专题01 空间向量及其运算（期中真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题01 空间向量及其运算 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）若，，，四点共面，则（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 求出关键向量，利用四点共面的性质建立方程组，求解参数即可. 【详解】 因为，，，， 所以，，， 若四点共面，则， 可得 ，解得，故选项A正确. 故选：A 2．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据三棱柱的特征及空间向量线性运算的几何意义计算即可. 【详解】 易知. 故选：C 3．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，，则 B. 若，，，是空间任意四点，则有 C. 已知，能判定空间中四点，，，共面 D. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】BC 【分析】 根据向量共线判断A，根据空间向量线性运算法则判断B，根据空间向量共面定理判断C、D. 【详解】 对于A：因为，， 所以，则，则或与在同一条直线上，故A错误； 对于B：若，，，是空间任意四点，则有，故B正确； 对于C：，三个向量共面， 四点共面，故C正确； 对于D：，三个向量共面， 不能作为空间的一组基底，故D错误. 故选：BC 4．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】 依题意有. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（       ） A. 0 B.  C.  D. 2 【答案】D 【分析】 利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】 由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：D. 6．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（       ）． A.  B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 过点，分别向作垂线，垂足分别为，，由，平方后结合长度和垂直关系可得解. 【详解】    过点，分别向作垂线，垂足分别为，， 则可得，，，，． 由于， 所以 ， 所以． 故选:A． 【点睛】 本题主要考查了空间向量数量积的应用，属于基础题. 7．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用向量线性运算得，两边平方得到方程，即可计算线段的长. 【详解】 ∵二面角的大小为，，， ∴，. 由题意得，， ， ∴， ∴，即线段的长为. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量，则 C. 已知三向量，，共面，则 D. 若，则为钝角 【答案】AC 【分析】 根据空间向量的性质即可判断A；只需判断与是否平行判断B；利用空间向量的基本定理计算可判断C；由反向共线的情况判断D. 【详解】 A：对于空间向量，若， 空间中任意两个向量均是共面的，即、均共面， 所以一定共面，故A对； B：因为，,所以与不平行， 故不成立，故B错； C：已知三向量，，共面， 则存在实数，使得， 得， 得 ，解得 ，故C对； D：当反向共线时，也有，但此时不是钝角，故D错. 故选：AC 9．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（       ） A.  B.  C.  D. 与t有关 【答案】A 【分析】 首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】 因为向量在面上的投影向量为， 则. 因为在向量上的投影向量为， 则. 所以. 所以向量的夹角为. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【详解】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 11．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量线性运算，用表示，再用空间向量数量积运算即可. 【详解】 根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 12．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中，且，则点的轨迹的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 易得平面，设为的交点，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理得平面，进而可得，在平面中建立平面直角坐标系，设，求出点的轨迹方程，即可求解. 【详解】 因为，所以平面， 如图1所示，设为的交点，所以， 又平面平面， 所以， 又，平面，所以平面， 因为点平面，故平面， 所以，则， 因为正方体的棱长为，所以，即， 在平面内建立平面直角坐标系，如图2所示， 则， 设， 则，， 所以， 又，故，即， 整理得，即， 故点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度为． 故选：C． 13．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）（多选）棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O，点P是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（     ） A. 记直线AO与直线AB的夹角是α，则 B. 记直线AO与平面ABC的夹角是β，则 C. 记（）的最小值为n，则 D. 记在上的投影向量为，则 【答案】ACD 【分析】 根据正四面体内切球的性质结合正四面体结构特征求解判断A、C；根据点到平面的距离求解判断C；根据投影定义求解判断D； 【详解】 如图，设内切球的半径为r，球O与平面BCD的切点为H， 则， 根据等体积法可得，正四面体ABCD的体积，解得. 对于选项A：可知，故A正确； 对于选项B：由直线AO与平面ABC的夹角是β， 设球O与平面ABC的切点为G，连接OG，则平面ABC， 可知，， 所以在直角中，，故B错误； 对于选项C：令，则Q是平面BCD内一动点， 则， 即球面上的点到平面BCD上点之间的距离，最小值n表示球面上的点到平面BCD的距离， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为点A在线段BC上的投影为线段BC的中点E，且点P在线段BC上的投影点位于点的左侧和右侧， 可得的最大值为，所以，故D正确； 故选：ACD. 14．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）向量与共线，且方向相同，则　　　　　　　　　　. 【答案】14 【分析】 根据共线得到等式，计算即可求得结果. 【详解】 因为向量与共线，且方向相同， 所以，则， 得到，解得，， 所以， 故答案为：. 15．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设. （1）用表示； （2）求的长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）用向量减法的三角形法表示，根据空间昂立基本定理用基底表示出来； （2）根据（1）中的结果，代入正四面体的长度和角度，根据数量积的运算律可以求得. (1) 小问详解： 连接， ， ， 则； (2) 小问详解： 由（1）可得，所以 ， 因为是正四面体，，故夹角均为， 所以， ，所以，即的长为. 16．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为60°，点分别在棱上，且，则　　　　　　　　　　；直线与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 表达出，平方后求出，求出；求出，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值. 【详解】 连接， ， 故； ， 故 ， 故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：； 17．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为　　　　　　 【答案】 【分析】 先将表示为，然后根据向量的数量积运算结合长度和角度求解出. 【详解】 因为， 所以 ， . 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）已知异面直线所成角为60°，直线垂直于直线且分别与直线交于、两点.点直线a，点直线b，，，，则 　　　　　. 【答案】或2 【分析】 利用向量的加法运算可得，再由向量的模长及数量积运算即可求解. 【详解】 ， 所以 ， 由题意得与的夹角为60°或120°， 当夹角为60°时，， 此时，所以； 当夹角为120°时，， 此时，所以； 故答案为：或2. 19．（25-26学年·山东德州九校·期中）如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 可以通过向量的加法将表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式来求解. 【详解】 根据向量加法三角形法则得到，， 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，延长、、至点、、，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到、、、四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的，结合正三棱锥的性质，即可求解. 【详解】 如图所示，延长、、至点、、，使得，，， 所以， 又由，所以、、、四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为，则点到平面的距离是点到平面的距离的， 又因为，， 所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接、，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故答案为：. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用向量的线性运算求解即可. 【详解】 因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量基本定理得到，故. 【详解】 为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 3．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，点N为中点，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】 ，点N为BC中点， 则. 故选：C 4．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 5．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】 依题意 ， 又，所以，. 故选：C 6．（25-26学年高二上·山东日照·期中）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】 ，为中点， 故. 故选：B 7．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（       ） A. 3 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 用表示求出即可得解. 【详解】 由题意知， 因为，所以，则. 故选：B 8．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）在三棱锥P－ABC中，AB与PC中点分别为M，N，点G为MN中点．若D在PA上满足，E在PB上满足，平面DEG交PC于点F，且，则λ的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故选：B. 9．（25-26学年高二上·山东德州·期中）在三棱锥O-ABC中，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且，用向量，，表示向量是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求得答案. 【详解】 依题意， . 故选：C. 10．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且是棱的中点，设平面，则的值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用空间向量基本定理，以为一组基底，分别表示和向量，再根据向量与共线的条件求出参数即可. 【详解】 以为一组基底，所以， ，由已知点在平面内，即与共面， 可设，又因为为的中点，所以， 所以，由与共线，设， 所以，即 ，解得， 所以， 故答案为：. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）已知空间向量，，若，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 3 【答案】B 【分析】 由空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】 因为，，且，所以，解得， 故选：B. 2．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）已知向量，且，则的值为（       ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】A 【分析】 根据空间向量垂直得到，解方程即可. 【详解】 因为，所以， 因为向量，， 所以，解得， 所以的值为4. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（     ） A. -5 B. -2 C. 2 D. 5 【答案】D 【分析】 根据对称得出，再根据坐标运算得出数量积. 【详解】 因，则点M关于平面xOy的对称点坐标为， 因点M关于平面xOy的对称点坐标为，则， 则，，故. 故选：D 4．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知满足，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据已知由空间向量的坐标运算求得  ，根据数量积的运算律结合，即可得的值． 【详解】 由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 5．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用空间中坐标关于面的对称性质确定坐标. 【详解】 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 利用空间向量平行的条件建立方程组，求解参数，进而得到即可. 【详解】 因为，所以，可得 ， 解得，则，故D正确. 故选：D 7．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）在空间直角坐标系中，点关于xOz平面的对称点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用点关于xOz平面的对称点坐标为求解. 【详解】 点关于xOz平面的对称点坐标为. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知空间向量，．若，则实数的值为（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【分析】 由得，结合空间向量数量积的坐标表示建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】 由题意知，， 由，得， 即， 所以，所以，解得. 故选：C 9．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）在平行六面体中，已知点，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据向量的线性运算法则，可得，代入坐标，即可得答案. 【详解】 由题意 所以. 故选：A 10．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知向量，，，则（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【分析】 由数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 ， 所以， 故选：C 11．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知，，则等于（       ） A.  B.  C.  D. 5 【答案】C 【分析】 由向量的坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】 ， 所以， 故选：C 12．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知，则（       ） A. 11 B.  C. 45 D. 3 【答案】A 【分析】 先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】 因为， 所以， 所以. 故选： 13．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）设，向量，，且，，则（       ） A.  B. 3 C.  D. 4 【答案】B 【分析】 由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】 向量，且， ∴ ，解得 ， ∴， ∴， 故选：B 14．（25-26学年·山东德州九校·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的是（     ） A. 向量，若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 已知，则向量在向量上的投影向量是 【答案】BC 【分析】 由共线反向得到可判断A，坐标系中点的对称，可判定B；根据共面向量定理，可判定C；根据投影向量的计算方法，可判定D. 【详解】 对于A，当时，共线反向，故A错； 对于B，由对称坐标表示可知点关于坐标平面的对称点是，B正确， 对于C，若共面，则存在，使得， 由，则，显然这两个未知量无实数解， 所以也是空间的一个基底，C正确； 对于D中，由，，， 可得，则， 所以向量在向量上的投影向量为，所以D错误. 故选：BC 15．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 【答案】D 【分析】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题① ② ③ 的正误. 【详解】 取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点. 在正方体中，平面，平面，， 又，，平面，即，， 同理可证，，则，. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，. 对于命题① ，，，则，则，所以，，命题① 正确； 对于命题② ，，则平面的一个法向量为， ，令，解得， 所以，存在点使得平面，命题② 正确； 对于命题③ ，，令， 整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③ 错误. 故选：D. 【点睛】 本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 16．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）向量，且，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先利用向量垂直和平行的条件求出、，再计算向量的模长. 【详解】 由，得，解得. 由，设，即，得，. 故，，则，其模长为. 故答案为： 17．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知点，，，使得与垂直的x值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】 ，， 则， 则，即，解得. 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知空间三点，设. （1）若，且，求. （2）若与互相垂直，求. 【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）由题意得到，结合模长公式求得即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. (1) 小问详解： ，因为，则设， 故，则， 则，即或. (2) 小问详解： ， ， ， 得，即， 则或. 19．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知，，，，，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值. 【答案】（1）0     （2）      【分析】 （1）由向量平行及垂直的坐标表示即可求解； （2）由向量夹角的坐标公式即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以， 解得，， 所以， 又，则，即，得， 于是，则. (2) 小问详解： 由（1）得， 设与的夹角为，所以， 所以与夹角的余弦值为. 20．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）两个非零向量，，定义．若，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据新定义及向量夹角公式计算即可. 【详解】 【详解】 因为，， 所以， 故， 所以， 故答案为： 21．（25-26学年高二上·山东日照·期中）光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则直线与所成角的余弦值为　　　　　. 【答案】 【分析】 构造长方体，建立空间直角坐标系，利用点面的对称，及空间向量计算线线夹角即可. 【详解】 如图： 在长方体中，表示入射线，平面为平面，在平面的射影为， 因为直线照射到平面的入射角为60°，所以. 不妨令，，将平面绕轴旋转30°得平面. 建立空间直角坐标系，则，可取， 易知反射光线的方向向量为：. 设D关于平面的对称点为N，作， 易得，所以， 则，所以反射线的方向向量为：. 所以. 故答案为： 22．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）如图，在直三棱柱中，，，点是线段上一点，则四面体的外接球半径的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用两点间距离公式列方程求出球半径范围. 【详解】 在直三棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，四面体的外接球球心，半径， 由，得， 因此， 整理得，则， ，解得， 所以四面体的外接球半径的取值范围为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）若，，，四点共面，则（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，，则 B. 若，，，是空间任意四点，则有 C. 已知，能判定空间中四点，，，共面 D. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 4．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（       ） A. 0 B.  C.  D. 2 6．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（       ）． A.  B.  C.  D. 2 7．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量，则 C. 已知三向量，，共面，则 D. 若，则为钝角 9．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（       ） A.  B.  C.  D. 与t有关 10．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（    ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中，且，则点的轨迹的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）（多选）棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O，点P是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（     ） A. 记直线AO与直线AB的夹角是α，则 B. 记直线AO与平面ABC的夹角是β，则 C. 记（）的最小值为n，则 D. 记在上的投影向量为，则 14．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）向量与共线，且方向相同，则　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设. （1）用表示； （2）求的长. 16．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为60°，点分别在棱上，且，则　　　　　　　　　　；直线与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为　　　　　　 18．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）已知异面直线所成角为60°，直线垂直于直线且分别与直线交于、两点.点直线a，点直线b，，，，则 　　　　　. 19．（25-26学年·山东德州九校·期中）如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，点N为中点，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·山东潍坊寿光第一中学·期中）如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·山东日照·期中）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（       ） A. 3 B.  C. 4 D.  8．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）在三棱锥P－ABC中，AB与PC中点分别为M，N，点G为MN中点．若D在PA上满足，E在PB上满足，平面DEG交PC于点F，且，则λ的值为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·山东德州·期中）在三棱锥O-ABC中，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且，用向量，，表示向量是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且是棱的中点，设平面，则的值为　　　　　　　　　　. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）已知空间向量，，若，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 3 2．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）已知向量，且，则的值为（       ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 3．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（     ） A. -5 B. -2 C. 2 D. 5 4．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知满足，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）在空间直角坐标系中，点关于xOz平面的对称点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知空间向量，．若，则实数的值为（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）在平行六面体中，已知点，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知向量，，，则（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知，，则等于（       ） A.  B.  C.  D. 5 12．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知，则（       ） A. 11 B.  C. 45 D. 3 13．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）设，向量，，且，，则（       ） A.  B. 3 C.  D. 4 14．（25-26学年·山东德州九校·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的是（     ） A. 向量，若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 已知，则向量在向量上的投影向量是 15．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 16．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）向量，且，则　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知点，，，使得与垂直的x值为　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知空间三点，设. （1）若，且，求. （2）若与互相垂直，求. 19．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知，，，，，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值. 20．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）两个非零向量，，定义．若，，则　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·山东日照·期中）光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则直线与所成角的余弦值为　　　　　. 22．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）如图，在直三棱柱中，，，点是线段上一点，则四面体的外接球半径的取值范围为　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量及其运算 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量基本定理 考点03空间向量及其运算的坐标表示 ①考点01空间向量及其运算 1.A 2.C 3.BC 4.B 5.D 6.A 7.B 8.AC 9.A 10.A 11.A 12.C 13.ACD 14.【答案】14 【分析】 根据共线得到等式，计算即可求得结果. 【详解】 因为向量a=-1,X,4卢6=2x,-8,y共线：且方向相同. 所以a=6>0:则-1，x,4=入2x,-8, 得到2之0，解湘2y16 所以x+y=14, 故答案为：14. 15.【】wMw=-a*写6+号 (2) 2/19 3 1/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 (1)用向量减法的三角形法表示，根据空间昂立基本定理用基底表示出来： (2)根据(1)中的结果，代入正四面体的长度和角度，根据数量积的运算律可以求得. (1)小问详解： 连接oN,MiN=ON-OM M B oM-0A-a,0N=-0B+Bw-0B+号c=0n+号引oc-08-号0c+号oD-5+8 3+3c, 则w-0n-ow=*6+导 (2)小问详解： 田得N8+h+ewEg+h士2 3 3 3 b+3c 之三士子 12之42— 9 C bc, 9 因为0-ABC是正四面体，OA=4:故。方二夹角均为60， a,b,c 所以a=b=c2=16,a-b=ac=bc=8' 1MN=116-40-76.所以MN-219.即MN的长为2 999 3 3 16.【答案】02/0 ②95 3 15 【分析】 世6=-A0-号：方行发n号求型2亚来Ad26期时 2/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值， 【详解】 连接AF,AE, D A B B EF=AF-AE=AD+IDD1-AB-3BB,=-AB+AD-1AA 3 3 Er-AB+A0+日AA-2ABAD+号AB-An:号ADAA=4+4+着-2x2×2os号+号×2×2co 33 33 1÷2V10 故EF= 39 AC=AB+AD+AA' 故A1C2=AB+AD2+AA2+2ABAD+2ABAA,+2AD·AA =4+4+4+2×2×2×1+2×2×2×1+2×2×2×1=24, 2 2 故A1C=26 则AC1·EF AB+AD+AA -AB+AD-AA AC EF 26x2V10 3 -AG+AD-AA2-号ABAA,+号ADAA 、8 3 3-V15 8V15 8V1515 3 3 3/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 V15 故直线AC,与EF所成角的余弦值为15 2V1015 故答案为： 3：15 17.【答案】V10 【分析】 先将A,C表示为A,A+AB+AD:然后根据向量的数量积运算结合长度和角度求解出 A C 【详解】 因为AC=A1A+AC=A1A+AB+AD' }2 所以AiC=AA+AB+AD =AAaB+A0+2AAA+2A,AA0+2DA0=1611+2412×4x110 ∴.A1C=/10 故答案为：V10 18.【答案】22或2 【分析】 利用向量的加法运算可得EF=EA+AA,+AF:再由向量的模长及数量积运算即可求解。 【详解】 EF=EA+AA +A F' -21-2-21-2 所以EF=EA+AA+A1F+2EAAA1+2AAA,F+2EA·A1F =1+1+4+2EA·A1F1 由题意得EA与A1F的夹角为60°或120， 当夹角为60时，EAAF=1×2×子1， 4/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时E时=6+2=8g 所以EF=2V2: 当夹角为120时EAAF=1×2×引=-1 此时EF=6-2=4所以E=2: 故答案为：22或2. 19.【答案】V11 【分析】 可以通过向量的加法将AM表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式d-a2来求解 【详解】 根据向量加法三角形法则得到，AM=AB+BM=AB+号BC+BB! 即AM=AB*号AD+号AA即MAB+号0+AA小 12 展开得到， AM=AB+AD+1AA+AB-AD+AB-AA+ADAA" 运用数量积公式计算得到AM2=4+1+1+2×2×号+2×2×号+号×2×2×号-11 22 因为AM-AM2,所以AM=RyT 故答案为：V11 20.【答案】2V13 【分析】 根据题意，延长PA、PB、PC至点DEF,使得PD=3PA'PE=3 PB'PF=3PC'得到 PM-管PD+岁PE+3之PF,综合空间向量的关面定里，得到M、D.E,F四点关面，把A到干 3 3 5/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 面DEF的距离转化为点P到平面DEF的距离的子，结合正三棱锥的性质，即可求解 【详解】 如图所示，延长PA、PBPC至点DE~F,使得PD=3PA'PE=3PB'PF=3PC' B E 所以PM=xPA+yPB+|3-X-yPC=PD+兰PE+3-X-YPF, 3 3 3 又由++3-Y=1,所以M、D、E、F四点共面， 33 3 所以AM的最小值，即为点A到平面DEF的距离， 则点A到平面DEF的距离是点P到平面D 又因为PD=PE=PF=3PA=12,DE=DF=EF=3AB=9, 所以三棱锥P-DEF为正三棱锥， 取等边△的中心为O,连接DO、PO,可得PO⊥平面DEF, 所以PO即为点P到平面DEF的距离， 在等边△6，因为DE=DF=EF=9.可得2D0-=9 =63 可得D0=33, 在直角△P0D中，可得P0=VPD2-D02=12-33}=3/13 即点P到平面DEF的距离为3V13,所以AM的最小值为2V13 故答案为：2V13. D考点02空间向量基本定理 1.D 6/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.B 9.C 10【答案1号 【分析】 利用空间向量基本定理， 以AP,AB,AD为一组基底，分别表示Pp和PC向量，再根据向量PF与PC共 线的条 PF=1PC求出参数，即可 【详解】 以AP,AB,AD为一组基底，所以PC=PA+AB+BC=-AP+AB+AD, PF=A+AE=-AP+Ag由已知点F在平面ABE内，即AP卢AB,AE 共面， 可资AF=mAB*nAE又因为E为PD的中点，所以AC-号AP+号AD, 所以pF=n-1Ap+mAB+AD与p共线，设pe PF=λPC n-1 2 所以PF=-1AP+入AB+上AAD:即A=m ，解得=m=n= 3 ,PF_2 所以PC3 7/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为： 3 》 考点03空间向量及其运算的坐标表示 1.B 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D 7.B 8.C 9.A 10.C 11.c 12.A 13.B 14.BC 15.D 16.【答案】V33 【分析】 先利用向量垂直和平行的条件求出xy,再计算向量3ā-6的模长 【详解】 1C,得 由 c=2x+1×-4+1×2=0'解得x=1: 61C设6=kc即1，y,1=k2,-42符k=号y=-4×-2 故a=11,16=1,-2,1r则3a-b=25,2其模长为2+52+2=33 故答案为：33 17.【答案】 22 1 【分析】 8/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可 【详解】 AB=2,-3,3'AC=1,-2,3 则AB+xAC=2,-3,3+x1,-2,3=2+x,-3-2x,3+3x' 则AB-AB+XAC=0:即2×2+x-3×-3-2x+3×3+3x=0,解得x=- 22 1 故答案为：一 18. 登案】1)52520戌=-52-520 C= 22 c=-21 (2)k 5或k=-4 2 【分析】 1)由慰意得到c=入a=以，入，0，结合模长公式求得入=±2即可求解。 (2)由向量垂直的坐标表示即可求解 (1)小问详解： a=AB=11,0因为c/1a则设c=a=a,A,0 故Ad=2=5则川=2，A=±2， 则=52a-+0m-2要0 582.-52,0 2 (2)小问详解： ka+b=k1,1,0+-1,0,2=k-1,k,2 ka-4b=k1,1,0-4-1,0,2=k+4,k,-8 ka+b-ka-46=k-1k+4+k2+2x-8到=0 得2k2+3k-20=0,即2k-5k+4=0, 9/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则k=5或k=-4 19.【答案】(1)0 【分析】 (1)由向量平行及垂直的坐标表示即可求解； (2)由向量夹角的坐标公式即可求解. 1)小问详解： 168音手宁 解得x=2,y=-4, 所以a=2,41b=-2,-4,-1 又61c则6c=0即-6-2×-4×-z)=0,得z=2 于是2=3，-2,2r则x+y+2=2-4+2=0 (2)小问详解： 由(10得a+c=5,23b+c=1,-6,1 设，与：二的夹角为9所以co50= a+c b+c 5-12+3=-2, a+c b+c 38×V3819 a+c b+c 所以a+c与b+c夹角的余弦值为19 20.【答案】2V3 【分析】 根据新定义及向量夹角公式计算即可. 【详解】 因为a=P+1=2,bl=2+2=22'ab=2 10/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以cos<a,b>=a~b=2=1 lal-Ibl 421 ma61-受-要 2 所以ā×61=2x22×3 =23, 故答案为：2V3 21. 【答案】日 【分析】 构造长方体，建立空间直角坐标系，利用点面的对称，及空间向量计算线线夹角即可 【详解】 如图： ZA G M 在长方体中，DA表示入射线，平面MA为平面Q,DA在平面a的射影为FA, 因为直线DA照射到平面a的入射角为60°，所以∠DAF=30° 不妨令FD=1,FM=3,A=3,将平面a绕FA轴旋转30°得平面EFGH 建立空间直角坐标系，则A0,3,0可取B0,23,1 易知反射光线AB的方向向量为：AB=0,3,1 设D关于平面EFGH的对称点为N,作NJ⊥FM, 易有R=DF=1,2FN=30,所以N,J= 2 所以反射线AC的方向向量为：NA= 11/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3+1 所以cos∠BAC AB·NA _7 2×28 AB·NA 故答案为：冒 22. 【答案】 6, 3V3 2 【分析】 根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用两点间距离公式列方程求出球半径范围 【详解】 在直三棱柱ABC-A,B,C1中，AB⊥AC,建立如图所示的空间直角坐标系， ZA M 则B(3,0,0),C(0,3,0),A1(0,0,3),设M(t,3-t,3),0≤t≤3，四面体A1BCM的外接球球心(x,y,z), 半径R, 由R2=(x-3P+y+z2=x2+(y-3P+z2=X+y+2-3P,得2=y=x 因此R2=3xX2-6x+9=(x-t2+[x-(3-t)+(x-32” 4’2 R-3x-1+6e6,解得r∈ 12/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以四面体A,BCM的外接球半径的取值范围 6, 2 故答案为： 3 6,3 13/13