专题06 双曲线与抛物线（期中真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题06 双曲线与抛物线 2大高频考点概览 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据实轴和虚轴的长度列方程即可求解得解. 【详解】 由题意可知：实轴长为，虚轴长为， 故，解得， 故双曲线方程为， 故选：C 2．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）（多选）已知曲线的方程为，则（       ） A. 当时，曲线表示一个圆 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【分析】 根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】 当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据渐近线方程直接进行求解. 【详解】 的渐近线方程为， 即. 故选：A 4．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）（多选）以下四个命题中，正确的是（       ） A. 设，，动点满足，则动点的轨迹为双曲线 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 椭圆与双曲线有相同的焦点 【答案】CD 【分析】 根据双曲线的定义判断A；由曲线方程表示椭圆列不等式求参数范围判断B；解一元二次方程，结合双曲线、椭圆离心率的性质判断C；根据方程直接写出椭圆、双曲线的焦点坐标判断D. 【详解】 对于A，由， 结合双曲线的定义易知动点P的轨迹为双曲线的右支，故A错误； 对于B，由曲线为椭圆，则 ，解得且，故B错误； 对于C，，可得或， 可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故C正确； 对于D，椭圆中，则焦点为， 双曲线中，则焦点为， 即焦点相同，故D正确. 故选：CD. 5．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）双曲线的实轴长为，焦距为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线的方程求出，从而由求出，进而可求出实轴长与焦距之差. 【详解】 由知双曲线的焦点在轴上，且. ∴，， 所以，，. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据已知条件求得，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】 因为双曲线的两个焦点分别为，， 故双曲线的方程为，且， 又点在该双曲线上，所以 ，解得 ， 所以 ，故该双曲线的渐近线方程是. 故选：A 7．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）已知双曲线的右焦点为，虚轴的一个端点为，若原点到直线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】在直角中，，故，从而在直角中，可得，再结合，即可得到答案. 【详解】设原点到直线的投影为. 在直角中，，则， 所以，即，所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.本题关键是找出与等量关系. 8．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，根据椭圆定义以及余弦定理计算可得，再由双曲线定义可得，即可得双曲线的方程. 【详解】 不妨设，椭圆长半轴长为，双曲线实轴长为，如下图所示：    根据椭圆定义可知，由离心率定义可得， 解得； 又，可得， 解得； 由易知，可得； 又，可得， 因此可得双曲线的方程为. 故选：D 9．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（       ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 以上都不是 【答案】C 【分析】 结合垂直平分线以及中位线的性质，分析计算出的值，则结果可知. 【详解】 因为为中点，为中点，所以， 因为在线段的中垂线上，所以， 因此， 即点的轨迹是以为焦点的双曲线， 故选：C. 10．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】 联立方程 ，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 11．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，则，由的最小值为及范围可求. 【详解】 设，则， 所以，当且仅当时取等号． 由，得，又， 所以. 故选：D. 12．（25-26学年高二上·山东日照·期中）双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用离心率公式与渐近线方程公式定义计算即可得. 【详解】 由的焦点在轴上， 故， 故的渐近线方程为. 故选：D. 13．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）（多选）已知双曲线，点在渐近线上，满足．则下列说法正确的是（       ） A. 虚轴长为 B. 离心率为 C. 双曲线的渐近线方程是 D. 的面积是 【答案】BC 【分析】 求出、、的值，利用双曲线的几何性质可判断ABC选项；不妨设点在第一象限，设点，由题意得出，求出的值，可得出点的坐标，再利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】 在双曲线中，，，， 对于A选项，双曲线的虚轴长为，A错； 对于B选项，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，双曲线的渐近线方程是，C对； 对于D选项，不妨设点在第一象限，设点， 易知点、，，， 由题意可得， 因为，解得，即点， 故，D错. 故选：BC. 14．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】 的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 15．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（     ） A. 4 B. 2 C. 1 D.  【答案】C 【分析】 利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可. 【详解】 如图，连接， 由题意可知， 因为为坐标原点，为的中点， 所以，， 则. 故选：C 16．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B. 3 C.  D. 2 【答案】A 【分析】 由渐近线斜率求离心率. 【详解】 直线的斜率为，所以双曲线一条渐近线的斜率为-3， 即，所以离心率. 故选：A. 17．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）（多选）双曲线：的焦点在圆：上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足 (其中为坐标原点，则（     ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C.  D. 的面积为 【答案】ABD 【分析】 根据题干求出焦距， 再由得点E为三角形OMN的重心，从而有，得，再结合可求出a,b的值，进而可求得渐近线方程、离心率、三角形OMN的面积. 【详解】 如图：    设双曲线的焦距为，与轴交于点， 由题可知，则，由， 得点为的重心，可得， 即，，得，得，， 对于A：双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于B：， 故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：联立方程 ,解得 , 故M，N的坐标为， 所以．故D正确； 故选：ABD． 18．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线左、右焦点分别为，过点且倾斜角为锐角的直线l与C的右支交于M，N两点．设△MF1F2与△NF1F2的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ的斜率分别是，则＝（） A. －4 B.  C. 4 D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线的定义以及内切圆的性质可求出，假设直线的倾斜角为，则，进而在中可求出，进而可求，同理可求出，结合离心率进而求解 【详解】 如图所示，设的内切圆和三边分别相切于点， 则， 又，所以，所以． 所以， 设直线的倾斜角为，则由内切圆的性质可得， 在中， 所以； 因为双曲线的离心率，所以 同理可得，所以； 所以， 故选：A． 19．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，结合即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】 由已知，设，则，， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时，所以， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 20．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程 （1）顶点在原点，关于轴对称且过点的抛物线方程 （2）渐近线方程为，且经过点的双曲线方程 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先判断抛物线的开口方向，由待定系数法求得其标准方程； （2）通过点和渐近线的位置关系，确定双曲线的焦点位置，由待定系数法求得其标准方程. (1) 小问详解： 由题意知，该抛物线开口向左，设其方程为，则，得. 故顶点在原点，关于轴对称且过点的抛物线方程为. (2) 小问详解： 因为，所以如图，点在第四象限，且在渐近线下方，由此判断该双曲线的焦点在轴上，设其方程为， 则 ，解得, 故渐近线方程为，且经过点的双曲线方程为. 21．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为　　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率. 【详解】 如图，    由，得又得是三角形的中位线，即 由,得则,得， 又与都是渐近线，得又，得 又渐近线的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【点睛】 本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 22．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】 根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则 ， 所以，即. 故答案为：. 23．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）双曲线的其中一个焦点坐标为，且与双曲线有相同渐近线. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，且的面积是，求实数的值. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）利用双曲线渐近线方程和可得曲线方程； （2）设，，联立曲线方程得到韦达定理，然后分和表示出三角形面积，再结合韦达定理化简可得. (1) 小问详解： 由，且渐近线方程为，即，且，所以，，所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立方程 ，得. 所以，，因为直线恒过定点， 则当时，； 当时，； 综上可知，，所以. 即，解得或. 经检验，或都满足，所以或. 24．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）由点在双曲线上，和实轴长得到 ，求解即可； （2）① 由余弦定理得到，再由面积公式即可求解；②，得到，，结合数量积的坐标运算即可求解. (1) 小问详解： 由题设条件，可得 ， 解得，， 故双曲线C的标准方程为； (2) 小问详解： ① 因为P为双曲线C：上的一点， 所以，平方得       ① ， 在中，由余弦定理，得 ， 即       ② ， 由① －② ，得，即， 所以的面积； ② 设，则，所以，， 因为，，，， ， 所以的取值范围是. 25．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】 设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为.  故答案为： 26．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】 不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 27．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线，点，经过点M的直线l交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） （1）求证：点E恒在一条定直线L上； （2）若直线l与L交于点N，，求的值； （3）若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：设， 由题意得：切线EA的方程为：，将点E带入得：， 同理可得：，易知点A，B都在直线上， 所以直线l的方程为：， 因为直线l过点，所以，                                            所以点E恒在定直线上．     （2）0     （3）存在      【分析】 （1）设，由题意可证得点A，B都在直线上，直线l过点，可得，即可证明点E恒在定直线上． （2）法一：设，由可得 ，将其带入双曲线方程可得，同理可得，由根与系数的关系可得． 法二：由题意知，设l的方程：，联立直线与双曲线的方程，设，由可得，同理，将韦达定理代入即可得出答案. （3）设，与联立，设，表示出，将韦达定理代入化简即可得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 法一：设，因为，所以 整理得 因为点在双曲线上，所以， 整理得， 同理可得， 所以，是关于x的方程的两个实根， 所以． 法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程：， 联立 得：， 所以， 设，因为，所以，所以， 同理， 所以 . (3) 小问详解： 设，与联立得： ， ， 因为直线L的方程为，所以， 所以， 同理， 所以， 故存在，使得． 【点睛】 方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 28．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线（，）的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. （1）求的方程； （2）过上一点，作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，求四边形的面积； （3）过上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）；     （3）存在点Q满足条件，或或或.      【分析】 （1）由题意列出关于的方程组即可求解； （2）先由点在双曲线上求纵坐标，用“联立方程+判别式”求切线方程，再求切线与渐近线交点，结合“两点间距离+点到直线距离”算三角形面积，利用平行四边形与三角形的面积倍数关系得结果 （3）设Q坐标，利用双曲线方程建立与的关系，用点到直线距离公式表示，代入条件求解，判断方程是否有解即可. (1) 小问详解： 因为双曲线的实轴长为，所以，解得， 设C的一条渐近线为，因为右焦点到一条渐近线的距离为1， 所以， 所以双曲线； (2) 小问详解： 由（1）可得，如图，由题意可知四边形为平行四边形，其面积为， 由题意可得直线的斜率存在，设直线， 代入点得，且， 联立 得 因为直线与双曲线相切，故 ， 联立 ，所以直线的方程为，    设直线与的交点为R，与的交点为S， 联立 ，同理得， 则， 因为原点O到直线的距离， 所以. (3) 小问详解： 假设存在点Q满足条件 ，如图，设，则， 点Q到直线的距离为， 同理，所以， 又因为，所以或， 当时，解得， 则联立解得 或 ，同理有 或 ， 所以存在点或或或，满足. 29．（25-26学年高二上·山东德州·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中A，，B三点共线，且，，则双曲线E的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出，从而利用勾股定理求出，从而得到离心率. 【详解】 如图，由⊥，可得， 所以，可得， 在Rt中，由，不妨设，则， 由勾股定理得， 又由双曲线的定义可得，， 根据可得，解得， 所以，， 故在中，，即， 故， 故双曲线E的离心率为． 故答案为：. 30．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知椭圆的上、下焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，当取最大值时，其余弦值为，且点到上焦点的距离的最大值为9.又知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）求双曲线的标准方程； （3）设是双曲线与椭圆的一个交点，求的面积. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设椭圆的焦距为.当点在椭圆左右顶点时，取最大值；当点在椭圆下顶点时，点到上焦点的距离最大.由此得到关系，根据求出，得到椭圆的标准方程. （2）由双曲线与椭圆有公共焦点且它们的离心率之和为，可得到双曲线的实半轴长和半焦距，从而求出双曲线的标准方程. （3）结合双曲线和椭圆的定义，得到的关系，利用余弦定理求得，从而求得，并求得的面积. (1) 小问详解： 当取最大值时，为短轴的端点，如图1：    由，，，所以. 又点到上焦点的距离的最大值为9，如图2，即，解得，. 由，可得，椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意，设双曲线的方程为，且. 由椭圆方程为，得到焦点坐标为，椭圆的离心率为. 因为双曲线与椭圆有公共焦点，则. 因为椭圆与双曲线的离心率之和为，即，所以双曲线的离心率， 则，即，所以，故双曲线的方程是. (3) 小问详解： 由（1）（2）结合椭圆和双曲线的定义，得，， 解得 或 又，所以在中， 由余弦定理得， 所以. 故的面积为. 考点02 抛物线 1．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）抛物线的焦点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】 抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 2．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）抛物线的准线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抛物线的方程直接求解即可. 【详解】 由抛物线的方程可知：，所以准线方程为. 故选：D 3．（25-26学年高二上·山东日照·期中）聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点与焦点关于其外沿所在的平面对称.已知、两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（       ） A. 1.2米 B. 1.4米 C. 1.6米 D. 1.8米 【答案】B 【分析】 将抛物线置于一个坐标系中，使得抛物线顶点在原点，焦点在轴上，根据所给数据求得抛物线方程，带入中点横坐标即可得解. 【详解】 建立坐标系，使得抛物线顶点在原点，焦点在轴上， 由、两点间的距离为0.5米， 设抛物线方程为， 则，所以，所以， 由中点横坐标为，即， ，所以， 所以弦长， 最大口径就是的长， 故选：B 4．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【分析】 由题意求出A点坐标，根据光线反射的性质求出反射光线的方程，即可求出B点坐标，利用两点间距离公式，即可求得答案. 【详解】 由抛物线C的方程为，可得其焦点为， 由于，故点纵坐标为4，代入中，即， 即，由题意知反射光线经过点， 则的方程为，联立，得，即得， 故， 故选：C 5．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 若，则 C. 为定值 D. 为钝角三角形 【答案】BCD 【分析】 对于A，由已知结合抛物线性质可得，解方程可得，判断A；对于B，由确定抛物线方程，设过点的动直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理有，，结合弦长公式判断即可；对于C，结合抛物线定义、韦达定理即可判断；对于D，只需判断是否成立即可. 【详解】 对于A，因为抛物线的焦点为， 所以，所以， A错误；   对于B，因为，所以抛物线的方程为， 若直线的斜率为，直线的方程为， 直线与抛物线只有一个交点，交点坐标为，与已知矛盾， 故可设过点的动直线的方程为， 代入得，， 方程的判别式， 设，，则，， 则， 由得，，解得， 所以，B正确； 对于C，， 所以为定值，C正确； 对于D，因为， 所以， 所以为钝角，D正确. 故选：BCD 6．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（       ） A.  B.  C. 的最小值为 D. 直线与间的距离最小值为4 【答案】ABC 【分析】 设，联立直线方程和抛物线方程后可得，，据此逐项计算后可得正确的选项. 【详解】 由题设有过焦点，而， 设，则 可得即， 此时且，， 故，故A正确； ，故B正确； 对于C，， 而，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故C成立； 对于D，故直线与间的距离， 当且仅当时等号成立，故直线与间的距离最小值为8， 故选：ABC. 7．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程. 【详解】 如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点. 设，, ，由抛物线定义得：，故 在直角三角形中，， ，，， ，， ∥，， ，，所以抛物线的方程为. 故选：B 8．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）（多选）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（     ） A. 存在点，使为等边三角形 B. 若为上一点，则的最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 若以为直径的圆与圆外切，则 【答案】ACD 【分析】 由正三角形边长和对称性即可分析判断A；设，结合和代数运算即可求解判断B；先结合B令求出点，接着由A即可得到直线与圆相切判断C；设，以为直径的圆圆心为G，利用中点坐标公式和焦半径公式结合求出即可由焦半径公式得解判断D. 【详解】 由题可得圆心，半径，抛物线的焦点为，    对于A，若为等边三角形，则，由对称性不妨设P在第一象限，则， 显然点P在抛物线上，所以存在点，使为等边三角形，故A正确； 对于B，设，则 ，故B错误； 对于C，由B得，令，所以， 由A可知为边长为4的等边三角形，圆心C到的距离为， 所以若，则直线与圆相切，故C正确； 对于D，设，若以为直径的圆与圆外切，设以为直径的圆圆心为G， 则，， 所以，化简并解得， 所以，故D正确. 故选：ACD 9．（25-26学年高二上·山东日照·期中）（多选）如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（       ） A. 若，则点在圆上 B. 若，则点在双曲线上 C. 若，则点在抛物线上 D. 若，则点在椭圆上 【答案】ACD 【分析】 根据线面角的定义和可推导得到，建立平面直角坐标系后，可整理得到点轨迹为圆，知A正确；由面面角定义和可推导得到，知B错误；由可推导得到，结合抛物线定义知C正确；由可推导得到，在平面直角坐标系中求得动点轨迹后可知D正确. 【详解】 对于A，平面，平面，，， ，，又，，， 在平面中，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图平面直角坐标系，    设，，则，， 由得：，整理可得：， 点在圆上，A正确； 对于B，作，垂足为，作交于点；作，垂足为，作交于点；    平面平面，平面，平面与平面所成角即为平面，平面与平面所成角， 即，， ，，又， ，点在的平分线上，B错误； 对于C，由AB知：，，又， ，即在平面中，点到定点的距离等于到定直线的距离， 点在抛物线上，C正确； 对于D，由AB知：，，又， ， 在选项A的平面直角坐标系中，设，则，，    ，， 整理可得：，点在椭圆上，D正确. 故选：ACD. 10．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）（多选）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（     ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B.  C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积不大于32 【答案】ACD 【分析】 对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点、的坐标，即得；对于C，当抛物线在点处的切线与直线垂直，且抛物线在点处的切线与直线垂直时，最大，可判断C；对于D，求出抛物线在点处的切线，并求出切线与轴的交点的坐标，可知半个花瓣的面积小于的面积，可判断D. 【详解】 对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，故A正确； 对于B，根据A项分析，由 ，解得或，即， 代入可得，即 由图象的对称性，可得，所以，故B错误； 对于C， 设直线与抛物线相切，联立 可得， 由，可得，且方程即为， 解得，，此时切点坐标为， 设直线与抛物线相切，联立 可得， 由，可得，此时方程即为， 解得，，此时切点坐标为， 两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线平行或重合， 故当、时，取最大值， 且其最大值为，即直线截第一象限花瓣的弦长最大值为，故C正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为， 所以抛物线在点处的切线方程为，即， 令，可得， 该切线交轴于点， 所以半个花瓣的面积必小于， 故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26学年高二上·山东日照·期中）抛物线的焦点到其准线的距离为　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可. 【详解】 抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以所求距离为. 故答案为：4 【详解】 12．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）抛物线的焦点坐标为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 将抛物线方程化为标准方程，即可求得答案. 【详解】 抛物线可化为，焦点在轴上 ，, 抛物线的焦点坐标为, 故答案为: 13．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据焦半径公式得，求得，即可求解方程； （2）由点差法化为，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直线方程． (1) 小问详解： 因为点在抛物线上，所以 又因为，解得，故抛物线的标准方程为； (2) 小问详解： 设，则 ，所以，化为 又因为的中点为，所以， 则 ，故直线的斜率为，所以直线的方程为 整理得． 14．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 通过焦半径公式计算出，再把点的坐标代入抛物线即可. 【详解】 由抛物线定义可得，又， 所以，则， 所以抛物线的方程为， 因为点在上， 所以，又，则. 故答案为： 15．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）抛物线上的点到直线的距离最小，则点坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设抛物线上的动点坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】 解：设抛物线上的动点坐标为， 则点到直线的距离 ， 当，即时，距离最小值为， 此时点坐标为． 故答案为：． 16．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 联立方程，利用韦达定理可得，结合抛物线的定义分析求解即可. 【详解】 由题意可知：抛物线的准线为， 设， 联立方程 ，消去x得， 则，可得， 所以. 故答案为：5. 17．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）（多选）如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时， （1）求C的方程; （2）以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由. 【答案】（1）     （2） 以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O，理由如下： 如图， 直线AB的斜率显然存在，设其方程为， 代入，消去y并整理得， 设，，则 因为， 所以OA与OB不垂直. 因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点.      【分析】 （1）出A，B坐标，由求出p，即可得抛物线方程； （2）直线AB的斜率显然存在，设其方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理和数量积的坐标运算求得OA与OB不垂直，即可判断以AB为直径的圆不可能经过坐标原点. (1) 小问详解： 点的坐标是， 当直线AB与y轴垂直时，点A，B的坐标分别是，， ，解得， 所以C的方程是 (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为　　　　　　　　　　　　 . 【答案】 【分析】 设圆心坐标为，利用平面向量的夹角公式求得值后可得. 【详解】 设圆心坐标为，则，焦点， ， ，， 由于圆与轴的正半轴相切， 则取，所求圆得圆心为，半径为1， 所求圆的方程为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线与抛物线 2大高频考点概览 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）（多选）已知曲线的方程为，则（       ） A. 当时，曲线表示一个圆 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 3．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）（多选）以下四个命题中，正确的是（       ） A. 设，，动点满足，则动点的轨迹为双曲线 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 椭圆与双曲线有相同的焦点 5．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）双曲线的实轴长为，焦距为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）已知双曲线的右焦点为，虚轴的一个端点为，若原点到直线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（       ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 以上都不是 10．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·山东日照·期中）双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）（多选）已知双曲线，点在渐近线上，满足．则下列说法正确的是（       ） A. 虚轴长为 B. 离心率为 C. 双曲线的渐近线方程是 D. 的面积是 14．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（     ） A.  B. 2 C.  D.  15．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（     ） A. 4 B. 2 C. 1 D.  16．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B. 3 C.  D. 2 17．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）（多选）双曲线：的焦点在圆：上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足 (其中为坐标原点，则（     ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C.  D. 的面积为 18．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线左、右焦点分别为，过点且倾斜角为锐角的直线l与C的右支交于M，N两点．设△MF1F2与△NF1F2的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ的斜率分别是，则＝（） A. －4 B.  C. 4 D.  19．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程 （1）顶点在原点，关于轴对称且过点的抛物线方程 （2）渐近线方程为，且经过点的双曲线方程 21．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为　　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　　. 23．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）双曲线的其中一个焦点坐标为，且与双曲线有相同渐近线. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，且的面积是，求实数的值. 24．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 25．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为　　　　　　　　　． 26．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线，点，经过点M的直线l交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） （1）求证：点E恒在一条定直线L上； （2）若直线l与L交于点N，，求的值； （3）若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 28．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线（，）的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. （1）求的方程； （2）过上一点，作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，求四边形的面积； （3）过上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 29．（25-26学年高二上·山东德州·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中A，，B三点共线，且，，则双曲线E的离心率为　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知椭圆的上、下焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，当取最大值时，其余弦值为，且点到上焦点的距离的最大值为9.又知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）求双曲线的标准方程； （3）设是双曲线与椭圆的一个交点，求的面积. 考点02 抛物线 1．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）抛物线的焦点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）抛物线的准线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·山东日照·期中）聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点与焦点关于其外沿所在的平面对称.已知、两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（       ） A. 1.2米 B. 1.4米 C. 1.6米 D. 1.8米 4．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 若，则 C. 为定值 D. 为钝角三角形 6．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（       ） A.  B.  C. 的最小值为 D. 直线与间的距离最小值为4 7．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）（多选）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（     ） A. 存在点，使为等边三角形 B. 若为上一点，则的最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 若以为直径的圆与圆外切，则 9．（25-26学年高二上·山东日照·期中）（多选）如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（       ） A. 若，则点在圆上 B. 若，则点在双曲线上 C. 若，则点在抛物线上 D. 若，则点在椭圆上 10．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）（多选）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（     ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B.  C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积不大于32 11．（25-26学年高二上·山东日照·期中）抛物线的焦点到其准线的距离为　　　　　　　　． 12．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）抛物线的焦点坐标为　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程． 14．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）抛物线上的点到直线的距离最小，则点坐标是　　　　　　　　． 16．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）（多选）如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时， （1）求C的方程; （2）以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由. 18．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为　　　　　　　　　　　　 . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线与抛物线 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．C 2．ACD 3．A 4．CD 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．A 11．D 12．D 13．BC 14．C 15．C 16．A 17．ABD 18．A 19．B 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先判断抛物线的开口方向，由待定系数法求得其标准方程； （2）通过点和渐近线的位置关系，确定双曲线的焦点位置，由待定系数法求得其标准方程. (1) 小问详解： 由题意知，该抛物线开口向左，设其方程为，则，得. 故顶点在原点，关于轴对称且过点的抛物线方程为. (2) 小问详解： 因为，所以如图，点在第四象限，且在渐近线下方，由此判断该双曲线的焦点在轴上，设其方程为， 则 ，解得, 故渐近线方程为，且经过点的双曲线方程为. 21．【答案】2 【分析】 通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率. 【详解】 如图，    由，得又得是三角形的中位线，即 由,得则,得， 又与都是渐近线，得又，得 又渐近线的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【点睛】 本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 22．【答案】 【分析】 利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】 根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则 ， 所以，即. 故答案为：. 23．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）利用双曲线渐近线方程和可得曲线方程； （2）设，，联立曲线方程得到韦达定理，然后分和表示出三角形面积，再结合韦达定理化简可得. (1) 小问详解： 由，且渐近线方程为，即，且，所以，，所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立方程 ，得. 所以，，因为直线恒过定点， 则当时，； 当时，； 综上可知，，所以. 即，解得或. 经检验，或都满足，所以或. 24．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）由点在双曲线上，和实轴长得到 ，求解即可； （2）① 由余弦定理得到，再由面积公式即可求解；②，得到，，结合数量积的坐标运算即可求解. (1) 小问详解： 由题设条件，可得 ， 解得，， 故双曲线C的标准方程为； (2) 小问详解： ① 因为P为双曲线C：上的一点， 所以，平方得       ① ， 在中，由余弦定理，得 ， 即       ② ， 由① －② ，得，即， 所以的面积； ② 设，则，所以，， 因为，，，， ， 所以的取值范围是. 25．【答案】9 【分析】 利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】 设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为.  故答案为： 26．【答案】 【分析】 利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】 不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 27．【答案】（1） 证明：设， 由题意得：切线EA的方程为：，将点E带入得：， 同理可得：，易知点A，B都在直线上， 所以直线l的方程为：， 因为直线l过点，所以，                                            所以点E恒在定直线上．     （2）0     （3）存在      【分析】 （1）设，由题意可证得点A，B都在直线上，直线l过点，可得，即可证明点E恒在定直线上． （2）法一：设，由可得 ，将其带入双曲线方程可得，同理可得，由根与系数的关系可得． 法二：由题意知，设l的方程：，联立直线与双曲线的方程，设，由可得，同理，将韦达定理代入即可得出答案. （3）设，与联立，设，表示出，将韦达定理代入化简即可得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 法一：设，因为，所以 整理得 因为点在双曲线上，所以， 整理得， 同理可得， 所以，是关于x的方程的两个实根， 所以． 法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程：， 联立 得：， 所以， 设，因为，所以，所以， 同理， 所以 . (3) 小问详解： 设，与联立得： ， ， 因为直线L的方程为，所以， 所以， 同理， 所以， 故存在，使得． 【点睛】 方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 28．【答案】（1）；     （2）；     （3）存在点Q满足条件，或或或.      【分析】 （1）由题意列出关于的方程组即可求解； （2）先由点在双曲线上求纵坐标，用“联立方程+判别式”求切线方程，再求切线与渐近线交点，结合“两点间距离+点到直线距离”算三角形面积，利用平行四边形与三角形的面积倍数关系得结果 （3）设Q坐标，利用双曲线方程建立与的关系，用点到直线距离公式表示，代入条件求解，判断方程是否有解即可. (1) 小问详解： 因为双曲线的实轴长为，所以，解得， 设C的一条渐近线为，因为右焦点到一条渐近线的距离为1， 所以， 所以双曲线； (2) 小问详解： 由（1）可得，如图，由题意可知四边形为平行四边形，其面积为， 由题意可得直线的斜率存在，设直线， 代入点得，且， 联立 得 因为直线与双曲线相切，故 ， 联立 ，所以直线的方程为，    设直线与的交点为R，与的交点为S， 联立 ，同理得， 则， 因为原点O到直线的距离， 所以. (3) 小问详解： 假设存在点Q满足条件 ，如图，设，则， 点Q到直线的距离为， 同理，所以， 又因为，所以或， 当时，解得， 则联立解得 或 ，同理有 或 ， 所以存在点或或或，满足. 29．【答案】 【分析】 设，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出，从而利用勾股定理求出，从而得到离心率. 【详解】 如图，由⊥，可得， 所以，可得， 在Rt中，由，不妨设，则， 由勾股定理得， 又由双曲线的定义可得，， 根据可得，解得， 所以，， 故在中，，即， 故， 故双曲线E的离心率为． 故答案为：. 30．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设椭圆的焦距为.当点在椭圆左右顶点时，取最大值；当点在椭圆下顶点时，点到上焦点的距离最大.由此得到关系，根据求出，得到椭圆的标准方程. （2）由双曲线与椭圆有公共焦点且它们的离心率之和为，可得到双曲线的实半轴长和半焦距，从而求出双曲线的标准方程. （3）结合双曲线和椭圆的定义，得到的关系，利用余弦定理求得，从而求得，并求得的面积. (1) 小问详解： 当取最大值时，为短轴的端点，如图1：    由，，，所以. 又点到上焦点的距离的最大值为9，如图2，即，解得，. 由，可得，椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意，设双曲线的方程为，且. 由椭圆方程为，得到焦点坐标为，椭圆的离心率为. 因为双曲线与椭圆有公共焦点，则. 因为椭圆与双曲线的离心率之和为，即，所以双曲线的离心率， 则，即，所以，故双曲线的方程是. (3) 小问详解： 由（1）（2）结合椭圆和双曲线的定义，得，， 解得 或 又，所以在中， 由余弦定理得， 所以. 故的面积为. 考点02 抛物线 1．D 2．D 3．B 4．C 5．BCD 6．ABC 7．B 8．ACD 9．ACD 10．ACD 11．【答案】4 【分析】 根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可. 【详解】 抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以所求距离为. 故答案为：4 【详解】 12．【答案】 【分析】 将抛物线方程化为标准方程，即可求得答案. 【详解】 抛物线可化为，焦点在轴上 ，, 抛物线的焦点坐标为, 故答案为: 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据焦半径公式得，求得，即可求解方程； （2）由点差法化为，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直线方程． (1) 小问详解： 因为点在抛物线上，所以 又因为，解得，故抛物线的标准方程为； (2) 小问详解： 设，则 ，所以，化为 又因为的中点为，所以， 则 ，故直线的斜率为，所以直线的方程为 整理得． 14．【答案】 【分析】 通过焦半径公式计算出，再把点的坐标代入抛物线即可. 【详解】 由抛物线定义可得，又， 所以，则， 所以抛物线的方程为， 因为点在上， 所以，又，则. 故答案为： 15．【答案】 【分析】 设抛物线上的动点坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】 解：设抛物线上的动点坐标为， 则点到直线的距离 ， 当，即时，距离最小值为， 此时点坐标为． 故答案为：． 16．【答案】5 【分析】 联立方程，利用韦达定理可得，结合抛物线的定义分析求解即可. 【详解】 由题意可知：抛物线的准线为， 设， 联立方程 ，消去x得， 则，可得， 所以. 故答案为：5. 17．【答案】（1）     （2） 以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O，理由如下： 如图， 直线AB的斜率显然存在，设其方程为， 代入，消去y并整理得， 设，，则 因为， 所以OA与OB不垂直. 因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点.      【分析】 （1）出A，B坐标，由求出p，即可得抛物线方程； （2）直线AB的斜率显然存在，设其方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理和数量积的坐标运算求得OA与OB不垂直，即可判断以AB为直径的圆不可能经过坐标原点. (1) 小问详解： 点的坐标是， 当直线AB与y轴垂直时，点A，B的坐标分别是，， ，解得， 所以C的方程是 (2) 小问详解： 略 18．【答案】 【分析】 设圆心坐标为，利用平面向量的夹角公式求得值后可得. 【详解】 设圆心坐标为，则，焦点， ， ，， 由于圆与轴的正半轴相切， 则取，所求圆得圆心为，半径为1， 所求圆的方程为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $