精品解析：山东省桓台第一中学2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试题

桓台一中 2025-2026学年第一学期高二期中质量检测数学试题 2025.11.18 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线互相平行，且两者之间的距离是，则等于 A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则 C. 若 ，则事件与B相互独立 D. 若，则 5. 在四面体中，点G是的重心，设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上一点，且（为坐标原点），以为圆心，为半径的圆与轴相交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 在上的投影向量的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. A、B两点间距离 10. 已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若椭圆焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存点使得 11. 已知圆，若对于圆上任意一点，在圆上总存在点，使得，则的取值可能为（ ） A. 4 B. 0 C. D. 1 三、填空题 12. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 13. 点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 14. 对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，_____；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_____． 四、解答题 15. 2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. （1）求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 16. 在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求点A关于直线BC的对称点的坐标 （3）若，求的高所在直线的方程 17. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）直线与圆交于A，B两点，若的面积为2，求直线的方程. 18. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当点在椭圆上运动时 ①线段的中点的轨迹方程； ②不过原点且斜率为2直线与点的轨迹交于A，B两点，求的面积最大值. 19. 如图，在底面为正方形的多面体中，四边形为矩形，是线段的中点，且，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求的值； （3）当取何值时，与平面所成的角最大? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桓台一中 2025-2026学年第一学期高二期中质量检测数学试题 2025.11.18 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据即可求出倾斜角. 【详解】由题意得直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 已知直线与直线互相平行，且两者之间的距离是，则等于 A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条直线平行，及两条平行线间的距离公式，可得方程组，解之即可得到结论. 【详解】直线与直线平行且两者之间的距离是， ，(负值舍去)， . 所以B选项是正确的. 【点睛】本题考查两条平行线间距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题. 3. 方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知化为圆的标准方程进行求解即可. 【详解】将方程化简得， 要使得该方程表示圆，则，解得. 故选：C. 4. 已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则 C. 若 ，则事件与B相互独立 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式计算可判断A，利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B；利用独立事件的概念可判断C；由交事件的定义可判断D. 【详解】对于A，若与互斥，则，故A正确； 对于B，若与相互独立，则， 所以，，故B正确； 对于C，若，且， 所以，事件与相互独立，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 故选：D 5. 在四面体中，点G是的重心，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据G是的重心，可知，再根据向量加法、减法法则即可求解. 【详解】∵G是的重心，∴. ， . 故选：B 6. 不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 【详解】因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示以圆心为原点，半径为2的半圆，画出图形，考虑直线与半圆相切、分别经过点，，可得所求取值范围． 【详解】设过且有斜率的直线位， 曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆， 由直线与圆相切可得，解得或， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 由图象可得，或． 故选：C． 8. 已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上一点，且（为坐标原点），以为圆心，为半径的圆与轴相交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件作出图形，利用点在曲线上及垂径定理，结合锐角三角函数及构造齐次式方程法解决椭圆的离心率即可. 【详解】由题可知，，过作轴，垂足为，如图所示 因为点是椭圆上一点，且，设，则 所以，即，解得， 不妨设点在第一象限，所以，即圆的半径， 因为圆心在弦的垂直平分线上， 所以为的中点，即, 所以, 又因为， 所以， 在中，，， 所以,即， 所以，即0，即，解得或. 因为，所以. 故椭圆的离心率为， 故选：A. 二、多选题 9. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 在上的投影向量的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. A、B两点间距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】由题可得， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确， 在上的投影向量的坐标是，故B正确； 与夹角的余弦值是，故C错误； A、B两点间的距离即，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断A、B；由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断C、D. 【详解】A：由椭圆方程，若的焦点在轴上，则，故错误； B：当椭圆焦点在轴上时，，可得， 当椭圆焦点在轴上时，，可得，故正确； C、D：由题设，则， 当，则， 所以，而，则， 所以，C正确， 当为椭圆上下顶点时，，则， 此时，在中，故最大角可达到， 所以存在点使得，D正确. 故选：BCD 11. 已知圆，若对于圆上任意一点，在圆上总存在点，使得，则的取值可能为（ ） A 4 B. 0 C. D. 1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，得到 为圆的切线，判断出两圆外离，所以再列不等式求解即可. 【详解】因为，所以 为圆的切线， 即圆上任意一点都可以向圆作切线， 所以两圆外离，所以,即 ， 化简得到，解得或 ， 所以的取值可能为 故选：ACD. 三、填空题 12. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程定义即可求出的周长. 【详解】由椭圆可得，，由椭圆的定义可得， 所以的周长是 ， 故答案为：. 13. 点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值. 【详解】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：. 14. 对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，_____；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出向量、的坐标，结合题中定义可求得的值；分析可知在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上，设点，，利用题中定义结合三角函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，则，， 所以． 因为在上底面内（含边界）运动，且， 则，即在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上， 可设，则，，， 所以，， 因为，则，所以． 故答案为：；. 四、解答题 15. 2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. （1）求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式来进行计算即可； （2）利用间接法来求三个家庭只有1个家庭或0个家庭回答正确的概率,即可求对立事件概率. 【小问1详解】 记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件， 由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是， 则， 解得， 由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是， 则 即. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和. 【小问2详解】 有0个家庭回答正确的概率， 有1个家庭回答正确的概率为 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 16. 在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求点A关于直线BC的对称点的坐标 （3）若，求的高所在直线的方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用点斜式直线方程直接求解即可； （2）设，根据垂直于BC得到斜率为 7，而且中点在直线上，再列方程求解即可； （3）联立直线AB的方程与直线BC的方程求得点B的坐标，由可知D为AB的中点，求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，利用点斜式直线方程即可求解. 【小问1详解】 由已知得直线AB的方程为：，即 . 【小问2详解】 设， 因为直线的方程为，斜率为 ， 故斜率为 7，即， 因为中点在直线上， 所以，解得 所以. 【小问3详解】 解方程组，解得，所以， 又因为，所以中点， 又因为高线CD的斜率为， 所以CD所在直线的方程为，即. 17. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）直线与圆交于A，B两点，若的面积为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，半径为，根据，列方程求，即可得到圆心和半径，从而得到圆标准方程. （2）利用圆心到切线的距离等于半径，分斜率存在和不存在两种情况求解即可； （3）先求出圆心到直线的距离为，再利用的面积，得到 ，从而求出斜率即可求解. 【小问1详解】 设圆心，半径为， 因为圆与直线相切于点， 所以直线，解得 ， 所以圆心，所以， 所以圆标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率存在时，设斜率为 k， 切线方程为 ，即， 由圆心到切线的距离等于半径得到， 即，解得， 所以切线方程为， 当斜率不存在时直线也是切线。 综上所述，切线方程为或. 【小问3详解】 由（1）知圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以， 因为的面积， 即，解得 所以， 所以直线的方程为. 18. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当点在椭圆上运动时 ①线段的中点的轨迹方程； ②不过原点且斜率为2的直线与点的轨迹交于A，B两点，求的面积最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义求得，根据，求得，即可得到椭圆的标准方程； （2）①设，则.由点在椭圆上，可得线段的中点的轨迹方程；②设不过原点且斜率为2的直线的方程为，联立点的轨迹方程，用表示出弦长，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，即可将的面积表示成关于的函数，利用基本不等式可求得其最大值. 【小问1详解】 由题可设椭圆的标准方程为. 由椭圆的定义知：，所以， 所以，. 所以 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①设，则. 因为点在椭圆上，所以，所以，即. 所以线段的中点的轨迹方程为. ②设不过原点且斜率为2的直线的方程为，即.设. 由，得. 由，得. . 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为. 因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以. 即的面积最大值为. 19. 如图，在底面为正方形的多面体中，四边形为矩形，是线段的中点，且，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求的值； （3）当取何值时，与平面所成的角最大? 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，连接，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于的方程，即可解得的值； （3）设与平面所成的角为，利用空间向量法结合基本不等式可求得的最大值，即可得解. 小问1详解】 如图，设，则是线段的中点，连接， 由得， 又矩形中，是线段的中点，则，， 所以为平行四边形，则， 因为四边形为矩形，则，故， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，，则平面，且， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，是线段的中点， 则，，，，，， 从而，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，， 从而平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 整理得，而，所以. 【小问3详解】 由（2）可知，平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 则， 所以当时，与平面所成的角最大，最大为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $