几何意义，考虑与圆相切；D：根据的几何意义，先计算，然后可求结果. 【详解】 化为标准方程为，圆心为，半径为； A：因为，令 ，可得 ，所以过定点，故错误； B：若圆关于对称，则过圆心，所以，解得，故正确； C：表示连线的斜率，设，即，如下图，    当与相切时，此时取最值， 所以，解得，所以的最大值为，即的最大值为，故正确； D：表示，因为，所以，故错误； 故选：BC. 10．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设点的坐标为，利用两点间的距离公式代入等式，化简整理得，所以点的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积． 【详解】 设点的坐标为，∵，，动点满足， ∴，两边平方化简得， ∴点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因此，点的轨迹所包围的图形的面积． 故选：D 11．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）（多选）已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（     ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】 根据题目条件逐一分析判断选项即可. 【详解】 对于A选项，已知， 即，整理得，A选项正确； 对于B选项，在直线上， 圆心到直线的距离，圆的半径为2， 所以的最小值为，即B选项正确； 对于C选项，设，切点弦的方程： 圆心到的距离：， 弦长：， ， ， 令，则， ， ，最小值为，C选项错误； 对于D选项，直线即， 对任意成立⇒过定点满足：， 解得定点，D选项正确. 故选：ABD 12．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的外接圆C的标准方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据的坐标求出边的中点D的坐标，由斜率公式求出中线的斜率，由点斜式方程即可得出所在直线的方程； （2）设的外接圆O的方程为，将点坐标代入圆的一般式方程，求解得出圆的一般式方程，再化为标准方程即可． (1) 小问详解： 因为， 所以边的中点D的坐标为， 所以中线的斜率为， 所以中线的直线方程为：，即． (2) 小问详解： 设的外接圆O的方程为， 因为点三点在圆上， 所以 ，解得： ， 所以外接圆O的方程为，即． 13．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】 由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 14．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上.则圆的标准方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 设圆心，根据结合两点间的距离公式求出的值，再求出圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】 因为圆心在直线上，设圆心， 由可得，解得，则， 所以，圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故答案为：. 15．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． （1）求B； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用三角形的面积公式以及余弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换得出，根据为锐角三角形可求出角的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. (1) 小问详解： 因为，即， 因为为锐角，故，所以， 由余弦定理可得，故. (2) 小问详解： 因为，由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则 ，解得， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 16．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知，. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用点斜式方程即可求得； （2）分别求出圆心和半径，进而求出标准方程. (1) 小问详解： 因为，， 所以的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. (2) 小问详解： 由垂径定理得，圆心在的中垂线上， 联立 ，解得，，即圆心为， 所以圆的半径， 所以所求圆的标准方程为. 17．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为　　　　　　　　　. 【答案】9 【分析】 求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 18．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）设点在圆C内，过点P的最长弦和最短弦分别为GH和EF，求四边形EHFG的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆心，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得方程； （2）根据圆的性质分析可知最长弦和最短弦，且最短弦EF垂直于GH，进而可求面积. (1) 小问详解： 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即， 则半径， 所以圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 因为， 由圆的性质可知过点P的最长弦过圆心，即为直径，即， 且最短弦EF垂直于GH，可得， 所以四边形EHFG的面积. 19．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 易知直线过定点，再由在动直线上的投影为点M，得到，进而得到的轨迹是以为直径的圆求解. 【详解】 解：因为直线过定点，且， 所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为，半径， 所以， 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）“若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用椭圆的光学性质，结合等腰三角形三线合一的推论与中位线定理分析得点的轨迹为圆，再利用点到圆上点的距离的最值求法即可得解. 【详解】 因为椭圆，所以，，即， 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则， 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为， 易知点到圆心的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题解决的关键是，利用椭圆的性质分析得点的轨迹是圆，从而得解. 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为 时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径 时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案. 【详解】 由已知条件得的圆心坐标为， 圆心到直线为， ∵圆上至少有三个点到直线的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是. 故选：. 2．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出圆心到直线的距离，再加上半径，即为点到直线的距离的最大值. 【详解】 圆的圆心为原点，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆上任意一点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）（多选）已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（     ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 取圆上点，则的最大值为 D. 直线被圆所截得弦长最短为 【答案】ABD 【分析】 对A：根据两圆相交弦方程的求解，结合已知条件，求解即可；对B：求得到直线的距离，结合圆的半径，即可判断；对C：求得的参数表达形式，结合三角函数的最值，即可求得结果；对D：利用勾股定理可判断正误. 【详解】 对A：圆和圆相交于两点， 故直线的方程为：，即，故A正确； 对B：到直线的距离，又圆的半径， 所以直线与圆相交且不过圆心，即圆上存在3个点到直线的距离为，B正确； 对C：圆，即， 因为在圆上，故可设， 则， 又的最大值为， 故的最大值为，C错误； 对D：将直线方程变形为， 由 ，解得 ，所以，直线过定点， 所以，圆心到直线的距离为最大值为， 因此，直线被圆所截得弦长最短为，D正确. 故选：ABD. 4．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）以点为圆心的圆截直线所得弦长为，则该圆的半径为（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 根据题意求圆心到直线的距离，结合垂径定理求半径. 【详解】 由题意可知：圆心到直线的距离， 所以圆的半径为. 故选：B 5．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A. 相交 B. 相切 C. 外离 D. 内含 【答案】A 【分析】 求出两个圆心距与两个圆半径和、半径差的关系，进而可得解. 【详解】 ， 又， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，∴， ∴，圆与圆相交． 故选：A 6．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）如果直线与圆有两个不同的交点，则点与圆的位置关系为（       ） A. P在圆外 B. P在圆上 C. P在圆内 D. P与圆的位置不确定 【答案】A 【分析】 根据直线与圆有两个不同的交点，知道它们相交.借助，得到,进而得到点与圆的位置关系. 【详解】 直线与圆有两个不同的交点，则它们相交. 根据，得到，即.则点与圆的位置关系为P在圆外. 故选：A. 7．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（        ） A. 3 B. 4 C. 5 D.  【答案】A 【分析】 先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A 8．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知点和圆，以为直径的圆与圆交于，两点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 写出以线段  为直径的圆的方程，公共弦的方程可通过两圆方程相减得到. 【详解】 已知点  和圆  以线段  为直径的圆的方程为 ，即 . 两圆相交于点  和 ，直线  是两圆的公共弦。公共弦的方程可通过两圆方程相减得到： . 简化得：. 或等价地：. 故选：C 9．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列不等式求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相交， 则，即， 两边同时平方化简可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 10．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. -1 【答案】C 【分析】 转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 11．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件求出点P的轨迹，再借助几何图形，数形结合求解作答. 【详解】 直线恒过定点，直线恒过定点， 而，即直线与直线垂直，当P与N不重合时，，， 当P与N重合时，，令点，则，， 于是得，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），如图， 观察图形知，射线AP绕点A旋转，当旋转到与圆O：相切时，最大，最大， 因，为切线，点为切点，，，则， 所以最大值为，. 故选：B 【点睛】 思路点睛：涉及在垂直条件下求动点的轨迹问题，可以借助向量垂直的坐标表示求解，以简化计算，快捷解决问题. 12．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知直线与圆相切，则圆M和圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】B 【分析】 先通过直线与圆相切求出圆的参数，再计算两圆的圆心距，结合半径和与差判断位置关系. 【详解】 将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径（）. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径. 由点到直线的距离公式得. 结合，解得，故圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 两圆的圆心距：. 因为，所以两圆外切. 故选：B. 13．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）若圆与坐标轴的交点是一个等腰直角三角形的三个顶点，则的值为（       ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 由圆的方程，分别令，，求得A，B，C三个顶点的坐标即可求解. 【详解】 由圆， 令，得，解得或； 令，得，解得或； 则不妨设， 结合题意可知等腰直角三角形的直角顶点A为原点， 则可得，解得， 故选：D 14．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）（多选）已知圆，圆，直线.（       ） A. 直线过定点 B. 当时，直线被圆截得的弦长为 C. 当时，圆与圆有两个公共点 D. 当时，过圆上的点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点使四边形为正方形 【答案】ABD 【分析】 利用直线过定点可判断A,利用垂径定理和勾股定理求弦长可判断B，利用两圆心距和半径可判断C，利用圆上到点到定点的距离范围可判断D． 【详解】 对于A，由直线恒过定点,故A正确； 对于B，由原点到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为，故B正确； 对于C，由圆， 所以圆与圆的圆心距为， 圆与圆的半径分别为，所以， 即两圆内切，只有一个公共点，故C错误； 对于D，圆，    假设存在点使四边形为正方形，则， 由此可得：， 根据圆上动点到原点的距离的取值范围是：， 而，所以圆上存在点，故D正确； 故选：ABD. 15．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）已知圆和两点、，若A、B不在圆C上，并且圆上有且仅有一点，使得，则实数的值是（     ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 根据题意，求出以为直径的圆的方程为，由圆上有且只有一点使得，可得圆与圆相切，由圆与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】 根据题意，圆，其圆心为，半径， 由两点、，可得以为直径的圆的方程为， 设该圆为圆，其圆心为，半径， 若点满足，则在圆上， 又由圆上有且只有一点使得，则圆与圆相切， 则有或， 又因为，解得或. 故选：C. 16．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，根据条件得到，从而将问题转化成与圆有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果. 【详解】 设，则由，得到， 整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点， 又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 所以，解得， 故选：D. 17．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【分析】 求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【详解】 由题可得：,,,, 所以， 所以，故这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 18．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知圆，动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为（     ） A. 4 B.  C. 8 D.  【答案】C 【分析】 由题设结合得到即可求解. 【详解】 由题可得圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，由题意可知与全等， 所以由得， 则.    故选：C 19．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）自点发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之和为（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】A 【分析】 作关于轴的对称点，利用直线与圆相切的位置关系计算参数即可. 【详解】 易知， 圆心，半径， 设关于x轴的对称点为，则反射光线所在直线过点， 不妨设其方程为，则M到该直线距离为， 化简得，， 则该方程有两个不同解，. 故选：A 20．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则r的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据“圆上到直线距离为1的点有且仅有4个”的几何意义列式求解即可. 【详解】 ，即 设与直线平行且距离为1的直线方程为， 所以，解得或， 所以两条平行线的方程为，， 圆心到的距离为， 圆心到的距离为， 由题意得圆与，均相交， 则，，即且， 所以. 故选：. 21．（25-26学年高二上·山东日照·期中）已知圆，若点P在圆上，并且点P到直线的距离为，则满足条件的点P的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 由题可得圆心直线的距离为，进而即得. 【详解】 由可知圆心，半径为， 又圆心直线的距离为， 所以与直线平行且距离为的直线一条过圆的圆心，另一条与圆相切， 所以满足条件的点P的个数为3. 故选：C. 22．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则点到直线的距离是（       ） A. 3 B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查两圆相交时公共弦所在直线方程的求法，以及点到直线的距离公式，解题的关键在于先求出两圆公共弦所在直线方程，再利用点到直线的距离公式计算点P到该直线的距离. 【详解】 联立方程 ，两式相减得到直线方程 则点到直线的距离是 . 故选：C 23．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（     ） A. 12 B. 9 C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可. 【详解】 设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 24．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）（多选）已知直线，圆，则（       ） A. ，与相交 B. ，使得圆心到的距离为 C. ，使得圆截所得的弦长为 D. ，使得圆上有4个点到的距离为2 【答案】ACD 【分析】 根据直线所过的定点判断A，根据圆心到直线距离的最大值判断B，根据弦长求出后判断C，根据圆心到直线的距离小于求出的范围后判断D. 【详解】 由题设可得圆心，圆的半径为. 对于A，直线可化为， 故动直线过定点，而，故在圆的内部， 故，与相交，故A正确； 对于B，圆心到的距离， 而，故B错误； 对于C，若圆截所得的弦长为，则圆心到直线的距离， 故，故，故C正确； 对于D，若圆上有4个点到的距离为2，则圆心到直线的距离小于， 而圆心，故圆心到直线的距离， 故，故D正确； 故选：ACD. 25．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知圆：与圆：有公共点，则实数a的可能取值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 由圆心距和半径和差的关系构造不等式求解即可. 【详解】 ，圆心，半径为1， ，圆心为，半径为， 因为两圆有公共点， 所以， 解得， 结合选项只有B符合， 故选：B 26．（25-26学年高二上·山东德州·期中）（多选）已知直线l：，圆C：，点，则下列说法正确的是（     ） A. 若直线l与圆C相离，则点A在圆C内 B. 若直线l经过点A，则点A在圆C上 C. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相交 D. 若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为 【答案】ABD 【分析】 根据直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，逐项计算判断即可得结论． 【详解】 对于A，若直线l与圆C相离，则，所以， 所以点A在圆C内，故A正确； 对于B，若直线l经过点A，则，则， 所以点A在圆C上，故B正确； 对于C，若点A在圆C内，则， 则圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相离，故C错误； 对于D，若点A在圆C上，则，当且时，则， 则过点A的圆的切线斜率为，方程为，化简得， 当时，，则过点A的圆的切线斜率为，切线方程为，满足， 当时，，则过点A的圆的切线斜率不存在，切线方程为，满足， 综上所述：若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为，故D正确. 故选：ABD. 27．（25-26学年高二上·山东德州·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：，点为曲线C上一点，则（     ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 曲线C为中心对称图形 C. 直线与曲线C有且仅有两个公共点 D. 点P的横坐标的取值范围为 【答案】BC 【分析】 将、代入方程可判断A、B；联立直线与曲线C：，解方程组可判断C；由，解不等式判断D. 【详解】 将方程中的用替换可得，即， 因为所得方程与方原程不恒等，所以曲线C不关于x轴对称，故A错误； 将方程中的用替换，用替换， 可得，即，新方程与原方程相同， 所以曲线关于原点对称，故B正确； 联立 ，则，整理得， 因为，所以方程有两不等的解， 所以直线与曲线C有且仅有两个公共点，故C正确； 由C：，则C：， 可得，解得，所以点P的横坐标的取值范围为，故D错误. 故选：BC. 28．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）（多选）已知圆与圆，则（       ） A. 过点作圆的切线只有条，则 B. 若圆与圆有且只有条公切线，则 C. 当时，两圆的一条公切线方程为 D. 当时，两圆的公共弦长为 【答案】ABC 【分析】 根据切线判断圆与圆的位置关系判断A，B，根据切线条件计算得出公切线判断C，先求出两圆的相交弦所在直线方程再应用几何法计算求出弦长判断D. 【详解】 圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若点作圆的切线只有条，则在圆上， 则有，因为，解得，A对； 对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 因为，解得，B对； 对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 故当时，两圆的一条公切线方程为，C对； 对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，D错. 故选：ABC. 29．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先判断出与圆的位置关系，然后根据圆心到直线的距离的最大值求解出弦长的最小值. 【详解】 直线恒过定点，圆的圆心为，半径为， 又，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为． 故选：A. 30．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 表示以圆心为原点，半径为2的半圆，画出图形，考虑直线与半圆相切、分别经过点，，可得所求取值范围． 【详解】 设过且有斜率的直线位， 曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆， 由直线与圆相切可得，解得或， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 由图象可得，或． 故选：C． 31．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）（多选）已知直线与圆，下列说法正确的是（       ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得的最短线段长为 D. 圆与圆有3条公共切线 【答案】BC 【分析】 通过分析直线过定点、定点与圆的位置、弦长最值、两圆位置关系来判断各选项. 【详解】 对于选项A，在直线中，令，得， 即直线过定点，故A错误. 对于选项B，圆整理为，圆心，半径. 定点到圆心的距离为，小于半径，故直线与圆恒相交，B正确. 对于选项C，当直线与定点和圆心的连线垂直时，弦长最短. 由勾股定理，最短弦长为，C正确. 对于选项D，圆圆心，半径. 两圆圆心距为， 因介于与之间，两圆相交，公共切线有条，D错误. 故选：BC 32．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知实数满足，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 令，把问题转化为直线与圆的位置关系问题，进而利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】 因为实数满足，所以点在圆上， 圆心，半径. 设，则点在直线上，所以直线与圆有公共点. 如下图所示：    所以圆心到直线的距离，即，解得， 则的取值范围为. 故选：A 33．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（       ） A. 1或3 B. 2 C. 3 D. 1或5 【答案】A 【分析】 点在阿波罗尼斯圆上，且是圆上唯一一点，可知两圆相切，求参问题需求出阿波罗尼斯圆的圆心和半径. 【详解】 设，由，两边平方得， 整理得，圆心为，半径为2． 圆的圆心为，半径为， 由题意知，两圆相切，圆心距为1，当两圆外切时无解， 所以只能是两圆内切，即， 解得或1． 时圆在内，时圆在外 故选：A 34．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先由圆关于直线对称，则圆心在直线上，从而得到，即确定在直线上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用几何意义，即可求出的最小值. 【详解】 由圆：，即可得圆心，半径， 由圆：关于直线对称， 可得圆心在直线上， 所以，即，所以在直线， 又过点作圆的两条切线，切点分别为， 则， 又在直线， 则可表示到直线上点的距离的平方， 所以的最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛： 本题的关键点是将求的最小值转化为求直线上的动点到圆：的最小值问题. 35．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）（多选）已知圆，直线，则（     ） A. 直线过定点 B. 直线与圆相交 C. 当时，直线被圆截得的线段最短 D. 存在实数，使得直线与圆的两个交点到原点的距离相等 【答案】BD 【分析】 对于A：将直线整理为关于的一元一次方程，再令的系数为0即可求得所过定点；对于B：注意到直线所过定点在圆内，故与圆必相交；对于C：当垂直于时，弦长最短；对于D：由题可知点均在弦的垂直平分线上，故即为弦的垂直平分线，求出即说明存在. 【详解】 由圆方程可知圆心，半径. 对于A：将直线整理为，令 ，得： ,即直线过定点，故A错误； 对于B：直线所过定点，到圆心的距离，即该定点在圆内，故直线必与圆相交，故B正确； 对于C：直线被圆截得的线段最短，当且仅当直线与圆心到定点的连线垂直.易知此时直线的斜率不存在，则,即，故C错误； 对于D：设直线与圆的两个交点为和,则,即在的垂直平分线上. 又因为的垂直平分线也过圆心,因此直线即线段的垂直平分线. 和的连线斜率为： 直线的斜率为： 要使在的垂直平分线上，需： ，解得. 因此，存在使得直线与圆的两个交点到原点的距离相等，故D正确. 故选：BD. 36．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先确定MN中点的轨迹为圆，再利用圆上的点到直线的最值求解. 【详解】 由题设知，圆C的圆心坐标，半径为1， 因为，所以． 设P为MN的中点，所以． 所以点P的轨迹方程为． 其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 设点M，N，p到直线的距离分别为，d， 所以，，， 所以． 因为点C到直线的距离为， 所以，即， 所以．所以的取值范围为．    故选：A． 【点睛】 关键点点睛：本题考查圆的轨迹方程，解决问题的关键是找到动弦MN的中点轨迹为圆. 37．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）（多选）已知圆：，直线：，．则下列选项正确的有（       ） A. 若圆心到的距离为1，则 B. 若与圆交于、两点，则 C. 设点在圆上，则的取值范围为 D. 设点在圆上，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 A选项代入点到直线的距离公式解方程即可；B选项先求出直线过定点，再由定点求出圆心到直线的距离的范围，最后由垂径定理得出弦长的范围；C选项，先分离常数，再由斜率公式，求出直线与圆相切时的临界情况，结合图像求得范围；D选项，由圆的方程代入变形，整理成两点间的距离的形式，结合三角形得出范围即可. 【详解】 A选项，圆心到的距离，解得，故A正确； B选项，直线：即，过定点， 设中点为，则到的距离，则，故B错误； C选项，，设，则， 当斜率不存在时，与圆相交， 当斜率存在时，设即， 则圆心到直线的距离，解得， 结合图像可得或，，故C正确； D选项，由于，则， 设，则， 则当不共线时，由三角形两边之差小于第三边可得| | PC| -| DC| | < | CD| =， 而当共线时，，所以，故D正确； 故选：ACD. 38．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）（多选）已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（     ） A. 直线过定点 B. 的最小值为2 C. 的取值范围为 D. 当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 【答案】ACD 【分析】 对于选项A，将直线整理成，得到 ，此方程组的解构成的点就是直线恒过的定点；对于选项B，先求出的圆心和半径，由直线过定点，可知过定点的直径是最长的弦，过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦，求出定点到圆心的距离，则的最小值为代入数值即可得解；对于选项C，由求出，结合余弦定理求出的范围，利用向量的数量积的定义得到，由的范围得解；对于选项D，由圆上恰有三个点到直线的距离等于，得到圆心到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则，计算即可得解. 【详解】 对于选项A，直线，， ， ，直线过定点，选项A正确； 对于选项B，的圆心为，半径为， 直线过定点，过定点的直径是最长的弦， 过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦， 定点到圆心的距离为， 的最小值为，选项B错误； 对于选项C，，， ， ，，， ， ，，，选项C正确； 对于选项D，圆上恰有三个点到直线的距离等于， 圆心到直线的距离等于， ，圆心 圆心到直线的距离， ，选项D正确. 故选：ACD. 39．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知点，若圆上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先利用相关点法求出PA的中点的轨迹方程，由题意，圆与圆有公共点，利用两圆位置关系的判断方法即可求得参数a的范围. 【详解】 设A的坐标为，PA的中点坐标为， 则有： ， 由① ，② 可得， 代入③ ，可得， 即， 又线段PA中点也在圆O上，即两圆有公共点， 所以， 解得，即. 故选：A. 40．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（       ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 四边形面积的最小值为1 C. 切线长的最小值为1 D. 直线恒过定点 【答案】BCD 【分析】 对于A，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；对于B，由圆的性质，切线长，当最小时，有最小值，即可求解；对于C，四边形的面积为，即可求解；对于D，由题可知在以为直径的圆上，利用两圆方程求得直线的方程，即可求解. 【详解】 对于A，因为圆，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为， 而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于C，由圆的性质，切线长， 当最小时，有最小值，此时，即， 则，故C正确； 对于B，四边形的面积为：， 因为，故四边形的面积为1，故B正确； 对于D，设，因为为过点作圆的切线， 所以，则在以为直径的圆上，又， ，即， 又圆，即， 上述两式相减，得直线的方程为，即， 由 ，得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】 关键点点睛：本题D选项的关键是分析得在以为直径的圆上，进而两圆方程相减得到直线的方程，再利用直线过定点问题的求解方法即可得解. 41．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点和 （1）若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； （2）已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出圆心为，求出圆心到直线的距离，根据弦长得到方程，求出半径； （2）点在以为直径的圆上，求出圆方程为，故两圆相交，从而得到不等式，求出，得到答案. (1) 小问详解： 圆化为，故，解得， 所以圆心为， 直线的方程为，圆心到直线距离为， 由垂径定理得，解得. (2) 小问详解： 点在以为直径的圆上， 由于点和，故此圆方程为， 从而圆与圆有两个交点，其中圆心距， 只需满足， 得，即，解得 42．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）已知圆与轴相切. （1）直接写出圆心的坐标及的值； （2）直线与圆交于两点，求 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与轴相切得半径； （2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解. (1) 小问详解： 圆， 则圆心，因为圆与轴相切，则半径. 由（1）知，圆的方程为，圆心，半径为2. (2) 小问详解： 法一：设， 联立 ，得， ， 则， 所以. 法二：圆心到直线的距离， 则. 故. 43．（25-26学年高二上·山东日照·期中）已知直线与圆交于，两点 （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求过点的圆的切线方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）首先明确圆心与半径，利用点到直线距离求得弦心距，根据弦长公式，建立方程，可得答案； （2）过点的直线分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，建立方程，可得答案. (1) 小问详解： 圆即， 圆心，半径， 圆心到直线的距离， 故，则，解得. (2) 小问详解： 由（1）可得圆，则圆心，半径， 当过点的直线斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线； 当过点的直线斜率存在，可设直线方程，则， 圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即，整理可得，解得， 直线方程为， 综上，切线的方程为：或. 44．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）根据数量积为零可判断，从而可得圆是以为直径的圆，故可求其方程； （2）利用圆心到直线的距离为半径可求直线的斜率，从而可求切线方程. (1) 小问详解： 因为，，所以，即， 所以为圆的直径，且为的中点，所以，故， 故圆的方程为. (2) 小问详解： 若切线的斜率不存在，则，圆心到该线的距离为， 故直线不为切线. 设切线方程为，即； 由题意可知， 所以，即， 所求直线方程为或. 45．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点的直线与圆交于，两点，则四边形面积的最大值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 四边形的面积可分为，设出直线方程与圆的方程联立，利用两点的纵坐标差作为两个三角形的高，为底可得四边形面积，然后利用二次函数求最值. 【详解】 圆的方程为，圆心， 将代入，所以点在圆内， 不妨设，则与的高可分别为， 设直线方程为，与圆的方程联立，整理得， 所以，， 所以， 所以四边形的面积为 ， 因为，所以当即时，面积有最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】 本题考查直线和圆的位置关系，关键点是利用韦达定理求出两个三角形的高及用二次函数求最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 46．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知O为坐标原点，，圆C的半径为2，圆心在直线l：上． （1）若圆心C也在直线m：上，求圆C的方程； （2）在（1）的条件下，求过点的圆C的切线n的方程 （3）若圆C上存在点M，使得，求圆心C的横坐标的取值范围． 【答案】（1）     （2）和     （3）      【分析】 （1）依题意联立两直线方程，求出圆心，结合半径写出圆的标准方程即可； （2）结合图形，考虑过点且斜率不存在的直线恰为一条切线，设另一条切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径即可求得另一条切线方程即可； （3）根据条件将问题转化为两圆的公共点问题，从而利用两圆位置关系列出不等式，求解即得. (1) 小问详解： 联立 ，解得 ，即得， 又圆C的半径为2，故圆的标准方程为. (2) 小问详解：    由（1）已得， 由图知，过点且斜率不存在的直线恰与圆相切，故一条切线方程为； 设过点的圆的另一条切线方程为， 由圆心到直线的距离，解得， 故得，即， 综上，过点的圆C的切线n的方程为和. (3) 小问详解： 依题设圆心C的坐标为，则圆的方程为， 设点，由，可得， 即点既在圆上，又在圆上，也即圆与圆有公共点， 故，即得 ， 由① 解得，由② 解得. 综上，圆心C的横坐标的取值范围为. 47．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）在①圆经过，②圆心在直线上，③ 圆截轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解. 已知圆E经过点，且_________； （1）求圆E的方程； （2）求以为中点的弦所在的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设出圆的一般方程，若选① ：将点，，代入，解方程组即可求解，若选② ：将点，代入圆的一般方程，求出圆心坐标代入即可求出，进而可得圆的一般方程，若选③ ：将点，代入圆的一般方程，再令中的得可得，即可求解. （2）求出直线的斜率，则弦所在直线的斜率，，即可求斜率，利用点斜式即可得直线的方程. 【详解】 （1）选条件①，设圆的方程为， 依题意有 ， 解得，，， 所以圆的方程为， 即为：. 选条件②，设圆的方程为， 因为圆E经过点，，且圆心在直线上 依题意有 ， 解得，，， 所以圆E的方程为. 选条件③，设圆E的方程为， 由圆E经过点，， 故 ， 又因为圆截y轴所得弦长为8， 故方程的两个实数根，的差的绝对值为8. 所以， 即 解方程组 ， 得，，或，，， 由于圆心E的坐标为整数， 故圆E的方程为. （2）由（1）知圆心，弦中点为， 所以， 弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键点是利用待定系数法求圆的方程，设圆的一般方程，再利用已知条件列方程，圆心与弦中点的连线与弦垂直，可求弦所在直线的斜率.由点斜式即可得方程. 48．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）圆关于直线对称，则的最小值是　　　　　　 【答案】 【分析】 由题可得直线经过圆心，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】 由可得标准方程为9，即圆心为， 因为该圆关于直线对称，则直线经过圆心， 即，整理得， 则， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是. 故答案为： 49．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）已知圆心分别为和的两个圆的半径都是1，过动点分别作圆，圆的切线（分别为切点），使得. （1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （2）直线被轨迹截得的弦长最短时，求的值及最短弦长. 【答案】（1），以为圆心，半径为的圆     （2），最短弦长为10      【分析】 （1）设点的坐标为，结合图形利用切线性质将化成，利用两点之间距离公式化简即得动点的轨迹方程； （2）先求出直线经过的定点，根据圆的性质可知，当时，被圆截得的弦长最短，由此根据斜率建立方程求出参数的值，进而利用弦长公式即可计算弦长. (1) 小问详解： 由得. 因为两圆的半径均为1，所以， 代入上式可得，. 设点的坐标为，则， 整理得，即. 因此所求的轨迹是以为圆心，半径为的圆. (2) 小问详解： 方程可化为. 由 ，解得 ，则直线恒过定点. 记轨迹的圆心为，当时，直线被圆截得的弦长最短，此时恰为线段的中点. 因为，所以直线的斜率为1，即，解得， 圆心到直线的距离为， 则弦的长为. 故当时，直线被轨迹截得的弦长最短，最短弦长为10. 50．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）圆与圆的公切线的条数为　　　　　. 【答案】2 【分析】 先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】 对于圆，可得圆心为，半径为， 对于圆，可得圆心为，半径为， 由两点间距离公式得圆心之间的距离为， 而，则两圆相交， 可得两圆的公切线条数为2. 故答案为：2 51．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知圆：. （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）过点作直线与圆交于两点，若与垂直，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求弦的长度. 【答案】（1），；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）将圆的方程化成标准形式，求出圆心、半径. （2）按直线的斜率是否存在，设出其方程并与圆的方程联立，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示，列式计算并验证得解. （3）利用（2）中信息求出弦长. (1) 小问详解： 依题意，圆：， 所以圆心的坐标为，半径. (2) 小问详解： 当直线斜率存在时，设其方程为， 由 消去得， 则， 由，得， 即，整理得， 于是，整理得，解得或， 当时，直线与圆交于点，与之一为，不符合题意， 当时，直线过圆的圆心，线段为圆的直径，符合题意， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆方程得，不妨设， ，，不符合题意， 所以直线的方程为. (3) 小问详解： 由（2）知直线，弦为圆的直径，则， 所以弦的长度. 52．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知圆的方程为． （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】（1）或     （2）直线经过定点，该定点的坐标为      【分析】 （1）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. (1) 小问详解： 圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆C的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为，即． 过点的圆C的切线方程为或． (2) 小问详解： 点在圆：上． 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为， 此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，， 联立方程组 ，整理得， 则，． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以，故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为． 53．（25-26学年高二上·山东日照·期中）过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则　　　　　. 【答案】 【分析】 求出以为直径的圆方程，得出直线的方程，在圆中求弦长即可. 【详解】 线段的中点为，， 则以为直径的圆方程为，即， 由题意知，是圆与的公共点， 则直线的方程为， 则点到直线的距离为，故.    故答案为： 54．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）已知直线与直线相交于点M，点N是圆上的动点，则的取值范围为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题设易知过定点，过定点且，则在以为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆的圆心距，根据动点分别在两圆上知的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案. 【详解】 由题设，恒过定点，恒过定点， 因为，所以，即垂足为， 所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 故轨迹方程为， 而的圆心为，半径为2， 所以两圆圆心的距离为，而、分别在两圆上，故的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：. 55．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. （3）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 【答案】（1）     （2），     （3） ，设， 联立 消得， 则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立 解得， 则， 所以，所以点在定直线上.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示.结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可；（3）设，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示直线的方程和直线的方程的方程，求出交点N的坐标即可证明. (1) 小问详解： 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 设，因为，则，即. 所以，， 因为，所以. 此时，，即，所以直线的方程为：. (3) 小问详解： 略 56．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （3）若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）设圆，根据题意列出方程求解； （2）设直线，求出圆心到直线的距离，结合，求出得解； （3）由题，求出到的距离，利用，求解. (1) 小问详解： 设圆， 根据题意，可得 ，解得，， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 设直线，圆心到的距离， 因为，所以，即， 所以或， 所以直线的方程为或. (3) 小问详解： 若存在圆与圆外切，即存在点使得， 因为到的距离，所以， 所以，即， 所以或. 57．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 根据题意，分过点的直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】 当过点的直线的斜率存在时，设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径1，所以，解得， 所以切线方程为，即， 当过点的直线的斜率不存在时，其方程为， 圆心到此直线的距离等于半径1，故直线也符合题意， 综上所述，所求的直线的方程是或. 故答案为：或. 58．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 59．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知圆过点，，圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据已知条件，联立方程组，即可求得圆的方程； （2）由弦心距公式，求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式，求得直线的斜率，即可得到直线的方程. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为：，由题意可得： ，解之得： ， 所以圆的标准方程为：； (2) 小问详解： 由弦心距公式可知，圆心到直线的距离为：. 当直线斜率不存在时，的方程为，显然此时圆心到直线的距离为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设的方程为：，即， 由点到直线的距离公式可得：， 解之得：或， 所以直线的方程为：或. 60．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知点和圆：. （1）求经过点的圆的切线方程； （2）若是圆上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）设，则，根据是圆上一动点，可得直线与圆有公共点，根据圆心到直线的距离小于等于半径列不等式求解即可 (1) 小问详解： 圆的方程可化为，圆心，半径. 过点且斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，切线方程为， 所求切线方程为或. (2) 小问详解： 设，则， 即， 因为是圆上一动点， 所以与有公共点， 所以，解得， 的取值范围 61．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两个不同的点，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）假设圆心坐标和半径，可得圆方程为，结合圆上的点，直线与圆相切可构造方程组求得的值，进而得到圆标准方程； （2）将直线方程与圆的方程联立，由可得的一个范围及韦达定理的结论，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可构造不等式求得的范围，进而确定最终结果. (1) 小问详解： 解：由题意可设圆的圆心，半径为， 则圆的方程为：， 圆过点，， 又圆与直线相切，， 由 得： ， 圆的标准方程为：. (2) 小问详解： 解：设，. 由 得：， ，解得：； ，， ，， ， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 62．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）直线与圆交于两点，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出． 【详解】 ［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用 根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是， 弦心距，所以． 故答案为：. ［方法二］：距离公式的应用 由 解得： 或 ，不妨设， 所以． 故答案为：. ［方法三］：参数方程的应用 直线的参数方程为 ，将其代入，可得，化简得，从而，所以． 故答案为：. 【详解】【整体点评】 方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦； 方法三：直线参数方程中弦长公式的应用． 63．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】． 【分析】 根据点到直线的距离公式以及圆的方程，可将问题转化成可看作半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，进一步转化为圆心到直线的距离即可求解. 【详解】 原不等式可化为：对恒成立． 记直线，半圆弧 ， 则可看作半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，也就是原点半圆弧所在圆的圆心到直线的距离大于或等于． 而原点到直线的距离：，解得：，即实数的取值范围是． 故答案为： 64．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立 ，解得 ， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； (2) 小问详解： 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 65．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知. （1）证明：四点共圆； （2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程； （3）坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：设经过三点的圆的方程为， 则 ， 解方程组可得， 所以圆的方程为（或）； 又点在圆上， 所以证得四点在圆上；     （2）或     （3）不存在这样的点，理由如下： 设的坐标为，依题意可得， 平方化简可得的轨迹方程为， 两圆圆心的距离， 所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点.      【分析】 （1）求出经过三点的圆的方程，代入点坐标验证可得答案； （2）当斜率不存在时可直接得答案，当斜率存在时，设直线方程为，再利用圆心到直线的距离等于半径可得答案； （3）设的坐标为，根据可得的轨迹方程为圆，再由两圆的位置关系判断可得答案. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设直线方程为， 即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或； (3) 小问详解： 不存在这样的点，理由略. 66．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为． （1）求外接圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）设,求出的中点为，将中点代入线段的垂直平分线方程为，得到一个关于的方程，求出和的斜率为，由直线和直线垂直，利用，得到另一个关于的方程，联立这两个的方程，解得的坐标，设外接圆的标准方程为，将的坐标代入圆的方程，联立方程组计算求解； （2）按照直线不存在斜率和存在两种情况讨论求解，当直线存在斜率时，设出直线的方程，求出圆心到直线的方程的距离为，利用弦长公式计算求解. (1) 小问详解： 设，，的中点为， 线段的垂直平分线方程为， 的中点为在直线上， ，， ，的斜率为，直线和直线垂直， ，，联立 ，解得 ， ，设外接圆的标准方程为， ，，， ， ， 外接圆的标准方程为； (2) 小问详解： 当直线不存在斜率时，直线的方程为， 圆的标准方程为，则圆心，， 圆心到直线的方程的距离为，， 此时弦长为，符合题意； 当直线存在斜率时，直线的方程为，即， 圆心到直线的方程的距离为， 直线与圆相交截得弦长为，， 直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 67．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． （1）求点T的轨迹C的方程； （2）过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，再根据T为线段AP的中点可得，再带入列式化简即可； （2）设直线的方程为，，联立直线与圆的方程得出韦达定理，再代入化简求解即可. (1) 小问详解： 设，由可得， 又可得，即，化简可得. (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时不满足题意，设直线的方程为，即，. 联立可得，化简得，则，. 由，解得. 又 即. 68．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若经过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）圆心为直线的垂直平分线和直线的交点，故联立两条直线的方程，即可得到圆心，再由两点间的距离得到半径，即可得到圆的标准方程； （2）分直线l斜率存在与不存在两种情况,斜率不存在时，直线满足弦长条件;斜率存在时，设直线方程，利用点到直线距离公式求出斜率，得到直线方程. (1) 小问详解： 由题意知：，的中点为 的垂直平分线的方程为即 联立方程组 得 即圆心，半径 圆的方程为； (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时，圆心到直线的距离为， 所以，直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． 69．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为，，设，则的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 先表示出，问题转化为求解，即求解圆半径的最小值求解. 【详解】 设圆心为，则，. 由题意可知， 所以，因为， 所以当时，有最小值， 所以的最小值为. 故答案为： 70．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1）或     （2）①； ② 证明：由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， AI 联立方程 ，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所以为定值．      【分析】 （1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）① 分析可知，即可得方程；② 设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. (1) 小问详解： 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. (2) 小问详解： ① 若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ② 略. 【点睛】 方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 71．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知以为圆心的圆及其上一点，设满足：存在圆上的两点和，使得，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先得到圆的圆心和半径，设，，根据得到方程，利用点坐标表达出点坐标，代入圆中，得到点在圆上，从而两圆有公共点，根据圆心距与半径的关系得到不等式，求出答案. 【详解】 根据题意，圆，即， 其圆心为，半径， 设，， 又由，则，，， 若，则有 ，变形可得 ， 若在圆上，则， 则有，变形可得：， 即点也在圆上， 从而圆与圆有公共点， 则有， 变形可得：， 解得：，即的取值范围为； 故答案为：． 72．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知两定点，若直线上有一点满足，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设点的坐标为，根据题意列出关于的关系式，化简可得点的轨迹方程，由此可得点的轨迹为圆.根据点在直线l上，知直线与该圆有公共点，据此求得实数的取值范围. 【详解】 设点，化简得. 由此可知，点的轨迹为圆. 由于点在直线上，也在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以，即，所以. 解得或. 所以实数的取值范围是. 73．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为　　　　　　　　　　；当最小时，则直线的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由切线可知，，可得，进而分析最值；整理可得，进而分析最值，利用两圆相交时公共弦的方程求法运算求解. 【详解】 因为圆可化为，可知圆心为，半径， 又因为是圆的两条切线，则， 可知四点共圆，且，， 因为， 当且仅当时，取到最小值，即取得最小值， 可设直线的方程为， 代入点可得，即，所以直线的方程为， 联立方程 ，解得，即， 则的最小值为， 所以的最小值为； 又因为， 当且仅当时，取到最小值，即取得最小值， 此时，，且线段的中点为， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 以为直径的圆的方程为，即， 因为圆，两圆相交， 所以两圆方程相减即为直线的方程. 故答案为：；. 74．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，，是圆上的动点，且，的中点为. （1）求点的轨迹方程； （2）设点是直线：上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值； （3）若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，，（与不重合），求证：直线过定点. 【答案】（1）     （2）     （3）    由题意可知：直线，由 ，解得 或 ， 不妨令， 先证明如下问题：若点为直线上的动点，直线（其中）与圆的另一个交点分别为，（与不重合），求证：直线过定点．    因为， 可知，即，可得， 又因为， 可得， 则，即， 整理可得， 若直线的斜率存在，设为， 联立方程 ，消去y可得， 则，且， 则，整理可得，解得或， 若，则直线：过定点； 若，则直线：过定点，又与不重合，不合题意； 所以直线过定点； 若直线的斜率不存在，则，可得， 即，解得或（舍去）， 此时直线过点，符合题意； 且在圆内部，直线与圆必相交， 综上所述：直线过定点. 将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移个单位，即可得到本题的问题， 结合图形平移可知：直线过定点.      【分析】 （1）根据弦长关系可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，即可得方程； （2）根据切线性质可得，进而可得最小值； （3）先进行图形平移，将圆心平行至原点，可得，分类讨论直线斜率是否存在，利用韦达定理可证直线过定点，进而可得结果. (1) 小问详解： 已知圆的方程为 ，将其转化为圆的标准方程： . 所以圆心，半径. 因为是的中点，可知 . 已知，则 . 在中，根据勾股定理. 设点，根据两点间的距离公式 ， 两边平方可得 . 所以点的轨迹方程为 . (2) 小问详解： 因为，是圆的切线，所以，. 又因为 ， 所以四边形的面积， 根据勾股定理 ， 所以. 点是直线上的动点， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离 ， 即.当取最小值时， . 所以四边形面积的最小值为 . (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆、直线与圆的位置关系 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．D 2．C 3．D 4．D 5．C 6．A 7．A 8．C 9．BC 10．D 11．ABD 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据的坐标求出边的中点D的坐标，由斜率公式求出中线的斜率，由点斜式方程即可得出所在直线的方程； （2）设的外接圆O的方程为，将点坐标代入圆的一般式方程，求解得出圆的一般式方程，再化为标准方程即可． (1) 小问详解： 因为， 所以边的中点D的坐标为， 所以中线的斜率为， 所以中线的直线方程为：，即． (2) 小问详解： 设的外接圆O的方程为， 因为点三点在圆上， 所以 ，解得： ， 所以外接圆O的方程为，即． 13．【答案】 【分析】 由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】 由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 14．【答案】 【分析】 设圆心，根据结合两点间的距离公式求出的值，再求出圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】 因为圆心在直线上，设圆心， 由可得，解得，则， 所以，圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故答案为：. 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用三角形的面积公式以及余弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换得出，根据为锐角三角形可求出角的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. (1) 小问详解： 因为，即， 因为为锐角，故，所以， 由余弦定理可得，故. (2) 小问详解： 因为，由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则 ，解得， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用点斜式方程即可求得； （2）分别求出圆心和半径，进而求出标准方程. (1) 小问详解： 因为，， 所以的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. (2) 小问详解： 由垂径定理得，圆心在的中垂线上， 联立 ，解得，，即圆心为， 所以圆的半径， 所以所求圆的标准方程为. 17．【答案】9 【分析】 求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆心，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得方程； （2）根据圆的性质分析可知最长弦和最短弦，且最短弦EF垂直于GH，进而可求面积. (1) 小问详解： 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即， 则半径， 所以圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 因为， 由圆的性质可知过点P的最长弦过圆心，即为直径，即， 且最短弦EF垂直于GH，可得， 所以四边形EHFG的面积. 19．【答案】 【分析】 易知直线过定点，再由在动直线上的投影为点M，得到，进而得到的轨迹是以为直径的圆求解. 【详解】 解：因为直线过定点，且， 所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为，半径， 所以， 故答案为：. 20．【答案】 【分析】 利用椭圆的光学性质，结合等腰三角形三线合一的推论与中位线定理分析得点的轨迹为圆，再利用点到圆上点的距离的最值求法即可得解. 【详解】 因为椭圆，所以，，即， 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则， 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为， 易知点到圆心的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题解决的关键是，利用椭圆的性质分析得点的轨迹是圆，从而得解. 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．B 2．C 3．ABD 4．B 5．A 6．A 7．A 8．C 9．A 10．C 11．B 12．B 13．D 14．ABD 15．C 16．D 17．C 18．C 19．A 20．C 21．C 22．C 23．A 24．ACD 25．B 26．ABD 27．BC 28．ABC 29．A 30．C 31．BC 32．A 33．A 34．C 35．BD 36．A 37．ACD 38．ACD 39．A 40．BCD 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出圆心为，求出圆心到直线的距离，根据弦长得到方程，求出半径； （2）点在以为直径的圆上，求出圆方程为，故两圆相交，从而得到不等式，求出，得到答案. (1) 小问详解： 圆化为，故，解得， 所以圆心为， 直线的方程为，圆心到直线距离为， 由垂径定理得，解得. (2) 小问详解： 点在以为直径的圆上， 由于点和，故此圆方程为， 从而圆与圆有两个交点，其中圆心距， 只需满足， 得，即，解得 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与轴相切得半径； （2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解. (1) 小问详解： 圆， 则圆心，因为圆与轴相切，则半径. 由（1）知，圆的方程为，圆心，半径为2. (2) 小问详解： 法一：设， 联立 ，得， ， 则， 所以. 法二：圆心到直线的距离， 则. 故. 43．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）首先明确圆心与半径，利用点到直线距离求得弦心距，根据弦长公式，建立方程，可得答案； （2）过点的直线分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，建立方程，可得答案. (1) 小问详解： 圆即， 圆心，半径， 圆心到直线的距离， 故，则，解得. (2) 小问详解： 由（1）可得圆，则圆心，半径， 当过点的直线斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线； 当过点的直线斜率存在，可设直线方程，则， 圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即，整理可得，解得， 直线方程为， 综上，切线的方程为：或. 44．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）根据数量积为零可判断，从而可得圆是以为直径的圆，故可求其方程； （2）利用圆心到直线的距离为半径可求直线的斜率，从而可求切线方程. (1) 小问详解： 因为，，所以，即， 所以为圆的直径，且为的中点，所以，故， 故圆的方程为. (2) 小问详解： 若切线的斜率不存在，则，圆心到该线的距离为， 故直线不为切线. 设切线方程为，即； 由题意可知， 所以，即， 所求直线方程为或. 45．【答案】 【分析】 四边形的面积可分为，设出直线方程与圆的方程联立，利用两点的纵坐标差作为两个三角形的高，为底可得四边形面积，然后利用二次函数求最值. 【详解】 圆的方程为，圆心， 将代入，所以点在圆内， 不妨设，则与的高可分别为， 设直线方程为，与圆的方程联立 ，整理得， 所以，， 所以， 所以四边形的面积为 ， 因为，所以当即时，面积有最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】 本题考查直线和圆的位置关系，关键点是利用韦达定理求出两个三角形的高及用二次函数求最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 46．【答案】（1）     （2）和     （3）      【分析】 （1）依题意联立两直线方程，求出圆心，结合半径写出圆的标准方程即可； （2）结合图形，考虑过点且斜率不存在的直线恰为一条切线，设另一条切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径即可求得另一条切线方程即可； （3）根据条件将问题转化为两圆的公共点问题，从而利用两圆位置关系列出不等式，求解即得. (1) 小问详解： 联立 ，解得 ，即得， 又圆C的半径为2，故圆的标准方程为. (2) 小问详解：    由（1）已得， 由图知，过点且斜率不存在的直线恰与圆相切，故一条切线方程为； 设过点的圆的另一条切线方程为， 由圆心到直线的距离，解得， 故得，即， 综上，过点的圆C的切线n的方程为和. (3) 小问详解： 依题设圆心C的坐标为，则圆的方程为， 设点，由，可得， 即点既在圆上，又在圆上，也即圆与圆有公共点， 故，即得 ， 由① 解得，由② 解得. 综上，圆心C的横坐标的取值范围为. 47．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设出圆的一般方程，若选① ：将点，，代入，解方程组即可求解，若选② ：将点，代入圆的一般方程，求出圆心坐标代入即可求出，进而可得圆的一般方程，若选③ ：将点，代入圆的一般方程，再令中的得可得，即可求解. （2）求出直线的斜率，则弦所在直线的斜率，，即可求斜率，利用点斜式即可得直线的方程. 【详解】 （1）选条件①，设圆的方程为， 依题意有 ， 解得，，， 所以圆的方程为， 即为：. 选条件②，设圆的方程为， 因为圆E经过点，，且圆心在直线上 依题意有 ， 解得，，， 所以圆E的方程为. 选条件③，设圆E的方程为， 由圆E经过点，， 故 ， 又因为圆截y轴所得弦长为8， 故方程的两个实数根，的差的绝对值为8. 所以， 即 解方程组 ， 得，，或，，， 由于圆心E的坐标为整数， 故圆E的方程为. （2）由（1）知圆心，弦中点为， 所以， 弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键点是利用待定系数法求圆的方程，设圆的一般方程，再利用已知条件列方程，圆心与弦中点的连线与弦垂直，可求弦所在直线的斜率.由点斜式即可得方程. 48．【答案】 【分析】 由题可得直线经过圆心，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】 由可得标准方程为9，即圆心为， 因为该圆关于直线对称，则直线经过圆心， 即，整理得， 则， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是. 故答案为： 49．【答案】（1），以为圆心，半径为的圆     （2），最短弦长为10      【分析】 （1）设点的坐标为，结合图形利用切线性质将化成，利用两点之间距离公式化简即得动点的轨迹方程； （2）先求出直线经过的定点，根据圆的性质可知，当时，被圆截得的弦长最短，由此根据斜率建立方程求出参数的值，进而利用弦长公式即可计算弦长. (1) 小问详解： 由得. 因为两圆的半径均为1，所以， 代入上式可得，. 设点的坐标为，则， 整理得，即. 因此所求的轨迹是以为圆心，半径为的圆. (2) 小问详解： 方程可化为. 由 ，解得 ，则直线恒过定点. 记轨迹的圆心为，当时，直线被圆截得的弦长最短，此时恰为线段的中点. 因为，所以直线的斜率为1，即，解得， 圆心到直线的距离为， 则弦的长为. 故当时，直线被轨迹截得的弦长最短，最短弦长为10. 50．【答案】2 【分析】 先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】 对于圆，可得圆心为，半径为， 对于圆，可得圆心为，半径为， 由两点间距离公式得圆心之间的距离为， 而，则两圆相交， 可得两圆的公切线条数为2. 故答案为：2 51．【答案】（1），；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）将圆的方程化成标准形式，求出圆心、半径. （2）按直线的斜率是否存在，设出其方程并与圆的方程联立，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示，列式计算并验证得解. （3）利用（2）中信息求出弦长. (1) 小问详解： 依题意，圆：， 所以圆心的坐标为，半径. (2) 小问详解： 当直线斜率存在时，设其方程为， 由 消去得， 则， 由，得， 即，整理得， 于是，整理得，解得或， 当时，直线与圆交于点，与之一为，不符合题意， 当时，直线过圆的圆心，线段为圆的直径，符合题意， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆方程得，不妨设， ，，不符合题意， 所以直线的方程为. (3) 小问详解： 由（2）知直线，弦为圆的直径，则， 所以弦的长度. 52．【答案】（1）或     （2）直线经过定点，该定点的坐标为      【分析】 （1）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. (1) 小问详解： 圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆C的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为，即． 过点的圆C的切线方程为或． (2) 小问详解： 点在圆：上． 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为， 此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，， 联立方程组 ，整理得， 则，． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以，故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为． 53．【答案】 【分析】 求出以为直径的圆方程，得出直线的方程，在圆中求弦长即可. 【详解】 线段的中点为，， 则以为直径的圆方程为，即， 由题意知，是圆与的公共点， 则直线的方程为， 则点到直线的距离为，故.    故答案为： 54．【答案】 【分析】 根据题设易知过定点，过定点且，则在以为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆的圆心距，根据动点分别在两圆上知的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案. 【详解】 由题设，恒过定点，恒过定点， 因为，所以，即垂足为， 所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 故轨迹方程为， 而的圆心为，半径为2， 所以两圆圆心的距离为，而、分别在两圆上，故的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：. 55．【答案】（1）     （2），     （3） ，设， 联立 消得， 则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立 解得， 则， 所以，所以点在定直线上.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示.结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可；（3）设，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示直线的方程和直线的方程的方程，求出交点N的坐标即可证明. (1) 小问详解： 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 设，因为，则，即. 所以，， 因为，所以. 此时，，即，所以直线的方程为：. (3) 小问详解： 略 56．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）设圆，根据题意列出方程求解； （2）设直线，求出圆心到直线的距离，结合，求出得解； （3）由题，求出到的距离，利用，求解. (1) 小问详解： 设圆， 根据题意，可得 ，解得，， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 设直线，圆心到的距离， 因为，所以，即， 所以或， 所以直线的方程为或. (3) 小问详解： 若存在圆与圆外切，即存在点使得， 因为到的距离，所以， 所以，即， 所以或. 57．【答案】或 【分析】 根据题意，分过点的直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】 当过点的直线的斜率存在时，设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径1，所以，解得， 所以切线方程为，即， 当过点的直线的斜率不存在时，其方程为， 圆心到此直线的距离等于半径1，故直线也符合题意， 综上所述，所求的直线的方程是或. 故答案为：或. 58．【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 59．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据已知条件，联立方程组，即可求得圆的方程； （2）由弦心距公式，求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式，求得直线的斜率，即可得到直线的方程. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为：，由题意可得： ，解之得： ， 所以圆的标准方程为：； (2) 小问详解： 由弦心距公式可知，圆心到直线的距离为：. 当直线斜率不存在时，的方程为，显然此时圆心到直线的距离为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设的方程为：，即， 由点到直线的距离公式可得：， 解之得：或， 所以直线的方程为：或. 60．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）设，则，根据是圆上一动点，可得直线与圆有公共点，根据圆心到直线的距离小于等于半径列不等式求解即可 (1) 小问详解： 圆的方程可化为，圆心，半径. 过点且斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，切线方程为， 所求切线方程为或. (2) 小问详解： 设，则， 即， 因为是圆上一动点， 所以与有公共点， 所以，解得， 的取值范围 61．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）假设圆心坐标和半径，可得圆方程为，结合圆上的点，直线与圆相切可构造方程组求得的值，进而得到圆标准方程； （2）将直线方程与圆的方程联立，由可得的一个范围及韦达定理的结论，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可构造不等式求得的范围，进而确定最终结果. (1) 小问详解： 解：由题意可设圆的圆心，半径为， 则圆的方程为：， 圆过点，， 又圆与直线相切，， 由 得： ， 圆的标准方程为：. (2) 小问详解： 解：设，. 由 得：， ，解得：； ，， ，， ， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 62．【答案】 【分析】 方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出． 【详解】 ［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用 根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是， 弦心距，所以． 故答案为：. ［方法二］：距离公式的应用 由 解得： 或 ，不妨设， 所以． 故答案为：. ［方法三］：参数方程的应用 直线的参数方程为 ，将其代入，可得，化简得，从而，所以． 故答案为：. 【详解】【整体点评】 方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦； 方法三：直线参数方程中弦长公式的应用． 63．【答案】． 【分析】 根据点到直线的距离公式以及圆的方程，可将问题转化成可看作半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，进一步转化为圆心到直线的距离即可求解. 【详解】 原不等式可化为：对恒成立． 记直线，半圆弧 ， 则可看作半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，也就是原点半圆弧所在圆的圆心到直线的距离大于或等于． 而原点到直线的距离：，解得：，即实数的取值范围是． 故答案为： 64．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立 ，解得 ， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； (2) 小问详解： 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 65．【答案】（1）证明：设经过三点的圆的方程为， 则 ， 解方程组可得， 所以圆的方程为（或）； 又点在圆上， 所以证得四点在圆上；     （2）或     （3）不存在这样的点，理由如下： 设的坐标为，依题意可得， 平方化简可得的轨迹方程为， 两圆圆心的距离， 所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点.      【分析】 （1）求出经过三点的圆的方程，代入点坐标验证可得答案； （2）当斜率不存在时可直接得答案，当斜率存在时，设直线方程为，再利用圆心到直线的距离等于半径可得答案； （3）设的坐标为，根据可得的轨迹方程为圆，再由两圆的位置关系判断可得答案. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设直线方程为， 即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或； (3) 小问详解： 不存在这样的点，理由略. 66．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）设,求出的中点为，将中点代入线段的垂直平分线方程为，得到一个关于的方程，求出和的斜率为，由直线和直线垂直，利用，得到另一个关于的方程，联立这两个的方程，解得的坐标，设外接圆的标准方程为，将的坐标代入圆的方程，联立方程组计算求解； （2）按照直线不存在斜率和存在两种情况讨论求解，当直线存在斜率时，设出直线的方程，求出圆心到直线的方程的距离为，利用弦长公式计算求解. (1) 小问详解： 设，，的中点为， 线段的垂直平分线方程为， 的中点为在直线上， ，， ，的斜率为，直线和直线垂直， ，，联立 ，解得 ， ，设外接圆的标准方程为， ，，， ， ， 外接圆的标准方程为； (2) 小问详解： 当直线不存在斜率时，直线的方程为， 圆的标准方程为，则圆心，， 圆心到直线的方程的距离为，， 此时弦长为，符合题意； 当直线存在斜率时，直线的方程为，即， 圆心到直线的方程的距离为， 直线与圆相交截得弦长为，， 直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 67．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，再根据T为线段AP的中点可得，再带入列式化简即可； （2）设直线的方程为，，联立直线与圆的方程得出韦达定理，再代入化简求解即可. (1) 小问详解： 设，由可得， 又可得，即，化简可得. (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时不满足题意，设直线的方程为，即，. 联立可得，化简得，则，. 由，解得. 又 即. 68．【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）圆心为直线的垂直平分线和直线的交点，故联立两条直线的方程，即可得到圆心，再由两点间的距离得到半径，即可得到圆的标准方程； （2）分直线l斜率存在与不存在两种情况,斜率不存在时，直线满足弦长条件;斜率存在时，设直线方程，利用点到直线距离公式求出斜率，得到直线方程. (1) 小问详解： 由题意知：，的中点为 的垂直平分线的方程为即 联立方程组 得 即圆心，半径 圆的方程为； (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时，圆心到直线的距离为， 所以，直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． 69．【答案】 【分析】 先表示出，问题转化为求解，即求解圆半径的最小值求解. 【详解】 设圆心为，则，. 由题意可知， 所以，因为， 所以当时，有最小值， 所以的最小值为. 故答案为： 70．【答案】（1）或     （2）①； ② 证明：由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， AI 联立方程 ，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所以为定值．      【分析】 （1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）① 分析可知，即可得方程；② 设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. (1) 小问详解： 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. (2) 小问详解： ① 若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ② 略. 【点睛】 方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 71．【答案】 【分析】 先得到圆的圆心和半径，设，，根据得到方程，利用点坐标表达出点坐标，代入圆中，得到点在圆上，从而两圆有公共点，根据圆心距与半径的关系得到不等式，求出答案. 【详解】 根据题意，圆，即， 其圆心为，半径， 设，， 又由，则，，， 若，则有 ，变形可得 ， 若在圆上，则， 则有，变形可得：， 即点也在圆上， 从而圆与圆有公共点， 则有， 变形可得：， 解得：，即的取值范围为； 故答案为：． 72．【答案】 【分析】 设点的坐标为，根据题意列出关于的关系式，化简可得点的轨迹方程，由此可得点的轨迹为圆.根据点在直线l上，知直线与该圆有公共点，据此求得实数的取值范围. 【详解】 设点，化简得. 由此可知，点的轨迹为圆. 由于点在直线上，也在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以，即，所以. 解得或. 所以实数的取值范围是. 73．【答案】①     ② 【分析】 由切线可知，，可得，进而分析最值；整理可得，进而分析最值，利用两圆相交时公共弦的方程求法运算求解. 【详解】 因为圆可化为，可知圆心为，半径， 又因为是圆的两条切线，则， 可知四点共圆，且，， 因为， 当且仅当时，取到最小值，即取得最小值， 可设直线的方程为， 代入点可得，即，所以直线的方程为， 联立方程 ，解得，即， 则的最小值为， 所以的最小值为； 又因为， 当且仅当时，取到最小值，即取得最小值， 此时，，且线段的中点为， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 以为直径的圆的方程为，即， 因为圆，两圆相交， 所以两圆方程相减即为直线的方程. 故答案为：；. 74．【答案】（1）     （2）     （3）    由题意可知：直线，由 ，解得 或 ， 不妨令， 先证明如下问题：若点为直线上的动点，直线（其中）与圆的另一个交点分别为，（与不重合），求证：直线过定点．    因为， 可知，即，可得， 又因为， 可得， 则，即， 整理可得， 若直线的斜率存在，设为， 联立方程 ，消去y可得， 则，且， 则，整理可得，解得或， 若，则直线：过定点； 若，则直线：过定点，又与不重合，不合题意； 所以直线过定点； 若直线的斜率不存在，则，可得， 即，解得或（舍去）， 此时直线过点，符合题意； 且在圆内部，直线与圆必相交， 综上所述：直线过定点. 将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移个单位，即可得到本题的问题， 结合图形平移可知：直线过定点.      【分析】 （1）根据弦长关系可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，即可得方程； （2）根据切线性质可得，进而可得最小值； （3）先进行图形平移，将圆心平行至原点，可得，分类讨论直线斜率是否存在，利用韦达定理可证直线过定点，进而可得结果. (1) 小问详解： 已知圆的方程为 ，将其转化为圆的标准方程： . 所以圆心，半径. 因为是的中点，可知 . 已知，则 . 在中，根据勾股定理. 设点，根据两点间的距离公式 ， 两边平方可得 . 所以点的轨迹方程为 . (2) 小问详解： 因为，是圆的切线，所以，. 又因为 ， 所以四边形的面积， 根据勾股定理 ， 所以. 点是直线上的动点， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离 ， 即.当取最小值时， . 所以四边形面积的最小值为 . (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆、直线与圆的位置关系 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）圆的圆心坐标与半径分别为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）圆与圆的位置关系不可能为（    ） A. 相切 B. 相交 C. 内含 D. 外离 3．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）已知三点，动点满足，若，则线段（为原点）长度的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）（多选）已知直线，圆，为圆上任意一点，则（       ） A. 直线过定点 B. 若圆关于直线l对称，则 C. 的最大值为 D. 的最大值为3 10．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）（多选）已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（     ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 直线恒过定点 12．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的外接圆C的标准方程． 13．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上.则圆的标准方程为　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． （1）求B； （2）若，求的取值范围． 16．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知，. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 17．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）设点在圆C内，过点P的最长弦和最短弦分别为GH和EF，求四边形EHFG的面积. 19．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）“若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为　　　　　　. 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）（多选）已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（     ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 取圆上点，则的最大值为 D. 直线被圆所截得弦长最短为 4．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）以点为圆心的圆截直线所得弦长为，则该圆的半径为（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  5．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A. 相交 B. 相切 C. 外离 D. 内含 6．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）如果直线与圆有两个不同的交点，则点与圆的位置关系为（       ） A. P在圆外 B. P在圆上 C. P在圆内 D. P与圆的位置不确定 7．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（        ） A. 3 B. 4 C. 5 D.  8．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知点和圆，以为直径的圆与圆交于，两点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. -1 11．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  12．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知直线与圆相切，则圆M和圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 13．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）若圆与坐标轴的交点是一个等腰直角三角形的三个顶点，则的值为（       ） A. 1 B. 2 C.  D.  14．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）（多选）已知圆，圆，直线.（       ） A. 直线过定点 B. 当时，直线被圆截得的弦长为 C. 当时，圆与圆有两个公共点 D. 当时，过圆上的点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点使四边形为正方形 15．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）已知圆和两点、，若A、B不在圆C上，并且圆上有且仅有一点，使得，则实数的值是（     ） A.  B.  C. 或 D.  16．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 18．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知圆，动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为（     ） A. 4 B.  C. 8 D.  19．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）自点发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之和为（       ） A.  B.  C.  D. 1 20．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则r的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·山东日照·期中）已知圆，若点P在圆上，并且点P到直线的距离为，则满足条件的点P的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 22．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则点到直线的距离是（       ） A. 3 B.  C.  D. 2 23．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（     ） A. 12 B. 9 C.  D.  24．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）（多选）已知直线，圆，则（       ） A. ，与相交 B. ，使得圆心到的距离为 C. ，使得圆截所得的弦长为 D. ，使得圆上有4个点到的距离为2 25．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知圆：与圆：有公共点，则实数a的可能取值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 3 26．（25-26学年高二上·山东德州·期中）（多选）已知直线l：，圆C：，点，则下列说法正确的是（     ） A. 若直线l与圆C相离，则点A在圆C内 B. 若直线l经过点A，则点A在圆C上 C. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相交 D. 若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为 27．（25-26学年高二上·山东德州·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：，点为曲线C上一点，则（     ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 曲线C为中心对称图形 C. 直线与曲线C有且仅有两个公共点 D. 点P的横坐标的取值范围为 28．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）（多选）已知圆与圆，则（       ） A. 过点作圆的切线只有条，则 B. 若圆与圆有且只有条公切线，则 C. 当时，两圆的一条公切线方程为 D. 当时，两圆的公共弦长为 29．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）（多选）已知直线与圆，下列说法正确的是（       ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得的最短线段长为 D. 圆与圆有3条公共切线 32．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知实数满足，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（       ） A. 1或3 B. 2 C. 3 D. 1或5 34．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）（多选）已知圆，直线，则（     ） A. 直线过定点 B. 直线与圆相交 C. 当时，直线被圆截得的线段最短 D. 存在实数，使得直线与圆的两个交点到原点的距离相等 36．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）（多选）已知圆：，直线：，．则下列选项正确的有（       ） A. 若圆心到的距离为1，则 B. 若与圆交于、两点，则 C. 设点在圆上，则的取值范围为 D. 设点在圆上，则的取值范围为 38．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）（多选）已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（     ） A. 直线过定点 B. 的最小值为2 C. 的取值范围为 D. 当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 39．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知点，若圆上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（    ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（       ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 四边形面积的最小值为1 C. 切线长的最小值为1 D. 直线恒过定点 41．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点和 （1）若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； （2）已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 42．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）已知圆与轴相切. （1）直接写出圆心的坐标及的值； （2）直线与圆交于两点，求 43．（25-26学年高二上·山东日照·期中）已知直线与圆交于，两点 （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求过点的圆的切线方程. 44．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 45．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点的直线与圆交于，两点，则四边形面积的最大值为　　　　　　　　　　． 46．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知O为坐标原点，，圆C的半径为2，圆心在直线l：上． （1）若圆心C也在直线m：上，求圆C的方程； （2）在（1）的条件下，求过点的圆C的切线n的方程 （3）若圆C上存在点M，使得，求圆心C的横坐标的取值范围． 47．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）在①圆经过，②圆心在直线上，③ 圆截轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解. 已知圆E经过点，且_________； （1）求圆E的方程； （2）求以为中点的弦所在的直线方程. 48．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）圆关于直线对称，则的最小值是　　　　　　 49．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）已知圆心分别为和的两个圆的半径都是1，过动点分别作圆，圆的切线（分别为切点），使得. （1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （2）直线被轨迹截得的弦长最短时，求的值及最短弦长. 50．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）圆与圆的公切线的条数为　　　　　. 51．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知圆：. （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）过点作直线与圆交于两点，若与垂直，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求弦的长度. 52．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知圆的方程为． （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 53．（25-26学年高二上·山东日照·期中）过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则　　　　　. 54．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）已知直线与直线相交于点M，点N是圆上的动点，则的取值范围为　　　　　　　　． 55．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. （3）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 56．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （3）若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 57．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为　　　　　　　　　　. 58．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 59．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知圆过点，，圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 60．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知点和圆：. （1）求经过点的圆的切线方程； （2）若是圆上一动点，求的取值范围. 61．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两个不同的点，且满足，求实数的取值范围. 62．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）直线与圆交于两点，则　　　　　　　　． 63．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　． 64．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 65．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知. （1）证明：四点共圆； （2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程； （3）坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 66．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为． （1）求外接圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程． 67．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． （1）求点T的轨迹C的方程； （2）过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 68．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若经过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程． 69．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为，，设，则的最小值为　　　　　. 70．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 71．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知以为圆心的圆及其上一点，设满足：存在圆上的两点和，使得，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 72．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知两定点，若直线上有一点满足，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 73．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为　　　　　　　　　　；当最小时，则直线的方程为　　　　　　　　　　. 74．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，，是圆上的动点，且，的中点为. （1）求点的轨迹方程； （2）设点是直线：上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值； （3）若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，，（与不重合），求证：直线过定点. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $