第二十九章 圆（单元自测卷·广东专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册“圆”的核心内容，以生活实践与文化传承为情境载体，覆盖圆的性质、计算及应用，适配单元复习，助力抽象能力、推理意识与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆心角与弧关系、圆内接四边形、三角形外心|题5以镜子碎片情境考查确定圆的条件，体现几何直观| |填空题|5/15|弧长公式、外接圆圆心、折叠性质|题14结合矩形纸条测量杯口直径，培养应用意识| |解答题|8/75|垂径定理、圆锥侧面积、综合探究|题21以莱洛三角形为载体，融合文化与创新，发展推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十九章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列有关圆的一些结论： ①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的选项是（   ） A．①④⑤ B．③④⑤ C．③④ D．④⑤ 2．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 题2图 题3图 题4图 题5图 6．图①是贵阳某游乐场的摩天轮，A，B表示摩天轮上其中的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为，点A，B是圆上的两点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，冰淇淋蛋筒呈圆锥形，则蛋筒包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 8．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 题6图 题7图 题8图 9．将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 10．在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（    ） A．104 B．116 C．120 D．100 题9图 题10图 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________． 13．如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 14．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________．    题12图 题13图 题14图 15． “莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留） 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 17．按要求解答问题： (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在（1）的情况下，若，长为6，求的半径 18．如图是的直径，是的弦，的平分线交于点D，，求的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 20．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 21．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____ （填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 23．【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（广东专用） 第二十九章圆 (参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D B A B A B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.15 12.（1-) 13.115 14.10 15.6π 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分) 16.(8分) 解：，AB∥CD, .∠C=∠BAC=35°，2分 .OC=OD .∠D=∠C=35°，4分 .∠AOD=∠D+∠C=70° 即∠AOD的度数为70°.8分 17.(8分) 解：(1)如图所示，⊙0即为所求.1分 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 头W MAO-- 3分 (2)解：连接0A,0C,过0作OF⊥AC于F，,如图：4分 -0 ∠B=60°， .∠A0C=2∠B=120°，5分 OF⊥AC,OA=OC, FC=FA=)4C=3,∠F0A=∠F0C=60°，6分 2 在RtAAOF中，sin∠AOF=E OA, .sin 600=3 A,7分 .0A=2V3 .∴.⊙0 23 的半径为 8分 18.(8分) 解：如图，连接AD, 1分 :AB是⊙O的直径， .∠ACB=∠ADB=90°，2分 4C=6BC=8 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4B=AC2+BC2=10 3分 :∠ACB的平分线交⊙O于点D, .∠DCA=∠BCD,4分 .AD BD. .AD=BD,6分 在RtAABD中，AD2+BD2=AB2，AB=10, .2BD2=100 .BD=52 .8分 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.(9分) (I)解：四边形ABCD内接于⊙O, ∠ABC+∠ADC=180°.1分 :∠ADC=120°， .∠ABC=60°.2分 AB=AC, .△ABC是等边三角形，3分 .∠ACB=60°， AB=AB ∴.∠ADB=∠ACB=60 答：∠ADB的度数为60°.4分 (2)证明：如图， 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在BD上截取BE=CD,连接AE, 由(1)知，△ABC是等边三角形， ∴AB=AC .AD=AD .∠ABE=∠ACD.5分 在△ABE和△ACD中， (AB=AC ∠ABE=∠ACD BE=CD :△MBE≌△ACD(SAS) AE=AD.7分 :∠ADB=60°， △ADE是等边三角形， .DE AD, .BD=DE+BE=AD+CD.9分 20.(9分) (1)解：AC-C ∠ADC=∠ABC=60°，1分 AD是⊙O的直径， .∠ACD=90°，2分 .LCAD=90°-∠ADC=30°：4分 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图，连接OC,过点0作0卫1AC于点， B D :AD是⊙0的直径，AD=6, .0A=3,5分 在Rt△AOQ中，∠CAD=30°， =0M=3 :00=29 2 :40=v0P-00=33 2,6分 .0e14c :4C=2A0=3V5 LA0C=2∠ABC=120°，7分 S5nw=Samone-S.oc -120xx31 9√5 3N5x3=3z- 3602 2 4 95 3π- 即阴影部分的面积为4.9分 21.(9分) (1)相等.…2分 (2)解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：2πr=nrR 360r 180,即：n= R.5分 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图： B B O ..AB =6cm,R=6cm, 1 ·r=24B=3cm, 360x3-180,6分 ..n 6 ∴.圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°， R.∠APC)×180°=900 PA=PB=6,C是PB中点， :.PC=)PB=3cm,7分 :在Rta4PC中，AC=VPAP+PC=V6+3-3N5cm .8分 6v5cm 彩带长度的最小值为 ，9分 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分) 22.(12分) 解：(I)如图3所示，延长DC至E,使CE=AD,连接BE, 0 0. 图3 :四边形ABCD为OO的内接四边形， 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAB+∠DCB=180° 1分 又∠DCB+∠BCE=180°， .∠DAB=∠BCE,2分 在△BAD和△BCE中， AB=BC ∠DAB=∠BCE AD=CE △BAD≌aBCE(SAS) 3分 ∴.BD=BE,∠ABD=∠CBE, .BD=AD+DC=CE+DC=DE, △BDE为等边三角形.4分 ∴.∠DBE=6O°=∠DBC+∠CBE=∠DBC+∠ABD=∠ABC 即∠ABC=60°.6分 ABCD 8√2m (2)该四边形 的周长存在最大值，最大值为 ,理由如下：7分 如图4所示，延长DC至F,使CF=AD,连接BF, D 图4 AB=BC,∠DAB=∠FCB,AD=CF, :△ABD≌aCBF(SAS) 8分 从而BD=BF, 2BD-AD+DC-CF+DC=DF 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在aBDF中，因BD2+BF2=2BD,DF2=(2BD=2BD2. BD2+BF2=DF2,故∠DBF=90°，9分 从而可得∠ABC=90°，故AC为直径，AB2+BC2=AC2, 21=4C,则0- -AC 2 四边形 4B+BC+AD+DC-24B+DF-24B+BD-AC+BD BCD 11分 当BD最大时√即为直径时'，四边形MBC 周长最大值为V2x4+2x4=8V2m 12分 23.(12分) 【探究】成立，证明：过点C作BD的垂线交BD延长线于点G,连接CD,如图所示： G ·CE⊥AD ∠AEC=∠CED=∠G=90°，1分 .CD=CD .∠CAD=∠CBD,2分 .AC=BC, ∴在△BCG和△ACE中， I∠AEC=∠G ∠CAD=∠CBD AC=BC △BCG≌AACE(AAS) 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=BG,CE=CG,3分 .在Rt△CDE和Rt△CDG中， CE=CG CD=CD, ACDE≌ACDG(HL) .4分 .DE =DG, BD+DE=BD+DG=BG=AE;.. 5 【应用】5…7分 【应用】过点C作DB的垂线交DB延长线于点H,如图所示： H E :AB是直径，CE⊥AD ∴.∠AEC=∠CED=∠D=∠H=90. .四边形CEDH是矩形， ,四边形ACBD是⊙O的内接四边形， .∠CAD+∠CBD=180° .∠CBH+∠CBD=180°， .∠CBH=∠CAD,9分 .AC=BC, ∴.在△ACE和△BCH中， I∠CBH=∠CAD ∠AEC=∠H AC=BC 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ACE≌ABCH(AAS) .CE=CH,BH=AE,10分 四边形CEDH是正方形， .DH=DE=CH, ,点E为AD的三等分点，点D与点C位于线段AB两侧， .AD=3AE,11分 设BH=AE=x,则DH=DE=CH=2x, :.BD=x,BC=CH2+BH2=(2x)+x=5x DB。x5 .AC√5x5.12分 10/10 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十九章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列有关圆的一些结论： ①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的选项是（   ） A．①④⑤ B．③④⑤ C．③④ D．④⑤ 2．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 题2图 题3图 题4图 题5图 6．图①是贵阳某游乐场的摩天轮，A，B表示摩天轮上其中的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为，点A，B是圆上的两点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，冰淇淋蛋筒呈圆锥形，则蛋筒包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 8．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 题6图 题7图 题8图 9．将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 10．在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（    ） A．104 B．116 C．120 D．100 题9图 题10图 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________． 13．如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 14．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________．    题12图 题13图 题14图 15． “莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留） 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 17．按要求解答问题： (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在（1）的情况下，若，长为6，求的半径 18．如图是的直径，是的弦，的平分线交于点D，，求的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 20．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 21．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____ （填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 23．【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十九章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列有关圆的一些结论： ①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的选项是（   ） A．①④⑤ B．③④⑤ C．③④ D．④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本性质、圆内接四边形的性质、三角形外心的性质，解题的关键是准确掌握圆的相关定理的前提条件． 逐一分析结论：①需三点不共线才能确定一个圆；②需在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧才相等；③需弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点距离相等． 【详解】解：①若三点共线，则不能确定一个圆，此结论错误； ②相等的圆心角，需在同圆或等圆中所对的弧才相等，此结论错误； ③被平分的弦若为直径，则直径不一定垂直于弦，此结论错误； ④圆内接四边形的对角互补，此结论正确； ⑤三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，此结论正确； 综上，正确的是④⑤，对应选项D． 故选：D． 2．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出 【详解】解：是的直径 与所对的弧相同 ． 3．如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 4．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【详解】解：∵的度数为， ， ， 为中点， ． 5．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【答案】B 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小． 【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 6．图①是贵阳某游乐场的摩天轮，A，B表示摩天轮上其中的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为，点A，B是圆上的两点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 直接根据弧长公式计算即可． 【详解】解：的长为． 7．如图，冰淇淋蛋筒呈圆锥形，则蛋筒包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，即圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】解：由图知，底面直径为，母线长为， 则底面周长为， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积． 8．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 9．将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接、， 由题意，可知，，， ∴， ∴点C在上， ∴， ∴， ∴． 10．在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（    ） A．104 B．116 C．120 D．100 【答案】B 【分析】设的中点为，连接、，根据题意可得，，由此可以判定的最大值，即是的最大值，即可求解． 【详解】解：设的中点为，连接、，如下图： 则， 根据题意可得，， 的最大值，即是的最大值 又∵点M在以半径为2的⊙D上运动 ∴的最大值 由勾股定理可得： ∴的最大值为7 ∴的最大值为 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 【答案】 【详解】解：设此弧所在圆的半径为， 根据弧长公式， 将，代入得， 解得， 则此弧所在圆的半径是． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为；故答案为． 13．如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 【答案】115 【分析】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形对角互补，圆周角定理等知识点．作出弧所对的圆周角，根据内接四边形对角互补求出即可． 【详解】解：作出弧所对的圆周角， ∵，, ∴， ∵沿着弦折叠， ∴， 14．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用勾股定理建立方程求出半径，进而求得直径． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为，半径为过点作于点，交于点，连接，， 纸条上下边沿平行，且， ， 由垂径定理可知，为中点，为中点， ，， 由题意及图形可知，圆心在弦，之间，且为纸条宽度， ，即， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得， ， 水杯杯口的直径为． 15．“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留） 【答案】 【详解】解：是等边三角形， ， 又等边三角形的边长为６， 的长， 莱洛三角形”的周长是.故答案为：. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 【分析】本题考查平行线的性质，半径相等，三角形的外角性质．由平行线的性质，可得，由等边对等角求得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 17．按要求解答问题： (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在（1）的情况下，若，长为6，求的半径 【详解】 （1）即为所求． （2）解：连接，过作于，如图： ， ， ，， ， 在中，， ， ， 的半径为． 18．如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接，由直径对的圆周角是直角，得；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得，从而在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ∵ ∴ 的平分线交于点， ， ， ， 在中，，， ， ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据圆内接四边形的性质，得出，进一步证明是等边三角形，得出，最后根据圆周角定理的推论即可求出的度数； （2）通过在上截取，再连接，构造出全等三角形和等边三角形，再利用其性质即可证明． 【详解】（1）解：四边形内接于， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 答：的度数为． (2)证明：如图， 在上截取，连接， 由（1）知，是等边三角形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 是等边三角形， ， ． 20．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 21．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值． （1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数； （2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值． 【详解】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为 23．【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【答案】 【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【应用】 【分析】探究：过点作的垂线交延长线于点，连接，证出，可得到，，即可判定出，得到，即可求解； 应用：过点作的垂线交延长线于点，证出，利用全等的性质证出四边形是正方形，再利用正方形的性质求解即可． 【详解】解：略 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴，， ∴． 【点睛】本题为圆综合题型，涉及到了圆的性质，圆周角定理，全等三角的判定即性质，正方形的判定及性质，勾股定理等知识点，理解题意合理作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $