广东湛江市二中海东中学、崇文实验学校、港城中学三校2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学学科试卷

**基本信息** 高二年级期中数学试卷聚焦立体几何与解析几何，通过华罗庚名言情境（第8题）及探究性问题（如解答题18题二面角存在性），考查空间想象与逻辑推理，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间四边形、向量垂直、直线距离|基础概念辨析，如射影坐标（第2题）| |多选题|3/18|空间向量基底、直线位置关系|选项分层，如第9题基底判定与向量夹角条件| |填空题|3/15|三点共线、二面角、直线方程|几何计算，如第13题二面角中线段长度| |解答题|5/77|直线方程、空间向量投影、线面角、面积最值|综合应用，如18题正方体线面角及存在性探究，19题面积最值结合基本不等式|

2025-2026学年第一学期高二年级期中考试 数学学科试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间四边形( ) A． B． C． D． 2.已知，则点在Oyz平面内(O为坐标原点)的射影坐标是( ) A． B． C． D． 3.已知向量，，且，那么(     ) A. B. C. D.3 4.直线与间的距离是(     ) A. B. C. D. 5.设，，若点在线段上，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平行六面体中，，，，，则与的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.已知正方体的棱长为2，点M满足xy+z，且 xz1－y，则的最小值是( ) A. B. C. D. 8.著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离。结合上述观点，可得函数的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下面四个结论正确的是（　　） A．若空间向量，满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量，，满足，，则 10．已知两条直线：与，下列说法正确的是（　 ） A．始终过定点 B．若，则 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 11．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则（　　） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如果空间中，，三点共线，则 13．如图，二面角等于，、是棱上两点，，，且2 ，则的长等于           14.如图，射线，分别与 轴的正半轴均成角，过点作直线分别交于两点，当线段的中点 恰好落在直线上时，则直线的方程为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）求满足下列条件的直线方程(最后答案以直线方程的一般式表示)： 过点A，且与直线平行的直线方程； 已知，，求线段的垂直平分线的方程． 16．（本题15分）已知空间中三点，，． ； 求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 17．（本题15分）在长方体中，已知4，，以点为原点，分别以C、、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标，点是线段点，设，，． 求证：C； 在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量； ∆的面积． 18.（本题17分）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 线段上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（本题17分）已知直线过定点，直线的方程是． 若直线的横截距为纵截距3倍，求直线的方程． 若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线 垂线，垂足分别是，S．求四边形面积的最小值． 第7页（/共4页） 第8页/（共10页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年第一学期高二年级期中考试 数学学科试卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B A D C D BC AD 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】，故选A. 2．C 【详解】点在Oyz平面上的射影坐标特征是y，z不变，x变为0，所以点在Oyz平面上的射影坐标为，故选C. 3．B  【详解】因为，，且， 所以，即，故选B． 4．B 【详解】由得， 所以直线与间的距离是. 故选． 5．A 【详解】【分析】本题考查直线的斜率，属于中等题．根据题意，设，设，分析的几何意义，结合直线斜率公式分析可得答案． 【解答】根据题意，设，设， 则的几何意义为线段上任意一点与点连线的斜率， 而，， 如图：必有或，即或， 则的取值范围是． 6．D 【详解】设，，，则， , . 设， 由， ． 故选． 7．C 【详解】由xy+z和xy+z1结合共面向量定理 得、、、四点共面，即点在平面上，则的最 小值为点到平面的距离. 以为原点建立如图所示的空间 直角坐标系，则(0,0,0)，(2,0,2)，(0,2,2)，(2,2,0)，所以 (2,2,0)，(0,22)，(2,0,2)，设平面的 法向量，则，，点到 平面的距离故选 8．D 【详解】【分析】本题考查点关于直线对称的问题，考查两点间距离问题，属于较难题。 的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 【解答】 ， 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知， 即的最小值为． 故选D． 9．BC 【详解】 对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底，若，则可以作为基底；则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当，反向共线时也成立，但与夹角不为钝角；但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线(及其方向向量)可以不平行，所以D错误． 故选：BC 10．AD 【详解】对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，而，则有，此时，直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，由结合图像可得始终不过第四象限，D正确. 故选：AD 11．ABD 【分析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断、、，根据线面平行的判定定理判断． 【解答】解：由题意，以为原点，，，所在直线 分别为，，轴，建立如图的空间直角坐标系， 设，则，，， ，，，，由是 棱上的动点，设，， ，， ，，故A正确； 当为中点时，是的中位线， ， 平面，平面， 平面，故B正确； 而，， 若存在点，使直线与所成的角为， 则，化简得，无解，C错误； 点到平面的距离，，， 点到平面的距离：， 点到平面与平面的距离和为:，为定值，D正确． 故选ABD． 12． 【详解】因为，，，所以 由，，三点共线，则所以，解得 13． 【详解】由二面角的平面角的定义知：， 所以， 由，，得， 又因为， 所以 ， 所以，即．故答案为：． 14．). 【详解】 由题意，可得，， 所以直线：，：． 当直线斜率不存在时，，，中点不在上，不满足； 当直线斜率存在时，设，，，所以的中点． 由点在直线上，且，，三点共线得解得， 所以．又，所以，用点斜式方程表示为：， 即直线的方程为． 15．【答案】 解：（1）设与直线平行的直线方程为，…………1分 由于过点，代入，解得，………………3分 可得，……………………………………………………4分 所以直线方程为：；…………………………………5分 （2）由题意知，，则线段的中点，…………7分 直线C的斜率≠0,……………………………………9分 因为直线与直线垂直，则有，所以，………11分 再由直线经过点，则由点斜式方程可得直线的方程为 ，化为一般式为：.……………………13分 16．【答案】 解：，……………………………………………………1分 所以；………………………………………3分 (2) ，………………………………………………………4分 且3，……………………………………………………………………6分 则向量在向量上的投影向量为； ……………………………………………………………………………………8分 (3)因为点在平面上，故存在使得，……9分 又，，………………………………………11分 ，………………………………12分 而，所以，………………………14分 解得．故．………………………………………………15分 17．【答案】 解：由点是线段得，………………1分 又由题意得，，，………………………………2分 因此．………………………………………4分 而·0，因此，即C；…………………………5分 (第(1)小题也可利用基向量法处理：，, ·0， ) 的位置如图所示，则为…………………………6分 连接，由题意得 ， 所以；……………………………………9分 (3)由(1)得，．…10分 ，，，…………………………………12分 ，……………………………………………13分 ，……………………………………………………14分 ∆的面积为：．…15分 (第(3)小题也可利用，, ，结合 ，，在求出点到直线的距离 ) 18．【答案】 证明：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，……………………………………………1分 故，………………………………………………2分 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，故，………………………………4分 又，，所以，……………………………5分 则，又平面，故平面；…………………6分 (此小题也可以用另一种方法：见上左图，取的中点，连接共面，又由平面.请评卷老师对按此做法的学生酌情给分.) 解：由可知，，……………………………………………………7分 则， 故直线与平面所成角的正弦值为；………………………………………9分 解：设线段上存在点P使得二面角的余弦值为. 当点P与点二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过P作PQ⟂于点Q(见上右图)，取Q(∈(0,1])，则P，……11分 由可知，，平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，故(≠0)，…………………15分 由题意得 ，解得∈(0,1]，符合题意…16分 因此线段上存在点P，使得二面角的余弦值为.…………17分 19．【答案】【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入求出参数，可得结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值. 【解答】 解：（1）当经过时，设，代入，所以，即，…2分 当不经过时，设 ，代入， 解得 ，即 ， ……………………………………………5分 所以直线的方程为或 .………………………………6分 （2）由题意设，……………………………………………7分 令，则，所以，令，则，所以，……8分 所以，，…………………………………10分 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形，…………………………………………12分 所以，………………………13分 所以 ， 因为，所以， 当且仅当，即 (舍)时取等号，………………………………16分 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最小值为.……………………………………………17分 $