专题03 圆与方程（期中真题汇编，广东专用）高二数学上学期

专题03 圆与方程 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．B 2．A 3．B 4．D 5．B 6．BD 7．D 8．D 9．ABD 10．C 11．ABD 12．D 13．【答案】（1）     （2）或     （3）．      【分析】 (1)先设出圆心，再根据圆的圆心在直线上且与轴切于点建立方程即可求解. (2)先讨论斜率存在，设出直线方程，根据弦长公式建立方程，求出斜率;再讨论斜率不存在时，求出直线方程，验证是否存在即可. (3) 先设点的坐标为，根据相关点法即可求出的轨迹方程. (1) 小问详解： 圆的圆心在直线上且与轴切于点， 设圆心坐标为，则 ， 解得，， 圆心，半径， 故圆的方程为. (2) 小问详解： 点，直线过点， 设直线的斜率为存在）则方程为， 又圆的圆心为，半径，弦长为， 故弦心距， 故，解得， 所以直线方程为， 即， 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件， 故的方程为或. (3) 小问详解： 设点的坐标为，点的坐标为，． 由于，且为的中点， ， 于是有 ① ， 在圆上运动， ， 将① 代入上式得， 即点的轨迹方程为． 14．【答案】 【分析】方程表示圆，需要 计算得到答案. 【详解】方程表示圆 则 【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题. 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可. （2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可. (1) 小问详解： 由题意知半径， 所以圆的方程为：. (2) 小问详解： 设圆的一般方程为：. 将，，代入得： ， 所以圆的方程为：. 16．【答案】（1）或；（2）. 【分析】 （1）设出直线方程，求出截距，利用截距相等建立方程求解斜率即可求出直线方程； （2）设出圆的一般方程，将点代入方程求解，再化为标准方程即可. 【详解】 （1）显然直线的斜率存在且不等于0，设直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，解得，令，解得， 又直线在两坐标轴上的截距相等，所以，解得或， 所以直线的方程为或. （2）设的外接圆的方程为， 则 ，解得，，， 所以的外接圆的方程为， 所以的外接圆的标准方程为. 17．【答案】 【分析】 圆心在x轴上，设圆心坐标，与y轴相切，则半径，代入点即可求出该圆的标准方程. 【详解】 设圆心坐标，与y轴相切，则半径， 则圆的标准方程：， 代入点可得：，计算可得：， 代入圆的标准方程：， 故答案为： 18．【答案】 【分析】 由圆外一点到圆上一点的距离，即可解出答案. 【详解】 因为，故点在圆外， 因为圆的半径，设圆心， 圆心与点的连线长， 故， 即， 故答案为：. 19．【答案】（1）     （2） 最大值88，最小值72     （3） 解法一： 由题可知，， 因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在， 所以设直线m的方程为， 将代入，得：． 设，，所以，， 所以 ， 所以为定值，这个定值为12． 解法二： 取中点H，连，则，， 所以 ． 所以为定值，这个定值为12． 【分析】 （1）求出圆的圆心，半径，由题意得圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆心，由求得，进而得圆心C坐标及半径，可得圆C的方程； （2）设，所以，又，解得，从而可得出所求最大值及最小值． （3）解法一：由题可知，设直线m的方程为，代入，根据韦达定理及向量的数量积运算计算即可；解法二：取中点H，则，利用向量的线性运算及数量积运算计算即可. (1) 小问详解： 由已知，将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 因为圆C与圆相切于点， 所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上， 因为直线的方程为，所以设圆C的圆心， 因为，在圆C上，所以， 所以，解得， 则圆心C坐标为，半径， 所以圆C的方程为． (2) 小问详解： 设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72． (3) 小问详解： 略 20．【答案】（1）；     （2）（i）；（ii），证明见解析.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示；（i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当时的取值范围即可；（ii）设，，直线方程联立圆得方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点的坐标即可证明． (1) 小问详解： 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点P的轨迹的方程为； (2) 小问详解： 由题可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 易得，，则， 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号，又，所以的最大值为； （ii）证明：由题可得，设，， 联立 ，消得，， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立 ，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上． 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．B 2．A 3．A 4．D 5．A 6．BC 7．A 8．C 9．D 10．C 11．C 12．C 13．AC 14．D 15．C 16．C 17．C 18．A 19．C 20．B 21．C 22．B 23．C 24．B 25．D 26．ABD 27．BCD 28．ABD 29．ABD 30．BD 31．BCD 32．A 33．【答案】.25 【分析】 求出圆的圆心坐标，代入直线方程求出并验证即得. 【详解】 圆的圆心为， 依题意，点在直线上，即，解得， 此时圆，即，符合题意， 所以. 故答案为： 34．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （１）设圆的方程为，根据已知条件列出方程组求解即得； （２）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 则 解得 所以圆的方程为，即. (2) 小问详解： 因为直线被圆截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离. 当的斜率不存在时，直线方程为，符合题意. 当的斜率存在时，设直线方程为，即 则.解得. 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 35．【答案】（1）（2）或 【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案. 【详解】解：（1）设的中点为，则， 由圆的性质得， 所以，得， 所以线段的垂直平分线方程是， 设圆的标准方程为，其中，半径为， 由圆的性质，圆心在直线上，化简得， 所以圆心，， 所以圆的标准方程为； （2）由（1）设为中点，则，得， 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程，即， 由题意得，解得； 故直线的方程为， 即； 综上直线的方程为或. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题. 36．【答案】 【分析】 根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】 圆的圆心为坐标原点，关于轴对称， 因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称， 所以只需研究与圆只有一个交点即可， 当与圆相切时，则， 当与圆相交时（只有一个交点），则， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 37．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解； （2）求得圆的圆心坐标为，半径，分直线的斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：因为直线与直线垂直，可设直线的方程为， 又因为直线过点，代入可得，解得， 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 解：由题意知，直线过点， 又由圆，可得圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为， 此时满足圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，可得，解得，即， 综上可得，所求直线的方程为或. 38．【答案】 【分析】 根据题意，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，分析可得答案． 【详解】 解：根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、， 则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 为两圆的公共弦所在的直线，则有 ， 变形可得：； 即直线的方程为， 故答案为： 39．【答案】 【分析】 抓住直线平分圆的周长，即过圆心，可得m、n的关系，然后利用基本不等式可解. 【详解】 由题知直线过圆心，所以有，即， 所以，当，即时. 故答案为：. 40．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）求出两直线的交点，再根据两直线垂直求出直线的斜率，最后写出点斜式方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在和存在两种，利用圆心到直线的距离列式计算. (1) 小问详解： 联立两直线和，解得，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：. 综上：直线的方程为或. 41．【答案】 【分析】 求出圆的圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】 由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由于圆上有且仅有两个点到直线的距离为， 则，即， 解得或． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 42．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设圆心坐标为，根据垂直关系得到方程，解出即可； （2）求出以为直径的圆的方程，再将其与圆方程作差即可. (1) 小问详解： ∵圆的圆心在直线上， 且圆与直线相切于点， ∴设圆心坐标为，则，解得，∴圆心， 半径， 故圆的方程为. (2) 小问详解： 由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、， 则、是以为直径的圆与圆的交点， 则经过、两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程． 由于，以为直径的圆的方程为：，整理得：． 联立 ，则， 所以经过、两切点的直线方程为. 43．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）先求出的值再确定直线的斜率再由点斜式写出直线的方程； （2）法一：先设出圆的标准方程利用待定系数法求出圆的标准方程，法二：根据圆的性质先确定圆心所在的位置求出圆心的横坐标，再设出圆的方程根据条件即可求出圆的标准方程. (1) 小问详解： 把代入，得， 所以直线的斜率，直线. 因为，所以的斜率， 所以的方程为，即. (2) 小问详解： 法一：设圆的标准方程为（）， 由题意可得 ，解得 或 ， 所以圆的方程为或.    法二：因为圆过原点， 所以点在线段的垂直平分线上， 设圆的方程为（）， 由圆过点，得， 由圆与相切，得，即， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 所以圆的方程为或. 44．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的标准方程为，将和代入求解即可;（2）讨论直线斜率存在与否，当直线斜率存在时，设：，根据圆的弦长公式求得直线方程. (1) 小问详解： ∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为， 代入点，，得 , 解得 ,即圆的标准方程为. (2) 小问详解： ∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4， ∴圆心到直线的距离为. ① 当直线斜率不存在，即直线为时，满足； ② 当直线斜率存在时，设：， 则由，解得，即直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 45．【答案】（1） 证明：由得， 由 得 ， 所以直线恒过定点；     （2）     （3）       【分析】 （1）将方程变换为，即可求解直线的定点； （2）当时，此时圆心到直线的距离最大，利用斜率公式，即可求解； （3）由几何关系，将面积的最小值转化为求点到直线距离的最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值， 易知圆心为， 因为， 所以       即， 解得. (3) 小问详解： 当时，直线的方程为，故可设，    圆的半径， ， 圆心到直线的距离， 所以， 所以，即四边形面积的最小值为. 46．【答案】（1）     （2）或      【分析】 (1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 (1) 小问详解： 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 (2) 小问详解： 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 47．【答案】15 【分析】 根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】 设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设，则 ，在中，根据勾股定理可得，解得 中，， 根据勾股定理可得：，解得 故答案为： 48．【答案】（1）或；     （2）最大，此时.      【分析】 （1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. (1) 小问详解： 若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； (2) 小问详解： 由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 49．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设的方程为，利用圆的弦长公式得到方程，解出即可； （2）写出直线方程，利用点到直线的距离公式得到方程，解出，再求出三角形的高，最后利用三角形面积公式即可. (1) 小问详解： 若的斜率为0，则，不合题意． 故设的方程为，点到直线的距离， 又，即，解得， 故的斜率． (2) 小问详解： 由题知． 此时点到直线的距离，解得． 而点到的距离， 又，故的面积． 50．【答案】 【分析】 设切点为，与交于点，通过，得到，进而可求解. 【详解】 设切点为，易知曲线为圆在轴上方的部分，且， 记坐标原点为与交于点，则， 则,且Q为的中点，，， 故，故， 所以， 易知直线上到原点距离为4的点有两个， 且与y轴的交点到原点距离为4， 由于曲线为圆在轴上方的部分，故符合题意的只有一个， 易知其坐标即为. 故答案为： 51．【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）由已知求出圆心，以及圆的方程.分切线斜率不存在，以及斜率存在两种情况，分别求解即可得出答案； （2）由已知求出点满足的轨迹为圆，并求出圆的方程.根据已知得出圆与圆有公共点，列出不等式，求解即可得出答案. (1) 小问详解： 联立 可得圆心， 所以，圆的方程为. 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到的距离，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为， 切线方程为，即. 因为与圆相切， 所以有到的距离， 即，整理可得，解得， 所以，切线方程为，整理可得. 综上所述，切线方程为或. (2) 小问详解： 设圆心，， 则，. 由可得，， 整理可得，，即， 所以，点在以为圆心，为半径的圆上. 由已知可得，圆与圆有公共点， 所以，，即， 平方整理可得， ，解得或. 52．【答案】 【分析】 先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离，结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而的最小值为，所以. 故答案为：. 53．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解法一：设圆心C的坐标为，由求得，得圆心C的坐标，由得半径，从而得圆C的标准方程； 解法二：求出线段的中点为D的坐标，线段的垂直平分线的方程，则直线与x轴的交点即为圆心C，圆的半径，从而得圆C的标准方程； （2）解法一：设圆心到直线的距离d，根据弦长公式得，由三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； 解法二：由条件可得出，是等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离，解方程即可. (1) 小问详解： 解法一：设圆心C的坐标为， 因为A，B是圆上两点，所以， 根据两点间的距离公式，有， 解得，所以圆心C的坐标是． 圆的半径． 所以所求圆C的标准方程是． 解法二：设线段的中点为D． 因为，，可得点D的坐标为， 因为直线的斜率为． 因此线段的垂直平分线的方程是，即． 直线与x轴的交点坐标为，所以圆心C的坐标是， 圆的半径． 所以所求圆的标准方程是． (2) 小问详解： 解法一：设圆心到直线的距离为d，， 直线与圆相交于M，N两点，则， 所以， 解得，即，所以， 因为，所以，即， 所以，解得． 解法二：因为圆C的半径，则， 又因为，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以圆心C到直线的距离， 所以，解得． 54．【答案】①     ② 【分析】 由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可. 【详解】 设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，， 所以，所以（舍）或者， 解得. 故答案为： 【详解】【点晴】 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 55．【答案】 【分析】 设，，将题设所求转化成求圆弧（，）上的点与点连线的斜率，数形结合分析计算即可求解. 【详解】 设，，则（，），， 表示圆弧（，）上的点与点连线的斜率， 如图，连线过，时斜率最大为，连线与圆弧相切时斜率最小，设最小斜率为k， 则此时切线方程为，即， 则，解得（舍去）或，即连线与圆弧相切时斜率最小为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 56．【答案】（1）和     （2）     （3）      【分析】 （1）分直线的斜率存在与不存在，结合垂径定理计算即可得； （2）设出直线的方程，联立曲线后利用韦达定理及斜率公式计算出即可得； （3）结合（2）中所得，表示出直线和直线方程并联立可得点在定直线上，再借助三角形面积公式分别表示出两三角形面积并化简，可结合韦达定理计算即可得. (1) 小问详解： ① 当直线的斜率不存在时，此时，； ② 当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 则由，知圆心到直线的距离为， 则，得， 所以的直线为和； (2) 小问详解： 解法一：设由题知，，， ① 当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示，    将，代入，解得，，， ，，； ② 当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，，则，， 联立 ，消去得， ，， 连接，，由圆的性质可得，， ； 所以； 综上可得，； 解法二：设直线方程为，，， 联立 ，消去得， ，， ，整理得， ， 所以； (3) 小问详解： 由（2）知，直线和直线方程分别为或， 联立 ，消去得，点在直线上，如图所示，     ，，， 的取值范围为. 57．【答案】 【分析】 根据题意分析过点的最短弦长的范围，然后可得的范围，进而确定点构成的区域，然后可求面积. 【详解】 圆的半径，点在圆内，直径是最长的弦，长度为8. 以下分析过点的最短的弦，    由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大，由图可知，，当时取等号， 所以当时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这7条长度为正整数的弦的长度分别是， 要使得有两条长度为5的弦，并且没有长度为4的弦，则最短弦长小于5，大于4， 因此，过点的最短的弦长， 又因为，， 所以， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 故答案为： 58．【答案】 【分析】 根据条件可知点P的轨迹是以为直径的圆，其方程为，作，则为的中点，求得最小值即可. 【详解】 直线,，因为，所以， 又的方程可化为，所以过定点， 的方程可化为，所以过定点， 所以点P的轨迹是以为直径的圆，去除，其方程为， 其圆心，半径，作，则为的中点， 根据勾股定理易求得， 如图所示，当在同一条直线上时最小， 又， ， 故的最小值为. 故答案为： 59．【答案】（1）     （2）     （3） 圆，圆心，半径. 由题意直线存在斜率，设直线，设， 联立 消得，，由韦达定理得，，. 则，即（） 又圆与轴交于， 则直线，直线， 联立两直线方程消得，， 将（）式代入得，， 解得.故直线交点在定直线上. 【分析】 （1）由垂直关系结合已知的斜率可得的斜率，写出直线的方程，由点线距离公式结合直角三角形勾股定理求出半弦长，进而得弦长； （2）按直线的斜率情况分类求解，特殊情况直接求解面积可得，一般情况设出直线，再由圆弦的存在情况可得的范围，再利用点线距公式表示圆弦及长（即点到直线的距离），从而得到面积表达式，再利用整体换元求解函数值范围可得. （3）设出直线，联立直线与圆方程由韦达定理可得两点坐标与的关系，求解并联立直线方程，由交轨法解得交点纵坐标即可得； (1) 小问详解： 圆，圆心，半径. 若直线的斜率为，则直线斜率为， 则直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离. .故弦的长为. (2) 小问详解： ① 当直线的斜率不存在时，如图，此时的面积；   ② 当直线的斜率存在且为时， 直线的方程为，经过圆心， 过点且垂直于的直线（即轴）不与圆相交，故此时不存在；   ③ 当直线的斜率存在，设为且时，设直线，即. 则直线，即 由圆心到直线的距离，得，解得． 所以圆心到直线的距离，因为，即，所以． 由，所以， 所以E点到直线的距离即点到直线的距离， 所以的面积， 令，则，所以， 因为，所以，所以，综上所述，面积的取值范围是. (3) 小问详解： 略 60．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设圆心，半径为，根据，列出方程求得的值，即可求得圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，求得的面积为，舍去；设直线的方程为，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得弦长，进而求得到直线的距离为，根据题意列出方程，求得的值，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，由为等腰直角三角形，求得；设直线的方程为，联立方程组，求得，过作轴过作轴，得到，化简得到，进而求得折叠后的范围. (1) 小问详解： 解：由题意，设圆心，半径为 因为圆经过点和，可得， 即，解得，所以， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得， 此时的面积为，不符合题意，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，即， 可得圆心到直线的距离为， 由圆的弦长公式，可得， 又由，设到直线的距离为， 所以的面积为， 整理得，解得或（舍去）， 所以，所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为. (3) 小问详解： 解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得， 此时为等腰直角三角形，可得； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 联立方程组 ，整理得， 可得，且， 过作轴，垂足为，过作轴，垂足为， 则 ， 因为，所以，所以， 综上可得，折叠后的范围. 【点睛】 方法策略：解答直线与圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆的性质或圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆或圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 61．【答案】（1）     （2）     （3）存在定点      【分析】 （1）设圆方程为，代入已知三点组成方程组，解出即可得到圆的方程； （2）联立圆与圆的两方程相减得到公共弦的方程，求出圆心到公共弦的距离，再利用勾股定理，即可求得公共弦长； （3）假设在y轴上存在定点，设，，利用两点距离公式可得，由P满足圆方程，可得 ，即存在定点使得为定值. (1) 小问详解： 设圆方程为， 因为圆过，，三点， 则 ，解得： , 所以圆方程为. (2) 小问详解： 圆方程化为一般方程为：， 联立圆与圆两圆方程得：   ， 两式相减得公共弦的方程：， 圆的标准方程为，圆心，半径为4， 圆心到直线的距离， 又圆的半径为4，所以公共弦长为. (3) 小问详解： 假设在y轴上存在定点，满足题意， 不妨设，，则， 即：， ① 因为P为圆上任意一点，所以满足，即， 所以① 式可化简为：， 那么 ，解得： 或 （舍去）， 所以存在定点使得为定值. 【点睛】 关键点点睛：小问（2），两圆方程相减得到公共弦的方程；小问（3），假设在y轴上存在定点，设，，由两点距离公式可得关于的方程，又P满足圆方程，再由对应相等求出. 62．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）.      【分析】 （1）设出圆的标准方程，利用两圆的位置关系和点在圆上建立方程求解参数，最后得到圆的方程即可. （2）（i）利用两圆相交建立不等式，求解参数范围即可，（ii）作出符合题意的图形，分别求出P到的距离和到的距离，结合题意得到，进而求解即可. (1) 小问详解： 设，则设圆， 因为两圆内切，所以， 而圆过点，可得， 两边同时平方可得，解得， 故，于是T的方程为. (2) 小问详解： （i）由题意得圆与交于两点，则其圆心之间的距离为， 则，解得， 故的取值范围是. （ii）如图，作出符合题意的图形，设，连接，与交于，    由公共弦性质得，由切点弦性质得， 而，可得三点共线， 由两点间距离公式得， 因为，所以，解得， 联立方程组 ，可得， 即直线的方程为， 由点到直线的距离公式得G到AB的距离， 则P到的距离， 设点P到的距离为s，即， 由题意得，， 则，则，即， 由勾股定理得， 得到，由题意得， 故点到的距离即与间的距离，该距离为. 63．【答案】 【分析】 先求得点的轨迹，然后求得线段中点的轨迹，结合向量运算以及圆与圆的位置关系等知识求得正确答案. 【详解】 直线，即， 直线过定点，且斜率存在. 直线，即， 直线过定点，直线与轴不平行. 线段的中点为，， 由于，所以， 所以点的轨迹是以线段为直径的圆， 即点的轨迹是圆（除点）. 圆的圆心为，半径为， 设是的中点，连接，则垂直平分， 则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 即点的轨迹是圆， ，即圆（除点）上的点， 与圆上的点的距离， ， 所以，即， 所以. 故答案为： 64．【答案】（1） ；     （2）或；     （3）.      【分析】 （1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得 ，解之即可求解； （2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解； （3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解. (1) 小问详解： 由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得 ，解得， 所以圆的方程为； (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； (3) 小问详解： 由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由 ，得， 解得 或 ，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】 方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 65．【答案】（1）     （2）① 设直线. 由 整理得， 则， 故. 因为， 所以. 把代入上式， 得. ② 点在定直线上，理由如下： 直线的方程为，直线的方程为. 由 得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上.      【分析】 （1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程 （2）① 设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明； ② 分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线. (1) 小问详解： 设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以 即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 略 66．【答案】 【分析】求出点A关于直线的对称点B的坐标，可得的最小值. 【详解】可转化为：，则圆心为C(2,1)，半径为. 设A关于直线的对称点B的坐标为(a,b)，则： 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查了直线和圆综合问题，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 67．【答案】（1）     （2）7      【分析】 （1）设动点坐标为，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值. (1) 小问详解： 设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即：， 所以动点的轨迹的方程为， (2) 小问详解： 当直线与轴重合时，，，， 当直线不与轴重合，设直线的方程为， 则直线的方程为， 设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为， 则，，， 所以， ， 所以， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为7. 【点睛】 本题考查了圆的方程与直线方程，在讨论动直线的时候需要考虑直线的斜率是否存在. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆与方程 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）过点的圆的半径为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 根据几何法求出圆心，进而可求圆的半径. 【详解】 易知以为端点构成的线段的中垂线方程为， 以为端点构成的线段的中垂线方程为，如图： 设圆心坐标为，显然点为直线与直线的交点，即. 所以圆心坐标为，故圆的半径. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程． 【详解】 由题意可得圆心为点(0，1)，半径为， 要求的圆的标准方程为， 故选：A． 3．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）方程表示圆，则的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据方程表示圆，应当满足求解即可. 【详解】 因为方程表示圆， 所以，解得：. 故选：B. 4．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）已知圆的方程为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据圆的一般式方程满足的条件列不等式求解即可. 【详解】 由题意得，解得. 故选：D. 5．（2026·广东东莞·联考）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】 设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 6．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）（多选）已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【分析】 A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】 圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 7．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）圆关于直线对称的圆的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题求出关于的对称点，据此可得答案. 【详解】 由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则 ，则，又圆半径也为1， 所以圆的方程为. 故选：D. 8．（2026·广东东莞高级中学·联考）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设点的坐标为，利用两点间的距离公式代入等式，化简整理得，所以点的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积． 【详解】 设点的坐标为，∵，，动点满足， ∴，两边平方化简得， ∴点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因此，点的轨迹所包围的图形的面积． 故选：D 9．（2026·广东麻涌中学·联考）（多选）设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则（       ） A. 曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 曲线C围成图形的面积为 C. 曲线C的周长为 D. 曲线上任意两点间距离的最大值为4 【答案】ABD 【分析】 根据方程特点分类讨论分别画出图像，然后逐个判断即可. 【详解】 当时方程为， 当时方程为， 当时方程为， 当时方程为， 如图所示，    ， 对于A：易知曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B：因为曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称， 所以只需要计算第一象限内图像的面积即可， 因为，且圆的半径，所以弦心距， 所以所对的圆心角为， 所以该图形为圆心角为的扇形剪去等腰直角三角形得到的弓形， 所以，所以总面积为，B正确； 对于C：第一象限内的图形是圆心角为的扇形的弧长，所以， 所以曲线C的周长为，C错误； 对于D：曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确， 故选：ABD 【点睛】 关键点睛：对分类讨论得到不同情况下的方程进而得到图像是解决该类题型的关键. 10．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 取点，推理证明得，把问题转化为求点到定点，距离和的最小值作答. 【详解】 如图，点在圆上，取点， 连接、，有， 当点、、不共线时，， 又，故，则有； 当点、、共线时，有； 故恒成立， 则， 当且仅当点是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）（多选）已知曲线E：（x，y不同时为0），则（       ） A. 曲线E围成图形的面积为 B. 曲线E的长度为 C. 曲线E上的点到原点的最小距离为 D. 曲线E上任意两点间最大距离为 【答案】ABD 【分析】 通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线的图形，由图可得答案. 【详解】 当时，曲线，即； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故其面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，由图可得曲线上点到原点距离最小值为2，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为，故D正确. 故选：ABD. 12．（25-26学年高二上·广东广州·期中）已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（     ） A. 2 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 设为的中点，由取得的最小值即可求解. 【详解】 已知、是圆：上的两点，且， 点为坐标原点，由于，即为， 故圆的圆心为，半径为2，设为的中点，则， 结合，得到，即点在以为圆心，半径为的圆上， 又，则， 而， 的最小值为， 则的最小值为. 故选：D 13．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点， （1）求圆的方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）设点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1）     （2）或     （3）．      【分析】 (1)先设出圆心，再根据圆的圆心在直线上且与轴切于点建立方程即可求解. (2)先讨论斜率存在，设出直线方程，根据弦长公式建立方程，求出斜率;再讨论斜率不存在时，求出直线方程，验证是否存在即可. (3) 先设点的坐标为，根据相关点法即可求出的轨迹方程. (1) 小问详解： 圆的圆心在直线上且与轴切于点， 设圆心坐标为，则 ， 解得，， 圆心，半径， 故圆的方程为. (2) 小问详解： 点，直线过点， 设直线的斜率为存在）则方程为， 又圆的圆心为，半径，弦长为， 故弦心距， 故，解得， 所以直线方程为， 即， 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件， 故的方程为或. (3) 小问详解： 设点的坐标为，点的坐标为，． 由于，且为的中点， ， 于是有 ① ， 在圆上运动， ， 将① 代入上式得， 即点的轨迹方程为． 14．（25-26学年高二上·广东清远·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为　　　　　　　． 【答案】 【分析】方程表示圆，需要 计算得到答案. 【详解】方程表示圆 则 【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题. 15．（25-26学年高二上·广东清远·期中）求下列各圆的方程. （1）圆心为点，且过点； （2）过，，三点． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可. （2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可. (1) 小问详解： 由题意知半径， 所以圆的方程为：. (2) 小问详解： 设圆的一般方程为：. 将，，代入得： ， 所以圆的方程为：. 16．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）（1）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）已知的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】 （1）设出直线方程，求出截距，利用截距相等建立方程求解斜率即可求出直线方程； （2）设出圆的一般方程，将点代入方程求解，再化为标准方程即可. 【详解】 （1）显然直线的斜率存在且不等于0，设直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，解得，令，解得， 又直线在两坐标轴上的截距相等，所以，解得或， 所以直线的方程为或. （2）设的外接圆的方程为， 则 ，解得，，， 所以的外接圆的方程为， 所以的外接圆的标准方程为. 17．（2026·广东麻涌中学·联考）已知圆心在x轴上的圆过点且与y轴相切，则该圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 圆心在x轴上，设圆心坐标，与y轴相切，则半径，代入点即可求出该圆的标准方程. 【详解】 设圆心坐标，与y轴相切，则半径， 则圆的标准方程：， 代入点可得：，计算可得：， 代入圆的标准方程：， 故答案为： 18．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）记点，点在圆上，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由圆外一点到圆上一点的距离，即可解出答案. 【详解】 因为，故点在圆外， 因为圆的半径，设圆心， 圆心与点的连线长， 故， 即， 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 【答案】（1）     （2） 最大值88，最小值72     （3） 解法一： 由题可知，， 因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在， 所以设直线m的方程为， 将代入，得：． 设，，所以，， 所以 ， 所以为定值，这个定值为12． 解法二： 取中点H，连，则，， 所以 ． 所以为定值，这个定值为12． 【分析】 （1）求出圆的圆心，半径，由题意得圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆心，由求得，进而得圆心C坐标及半径，可得圆C的方程； （2）设，所以，又，解得，从而可得出所求最大值及最小值． （3）解法一：由题可知，设直线m的方程为，代入，根据韦达定理及向量的数量积运算计算即可；解法二：取中点H，则，利用向量的线性运算及数量积运算计算即可. (1) 小问详解： 由已知，将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 因为圆C与圆相切于点， 所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上， 因为直线的方程为，所以设圆C的圆心， 因为，在圆C上，所以， 所以，解得， 则圆心C坐标为，半径， 所以圆C的方程为． (2) 小问详解： 设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72． (3) 小问详解： 略 20．（25-26学年高二上·广东四校·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 【答案】（1）；     （2）（i）；（ii），证明见解析.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示；（i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当时的取值范围即可；（ii）设，，直线方程联立圆得方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点的坐标即可证明． (1) 小问详解： 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点P的轨迹的方程为； (2) 小问详解： 由题可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 易得，，则， 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号，又，所以的最大值为； （ii）证明：由题可得，设，， 联立 ，消得，， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立 ，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上． 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·广东清远·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B 【分析】 根据圆心距与半径的关系判断. 【详解】 由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 2．（2026·广东东莞·联考）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B.  C. 2 D. 2 【答案】A 【分析】 由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】 由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）圆：与圆：的位置关系为（       ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 【答案】A 【分析】 首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系的判断公式，即可判断. 【详解】 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 两圆的圆心距， 则圆心距，所以两圆相内切. 故选：A 4．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【详解】 ，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 5．（25-26学年高二上·广东广州·期中）点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得， ，因为在圆上，所以，即，化为，故选A. 考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:① 直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；② 定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③ 参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④ 逆代法，将 代入.本题就是利用方法④ 求的轨迹方程的. 6．（2026·广东部分学校·联考）（多选）已知直线被圆截得的弦为，则（　　） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心到直线距离为 D.  【答案】BC 【分析】 根据圆的方程易得圆心和半径，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式即可逐一判断各选项. 【详解】 由配方得：， 则圆心为，半径为，故A错误，B正确； 圆心到直线的距离为，故C正确； 又，故D错误. 故选：BC. 7．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则m的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分析可知，结合点到直接的距离公式运算求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 由题意可知：，则， 即，解得或， 所以m的取值范围为. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（     ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 通过两圆公共弦方程与线段三等分点的结合，求解参数的值. 【详解】 圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 圆心距为，由于两圆相交，所以， 将两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简为，即. 线段的长度为，靠近的三等分点的坐标为. 因为直线经过，将其代入公共弦方程得，解得. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则的值是（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据圆心到直线的距离为1可求的值. 【详解】 因为圆的方程为，故圆的圆心为原点，半径为2， 直线的一般方程为， 因为圆上恰有三个点到直线的距离都等于1且圆的半径为2， 故圆心到直线的距离为1即，故， 故选：D. 10．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）圆和圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【分析】 将圆心距与半径和、差比较可得结果. 【详解】 圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， ， 则，所以两圆相交， 故选：C. 11．（25-26学年高二上·广东领航高中联）若直线（）与圆：及圆：共有2个公共点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分直线与相交相离、与和都相切、与相离相交求解即可. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 当直线与相交相离时， 则 ，解得； 当直线与和都相切时， 则 ，无解； 当直线与相离相交时， 则 ，无解. 综上所述，的取值范围是. 故选：C. 12．（2026·广东麻涌中学·联考）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【分析】 由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】 圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 13．（2026·广东东莞·联考）（多选）已知圆，，下列结论正确的是（       ） A. 若且两圆内切，则圆心的轨迹方程为 B. 若，则两圆有3条公切线 C. 若，则两圆的公共弦所在直线的方程为 D. 若，为圆的直径，为圆上的动点，则的最大值为 【答案】AC 【分析】 对A，两圆内切，根据圆心距等于半径相减列方程，可求轨迹方程；对B，根据圆心距，可知，所以两圆相交，可知有两条公切线；对C，先判断两圆相交，再将两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程；对D，根据，根据圆上一点和定点的距离最大值为圆心与定点的距离加半径即可求得. 【详解】 对A，，圆心，， ，圆心，，两圆内切，所以圆心距等于半径相减， 所以，A选项正确； 对B，圆心距为，因为，两圆相交， 故有2条公切线，B选项错误； 对C， ， 圆心距，因为，两圆相交， 两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，故C选项正确； 对D，,的最大值为， 所以最大值为，故D选项错误. 故选： AC 14．（2026·广东东莞·联考）数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上. 这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案. 【详解】 的外接圆方程设为， ，解得 ， 外接圆方程为，即， 故外接圆的圆心坐标为，故外接圆在处切线方程为， 又，令得，，， 在处切线方程为， 又，令得，， 则三角形的线的方程为，即. 故选：D. 15．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C.  D. 4 【答案】C 【分析】 先求出直线所过的定点，再根据时取得最小值结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】 直线，即， 令 ，解得 ， 所以直线过定点， 圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆内， 则圆心到直线的距离（时取等号）， 所以（时取等号）， 所以的最小值为. 故选：C. 16．（25-26学年高二上·广东广州·期中）设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可. 【详解】 由三角形的面积公式可得， 得，由，得， 所以为等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，解得. 故选：C 17．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）已知圆，若点P在圆上，并且点P到直线的距离为，则满足条件的点P的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 由题可得圆心直线的距离为，进而即得. 【详解】 由可知圆心，半径为， 又圆心直线的距离为， 所以与直线平行且距离为的直线一条过圆的圆心，另一条与圆相切， 所以满足条件的点P的个数为3. 故选：C. 18．（2026·广东部分学校·联考）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（       ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】A 【分析】 首先根据直线与圆的位置关系求，再计算圆心距，结合公式判断两圆的位置关系. 【详解】 圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得（负根舍去）， 所以，， 圆的圆心，半径， 因为，所以圆和圆相交. 故选：A 19．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）“”是“圆的一条切线过点”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据题意，首先方程要表示圆，再结合切线过点，则点在圆上或圆外，然后求解即可． 【详解】 方程表示圆，则， ，解得或， 由于圆的一条切线过点， 所以，， 所以的取值范围是， 所以“”是“圆的一条切线过点”的充要条件． 故选：C． 20．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】 设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 21．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）已知圆与圆外切，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆外切，得，则， 所以. 故选：C 22．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（　　） A. x+2y﹣3＝0 B. x﹣2y﹣5＝0 C. 2x﹣y﹣5＝0 D. 2x+y﹣5＝0 【答案】B 【分析】 本题先根据圆的切线的几何意义建立方程求切线的斜率，再求切线方程即可. 【详解】 解：由题意：点M（1，﹣2）为切点，则，， 解得：， ∴l的方程：，整理得：， 故选：B. 【点睛】 本题考查圆的切线的几何意义，点斜式直线方程，两线垂直其斜率相乘等于，是基础题. 23．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（       ） A. 外离 B. 相交 C. 内含 D. 内切 【答案】C 【分析】 首先由圆心到直线距离是列式求出的值，进而可得圆心的坐标以及圆的半径，比较两圆圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系即可求解. 【详解】 圆即圆的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 因为，解得或（舍去）， 从而，所以， 因为， 所以圆M与圆的位置关系是内含. 故选：C. 24．（25-26学年高二上·广东茂名化州·期中）过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题知曲线是以为圆心，1为半径的半圆，结合图形，利用过两点直线的斜率和直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】 由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间，所以， 因为，易知， 又与曲线相切，由，解得，所以， 所以直线斜率的取值范围为. 故选：B. 25．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】 圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 26．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）（多选）对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（       ） A. l过定点 B. C的半径为3 C. l与C可能相切 D. l被C截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【分析】 根据直线方程求定点坐标判断A项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断B项；根据直线所过定点在圆内判断C项；当直线l与过定点和圆心的直线垂直时，直线l被C截得的弦长最小，从而计算弦长最小值可判断D项． 【详解】 对于A，可变形为， 由 ，得 ，所以直线l过定点，故A正确： 对于B，圆C：化为标准方程为， 所以圆C的圆心，半径为，故B正确； 对于C，因为，所以点)在圆C内部， 所以直线l与C不可能相切，故C错误； 对于D，设直线l所过定点为，则当直线时，直线l被C截得的弦长最小． 因为圆心，所以， 所以直线l的斜率，解得，此时直线． 因为圆心到直线l的距离， 所以弦长为，故D正确． 故选：ABD． 27．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（       ） A. 圆C的方程是 B. 过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C. 若x，y满足圆C的方程，则的最大值是 D. 过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】 对于A，设点坐标，代入化简即可判断；对于B，设切线夹角为，可得；对于C，设，由题意直线与圆有公共点，列式求解即可；对于D，由条件得四边形面积的表达为，求最小值即可． 【详解】 对于A，设，因为，，，则， 化简得，即，故A错误； 对于B，因为，圆心，半径， ，点在圆外， 设两条切线的夹角为， 所以，又，解得，则，故B正确； 对于C，设，由题意直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离，即， 解得，故的最大值是，故C正确； 对于D，由题意可得四边形的面积为 ， 故只需求的最小值即可， 的最小值为点C到直线的距离，即． 所以四边形的面积的最小值为，故D正确． 故选：BCD． 28．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）（多选）已知直线和圆交于两点，则下列结论正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C. 若中点为，则 D. 直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】ABD 【分析】 选项A，将直线整理成，令 ，解得的值，从而得到直线恒过的定点；选项B，利用与直线垂直求解；选项C， 由中点为得到，利用求解；选项D，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最小，求出，则代入数值得解. 【详解】 选项A，，，则有 ，解得 ， 故直线恒过定点，故选项A正确； 选项B，与直线垂直， ，，存在使得直线与直线垂直， 故选项B正确； 选项C，圆的圆心为，半径为， 中点为，， ，，，，故选项C错误； 选项D，直线恒过定点，当直线与垂直时， 直线被圆截得的弦长最小， ， ， 直线被圆截得的弦长的最小值为，故选项D正确. 故选：ABD. 29．（25-26学年高二上·广东领航高中联）（多选）已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（     ） A. 若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B. 若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C. 若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D. 若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 【答案】ABD 【分析】 选项A：利用点到直线的距离公式可得“伴随线”与圆是否相切； 选项B：设，，可得直线及的方程，把点代入可得直线的方程，从而可判断出B的正确与否； 选项C：利用点到直线的距离公式可得“伴随线”与圆是否相交； 选项D：设，，易得直线及的方程，由垂直可得，从而可求出． 【详解】 选项A：当点在圆上时，，圆心到的距离， 点的“伴随线”与圆相切，故A正确； 选项B：设，，则圆在点，处的切线方程分别为： ，． 因为点在这两条切线上，所以，， 所以点，都在直线上， 所以直线的方程为，故B正确； 选项C：当点在圆内时，，圆心到的距离， “伴随线”与圆不相交，故C错误； 选项D：设，，易知：，：， 因为，垂直，所以， 所以，即， 所以，故D正确． 故选：ABD． 30．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）（多选）已知动点M，N分别在圆：和：上，动点P在x轴上，则（       ） A. 圆的半径为3 B. 圆和圆外离 C. 的最小值为 D. 过点P作圆的切线，则点P到切点的最短距离为 【答案】BD 【分析】 求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D. 【详解】 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，圆的半径为，A错误； 对于B，，圆和圆相离，B正确； 对于C，圆关于轴对称的圆为，， 连接交于点，连接， 由圆的性质得， ，当且仅当点与重合， 且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误； 对于D，设点，切点为A， 则， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 31．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）（多选）已知点，是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，，下列说法正确的是（       ） A. 圆与圆有两条公切线 B. 的最小值为1 C. 四边形面积的最小值为1 D. 直线恒过定点 【答案】BCD 【分析】 根据两圆外离可判断A；由向量关系得，，然后利用圆的性质得，利用点到直线的距离判断B；求得四边形的面积可判断C；由题可知点，在以为直径的圆上，利用两圆相减可求得直线方程，即可判断D. 【详解】 对于A，因为圆的圆心，半径为1， 圆的圆心，半径为2，因为， 所以圆与圆相离，故有四条公切线，A错误. 对于B，因为，，所以，，连接， 则，所以当最小时，最小. 当，即为圆心到直线的距离时，最小，， 所以，B正确. 对于C，由题意得，， 所以四边形的面积， 由选项B可知，C正确. 对于D，设，因为，是圆的切线， 所以点，在以为直径的圆上.因为， 所以以为直径的圆的方程为， 整理得， 与圆的方程相减得直线的方程为， 化简得， 由 ，得 ，即直线恒过定点，D正确.    故选：BCD 32．（25-26学年高二上·广东清远·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作点关于轴的对称点，方法一、利用直线与圆的关系计算圆心到反射光线的距离即可；方法二、利用反射光线与圆相切作临近值，借助两点距离公式、正切的和差角公式计算反射光线的斜率范围，再利用截距的意义计算即可. 【详解】 方法一：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点． 又，所以直线的方程为，即． 由题知圆的圆心为，半径为1， 直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于1， 所以，解得． 方法二：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点， 临界情况为直线与圆相切． 设切点为，令，易得， 所以． 因为直线的斜率为， 所以直线的斜率． 易得直线的方程为．所以．    故选：A 【点睛】 思路点睛：对于光线的反射问题一般作对称点由入射光线得出反射光线所在直线，再利用直线与圆的位置关系计算即可，法二、计算反射光线与圆相切时的斜率从而得出反射光线的斜率范围，再结合直线的截距意义计算，计算略显复杂，但也是一种很好的方向. 33．（25-26学年高二上·广东茂名化州·期中）若圆关于直线对称，则　　　　　　　　　． 【答案】.25 【分析】 求出圆的圆心坐标，代入直线方程求出并验证即得. 【详解】 圆的圆心为， 依题意，点在直线上，即，解得， 此时圆，即，符合题意， 所以. 故答案为： 34．（2026·广东东莞高级中学·联考）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （１）设圆的方程为，根据已知条件列出方程组求解即得； （２）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 则 解得 所以圆的方程为，即. (2) 小问详解： 因为直线被圆截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离. 当的斜率不存在时，直线方程为，符合题意. 当的斜率存在时，设直线方程为，即 则.解得. 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 35．（25-26学年高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案. 【详解】解：（1）设的中点为，则， 由圆的性质得， 所以，得， 所以线段的垂直平分线方程是， 设圆的标准方程为，其中，半径为， 由圆的性质，圆心在直线上，化简得， 所以圆心，， 所以圆的标准方程为； （2）由（1）设为中点，则，得， 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程，即， 由题意得，解得； 故直线的方程为， 即； 综上直线的方程为或. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题. 36．（25-26学年高二上·广东广州·期中）若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】 圆的圆心为坐标原点，关于轴对称， 因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称， 所以只需研究与圆只有一个交点即可， 当与圆相切时，则， 当与圆相交时（只有一个交点），则， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 37．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）已知直线经过点，分别求满足下列条件的直线的方程： （1）与直线垂直； （2）与圆：相切. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解； （2）求得圆的圆心坐标为，半径，分直线的斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：因为直线与直线垂直，可设直线的方程为， 又因为直线过点，代入可得，解得， 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 解：由题意知，直线过点， 又由圆，可得圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为， 此时满足圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，可得，解得，即， 综上可得，所求直线的方程为或. 38．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，分析可得答案． 【详解】 解：根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、， 则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 为两圆的公共弦所在的直线，则有 ， 变形可得：； 即直线的方程为， 故答案为： 39．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）已知直线将圆的周长平分，其中，，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 抓住直线平分圆的周长，即过圆心，可得m、n的关系，然后利用基本不等式可解. 【详解】 由题知直线过圆心，所以有，即， 所以，当，即时. 故答案为：. 40．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）求出两直线的交点，再根据两直线垂直求出直线的斜率，最后写出点斜式方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在和存在两种，利用圆心到直线的距离列式计算. (1) 小问详解： 联立两直线和，解得，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：. 综上：直线的方程为或. 41．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 求出圆的圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】 由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由于圆上有且仅有两个点到直线的距离为， 则，即， 解得或． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 42．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过圆外一点向圆引两条切线，切点为、，求经过两切点的直线方程． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设圆心坐标为，根据垂直关系得到方程，解出即可； （2）求出以为直径的圆的方程，再将其与圆方程作差即可. (1) 小问详解： ∵圆的圆心在直线上， 且圆与直线相切于点， ∴设圆心坐标为，则，解得，∴圆心， 半径， 故圆的方程为. (2) 小问详解： 由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、， 则、是以为直径的圆与圆的交点， 则经过、两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程． 由于，以为直径的圆的方程为：，整理得：． 联立 ，则， 所以经过、两切点的直线方程为. 43．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知直线：与轴交于点，原点为. （1）若直线过点，且与平行，求的一般方程； （2）若圆过点，两点且与相切，求圆的标准方程. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）先求出的值再确定直线的斜率再由点斜式写出直线的方程； （2）法一：先设出圆的标准方程利用待定系数法求出圆的标准方程，法二：根据圆的性质先确定圆心所在的位置求出圆心的横坐标，再设出圆的方程根据条件即可求出圆的标准方程. (1) 小问详解： 把代入，得， 所以直线的斜率，直线. 因为，所以的斜率， 所以的方程为，即. (2) 小问详解： 法一：设圆的标准方程为（）， 由题意可得 ，解得 或 ， 所以圆的方程为或.    法二：因为圆过原点， 所以点在线段的垂直平分线上， 设圆的方程为（）， 由圆过点，得， 由圆与相切，得，即， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 所以圆的方程为或. 44．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的标准方程为，将和代入求解即可;（2）讨论直线斜率存在与否，当直线斜率存在时，设：，根据圆的弦长公式求得直线方程. (1) 小问详解： ∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为， 代入点，，得 , 解得 ,即圆的标准方程为. (2) 小问详解： ∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4， ∴圆心到直线的距离为. ① 当直线斜率不存在，即直线为时，满足； ② 当直线斜率存在时，设：， 则由，解得，即直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 45．（2026·广东东莞·联考）已知圆，直线 （1）求证：直线恒过定点； （2）当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； （3）当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值． 【答案】（1） 证明：由得， 由 得 ， 所以直线恒过定点；     （2）     （3）       【分析】 （1）将方程变换为，即可求解直线的定点； （2）当时，此时圆心到直线的距离最大，利用斜率公式，即可求解； （3）由几何关系，将面积的最小值转化为求点到直线距离的最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值， 易知圆心为， 因为， 所以       即， 解得. (3) 小问详解： 当时，直线的方程为，故可设，    圆的半径， ， 圆心到直线的距离， 所以， 所以，即四边形面积的最小值为. 46．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 (1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 (1) 小问详解： 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 (2) 小问详解： 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 47．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】 设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设，则 ，在中，根据勾股定理可得，解得 中，， 根据勾股定理可得：，解得 故答案为： 48．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． （1）若弦长，求直线的方程； （2）求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【答案】（1）或；     （2）最大，此时.      【分析】 （1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. (1) 小问详解： 若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； (2) 小问详解： 由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 49．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，． （1）若，求的斜率； （2）若的斜率为，求的面积． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设的方程为，利用圆的弦长公式得到方程，解出即可； （2）写出直线方程，利用点到直线的距离公式得到方程，解出，再求出三角形的高，最后利用三角形面积公式即可. (1) 小问详解： 若的斜率为0，则，不合题意． 故设的方程为，点到直线的距离， 又，即，解得， 故的斜率． (2) 小问详解： 由题知． 此时点到直线的距离，解得． 而点到的距离， 又，故的面积． 50．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）已知曲线，过直线上一点作的两条切线，若两切点之间的距离为，则的坐标为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设切点为，与交于点，通过，得到，进而可求解. 【详解】 设切点为，易知曲线为圆在轴上方的部分，且， 记坐标原点为与交于点，则， 则,且Q为的中点，，， 故，故， 所以， 易知直线上到原点距离为4的点有两个， 且与y轴的交点到原点距离为4， 由于曲线为圆在轴上方的部分，故符合题意的只有一个， 易知其坐标即为. 故答案为： 51．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. （1）若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； （2）若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）由已知求出圆心，以及圆的方程.分切线斜率不存在，以及斜率存在两种情况，分别求解即可得出答案； （2）由已知求出点满足的轨迹为圆，并求出圆的方程.根据已知得出圆与圆有公共点，列出不等式，求解即可得出答案. (1) 小问详解： 联立 可得圆心， 所以，圆的方程为. 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到的距离，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为， 切线方程为，即. 因为与圆相切， 所以有到的距离， 即，整理可得，解得， 所以，切线方程为，整理可得. 综上所述，切线方程为或. (2) 小问详解： 设圆心，， 则，. 由可得，， 整理可得，，即， 所以，点在以为圆心，为半径的圆上. 由已知可得，圆与圆有公共点， 所以，，即， 平方整理可得， ，解得或. 52．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离，结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而的最小值为，所以. 故答案为：. 53．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）已知圆C的圆心C在x轴上，并且过和两点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆相交于M，N两点，的面积为2，求实数m的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解法一：设圆心C的坐标为，由求得，得圆心C的坐标，由得半径，从而得圆C的标准方程； 解法二：求出线段的中点为D的坐标，线段的垂直平分线的方程，则直线与x轴的交点即为圆心C，圆的半径，从而得圆C的标准方程； （2）解法一：设圆心到直线的距离d，根据弦长公式得，由三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； 解法二：由条件可得出，是等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离，解方程即可. (1) 小问详解： 解法一：设圆心C的坐标为， 因为A，B是圆上两点，所以， 根据两点间的距离公式，有， 解得，所以圆心C的坐标是． 圆的半径． 所以所求圆C的标准方程是． 解法二：设线段的中点为D． 因为，，可得点D的坐标为， 因为直线的斜率为． 因此线段的垂直平分线的方程是，即． 直线与x轴的交点坐标为，所以圆心C的坐标是， 圆的半径． 所以所求圆的标准方程是． (2) 小问详解： 解法一：设圆心到直线的距离为d，， 直线与圆相交于M，N两点，则， 所以， 解得，即，所以， 因为，所以，即， 所以，解得． 解法二：因为圆C的半径，则， 又因为，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以圆心C到直线的距离， 所以，解得． 54．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）设直线与圆和圆均相切，则　　　　　　　；b=　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可. 【详解】 设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，， 所以，所以（舍）或者， 解得. 故答案为： 【详解】【点晴】 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 55．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，，将题设所求转化成求圆弧（，）上的点与点连线的斜率，数形结合分析计算即可求解. 【详解】 设，，则（，），， 表示圆弧（，）上的点与点连线的斜率， 如图，连线过，时斜率最大为，连线与圆弧相切时斜率最小，设最小斜率为k， 则此时切线方程为，即， 则，解得（舍去）或，即连线与圆弧相切时斜率最小为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 56．（2026·广东麻涌中学·联考）如图所示，圆：与轴的交点分别为，，过点的直线与圆交于，两点.    （1）若弦的长为，求直线的方程 （2）记直线，的斜率分别为，，求的值； （3）设为直线与的交点，，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】（1）和     （2）     （3）      【分析】 （1）分直线的斜率存在与不存在，结合垂径定理计算即可得； （2）设出直线的方程，联立曲线后利用韦达定理及斜率公式计算出即可得； （3）结合（2）中所得，表示出直线和直线方程并联立可得点在定直线上，再借助三角形面积公式分别表示出两三角形面积并化简，可结合韦达定理计算即可得. (1) 小问详解： ① 当直线的斜率不存在时，此时，； ② 当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 则由，知圆心到直线的距离为， 则，得， 所以的直线为和； (2) 小问详解： 解法一：设由题知，，， ① 当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示，    将，代入，解得，，， ，，； ② 当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，，则，， 联立 ，消去得， ，， 连接，，由圆的性质可得，， ； 所以； 综上可得，； 解法二：设直线方程为，，， 联立 ，消去得， ，， ，整理得， ， 所以； (3) 小问详解： 由（2）知，直线和直线方程分别为或， 联立 ，消去得，点在直线上，如图所示，     ，，， 的取值范围为. 57．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知是圆内一点，若过点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域（忽略边界）面积为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意分析过点的最短弦长的范围，然后可得的范围，进而确定点构成的区域，然后可求面积. 【详解】 圆的半径，点在圆内，直径是最长的弦，长度为8. 以下分析过点的最短的弦，    由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大，由图可知，，当时取等号， 所以当时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这7条长度为正整数的弦的长度分别是， 要使得有两条长度为5的弦，并且没有长度为4的弦，则最短弦长小于5，大于4， 因此，过点的最短的弦长， 又因为，， 所以， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 故答案为： 58．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）直线与交于点P，圆上有两动点A，B，且，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据条件可知点P的轨迹是以为直径的圆，其方程为，作，则为的中点，求得最小值即可. 【详解】 直线,，因为，所以， 又的方程可化为，所以过定点， 的方程可化为，所以过定点， 所以点P的轨迹是以为直径的圆，去除，其方程为， 其圆心，半径，作，则为的中点， 根据勾股定理易求得， 如图所示，当在同一条直线上时最小， 又， ， 故的最小值为. 故答案为： 59．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点． （1）若直线的斜率为，求弦的长； （2）若的中点为，求面积的取值范围； （3）已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，证明：直线的交点在一条定直线上. 【答案】（1）     （2）     （3） 圆，圆心，半径. 由题意直线存在斜率，设直线，设， 联立 消得，，由韦达定理得，，. 则，即（） 又圆与轴交于， 则直线，直线， 联立两直线方程消得，， 将（）式代入得，， 解得.故直线交点在定直线上. 【分析】 （1）由垂直关系结合已知的斜率可得的斜率，写出直线的方程，由点线距离公式结合直角三角形勾股定理求出半弦长，进而得弦长； （2）按直线的斜率情况分类求解，特殊情况直接求解面积可得，一般情况设出直线，再由圆弦的存在情况可得的范围，再利用点线距公式表示圆弦及长（即点到直线的距离），从而得到面积表达式，再利用整体换元求解函数值范围可得. （3）设出直线，联立直线与圆方程由韦达定理可得两点坐标与的关系，求解并联立直线方程，由交轨法解得交点纵坐标即可得； (1) 小问详解： 圆，圆心，半径. 若直线的斜率为，则直线斜率为， 则直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离. .故弦的长为. (2) 小问详解： ① 当直线的斜率不存在时，如图，此时的面积；   ② 当直线的斜率存在且为时， 直线的方程为，经过圆心， 过点且垂直于的直线（即轴）不与圆相交，故此时不存在；   ③ 当直线的斜率存在，设为且时，设直线，即. 则直线，即 由圆心到直线的距离，得，解得． 所以圆心到直线的距离，因为，即，所以． 由，所以， 所以E点到直线的距离即点到直线的距离， 所以的面积， 令，则，所以， 因为，所以，所以，综上所述，面积的取值范围是. (3) 小问详解： 略 60．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）如图1，已知圆心在轴的圆经过点和.过原点且不与轴重合的直线与圆交于A、B两点（在轴上方）. （1）求圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线l的方程； （3）将平面xOy沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂直，如图2，求折叠后的范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设圆心，半径为，根据，列出方程求得的值，即可求得圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，求得的面积为，舍去；设直线的方程为，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得弦长，进而求得到直线的距离为，根据题意列出方程，求得的值，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，由为等腰直角三角形，求得；设直线的方程为，联立方程组，求得，过作轴过作轴，得到，化简得到，进而求得折叠后的范围. (1) 小问详解： 解：由题意，设圆心，半径为 因为圆经过点和，可得， 即，解得，所以， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得， 此时的面积为，不符合题意，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，即， 可得圆心到直线的距离为， 由圆的弦长公式，可得， 又由，设到直线的距离为， 所以的面积为， 整理得，解得或（舍去）， 所以，所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为. (3) 小问详解： 解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得， 此时为等腰直角三角形，可得； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 联立方程组 ，整理得， 可得，且， 过作轴，垂足为，过作轴，垂足为， 则 ， 因为，所以，所以， 综上可得，折叠后的范围. 【点睛】 方法策略：解答直线与圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆的性质或圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆或圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 61．（2026·广东部分学校·联考）已知圆过，，三点． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆：的公共弦长； （3）已知，P为圆上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在定点      【分析】 （1）设圆方程为，代入已知三点组成方程组，解出即可得到圆的方程； （2）联立圆与圆的两方程相减得到公共弦的方程，求出圆心到公共弦的距离，再利用勾股定理，即可求得公共弦长； （3）假设在y轴上存在定点，设，，利用两点距离公式可得，由P满足圆方程，可得 ，即存在定点使得为定值. (1) 小问详解： 设圆方程为， 因为圆过，，三点， 则 ，解得： , 所以圆方程为. (2) 小问详解： 圆方程化为一般方程为：， 联立圆与圆两圆方程得：   ， 两式相减得公共弦的方程：， 圆的标准方程为，圆心，半径为4， 圆心到直线的距离， 又圆的半径为4，所以公共弦长为. (3) 小问详解： 假设在y轴上存在定点，满足题意， 不妨设，，则， 即：， ① 因为P为圆上任意一点，所以满足，即， 所以① 式可化简为：， 那么 ，解得： 或 （舍去）， 所以存在定点使得为定值. 【点睛】 关键点点睛：小问（2），两圆方程相减得到公共弦的方程；小问（3），假设在y轴上存在定点，设，，由两点距离公式可得关于的方程，又P满足圆方程，再由对应相等求出. 62．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）已知圆过点，且与圆内切，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）圆与交于两点.过点作圆的两条切线，切点分别为. （i）求的取值范围； （ii）若，求点到直线的距离. 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）.      【分析】 （1）设出圆的标准方程，利用两圆的位置关系和点在圆上建立方程求解参数，最后得到圆的方程即可. （2）（i）利用两圆相交建立不等式，求解参数范围即可，（ii）作出符合题意的图形，分别求出P到的距离和到的距离，结合题意得到，进而求解即可. (1) 小问详解： 设，则设圆， 因为两圆内切，所以， 而圆过点，可得， 两边同时平方可得，解得， 故，于是T的方程为. (2) 小问详解： （i）由题意得圆与交于两点，则其圆心之间的距离为， 则，解得， 故的取值范围是. （ii）如图，作出符合题意的图形，设，连接，与交于，    由公共弦性质得，由切点弦性质得， 而，可得三点共线， 由两点间距离公式得， 因为，所以，解得， 联立方程组 ，可得， 即直线的方程为， 由点到直线的距离公式得G到AB的距离， 则P到的距离， 设点P到的距离为s，即， 由题意得，， 则，则，即， 由勾股定理得， 得到，由题意得， 故点到的距离即与间的距离，该距离为. 63．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知与相交于点线段是圆的一条动弦，且则的范围为　　　　　 【答案】 【分析】 先求得点的轨迹，然后求得线段中点的轨迹，结合向量运算以及圆与圆的位置关系等知识求得正确答案. 【详解】 直线，即， 直线过定点，且斜率存在. 直线，即， 直线过定点，直线与轴不平行. 线段的中点为，， 由于，所以， 所以点的轨迹是以线段为直径的圆， 即点的轨迹是圆（除点）. 圆的圆心为，半径为， 设是的中点，连接，则垂直平分， 则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 即点的轨迹是圆， ，即圆（除点）上的点， 与圆上的点的距离， ， 所以，即， 所以. 故答案为： 64．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】（1） ；     （2）或；     （3）.      【分析】 （1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得 ，解之即可求解； （2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解； （3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解. (1) 小问详解： 由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得 ，解得， 所以圆的方程为； (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； (3) 小问详解： 由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由 ，得， 解得 或 ，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】 方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 65．（25-26学年高二上·广东茂名化州·期中）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）① 设直线. 由 整理得， 则， 故. 因为， 所以. 把代入上式， 得. ② 点在定直线上，理由如下： 直线的方程为，直线的方程为. 由 得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上.      【分析】 （1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程 （2）① 设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明； ② 分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线. (1) 小问详解： 设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以 即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 略 66．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】求出点A关于直线的对称点B的坐标，可得的最小值. 【详解】可转化为：，则圆心为C(2,1)，半径为. 设A关于直线的对称点B的坐标为(a,b)，则： 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查了直线和圆综合问题，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 67．（25-26学年高二上·广东清远·期中）已知定点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）     （2）7      【分析】 （1）设动点坐标为，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值. (1) 小问详解： 设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即：， 所以动点的轨迹的方程为， (2) 小问详解： 当直线与轴重合时，，，， 当直线不与轴重合，设直线的方程为， 则直线的方程为， 设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为， 则，，， 所以， ， 所以， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为7. 【点睛】 本题考查了圆的方程与直线方程，在讨论动直线的时候需要考虑直线的斜率是否存在. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆与方程 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）过点的圆的半径为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  2．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）方程表示圆，则的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）已知圆的方程为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·广东东莞·联考）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）（多选）已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 7．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）圆关于直线对称的圆的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·广东东莞高级中学·联考）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·广东麻涌中学·联考）（多选）设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则（       ） A. 曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 曲线C围成图形的面积为 C. 曲线C的周长为 D. 曲线上任意两点间距离的最大值为4 10．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）（多选）已知曲线E：（x，y不同时为0），则（       ） A. 曲线E围成图形的面积为 B. 曲线E的长度为 C. 曲线E上的点到原点的最小距离为 D. 曲线E上任意两点间最大距离为 12．（25-26学年高二上·广东广州·期中）已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（     ） A. 2 B. 4 C.  D.  13．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点， （1）求圆的方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）设点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 14．（25-26学年高二上·广东清远·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为　　　　　　　． 15．（25-26学年高二上·广东清远·期中）求下列各圆的方程. （1）圆心为点，且过点； （2）过，，三点． 16．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）（1）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）已知的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程. 17．（2026·广东麻涌中学·联考）已知圆心在x轴上的圆过点且与y轴相切，则该圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）记点，点在圆上，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 20．（25-26学年高二上·广东四校·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·广东清远·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 2．（2026·广东东莞·联考）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B.  C. 2 D. 2 3．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）圆：与圆：的位置关系为（       ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 4．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 5．（25-26学年高二上·广东广州·期中）点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A.  B.  C.  D.  6．（2026·广东部分学校·联考）（多选）已知直线被圆截得的弦为，则（　　） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心到直线距离为 D.  7．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则m的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（     ） A. 1 B.  C.  D. 2 9．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则的值是（     ） A. 2 B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）圆和圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 11．（25-26学年高二上·广东领航高中联）若直线（）与圆：及圆：共有2个公共点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（2026·广东麻涌中学·联考）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 13．（2026·广东东莞·联考）（多选）已知圆，，下列结论正确的是（       ） A. 若且两圆内切，则圆心的轨迹方程为 B. 若，则两圆有3条公切线 C. 若，则两圆的公共弦所在直线的方程为 D. 若，为圆的直径，为圆上的动点，则的最大值为 14．（2026·广东东莞·联考）数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上. 这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C.  D. 4 16．（25-26学年高二上·广东广州·期中）设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（       ） A.  B.  C. 1 D.  17．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）已知圆，若点P在圆上，并且点P到直线的距离为，则满足条件的点P的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18．（2026·广东部分学校·联考）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（       ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 19．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）“”是“圆的一条切线过点”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 20．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）已知圆与圆外切，则（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（　　） A. x+2y﹣3＝0 B. x﹣2y﹣5＝0 C. 2x﹣y﹣5＝0 D. 2x+y﹣5＝0 23．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（       ） A. 外离 B. 相交 C. 内含 D. 内切 24．（25-26学年高二上·广东茂名化州·期中）过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）（多选）对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（       ） A. l过定点 B. C的半径为3 C. l与C可能相切 D. l被C截得的弦长最小值为 27．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（       ） A. 圆C的方程是 B. 过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C. 若x，y满足圆C的方程，则的最大值是 D. 过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为 28．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）（多选）已知直线和圆交于两点，则下列结论正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C. 若中点为，则 D. 直线被圆截得的弦长的最小值为 29．（25-26学年高二上·广东领航高中联）（多选）已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（     ） A. 若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B. 若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C. 若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D. 若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 30．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）（多选）已知动点M，N分别在圆：和：上，动点P在x轴上，则（       ） A. 圆的半径为3 B. 圆和圆外离 C. 的最小值为 D. 过点P作圆的切线，则点P到切点的最短距离为 31．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）（多选）已知点，是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，，下列说法正确的是（       ） A. 圆与圆有两条公切线 B. 的最小值为1 C. 四边形面积的最小值为1 D. 直线恒过定点 32．（25-26学年高二上·广东清远·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高二上·广东茂名化州·期中）若圆关于直线对称，则　　　　　　　　　． 34．（2026·广东东莞高级中学·联考）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 35．（25-26学年高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 36．（25-26学年高二上·广东广州·期中）若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为　　　　　　. 37．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）已知直线经过点，分别求满足下列条件的直线的方程： （1）与直线垂直； （2）与圆：相切. 38．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为　　　　　　　　　. 39．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）已知直线将圆的周长平分，其中，，则的最小值为　　　　　　　　　　. 40．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 41．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是　　　　　　　． 42．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过圆外一点向圆引两条切线，切点为、，求经过两切点的直线方程． 43．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知直线：与轴交于点，原点为. （1）若直线过点，且与平行，求的一般方程； （2）若圆过点，两点且与相切，求圆的标准方程. 44．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 45．（2026·广东东莞·联考）已知圆，直线 （1）求证：直线恒过定点； （2）当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； （3）当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值． 46．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 47．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=　　　　　　　　． 48．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． （1）若弦长，求直线的方程； （2）求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 49．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，． （1）若，求的斜率； （2）若的斜率为，求的面积． 50．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）已知曲线，过直线上一点作的两条切线，若两切点之间的距离为，则的坐标为　　　　　　　　　　. 51．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. （1）若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； （2）若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 52．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为　　　　　　. 53．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）已知圆C的圆心C在x轴上，并且过和两点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆相交于M，N两点，的面积为2，求实数m的值． 54．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）设直线与圆和圆均相切，则　　　　　　　；b=　　　　　　． 55．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知，则的取值范围是　　　　　　. 56．（2026·广东麻涌中学·联考）如图所示，圆：与轴的交点分别为，，过点的直线与圆交于，两点.    （1）若弦的长为，求直线的方程 （2）记直线，的斜率分别为，，求的值； （3）设为直线与的交点，，的面积分别为，，求的取值范围. 57．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知是圆内一点，若过点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域（忽略边界）面积为　　　　　　　　　　. 58．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）直线与交于点P，圆上有两动点A，B，且，则的最小值为　　　　　　． 59．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点． （1）若直线的斜率为，求弦的长； （2）若的中点为，求面积的取值范围； （3）已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，证明：直线的交点在一条定直线上. 60．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）如图1，已知圆心在轴的圆经过点和.过原点且不与轴重合的直线与圆交于A、B两点（在轴上方）. （1）求圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线l的方程； （3）将平面xOy沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂直，如图2，求折叠后的范围. 61．（2026·广东部分学校·联考）已知圆过，，三点． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆：的公共弦长； （3）已知，P为圆上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 62．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）已知圆过点，且与圆内切，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）圆与交于两点.过点作圆的两条切线，切点分别为. （i）求的取值范围； （ii）若，求点到直线的距离. 63．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知与相交于点线段是圆的一条动弦，且则的范围为　　　　　 64．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 65．（25-26学年高二上·广东茂名化州·期中）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 66．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是　　　　　　　　. 67．（25-26学年高二上·广东清远·期中）已知定点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $