专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，广东专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 3大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（2026·广东多校·联考）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C. 1 D. 不存在 【答案】B 【分析】 根据倾斜角的概念即可求解. 【详解】 直线垂直于轴，故倾斜角为． 故选：B 2．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求得直线的倾斜角，从而求得直线的倾斜角，进而求得直线的斜率. 【详解】 直线过原点和，所以斜率为，倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，斜率为. 故选：A 3．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）（多选）已知直线，则下列选项中正确的有（       ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的斜率为 C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为 【答案】CD 【分析】 由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误. 【详解】 因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误； 因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确； 取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确. 故选：CD 4．（25-26学年高二上·广东清远·期中）直线经过两点，则的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直接应用斜率公式进行求解即可. 【详解】 由，得的斜率为． 故选：A 5．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）（多选）若直线与直线平行，则的值可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 利用两直线平行的等价条件，即可解得实数的值. 【详解】 因为直线与直线平行， 则 ，解得或. 故选：AB. 6．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【分析】 求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得到答案. 【详解】 设该直线的倾斜角为，， 直线的斜率为 则，则. 故选：A. 7．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）已知直线，则“”是“”的（     ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【详解】 若，则，解得或， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则当时，， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 8．（2026·广东麻涌中学·联考）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线的倾斜角和斜率的关系可得答案. 【详解】 因为， 所以. 故选：D. 9．（2026·广东麻涌中学·联考）已知直线，，则“”是“”的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由直线平行的判定列方程求参数值，注意重合情况即可. 【详解】 由，则 ，解得， 当时，，，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：A 10．（25-26学年高二上·广东茂名信宜·期中）已知直线：，：，若，则的值是（       ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用两条直线的位置关系求解. 【详解】 因为直线：，：，且， 所以 ，解得， 故选：D 11．（25-26学年高二上·广东茂名信宜·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【分析】 利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】 设直线的倾斜角为，且， 则 ，所以. 故选：B 12．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）已知直线与直线相互垂直，则的值为（       ） A.  B. 1 C. 3 D.  【答案】A 【分析】 利用直线与直线垂直的条件求解即可. 【详解】 故选:A. 13．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围； 【详解】 直线的方程为，设直线的倾斜角为， 当时，， ② 当时，直线的斜率， 由于或， 所以,,， 所以， 综上所述：； 故选：C． 14．（25-26学年高二上·广东广州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出直线的斜率，然后结合倾斜角与斜率关系即可求解． 【详解】 由题意得直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则， 由，得， 故选：B． 15．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）（多选）已知两条直线，的方程分别为与，则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 若，则 D. 过点 【答案】AD 【分析】 由两直线平行的斜率关系可得A正确，利用平行直线之间的距离公式计算可得B错误，再由垂直关系的斜率表示可得C错误，由直线过定点可得D正确. 【详解】 对于A，由可得，解得，经检验两直线不重合，所以A正确； 对于B，由A可知时，此时的方程为， 此时两条平行直线之间的距离为，可知B错误； 对于C，若，可得，解得，即C错误； 对于D，将整理可得， 所以恒过定点，即D正确. 故选：AD 16．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）（多选）记，直线，则下列结论正确的是（       ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时，的截距式方程为 C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【分析】 利根据点到直线的距离公式可判断A；根据直线截距式方程的含义判断B；根据直线垂直和平行的条件求参数，可判断CD. 【详解】 对于A，当时，，点到的距离，故A正确； 对于B，当在上时，，此时，与x轴无交点，故无截距式方程，故B错误； 对于C，由可得，解得，故C正确； 对于D，由可得，可得，故D错误. 故选：AC. 17．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知两条直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】 当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 18．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）已知为实数，直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】 若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 19．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出 和的值，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】 解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或 ， 故选：A. 20．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】 设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 21．（25-26学年高二上·广东广州·期中）（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（     ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】 由直线系方程求出直线所过定点判定A与D；由两直线平行直与系数的关系列式求得值判断B；由两直线垂直与系数的关系列式求得值判断C． 【详解】 对于A，， 由 解得 ，所以始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有 ，解得，故B错误； 对于C，若，则有，得或2，故C正确； 对于D，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ACD． 22．（25-26学年高二上·广东四校·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. 方程表示过点的所有直线 C. 的最小值为 D. 已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】 对于A，根据斜率与方向向量的关系，可得其正误；对于B，根据直线方程的表示，通过反例，可得其正误；对于C，根据两点距离公式，结合将军饮马模型，可得其正误；对于D，求得边界直线的斜率，结合图象，可得其正误. 【详解】 对于A，设直线上的两个不同点，则，故A正确； 对于B，由当时，，解得，方程表示的直线过定点， 但直线也过，不能由该方程表示，故B错误； 对于C，由， 则该式表示点分别到与的距离之和， 求得点关于直线的对称点， 所以，故C正确； 对于D，直线的斜率，直线的斜率， 由题意可作图如下：    因为直线与线段有交点，所以斜率的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 23．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）（多选）对于直线.以下说法正确的有（       ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【分析】 求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】 当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 24．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）已知直线：：，：，则“”是“”的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据求出的值并进行检验，再利用充分必要条件的概念判断即可. 【详解】 由，解得或, 当时，直线：，：，此时两条直线重合，舍掉， 当时，直线：，：，此时两条直线平行， “”是“”的充分必要条件. 故选：. 25．（25-26学年高二上·广东清远·期中）“”是“直线和直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据直线平行的等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为和，不满足条件， 当时，满足，即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：C． 26．（2026·广东多校·联考）已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解. (1) 小问详解： 由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为. (2) 小问详解： 由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为， 化为斜截式方程为. 考点02 直线的方程 1．（2026·广东东莞高级中学·联考）（多选）下列说法中，正确的有（       ） A. 已知直线：，始终过定点 B. 直线在轴上的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程 【答案】AD 【分析】 代入验证可判定A；根据纵截距的定义可判定B；根据直线的斜率与倾斜角的关系可以判定C；根据倾斜角为的直线斜率不存在，方程为的形式，进而可以判定D. 【详解】 对于A，∵，可知A正确； 对于B，由直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距是，B不正确； 对于C，由方程可得直线的斜率为，可知倾斜角为60°，故C错误； 对于D，根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式， 再根据经过点，∴直线的方程为，故D正确. 故选：AD 2．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）直线的一个方向向量是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据方向向量的定义即可求解. 【详解】 的一个方向向量是. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）若直线方程为，则直线在x轴和y轴上的截距分别为（       ） A. 2，3 B.  C. ，3 D. 2， 【答案】D 【分析】 将直线方程化为截距式，即可得结果. 【详解】 直线方程可化为截距式方程， 因此直线在x轴和y轴上的截距分别为2，． 故选：D. 【点睛】 本题主要考查直线截距式方程的定义与应用，属于基础题. 4．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 写出直线斜截式，根据倾斜角与斜率的关系确定倾斜角大小. 【详解】 由题设，设倾斜角为且，则， 所以. 故选：B 5．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）直线的倾斜角为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直线的斜率公式为，先使用这个公式求出直线的斜率，再用公式，求出倾斜角即可. 【详解】 ， ， 设倾斜角为，， ， ， ， . 故选：A. 6．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）（多选）已知直线l：与n：，下列选项正确的是（       ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【分析】 运用两直线平行性质可判断A项，运用两直线垂直的性质可判断B项，提取参数后计算可判断C项，由截距定义可求得a的值进而可判断D项. 【详解】 对于A项，若，则，解得或， 经检验，均符合，故A项正确； 对于B项，若，则，解得或，故B项不成立； 对于C项，因为， 则由 得 ，所以l恒过点，故C项正确； 对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点， 则，得， 所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立． 故选：AC. 7．（25-26学年高二上·广东茂名信宜·期中）将直线：绕其与轴的交点旋转得到直线，则直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据条件确定直线的斜率以及直线上的点，再代入点斜式直线方程. 【详解】 由条件可知，与轴的交点为，且斜率为，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程是，整理为. 故选：B 8．（2026·广东多校·联考）（多选）设直线（、不同时为0），则（   ） A. 若，则与坐标轴平行 B. 若，则的倾斜角唯一 C. 若，则的斜率唯一 D. 若，则在坐标轴上的截距唯一 【答案】BC 【分析】 根据直线一般式方程的性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】 若，则直线或直线，当时与坐标轴重合，所以A错误； 若，则直线，的倾斜角为0，是唯一的，故B正确； 若，则的斜率为，是唯一的，故C正确； 若且，此时直线方程为，直线与轴有无数交点，则在坐标轴上的截距不是唯一的，故D错误. 故选：BC. 9．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用一般式直线方程求出斜率，进而求出倾斜角. 【详解】 由直线方程，则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值， 所以倾斜角的大小为. 故选：D 10．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定的直线方程，化为直线的斜截式方程，得出直线的斜率. 【详解】 由直线方程，可得 所以直线的斜率. 故选：A. 11．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（       ） A. 1 B.  C. 或 D. 2或1 【答案】A 【分析】 分别求出直线在x轴和y轴上的截距，从而可得答案． 【详解】 对于直线， 当时，不符合题意，故． 当时，；当时，， 所以直线在x轴和y轴上的截距分别为， 根据题意得，所以． 故选：A． 12．（25-26学年高二上·广东茂名化州·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 过点并且倾斜角为的直线方程为 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为 【答案】ABC 【分析】 求得直线方程判断A；利用直线斜率与在y轴上的截距可判断B；由直线的点斜式方程求得直线方程判断C；由直线的斜截式求得直线方程判断D. 【详解】 对于A，直线的倾斜角为，所以该直线与横轴垂直，所以直线方程为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在y轴上的截距为5， 可得直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，故C正确； 对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为，故D错误. 故选：ABC. 13．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知直线：与直线：交于点，则（     ） A. 点为定点 B. 直线可能同时经过第三、四象限 C. 直线可能不经过第三象限 D. 存在定点，使得为定值 【答案】D 【分析】 由的取值不确定，则点的位置不确定，判断A；根据直线过定点的位置，判断BC；由两直线垂直得，可得存在定点，使得为定值，判断D. 【详解】 联立 ，可得 ，显然点随的变化而变动，故A错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在轴的正半轴上，不可能同时经过第三、四象限，故B错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在第三象限，直线经过第三象限，故C错误； 当时，；当时，，则，所以， 则，取的中点，则为定值，故D正确. 故选：D. 14．（25-26学年高二上·广东领航高中联）过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求斜率再由点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】 由题知的斜率为，所以的方程为， 令，得. 故选：B. 15．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）直线，无论取何值，该直线恒过定点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将方程变形，解方程组即可得定点. 【详解】 ，即， 当 时，解得， 故该直线过定点， 故选：B. 16．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）四边形的四个顶点坐标分别为. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若四边形为平行四边形，求顶点的坐标及四边形的面积. 【答案】（1）     （2），13      【分析】 （1）由坐标求出BC的中点为，又由BC的斜率即可求出与BC垂直的直线的斜率，最后由直线的点斜式即可求解； （2）由四边形为平行四边形可得，联立方程组即可求得顶点的坐标，由点到直线的距离公式即可求得点到直线BC的距离，根据面积公式即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以边BC的中点为， 又因为边BC的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的方程为， 化简得； (2) 小问详解： 因为四边形为平行四边形，顶点， 所以，且， 联立，解得， 所以顶点. 因为边BC的斜率为， 所以直线BC的方程为， 化简得， 所以点到直线BC的距离为， 又， 所以平行四边形的面积为 17．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）经过两点的直线的方向向量为，求k的值为　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 求出，由直线方向向量定义和向量平行得到方程，求出k的值. 【详解】 ， 由与平行可得，解得. 故答案为：2 18．（25-26学年高二上·广东茂名信宜·期中）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据两点间的斜率公式，即可求解. 【详解】 由条件可知直线的斜率为2，所以，得. 故答案为： 19．（2026·广东部分学校·联考）平面直角坐标系中，已知点和直线． （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求过的中点，且与直线垂直的直线的方程． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据题意设为，结合所过的点求参数，即可得； （2）先求出中点坐标及直线斜率，再由点斜式写出直线方程. (1) 小问详解： 设与直线l平行的直线为， 因为直线过点，则， 所以，直线的方程为； (2) 小问详解： 由题设，的中点为， 而直线的斜率为，则与垂直的直线的斜率为， 所以，过点且与直线垂直的直线的方程为， 故所求直线为. 20．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）在中，. （1）求的平分线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据已知点的坐标特征，判断，推得的平分线所在直线的倾斜角为，即可写出直线的斜截式方程； （2）先求出直线的斜率，利用垂直关系求出边上的高的斜率，由点斜式求得其方程，整理得直线的一般式方程. (1) 小问详解： 由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得， 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为. (2) 小问详解： 由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率， 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 21．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的斜截式方程为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 就截距是否为零分类计算后可得所求直线的斜截式方程. 【详解】 若直线在两坐标轴上的截距均为零，则直线过原点，故此时直线的斜率为， 故此时直线的斜截式方程为：； 若直线在两坐标轴上的截距不为零，则设直线方程为：， 代入得即，故所求直线的斜截式方程为， 故答案为：或. 22．（25-26学年高二上·广东茂名化州·期中）已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的一般式方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求的面积．（其中O为坐标原点）． 【答案】（1）     （2）30      【分析】 （1）先联立两直线方程，求得，再由点斜式求出直线l的方程； （2）设直线m的方程为，分别表示出点的坐标，利用线段中点公式求出的值，即得点的坐标，进而可求得的面积. (1) 小问详解： 由 ，解得 ，即得， 由可得其斜率为， 故过点P且与直线平行的直线l的方程为，即. (2) 小问详解：    如图，设直线m的斜率为k，其方程为， 令，可得，令，可得，故，， 因为线段的中点，则得 ，解得， 则、． 故的面积为. 23．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 因为，所以，根据两角差的正切公式，结合各点坐标，可得的表达式，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】 直线可表示为，可知其过定点. 设，设，注意到， 则， 而， 故， 于是，当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）已知点，点，直线过点且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求，再直线垂直斜率乘积为得出斜率，最后点斜式写出直线方程即可； （2）先求两直线的交点，再设点求出点关于直线的对称点，最后应用两点式求出直线方程. (1) 小问详解： 因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 由 解得 ，故的交点坐标为， 因为在直线上，设关于对称的点为， 则 解得 所以直线关于直线对称的直线经过点， 代入两点式方程得，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为. 25．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）已知两直线和的交点为.求： （1）过点与点的直线方程； （2）过点且与直线垂直的直线方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1）首先求出和的交点，求，利用点斜式即可求解；； (2）利用垂直关系得到所求直线的斜率，利用点斜式即可求解 (1) 小问详解： 由 ，解得 ，则交点， 又所求直线的斜率， 则所求直线的方程为，即； (2) 小问详解： 直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 又所求直线过点， 则所求直线的方程为，即 26．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）已知在平行四边形中，，，，． （1）求直线BC的方程； （2）若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； （3）过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由平行四边形可知，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）由光的反射原理可知，从点射出的入射光所在直线方程经过点关于轴的对称点，求出后结合直线点斜式方程即可求解； （3）设出的坐标后，可设出直线的截距式方程，代入点可得，因为三点共线且与方向相反，故可表示为，用坐标运算表示出数量积后，再用乘“1”法与基本不等式即可得解. (1) 小问详解： 易知在平行四边形中，，故， 已知点，由直线的点斜式方程可得直线：， 整理得，即直线BC的方程为. (2) 小问详解： 设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线. ，由直线的点斜式方程得直线：， 整理为，即入射光线所在直线的方程为. (3) 小问详解： 设直线与轴的交点，与轴的交点， 故可设直线的截距式方程：，因为直线过点，故有. ， 三点共线，且与方向相反， . 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先求出点关于轴对称的点，依题意反射光线所在直线过点与，求出直线的斜率，再由斜截式计算可得. 【详解】 点关于轴对称的点为， 依题意反射光线所在直线过点与，则斜率， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C 2．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）若直线与直线之间的距离为，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 利用平行线间的距离公式求解. 【详解】 由题意知， 又， 解得， 故选：B. 3．（25-26学年高二上·广东清远·期中）（多选）下列说法中，正确的有（     ） A. 直线在y轴上的截距为-2 B. 直线的倾斜角为120° C. 直线(m∈R)必过定点(0，-3) D. 点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7 【答案】AC 【分析】 根据一般式直线方程，结合公式，分别判断直线的纵截距，斜率，定点，点到直线的距离. 【详解】 A.直线中，当时，，故A正确； B. 直线的斜率，所以倾斜角为，故B错误； C.直线，当时，，所以直线恒过定点，故C正确； D.点到直线的距离，故D错误. 故选：AC 4．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）已知点为直线上一点，则的最小值是（       ） A.  B. 7 C.  D. 5 【答案】D 【分析】 先求出点关于直线的对称点的坐标，然后转化成求两点间的距离求解即可. 【详解】 因为在直线上，设点关于直线的对称点为， 则 解得 故，连接交直线于点， 当在点时，取得最小值，其最小值为. 故选：D. 5．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得倾斜角的范围. 【详解】 直线方程可化为：， 令 得 ，所以直线恒过定点， 因为，所以， 又，所以直线与线段有交点，如图所示， 由，则，， 要使直线与线段有交点，则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：B 6．（2026·广东麻涌中学·联考）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（       ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线与直线之间的距离为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】 令可判断A；利用平行线之间的距离公式可判断B；求出直线的斜率可判断C；由方程判断两直线的位置关系可判断D 【详解】 令，故直线在轴上的截距为，A错误； 直线与直线之间的距离，B正确； 直线斜率为，且与交于点， 故直线关于对称的直线斜率为3且经过点，方程为，C错误； 直线斜率为，直线斜率为，两直线的斜率乘积为，两直线垂直，D正确. 故选：BD. 7．（2026·广东东莞·联考）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与平行，则它们之间的距离为 C. 经过定点的直线都可以用方程表示 D. 点关于直线的对称点是 【答案】BD 【分析】 对于A：根据直线的斜截式方程直接判断即可；对于B：由平行关系可求得，结合平行直线间距离公式运算求解；当直线斜率不存在时，无法用方程表示，知C错误；采用待定系数法，根据点关于直线对称点的求法可构造方程组求得D正确. 【详解】 对于选项A：直线在轴上的截距为，故A错误； 对于选项B：由两直线平行可得：，解得：或， 若，直线与重合，不合题意 若，直线与平行，符合题意， 综上所述：，它们之间的距离为，故B正确； 对于选项C：当经过的直线斜率不存在时，即方程为时，无法用方程来表示，故C错误； 对于选项D：设关于直线的对称点为， 则 ，解得： ， 即关于直线的对称点为，故D正确. 故选：BD. 8．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 建立平面直角坐标系，得出各顶点以及重心的坐标，设，.求出直线的方程，根据光的反射原理得出点关于以及轴的对称点的坐标，表示出的方程，代入重心坐标，求出的值，得出的方程.进而求出的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案. 【详解】    如图，建立平面直角坐标系，则，，，的重心坐标为，方程为，设，. 根据光的反射原理以及已知可知，点关于的对称点在的反向延长线上，点关于轴的对称点在的延长线上，即四点共线. 由已知可得点满足 ，解得 ， 所以. 易知. 因为四点共线， 所以有直线的斜率为， 所以，直线的方程为. 由于直线过重心， 所以有，整理可得， 解得或（舍去）， 所以直线的方程为，整理可得. 所以，点坐标为. 联立与的方程 ，解得 ，即， 所以，. 故选：B. 9．（25-26学年高二上·广东四校·期中）直线关于轴对称的直线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设点设是所求直线上任意一点，然后结合点的对称性与已知条件代入求解即可； 【详解】 设是所求直线上任意一点， 则关于轴对称的点为，且在直线上， 代入可得，即. 故选：C. 10．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 2 【答案】D 【分析】 作垂直下半平面于点Q，作轴于H，设，由题意可得即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故，进而求出，结合基本不等式即可得解． 【详解】 作垂直下半平面于点Q，作轴于H，连接， 设， 因为平面，x轴在平面内，所以轴， 又轴，，平面，所以x轴平面， 又平面，所以轴， 则即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故， 因为平面，平面，所以， 又，则， 又，则， 则， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以线段长度的最小值为2． 故选：D． 11．（2026·广东麻涌中学·联考）已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用数形结合，结合圆的性质以及点关于直线的对称点的性质，转化为三点共线问题，即可求解. 【详解】 圆:的圆心，半径 ，当、、三点共线（点在、两点之间）时，取等号， 点关于轴的对称点为，， 当、、三点共线时，取等号.    所以的最小值为. 故选：B. 12．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果. 【详解】 将直线化为一般方程可得， 由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为. 故答案为： 13．（2026·广东东莞高级中学·联考）两平行直线和的距离为　　　　　． 【答案】0.9 【分析】 直线与直线为平行线，根据两平行线间的距离公式即可求得答案． 【详解】 将直线，化简为， 与是平行线， 根据两平行线间的距离公式得， 两平行线间的距离为． 故答案为：． 14．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）直线与间的距离为　　　　　　 【答案】 【分析】 根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】 将直线化为， 所以两平行直线间的距离. 故答案为：. 15．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）已知直线及点. （1）若与垂直的直线过点，求与的值； （2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. (1) 小问详解： 因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. (2) 小问详解： 因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 16．（2026·广东麻涌中学·联考）已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程及中线长度； （2）过点作直线的垂线，求垂足的坐标． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据中点坐标公式可得，即可根据两点式化简求解，由两点距离公式即可求解长度， （2）根据垂直关系以及点斜式，联立两直线的方程求解交点即可得解. (1) 小问详解： 中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般式方程为． 中线长． (2) 小问详解： 由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 联立和方程， ，解得，故垂足． 17．（2026·广东东莞·联考）已知实数满足，则的最小值为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，即可求解． 【详解】 ， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值， 如图所示： 设点关于直线的对称点为， 得 ，解得 ， 得， 则 ， 等号成立时，三点共线， 故答案为： 18．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为　　　　　　. 【答案】 【详解】 由题意得，直线的斜率为，且经过点, 直线的斜率为，且经过点，且直线 所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为． 19．（2026·广东多校·联考）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. （1）若为正三角形，求直线的斜率； （2）设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 【答案】（1）或.     （2）（i）设，设中点， 由为的重心，故，解得. ，，解得， 故始终在直线上. （ii）或.      【分析】 （1）求正三角形时 的斜率，确定直线 的倾斜角为 ，利用正三角形性质，找到 所在直线与轴正半轴的夹角角度 ，计算对应的正切值，得到 的斜率. （2）（i）证明 在定直线上，设 的坐标为参数 ，利用重心坐标公式（三点坐标平均值为重心坐标），建立 与 的关系，消去参数 ，得到 的坐标满足的直线方程.（ii）已知面积求 的坐标，利用重心性质：三个小三角形面积相等，每个面积为原三角形的 ，用 的坐标计算 的面积，得到关于 的方程，解出 ，代入 与 的关系式，得到 的坐标. (1) 小问详解： 因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为， 若为正三角形，则直线的倾斜角为或， 故斜率为， 或. (2) 小问详解： （i）略 （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 20．（25-26学年高二上·广东清远·期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，. （1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标. （2）求四边形ABCD的面积. （3）求边AB上的高所在直线方程. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 (1)利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算得解. (2)求出直线BC的方程，再求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解. (3)求出直线AB的斜率即可求得边AB上的高所在直线方程. (1) 小问详解： 的顶点，，，则对角线AC中点为， 于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得： ， 所以平行四边形ABCD的顶点. (2) 小问详解： 因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即， 因此，点A到直线BC的距离为，而， 从而得， 所以四边形ABCD的面积为. (3) 小问详解： 依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为， 于是有：，即. 所以边AB上的高所在直线的方程为. 21．（2026·广东东莞·联考）如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由对称性转化为求图案在上方的点到直线的距离的最大值的2倍，利用点到直线的距离，转化为二次函数求最值. 【详解】 由对称性可知，求的最大值，转化为该图案上的点到直线距离的最大值的2倍， 由对称性不妨设点为图案上上方的点，联立与， 得，解得：，所以图案在上方的点的正坐标为， 设图案在上方的点，， 则点到直线的距离为，当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 22．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. （3）在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设，，由曼哈顿距离定义表示，利用函数的单调性结合三角恒等变形可求的最小值即可； （3）利用曼哈顿距离定义求得动点围成的图形为八面体且每个面均为边长为的等边三角形，即可求解其表面积. (1) 小问详解： ，所以. (2) 小问详解： 设，，， . 当且仅当时有最小值， 为单调递减函数， 所以， 当，即时，取得最小值， 所以的最小值为. (3) 小问详解： 设，因为，所以若，则.              当，，时，.              设，，，则，. 所以，              所以，，，四点共面， 所以当，，时，在边长为的等边三角形内部（含边界）.              对等边三角形内部任意一点，， 因为与不共线，所以设， 则. 所以 ，所以. 所以满足方程的点构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.              由对称性可知，动点围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 3大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（2026·广东多校·联考）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C. 1 D. 不存在 2．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）（多选）已知直线，则下列选项中正确的有（       ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的斜率为 C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为 4．（25-26学年高二上·广东清远·期中）直线经过两点，则的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）（多选）若直线与直线平行，则的值可以是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 7．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）已知直线，则“”是“”的（     ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8．（2026·广东麻涌中学·联考）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·广东麻涌中学·联考）已知直线，，则“”是“”的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高二上·广东茂名信宜·期中）已知直线：，：，若，则的值是（       ） A. 或 B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·广东茂名信宜·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 12．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）已知直线与直线相互垂直，则的值为（       ） A.  B. 1 C. 3 D.  13．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·广东广州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）（多选）已知两条直线，的方程分别为与，则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 若，则 D. 过点 16．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）（多选）记，直线，则下列结论正确的是（       ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时，的截距式方程为 C. 当时， D. 当时， 17．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知两条直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）已知为实数，直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 19．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  20．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·广东广州·期中）（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（     ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 22．（25-26学年高二上·广东四校·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. 方程表示过点的所有直线 C. 的最小值为 D. 已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 23．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）（多选）对于直线.以下说法正确的有（       ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 24．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）已知直线：：，：，则“”是“”的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 25．（25-26学年高二上·广东清远·期中）“”是“直线和直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 26．（2026·广东多校·联考）已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程. 考点02 直线的方程 1．（2026·广东东莞高级中学·联考）（多选）下列说法中，正确的有（       ） A. 已知直线：，始终过定点 B. 直线在轴上的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程 2．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）直线的一个方向向量是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）若直线方程为，则直线在x轴和y轴上的截距分别为（       ） A. 2，3 B.  C. ，3 D. 2， 4．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）直线的倾斜角为（       ）． A.  B.  C.  D.  6．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）（多选）已知直线l：与n：，下列选项正确的是（       ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 7．（25-26学年高二上·广东茂名信宜·期中）将直线：绕其与轴的交点旋转得到直线，则直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·广东多校·联考）（多选）设直线（、不同时为0），则（   ） A. 若，则与坐标轴平行 B. 若，则的倾斜角唯一 C. 若，则的斜率唯一 D. 若，则在坐标轴上的截距唯一 9．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（       ） A. 1 B.  C. 或 D. 2或1 12．（25-26学年高二上·广东茂名化州·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 过点并且倾斜角为的直线方程为 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为 13．（25-26学年高二上·广东领航高中联）已知直线：与直线：交于点，则（     ） A. 点为定点 B. 直线可能同时经过第三、四象限 C. 直线可能不经过第三象限 D. 存在定点，使得为定值 14．（25-26学年高二上·广东领航高中联）过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）直线，无论取何值，该直线恒过定点（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·广东广州中学·期中）四边形的四个顶点坐标分别为. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若四边形为平行四边形，求顶点的坐标及四边形的面积. 17．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）经过两点的直线的方向向量为，求k的值为　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·广东茂名信宜·期中）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为　　　　　　　　 19．（2026·广东部分学校·联考）平面直角坐标系中，已知点和直线． （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求过的中点，且与直线垂直的直线的方程． 20．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）在中，. （1）求的平分线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 21．（25-26学年高二上·广东四校·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的斜截式方程为　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年高二上·广东茂名化州·期中）已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的一般式方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求的面积．（其中O为坐标原点）． 23．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）已知点，点，直线过点且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程. 25．（25-26学年高二上·广东仙村中学·期中）已知两直线和的交点为.求： （1）过点与点的直线方程； （2）过点且与直线垂直的直线方程. 26．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）已知在平行四边形中，，，，． （1）求直线BC的方程； （2）若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； （3）过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·广东上进联考·期中）若直线与直线之间的距离为，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年高二上·广东清远·期中）（多选）下列说法中，正确的有（     ） A. 直线在y轴上的截距为-2 B. 直线的倾斜角为120° C. 直线(m∈R)必过定点(0，-3) D. 点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7 4．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）已知点为直线上一点，则的最小值是（       ） A.  B. 7 C.  D. 5 5．（2026·广东卓越教育发展联盟学校·二模）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·广东麻涌中学·联考）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（       ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线与直线之间的距离为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 直线与直线垂直 7．（2026·广东东莞·联考）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与平行，则它们之间的距离为 C. 经过定点的直线都可以用方程表示 D. 点关于直线的对称点是 8．（25-26学年高二上·广东石龙中学·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·广东四校·期中）直线关于轴对称的直线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 2 11．（2026·广东麻涌中学·联考）已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（        ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为　　　　　　. 13．（2026·广东东莞高级中学·联考）两平行直线和的距离为　　　　　． 14．（25-26学年高二上·广东佛山·期中）直线与间的距离为　　　　　　 15．（25-26学年高二·广东广州番禺区·期中）已知直线及点. （1）若与垂直的直线过点，求与的值； （2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 16．（2026·广东麻涌中学·联考）已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程及中线长度； （2）过点作直线的垂线，求垂足的坐标． 17．（2026·广东东莞·联考）已知实数满足，则的最小值为　　　　　　　　 18．（25-26学年高二上·广东仲元中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为　　　　　　. 19．（2026·广东多校·联考）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. （1）若为正三角形，求直线的斜率； （2）设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 20．（25-26学年高二上·广东清远·期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，. （1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标. （2）求四边形ABCD的面积. （3）求边AB上的高所在直线方程. 21．（2026·广东东莞·联考）如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为　　　　　　　． 22．（25-26学年高二上·广东粤东四校·期中）曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. （3）在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．B 2．A 3．CD 4．A 5．AB 6．A 7．A 8．D 9．A 10．D 11．B 12．A 13．C 14．B 15．AD 16．AC 17．A 18．B 19．A 20．A 21．ACD 22．ACD 23．BD 24．A 25．C 26．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解. (1) 小问详解： 由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为. (2) 小问详解： 由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为， 化为斜截式方程为. 考点02 直线的方程 1．AD 2．C 3．D 4．B 5．A 6．AC 7．B 8．BC 9．D 10．A 11．A 12．ABC 13．D 14．B 15．B 16．【答案】（1）     （2），13      【分析】 （1）由坐标求出BC的中点为，又由BC的斜率即可求出与BC垂直的直线的斜率，最后由直线的点斜式即可求解； （2）由四边形为平行四边形可得，联立方程组即可求得顶点的坐标，由点到直线的距离公式即可求得点到直线BC的距离，根据面积公式即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以边BC的中点为， 又因为边BC的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的方程为， 化简得； (2) 小问详解： 因为四边形为平行四边形，顶点， 所以，且， 联立，解得， 所以顶点. 因为边BC的斜率为， 所以直线BC的方程为， 化简得， 所以点到直线BC的距离为， 又， 所以平行四边形的面积为 17．【答案】2 【分析】 求出，由直线方向向量定义和向量平行得到方程，求出k的值. 【详解】 ， 由与平行可得，解得. 故答案为：2 18．【答案】 【分析】 根据两点间的斜率公式，即可求解. 【详解】 由条件可知直线的斜率为2，所以，得. 故答案为： 19．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据题意设为，结合所过的点求参数，即可得； （2）先求出中点坐标及直线斜率，再由点斜式写出直线方程. (1) 小问详解： 设与直线l平行的直线为， 因为直线过点，则， 所以，直线的方程为； (2) 小问详解： 由题设，的中点为， 而直线的斜率为，则与垂直的直线的斜率为， 所以，过点且与直线垂直的直线的方程为， 故所求直线为. 20．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据已知点的坐标特征，判断，推得的平分线所在直线的倾斜角为，即可写出直线的斜截式方程； （2）先求出直线的斜率，利用垂直关系求出边上的高的斜率，由点斜式求得其方程，整理得直线的一般式方程. (1) 小问详解： 由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得， 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为. (2) 小问详解： 由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率， 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 21．【答案】或 【分析】 就截距是否为零分类计算后可得所求直线的斜截式方程. 【详解】 若直线在两坐标轴上的截距均为零，则直线过原点，故此时直线的斜率为， 故此时直线的斜截式方程为：； 若直线在两坐标轴上的截距不为零，则设直线方程为：， 代入得即，故所求直线的斜截式方程为， 故答案为：或. 22．【答案】（1）     （2）30      【分析】 （1）先联立两直线方程，求得，再由点斜式求出直线l的方程； （2）设直线m的方程为，分别表示出点的坐标，利用线段中点公式求出的值，即得点的坐标，进而可求得的面积. (1) 小问详解： 由 ，解得 ，即得， 由可得其斜率为， 故过点P且与直线平行的直线l的方程为，即. (2) 小问详解：    如图，设直线m的斜率为k，其方程为， 令，可得，令，可得，故，， 因为线段的中点，则得 ，解得， 则、． 故的面积为. 23．【答案】 【分析】 因为，所以，根据两角差的正切公式，结合各点坐标，可得的表达式，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】 直线可表示为，可知其过定点. 设，设，注意到， 则， 而， 故， 于是，当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求，再直线垂直斜率乘积为得出斜率，最后点斜式写出直线方程即可； （2）先求两直线的交点，再设点求出点关于直线的对称点，最后应用两点式求出直线方程. (1) 小问详解： 因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 由 解得 ，故的交点坐标为， 因为在直线上，设关于对称的点为， 则 解得 所以直线关于直线对称的直线经过点， 代入两点式方程得，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1）首先求出和的交点，求，利用点斜式即可求解；； (2）利用垂直关系得到所求直线的斜率，利用点斜式即可求解 (1) 小问详解： 由 ，解得 ，则交点， 又所求直线的斜率， 则所求直线的方程为，即； (2) 小问详解： 直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 又所求直线过点， 则所求直线的方程为，即 26．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由平行四边形可知，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）由光的反射原理可知，从点射出的入射光所在直线方程经过点关于轴的对称点，求出后结合直线点斜式方程即可求解； （3）设出的坐标后，可设出直线的截距式方程，代入点可得，因为三点共线且与方向相反，故可表示为，用坐标运算表示出数量积后，再用乘“1”法与基本不等式即可得解. (1) 小问详解： 易知在平行四边形中，，故， 已知点，由直线的点斜式方程可得直线：， 整理得，即直线BC的方程为. (2) 小问详解： 设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线. ，由直线的点斜式方程得直线：， 整理为，即入射光线所在直线的方程为. (3) 小问详解： 设直线与轴的交点，与轴的交点， 故可设直线的截距式方程：，因为直线过点，故有. ， 三点共线，且与方向相反， . 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．C 2．B 3．AC 4．D 5．B 6．BD 7．BD 8．B 9．C 10．D 11．B 12．【答案】 【分析】 利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果. 【详解】 将直线化为一般方程可得， 由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为. 故答案为： 13．【答案】0.9 【分析】 直线与直线为平行线，根据两平行线间的距离公式即可求得答案． 【详解】 将直线，化简为， 与是平行线， 根据两平行线间的距离公式得， 两平行线间的距离为． 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】 将直线化为， 所以两平行直线间的距离. 故答案为：. 15．【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. (1) 小问详解： 因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. (2) 小问详解： 因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 16．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据中点坐标公式可得，即可根据两点式化简求解，由两点距离公式即可求解长度， （2）根据垂直关系以及点斜式，联立两直线的方程求解交点即可得解. (1) 小问详解： 中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般式方程为． 中线长． (2) 小问详解： 由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 联立和方程， ，解得，故垂足． 17．【答案】 【分析】 表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，即可求解． 【详解】 ， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值， 如图所示： 设点关于直线的对称点为， 得 ，解得 ， 得， 则 ， 等号成立时，三点共线， 故答案为： 18．【答案】 【详解】 由题意得，直线的斜率为，且经过点, 直线的斜率为，且经过点，且直线 所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为． 19．【答案】（1）或.     （2）（i）设，设中点， 由为的重心，故，解得. ，，解得， 故始终在直线上. （ii）或.      【分析】 （1）求正三角形时 的斜率，确定直线 的倾斜角为 ，利用正三角形性质，找到 所在直线与轴正半轴的夹角角度 ，计算对应的正切值，得到 的斜率. （2）（i）证明 在定直线上，设 的坐标为参数 ，利用重心坐标公式（三点坐标平均值为重心坐标），建立 与 的关系，消去参数 ，得到 的坐标满足的直线方程.（ii）已知面积求 的坐标，利用重心性质：三个小三角形面积相等，每个面积为原三角形的 ，用 的坐标计算 的面积，得到关于 的方程，解出 ，代入 与 的关系式，得到 的坐标. (1) 小问详解： 因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为， 若为正三角形，则直线的倾斜角为或， 故斜率为， 或. (2) 小问详解： （i）略 （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 20．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 (1)利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算得解. (2)求出直线BC的方程，再求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解. (3)求出直线AB的斜率即可求得边AB上的高所在直线方程. (1) 小问详解： 的顶点，，，则对角线AC中点为， 于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得： ， 所以平行四边形ABCD的顶点. (2) 小问详解： 因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即， 因此，点A到直线BC的距离为，而， 从而得， 所以四边形ABCD的面积为. (3) 小问详解： 依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为， 于是有：，即. 所以边AB上的高所在直线的方程为. 21．【答案】 【分析】 由对称性转化为求图案在上方的点到直线的距离的最大值的2倍，利用点到直线的距离，转化为二次函数求最值. 【详解】 由对称性可知，求的最大值，转化为该图案上的点到直线距离的最大值的2倍， 由对称性不妨设点为图案上上方的点，联立与， 得，解得：，所以图案在上方的点的正坐标为， 设图案在上方的点，， 则点到直线的距离为，当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 22．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设，，由曼哈顿距离定义表示，利用函数的单调性结合三角恒等变形可求的最小值即可； （3）利用曼哈顿距离定义求得动点围成的图形为八面体且每个面均为边长为的等边三角形，即可求解其表面积. (1) 小问详解： ，所以. (2) 小问详解： 设，，， . 当且仅当时有最小值， 为单调递减函数， 所以， 当，即时，取得最小值， 所以的最小值为. (3) 小问详解： 设，因为，所以若，则.              当，，时，.              设，，，则，. 所以，              所以，，，四点共面， 所以当，，时，在边长为的等边三角形内部（含边界）.              对等边三角形内部任意一点，， 因为与不共线，所以设， 则. 所以 ，所以. 所以满足方程的点构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.              由对称性可知，动点围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $