精品解析：山东省济南第三中学2025-2026学年高二上学期期中学情检测数学试题

2025～2026学年 第一学期高二年级期中学情检测 数学试卷 学业质量评价研究小组命制 2025.11 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，考试时间150分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将个人的姓名、座号、考籍号填涂在答题卡规定位置，所有答案必须填涂在答题卡相应位置，否则无效. 第I卷 选择题 一、单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（ ） A. -5 B. -2 C. 2 D. 5 5. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 6. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线互相垂直，则实数的值为__________． 13. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为___________. 14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点的直线与圆交于，两点，则四边形面积的最大值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点在直线上运动，点为，点为. （1）求直线的方程； （2）的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 在平面直角坐标系中，已知圆及点和 （1）若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； （2）已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 19. 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离． （1）在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． （2）如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年 第一学期高二年级期中学情检测 数学试卷 学业质量评价研究小组命制 2025.11 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，考试时间150分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将个人的姓名、座号、考籍号填涂在答题卡规定位置，所有答案必须填涂在答题卡相应位置，否则无效. 第I卷 选择题 一、单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】直线的方程为，即， 所以直线的斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：B. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，且，所以，解得， 故选：B. 3. 如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】，点N为BC中点， 则. 故选：C 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（ ） A. -5 B. -2 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称得出，再根据坐标运算得出数量积. 【详解】因，则点M关于平面xOy的对称点坐标为， 因点M关于平面xOy的对称点坐标为，则， 则，，故. 故选：D 5. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或. 故选：B 6. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算得，两边平方得到方程，即可计算线段的长. 【详解】∵二面角的大小为，，， ∴，. 由题意得，， ， ∴， ∴，即线段的长为. 故选：B. 7. 若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为 时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径 时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案. 【详解】由已知条件得的圆心坐标为， 圆心到直线为， ∵圆上至少有三个点到直线的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是. 故选：. 8. 已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出点P的轨迹，再借助几何图形，数形结合求解作答. 【详解】直线恒过定点，直线恒过定点， 而，即直线与直线垂直，当P与N不重合时，，， 当P与N重合时，，令点，则，， 于是得，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），如图， 观察图形知，射线AP绕点A旋转，当旋转到与圆O：相切时，最大，最大， 因，为切线，点为切点，，，则， 所以最大值为，. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及在垂直条件下求动点的轨迹问题，可以借助向量垂直的坐标表示求解，以简化计算，快捷解决问题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 设出直线的点法向式方程为(、不同时为)，先讨论或均不合题意，即，然后求出横纵截距，由两截距相等得出，代入即得直线方程． 【详解】设所求直线方程为(、不同时为)， 显然，当或时，所得直线方程不满足题意，故、均不为， 当时，，当时，， 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则， 令，则，整理，得， 解得，或，则，或， 故所求直线方程为或， 故选：AC. 【点睛】方法点睛：本题考查直线的截距问题． 在不学直线的点法向式方程的地区，一般直线在坐标轴的两截距相等，可分类讨论，分截距为0和截距不为0两类，截距为0时设直线方程为求解，截距不为0时设直线方程为求解．两截距一个是另一个倍数问题也一样． 10. 已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据离心率的公式可判断A；根据椭圆的定义可判断B；根据焦半径的范围可判断C；根据基本不等式和椭圆的定义可判断D. 【详解】椭圆，则， ， . 对于A，离心率，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为16，故D正确. 故选：BD 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线互相垂直，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用两直线垂直，求出m. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得： 故答案为：3 【点睛】若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1A2+B1 B2=0,两直线垂直. 13. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出与直线的方向向量的夹角的余弦，转化为正弦后可得点到直线的距离． 【详解】， ， 所以， 点到的距离为． 故答案为：1． 14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点的直线与圆交于，两点，则四边形面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形的面积可分为，设出直线方程与圆的方程联立，利用两点的纵坐标差作为两个三角形的高，为底可得四边形面积，然后利用二次函数求最值. 【详解】圆的方程为，圆心， 将代入，所以点在圆内， 不妨设，则与的高可分别为， 设直线方程为，与圆的方程联立 ，整理得， 所以，， 所以， 所以四边形的面积为 ， 因为，所以当即时，面积有最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，关键点是利用韦达定理求出两个三角形的高及用二次函数求最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点在直线上运动，点为，点为. （1）求直线的方程； （2）的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式及点斜式方程即可求解； （2）由题意得，利用两平行直线的距离公式、两点间的距离公式及面积公式即可求解. 【小问1详解】 由，得， 由点斜式方程，化简得. 【小问2详解】 的面积为定值， 由于，故， 又点在直线上运动， 故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离， ， ， . 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面，、底面，所以，， 所以，， 所以矩形是正方形，所以， 因为，所以平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明； （2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知、、两两垂直，建系如图， ，0，，，2，，，0，，，2，，，1，， ，，，，1，，，2，， 设平面的法向量为， 则，，即 所以可取，0，， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 在平面直角坐标系中，已知圆及点和 （1）若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； （2）已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心为，求出圆心到直线的距离，根据弦长得到方程，求出半径； （2）点在以为直径的圆上，求出圆方程为，故两圆相交，从而得到不等式，求出，得到答案. 【小问1详解】 圆化为，故，解得， 所以圆心为， 直线的方程为，圆心到直线距离为， 由垂径定理得，解得. 【小问2详解】 点在以为直径的圆上， 由于点和，故此圆方程为， 从而圆与圆有两个交点，其中圆心距， 只需满足， 得，即，解得 18. 已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，解得、即可； （2）设、的斜率分别为、，，即可得到，，联立直线与曲线方程求出、点坐标，即可求出直线的方程，从而求出定点坐标. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设、的斜率分别为、，，由（1）可知下顶点为，可得，． 将代入，整理得， 解得或，则， 可得． 将代入可得，解得或， 则，所以． 直线的斜率为， 因此直线方程为， 化简得，于是直线经过定点． 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． （2）动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 19. 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离． （1）在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． （2）如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）求出线段所对的正四棱柱外接球截面大圆的圆心角，再求出弧长. （2）①根据给定条件可得平面，再在直角三角形中求出；②利用球的截面性质确定球心，求出球半径，进而求出球面距离. 【小问1详解】 正四棱柱的外接球直径，球半径， 因此球心与点构成正三角形，弦所对球过的大圆圆心角为，弧长为， 所以顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离为. 【小问2详解】 ①在直角梯形中，，，，， ，，则为正三角形， 在棱锥中，平面，而平面，则， 又，平面，则平面， 而平面，因此，， 在中，，，， 所以点到底面的距离为. ②取中点，则为外接圆圆心，令正的外接圆圆心为， 连接，则，平面，平面， 于是，， 在中，，因此棱锥的外接球半径， 有，球的弦所对大圆的圆心角为， ，即是钝角，而， 则，在大圆中所对劣弧长为， 所以，两点在球上的球面距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $