4.3 多边形和圆的初步认识（分层作业练题型）数学新教材北师大版七年级上册

分层作业 4.3 多边形和圆的初步认识 目 录 A组 巩固过关 题型01 多边形的概念与分类 题型02 正多边形的概念辨析 题型03 多边形截角后的边数问题 题型04 多边形的周长与面积问题 题型05 多边形对角线的条数问题 题型06 圆的基本概念辨析 题型07 圆的周长与面积问题 题型08 圆心角概念辨析及简单运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )多边形的概念与分类 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键．根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个四边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； C、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西铜川·阶段检测）下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键． 根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】解：不是凸多边形的是选项C中的多边形． 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． ( 题型0 2 )正多边形的概念辨析 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】D 【分析】正多边形需所有边相等且所有角相等. 三角形、四边形、平行四边形不一定满足条件，而正方形一定满足． 本题考查了正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解： 正多边形定义：各边相等，各角相等． A.、三角形不一定各边相等（如不等边三角形），不一定是正多边形，不符合题意． B、四边形不一定各边相等或各角相等（如梯形）， 不一定是正多边形，不符合题意． C、平行四边形对边相等，但邻边不一定相等，角不一定相等，不一定是正多边形，不符合题意． D、正方形所有边相等，所有角均为90°， 一定是正多边形，符合题意． 故选：D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 根据正多边形的定义，各边相等，各角相等的多边形，逐一判断即可求解． 【详解】解：根据正多边形的定义，选项D是正五边形， 只有选项D符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级上·全国·课前预习）定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段____相连组成的______ 图形叫做多边形，各边相等______也相等的多边形叫做正多边形． 【答案】 首尾顺次 封闭 各内角 【分析】根据多边形及正多边形的定义进行解答即可． 【详解】解：在一个平面内，由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形叫做多边形．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形． 故答案为∶ 首尾顺次，封闭，各内角． 【点睛】此题考查了多边形和正多边形的定义，解题的关键是熟知它们的定义． ( 题型0 3 )多边形截角后的边数问题 7．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 8．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，四边形中去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 9．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． ( 题型0 4 )多边形的周长与面积问题 10．（25-26七年级上·广东深圳·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 11．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 12．（23-24九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． ( 题型0 5 )多边形对角线的条数问题 13．（25-26八年级下·全国·课前预习）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 14．（25-26七年级上·全国·期末）如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， …， ∴n边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． ( 题型0 6 )圆的基本概念辨析 16．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）用圆规画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应该是（   ） A． B． C． 【答案】A 【分析】求出半径即可得解． 【详解】解：用圆规画圆时，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，同一个圆中直径， 本题中圆的直径， ∴， 因此圆规两脚间的距离应为． 17．（24-25八年级上·上海静安·期末）经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【答案】以点A为圆心，为半径的圆 【分析】根据题意可知该圆的圆心到点A的距离为，则该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【详解】解：∵该圆经过定点A，且该圆的半径为， ∴该圆的圆心到点A的距离为， ∴该圆的圆心在以A为圆心，半径为的圆上， 即该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 18．（25-26六年级下·全国·课后作业）在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 【答案】② 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．根据圆的相关概念，半圆是扇形的一种，也是弧的一种；但弧不一定是半圆，圆上两点间的线段是弦而非弧。 【详解】解：半圆不是扇形，故①错误； 半圆是圆上一条特殊的弧，故②正确； 弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的曲线是弧，线段是弦，故④错误． 故答案为：②． ( 题型0 7 )圆的周长与面积问题 19．（25-26六年级下·上海静安·期中）一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 20．（2026·山东德州·一模）如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 21．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． ( 题型0 8 )圆心角概念辨析及简单运算 22．（25-26六年级下·山东·课后作业）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 23．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 24．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【详解】∵正多边形的一个内角为， ∴该正多边形的一个外角为， ∵任意多边形的外角和为， ∴正多边形的边数为． 3．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，将四边形、五边形、六边形的纸片沿对角线剪成若干个三角形纸片，照此方法，将一个n边形纸片剪开，所得三角形纸片共有（  ） A．个 B．个 C．n个 D．2n个 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的对角线分割成三角形的规律，熟练掌握从n边形一个顶点出发作对角线可将n边形分成个三角形是解题的关键． 先观察四边形、五边形、六边形被分割成三角形的数量，找出规律，再推导出n边形的一般结论． 【详解】解：四边形：（个）， 五边形：（个）， 六边形：（个）， ， ∴n边形：（个）， 故选：A． 二、填空题 5．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）周长为的圆，面积为_______．（取）． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式与圆的面积公式，先根据已知周长求出圆的半径，再代入面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：已知圆的周长 ，. 由圆的周长公式，可得圆的半径 . 由圆的面积公式，代入 ，得 . 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 7．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）如图所示的蜂巢由许多六边形构成，将六边形三角剖分，可以分割成三角形的个数为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多边形对角线分三角形个数问题，根据n边形最少可以分个三角形即可得到答案， 【详解】解：如图所示，过点A的所有对角线，可分割六边形得到， ∴每个六边形至少可以分割成三角形的个数为4个， 故答案为：4． 8．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜_____平方米． 【答案】 【分析】本题考查了半圆和半圆柱侧面积的求解，求出半圆的半径是解决本题的关键． 根据题意可得半圆的半径米，暖房的长度为b米，再根据面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据图片可得面积由两部分组成为半个圆柱的侧面积和一个半圆的面积， ∵半圆的直径为a米，暖房的长度为b米， ∴半径米， ∴半个圆柱的侧面积， ∴代入得，， ∵半圆面积公式， ∴代入得，， ∴所需塑料薄膜的总面积为． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26六年级上·全国·课后作业）将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】本题考查圆的概念及特点，熟练掌握相关知识点并看懂图形中的等量关系是解题的关键．根据图形可知，大圆的直径＋小圆的直径＝长方形的长，大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的长－长方形的宽，求出小圆的直径，再除以2，即可求出小圆的半径，据此解答． 【详解】 （厘米） 答：小圆的半径是1厘米． 10．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 11．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 一、单选题 1．（25-26六年级下·上海·期中）小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 2．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正六边形的每个内角，再求出、 的度数，最后根据平角解答即可． 【详解】解：六边形是正六边形， 正六边形的每个外角，每个内角， ， ， ， ， 由题意可得：， ， ． 3．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式． 找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… 过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， ∴， 解得， 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有______条． 【答案】54 【分析】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点出发可以作的对角线的条数为是解题的关键． 根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为计算即可得到该多边形的边数（或顶角数），然后由n边形的对角线总条数公式为进行解答． 【详解】解：：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有9条， ∴多边形的边数为， ∴这个多边形是十二边形． ∴该多边形对角线一共有：(条)， 故答案为：54． 6．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·吉林松原·期中）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 三、解答题 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）数学活动：巧分图形探奥秘． 明确概念：多边形的三角剖分是指用连接不相邻顶点的线段将多边形分割成若干个三角形，且这些线段在多边形内部不相交． 探究规律1：（1）根据三角剖分概念完成以下表格： 多边形 （边数为n） 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形 剖分出三角形的个数 （2）对一个多边形进行三角剖分，则恰好将多边形剖分为个三角形．它是 边形； 探究规律2：多边形的三角剖分方法数 瑞士数学家欧拉研究三角剖分问题时得到递推公式：时， 其中规定：， 表示边形的不同三角剖分方法数； （3）利用上述三角剖分公式，请计算四边形和五边形的三角剖分方法数 ，． 【答案】（1）（2） （3）， 【分析】本题考查了数字变化的规律及数学常识，准确的计算是解题的关键； （1）根据图形规律完成表格； （2）根据规律求得多边形边数； （3）根据所给公式计算得出结论． 【详解】解：（1）由图可知：六边形：；七边形：；边形：； 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵时， 其中规定：， ∴， ∴， ∵， ∴. 9．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 10．（25-26六年级上·湖北黄石·期末）按要求计算下面各题 (1)计算涂色部分的周长与面积（单位：厘米） (2)如图所示，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，求的长． 【答案】(1)涂色部分的周长是厘米，涂色部分的面积是平方厘米； (2)的长是15厘米． 【分析】本题主要考查组合图形的周长和面积的计算，关键利用转化思想解答． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出涂色部分的周长，通过割补转化为半圆的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答； （2）根据图示可知，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，则半圆面积比三角形面积大7平方厘米，据此计算的长即可． 【详解】（1）解：涂色部分的周长是 （厘米） 涂色部分的面积是 （平方厘米） 答：涂色部分的周长是厘米，涂色部分的面积是平方厘米； （2）解： （厘米） 答：的长是15厘米． 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ） A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形 【答案】B 【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成． 【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形， 只有乙是扇形， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键． 3．（2024·四川巴中·中考真题）经过五边形的一个顶点最多可以画出________条对角线． 【答案】2 【分析】本题考查多边形的对角线问题，熟知过n多边形的一个顶点最多可以画条对角线是解答的关键．据此求解即可． 【详解】解：经过五边形的一个顶点最多可以画出条对角线， 故答案为：2． 4．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 5．（2022·广东佛山·中考真题）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【答案】(1)1，2； (2)3，4； (3) (4)8 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案； （2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答． 【详解】（1）解：如下图： 经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：3，4； （3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形， 故答案为：； （4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3 多边形和圆的初步认识 参考答案 ( 题型0 1 )多边形的概念与分类 1．B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键．根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个四边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； C、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键． 根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】解：不是凸多边形的是选项C中的多边形． 故选：C． 3． ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． ( 题型0 2 )正多边形的概念辨析 4．D 【分析】正多边形需所有边相等且所有角相等. 三角形、四边形、平行四边形不一定满足条件，而正方形一定满足． 本题考查了正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解： 正多边形定义：各边相等，各角相等． A.、三角形不一定各边相等（如不等边三角形），不一定是正多边形，不符合题意． B、四边形不一定各边相等或各角相等（如梯形）， 不一定是正多边形，不符合题意． C、平行四边形对边相等，但邻边不一定相等，角不一定相等，不一定是正多边形，不符合题意． D、正方形所有边相等，所有角均为90°， 一定是正多边形，符合题意． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 根据正多边形的定义，各边相等，各角相等的多边形，逐一判断即可求解． 【详解】解：根据正多边形的定义，选项D是正五边形， 只有选项D符合题意． 故选：D． 6． 首尾顺次 封闭 各内角 【分析】根据多边形及正多边形的定义进行解答即可． 【详解】解：在一个平面内，由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形叫做多边形．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形． 故答案为∶ 首尾顺次，封闭，各内角． 【点睛】此题考查了多边形和正多边形的定义，解题的关键是熟知它们的定义． ( 题型0 3 )多边形截角后的边数问题 7．C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 9．3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． ( 题型0 4 )多边形的周长与面积问题 10．D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 11．16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 12．9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． ( 题型0 5 )多边形对角线的条数问题 13．B 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 14．A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， …， ∴n边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A． 15． 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． ( 题型0 6 )圆的基本概念辨析 16．A 【分析】求出半径即可得解． 【详解】解：用圆规画圆时，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，同一个圆中直径， 本题中圆的直径， ∴， 因此圆规两脚间的距离应为． 17．以点A为圆心，为半径的圆 【分析】根据题意可知该圆的圆心到点A的距离为，则该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【详解】解：∵该圆经过定点A，且该圆的半径为， ∴该圆的圆心到点A的距离为， ∴该圆的圆心在以A为圆心，半径为的圆上， 即该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 18．② 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．根据圆的相关概念，半圆是扇形的一种，也是弧的一种；但弧不一定是半圆，圆上两点间的线段是弦而非弧。 【详解】解：半圆不是扇形，故①错误； 半圆是圆上一条特殊的弧，故②正确； 弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的曲线是弧，线段是弦，故④错误． 故答案为：②． ( 题型0 7 )圆的周长与面积问题 19．C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 20．D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 21． 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． ( 题型0 8 )圆心角概念辨析及简单运算 22．A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 23．C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 24． 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 1．D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 2．A 【详解】∵正多边形的一个内角为， ∴该正多边形的一个外角为， ∵任意多边形的外角和为， ∴正多边形的边数为． 3．A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查了多边形的对角线分割成三角形的规律，熟练掌握从n边形一个顶点出发作对角线可将n边形分成个三角形是解题的关键． 先观察四边形、五边形、六边形被分割成三角形的数量，找出规律，再推导出n边形的一般结论． 【详解】解：四边形：（个）， 五边形：（个）， 六边形：（个）， ， ∴n边形：（个）， 故选：A． 5． 【分析】本题考查圆的周长公式与圆的面积公式，先根据已知周长求出圆的半径，再代入面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：已知圆的周长 ，. 由圆的周长公式，可得圆的半径 . 由圆的面积公式，代入 ，得 . 6． AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 7．4 【分析】本题主要考查了多边形对角线分三角形个数问题，根据n边形最少可以分个三角形即可得到答案， 【详解】解：如图所示，过点A的所有对角线，可分割六边形得到， ∴每个六边形至少可以分割成三角形的个数为4个， 故答案为：4． 8． 【分析】本题考查了半圆和半圆柱侧面积的求解，求出半圆的半径是解决本题的关键． 根据题意可得半圆的半径米，暖房的长度为b米，再根据面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据图片可得面积由两部分组成为半个圆柱的侧面积和一个半圆的面积， ∵半圆的直径为a米，暖房的长度为b米， ∴半径米， ∴半个圆柱的侧面积， ∴代入得，， ∵半圆面积公式， ∴代入得，， ∴所需塑料薄膜的总面积为． 故答案为：． 9．1厘米 【分析】本题考查圆的概念及特点，熟练掌握相关知识点并看懂图形中的等量关系是解题的关键．根据图形可知，大圆的直径＋小圆的直径＝长方形的长，大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的长－长方形的宽，求出小圆的直径，再除以2，即可求出小圆的半径，据此解答． 【详解】 （厘米） 答：小圆的半径是1厘米． 10．(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 11．(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 1．C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 2．D 【分析】先求出正六边形的每个内角，再求出、 的度数，最后根据平角解答即可． 【详解】解：六边形是正六边形， 正六边形的每个外角，每个内角， ， ， ， ， 由题意可得：， ， ． 3．A 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式． 找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… 过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， ∴， 解得， 故选：A． 4．B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 5．54 【分析】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点出发可以作的对角线的条数为是解题的关键． 根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为计算即可得到该多边形的边数（或顶角数），然后由n边形的对角线总条数公式为进行解答． 【详解】解：：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有9条， ∴多边形的边数为， ∴这个多边形是十二边形． ∴该多边形对角线一共有：(条)， 故答案为：54． 6． 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 7．14 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 8．（1）（2） （3）， 【分析】本题考查了数字变化的规律及数学常识，准确的计算是解题的关键； （1）根据图形规律完成表格； （2）根据规律求得多边形边数； （3）根据所给公式计算得出结论． 【详解】解：（1）由图可知：六边形：；七边形：；边形：； 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵时， 其中规定：， ∴， ∴， ∵， ∴. 9．（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 10．(1)涂色部分的周长是厘米，涂色部分的面积是平方厘米； (2)的长是15厘米． 【分析】本题主要考查组合图形的周长和面积的计算，关键利用转化思想解答． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出涂色部分的周长，通过割补转化为半圆的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答； （2）根据图示可知，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，则半圆面积比三角形面积大7平方厘米，据此计算的长即可． 【详解】（1）解：涂色部分的周长是 （厘米） 涂色部分的面积是 （平方厘米） 答：涂色部分的周长是厘米，涂色部分的面积是平方厘米； （2）解： （厘米） 答：的长是15厘米． 1．C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．B 【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成． 【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形， 只有乙是扇形， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键． 3．2 【分析】本题考查多边形的对角线问题，熟知过n多边形的一个顶点最多可以画条对角线是解答的关键．据此求解即可． 【详解】解：经过五边形的一个顶点最多可以画出条对角线， 故答案为：2． 4． 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 5．(1)1，2； (2)3，4； (3) (4)8 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案； （2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答． 【详解】（1）解：如下图： 经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：3，4； （3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形， 故答案为：； （4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3 多边形和圆的初步认识 目 录 A组 巩固过关 题型01 多边形的概念与分类 题型02 正多边形的概念辨析 题型03 多边形截角后的边数问题 题型04 多边形的周长与面积问题 题型05 多边形对角线的条数问题 题型06 圆的基本概念辨析 题型07 圆的周长与面积问题 题型08 圆心角概念辨析及简单运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )多边形的概念与分类 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西铜川·阶段检测）下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． ( 题型0 2 )正多边形的概念辨析 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·全国·课前预习）定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段____相连组成的______ 图形叫做多边形，各边相等______也相等的多边形叫做正多边形． ( 题型0 3 )多边形截角后的边数问题 7．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 8．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，四边形中去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 9．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． ( 题型0 4 )多边形的周长与面积问题 10．（25-26七年级上·广东深圳·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 11．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 12．（23-24九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ ( 题型0 5 )多边形对角线的条数问题 13．（25-26八年级下·全国·课前预习）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 14．（25-26七年级上·全国·期末）如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． ( 题型0 6 )圆的基本概念辨析 16．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）用圆规画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应该是（   ） A． B． C． 17．（24-25八年级上·上海静安·期末）经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 18．（25-26六年级下·全国·课后作业）在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． ( 题型0 7 )圆的周长与面积问题 19．（25-26六年级下·上海静安·期中）一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 20．（2026·山东德州·一模）如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 21．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． ( 题型0 8 )圆心角概念辨析及简单运算 22．（25-26六年级下·山东·课后作业）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 23．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 一、单选题 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，将四边形、五边形、六边形的纸片沿对角线剪成若干个三角形纸片，照此方法，将一个n边形纸片剪开，所得三角形纸片共有（  ） A．个 B．个 C．n个 D．2n个 二、填空题 5．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）周长为的圆，面积为_______．（取）． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 7．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）如图所示的蜂巢由许多六边形构成，将六边形三角剖分，可以分割成三角形的个数为________． 8．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜_____平方米． 三、解答题 9．（25-26六年级上·全国·课后作业）将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 10．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 11．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 一、单选题 1．（25-26六年级下·上海·期中）小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 2．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有______条． 6．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 7．（25-26八年级上·吉林松原·期中）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 三、解答题 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）数学活动：巧分图形探奥秘． 明确概念：多边形的三角剖分是指用连接不相邻顶点的线段将多边形分割成若干个三角形，且这些线段在多边形内部不相交． 探究规律1：（1）根据三角剖分概念完成以下表格： 多边形 （边数为n） 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形 剖分出三角形的个数 （2）对一个多边形进行三角剖分，则恰好将多边形剖分为个三角形．它是 边形； 探究规律2：多边形的三角剖分方法数 瑞士数学家欧拉研究三角剖分问题时得到递推公式：时， 其中规定：， 表示边形的不同三角剖分方法数； （3）利用上述三角剖分公式，请计算四边形和五边形的三角剖分方法数 ，． 9．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 10．（25-26六年级上·湖北黄石·期末）按要求计算下面各题 (1)计算涂色部分的周长与面积（单位：厘米） (2)如图所示，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，求的长． 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ） A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形 3．（2024·四川巴中·中考真题）经过五边形的一个顶点最多可以画出________条对角线． 4．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 5．（2022·广东佛山·中考真题）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $