25.3 实际问题与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 数字、面积、图形问题 知识点总结 1.数字问题 定义 1.1 (数字问题). 连续偶数：相邻两个偶数相差，若设较小偶数为，较大偶数为。 日历问题：日历中上下相邻两数相差，左右相邻两数相差，根据等量关系列一元二次方程，求出根后要检验是否符合日历范围。 2.面积问题（篱笆、小道、靠墙矩形） 定义 1.1 (面积模型). 矩形面积公式： 靠墙围栏：注意墙不需要篱笆；存在门时，门的长度不需要篱笆，计算平行墙边长时要加上门的宽度。 小道平移法：小道等宽，可将种植区域向一侧平移，合并成一个新矩形，简化列式。 3.几何图形动点与存在性问题 定义 1.1 (几何图形问题). 几何动点、角度存在性问题，常利用勾股定理、相似三角形建立等式，转化为一元二次方程。 若方程有两个正实数解，代表存在对应点；若无实数根，则不存在。 核心易错提示 靠墙矩形一定要检验平行于墙的边长不能超过墙的最大长度；面积问题解出来的根要保证边长大于0，舍去负根或者超出墙长的解。 基础题 知识点1 数字问题 1.(教材变式)若两个相邻偶数的积是224，则这两个偶数是 。 2.在日历表中用方框圈出四个数，圈出四个数，设最小数为，最小数与最大数乘积为75，则可列方程为 ，最大数为 。 知识点2 面积问题 3.一块试验园地是长，宽的矩形，开辟一横两纵三条等宽小道，种植面积为，小道宽，列方程为 。 4.(教材变式)利用一面足够长的墙，用篱笆围成矩形场地。 (1)若矩形面积为，求矩形的长与宽； (2)能否围成面积的矩形场地？说明理由。 知识点3 图形问题 5.(2026宜昌改编)边长为2的正方形，在边上是否存在点，使得是等边三角形？ 解：假设存在，可证，。设，，请完成后面的解答过程。 拔高题 6.(教材变式)总长篱笆围成矩形菜地，菜地面积不可能是( ) A. B. C. D. 7.在，，，点从向运动，于，交延长线于，连接，当面积为18时，。 8.正方形纸片剪成四块拼成新矩形，若，求的值 。 9.月历涂黑8个数字形成“回”字型。 (1)若最小数、最大数乘积为195，求这8个数的和； (2)8个数的和能否等于216？说明理由。 第2课时 传播、平均变化率问题 知识点总结 1.传播问题模型 定义 (传播问题). 传播问题：初始传染源数量为，每轮平均1人传染个人，经过两轮传播后总数量：。 核心：每一轮的感染者都会参与下一轮传播，注意区分初始人数。 2.平均变化率模型 定义 (平均变化率问题). 基数为，平均增长率（下降率）为，连续变化两次后最终量： 增长率：； 下降率：。 3.重要注意事项 ①看清是“两轮”还是“第一季度总和”，季度总和要把三个月全部相加，不能直接套用平方公式； ②解出增长率后，要保证；下降率，负数或者大于1的根舍去； ③利润问题：。 核心易错提示 注意区分“单月增长后的量”和“几个月的总量之和”，很多题目会把一季度总和作为等量关系，不要直接写成平方形式。 基础题 知识点1 传播问题 1.(教材变式)有一人感染病毒，经过两轮传染后，共有49人患病。设每轮中平均一人传染个人，下面说法错误的是( ) A.第1轮之后有人患病 B.第2轮新增名感染者 C.可列方程 D.按照该传播速度，三轮之后一共有343人新增感染 2.(教材变式)一棵树苗主干长出若干支干，每个支干又长出同样数量小分支，主干、支干、小分支总数是21，则每个支干长出的小分支个数是 。 3.学校发起读书宣传活动，小明在朋友圈发布推荐文章，邀请个好友转发；每个好友继续邀请个互不相同好友转发。两轮传播后，一共有157人参与传播，求的值 。 知识点2 平均变化率问题 4.某平板原价2400元，经过连续两次降价，售价变为1350元，设每次降价百分率为，所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 5.(2026泸州中考改编)某原材料2024年单件成本180元，2026年单件成本降至115.2元，求这两年单件成本的平均下降率。 6.某景区今年第二季度接待游客120万人次，预计第四季度接待游客达到172.8万人次，求第三、四季度游客量的平均增长率。 拔高题 7.(2026荆州改编)银行两次降息，两年期存款年利率由下降至，设每次降息百分率为，方程正确的是( ) A. B. C. D. 8.一场技术分享会，1名工程师掌握新技术，经过两轮分享，共有196人掌握该技术。每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给人。 9.一部纪录片首日票房4亿元，之后每天票房按相同增长率增长，连续两天累计票房收入达到9亿元，求票房每日增长率。 10.有2名同学患上流感，经过两轮传染后一共有288人患病。 (1)求每轮传染中平均一人传染几个人； (2)如不控制，第三轮会新增多少感染者？ 11.(2026教材变式)一家商店销售防护头盔，8月卖出200个，10月卖出288个。 (1)求头盔销量8月至10月的月平均增长率； (2)头盔进价32元/个，当售价45元/个，每月可以卖出600个；售价每上涨1元，销量减少10个。想要月总利润达到11500元，同时尽量优惠顾客，头盔定价应为多少元？ 第3课时 循环问题 知识点总结 1.双循环问题（互送、主客场、互发消息） 定义 1.1 (双循环模型). 每两者之间互相发生一次行为，甲对乙、乙对甲都算一次。 若总人数为，总次数公式： 典型场景：互赠贺卡、主客场比赛、互发消息。 2.单循环问题（握手、签订合同、连线） 定义 1.1 (单循环模型). 每两者之间只发生一次行为，甲与乙和乙与甲算作同一次。 若总人数为，总次数公式： 典型场景：握手、签订合同、两点连线、单循环球赛。 3.多边形对角线公式 边形对角线总条数： 从一个顶点出发可作条对角线。 核心易错提示 区分单循环与双循环：双向互相操作（互送、互发消息、主客场）用；只算一次（握手、合同、连线）用。 基础题 知识点1 双循环问题 1.班级文学社小组互相赠送作文集，每位同学向组内其他成员赠送一本，全组一共互赠了156本。设该小组共有名同学，则方程是( ) A. B. C. D. 2.若干球队进行主客场双循环足球比赛，一共进行132场比赛，则一共有 支球队参赛。 3.新年活动，学习小组每人给组内其他成员赠送一张明信片，全组一共送出90张明信片，这个小组共有成员多少人。 4.(2026黄石改编)微信群里若干好友，每位好友都给群里其他好友发送一条私信，一共收到210条私信，这个微信群一共有多少名好友？ 知识点2 单循环问题 5.有支队伍进行单循环冰球比赛，计划安排28场比赛，则。 6.若干飞机场，每两个机场之间开辟一条直达航线，总共开辟21条航线，则一共有 个飞机场。 7.商品交易会，每两家企业之间签订一份合作协议，全部企业一共签订66份协议，求参加交易会的企业数量。 拔高题 8.若一个凸边形一共有44条对角线，则的值为 。 9.古代宴会，诸侯见面两两行礼，行礼总次数一共21次，则到场诸侯一共 人。 10.(教材变式) (1)聚会见面，每两人握手一次。 ①若6人参加，一共握手次 ；若8人参加，一共握手次 。 ②若所有人一共握手36次，求参加聚会的人数； (2)一个凸边形，边数增加1，对角线总数增加条，求的值。 11.【问题提出】平面上有若干个点，任意三点不共线，每两点画一条直线，2个点画1条，3个点画条，4个点画条……个点可画条直线。 【问题解决】 (1)平面上有12个点，一共可画出 条直线； (2)平面内一共画出120条直线，求平面上点的个数； 【迁移运用】 (3)在内部，从顶点引出条射线（不含），一共可以组成36个角，求的值。 参考答案与详细解析 第1课时 数字、面积、图形问题 基础题 1. 解析：设偶数，，，，，两偶数14，16。 2.；。解析：日历方框，最小，右下最大数，方程。 3.。解析：平移小道，长减去两条小道宽，宽减去一条小道宽。 4.解：设垂直墙边长，平行墙边长。 (1)，，，。 当，长，宽；当，长，宽（舍去，长小于宽）。长，宽。 (2)，，，无实根，不能围成。 5.解：，， ，，(舍去),，超出边长。 所以正方形边长为2时，不存在这样两点。 拔高题 6.D 解析：周长26，设一边，面积，最大值，不能达到44。 7. 解析：可证，。设，，，解得（舍去负根）。 8.解：面积不变，，代入，，，。 9.解：回字型8个数，最大数=最小数。 (1)设最小，，，，，8个数：9,10,11,16,18,23,24,25。和为。 (2)8个数总和，，最大，日历最大31，不可能。 第2课时 传播、平均变化率问题 基础题 1.D 解析：三轮之后总人数，新增不是343，D错误。 2. 解析：，，（舍去负根）。 3.解：，，，。 4.C 5.解：设平均下降率，，解得，舍去大于1的根。 6.解：设平均增长率，，，。 拔高题 7.B 8. 解析：，，。 9.解：设每日增长率，，，。 10.解： (1)设平均一人传染人，，，，； (2)第二轮后288人，第三轮新增：人。 11.解： (1)设月均增长率，，，； (2)设定价上涨元，单件利润，销量 整理，解得，，为优惠顾客，取，定价元。 第3课时 循环问题 基础题 1.B 解析：互赠属于双循环，每人送出本，总数量。 2. 解析：，，，。 3. 解析：，，，。 4.解：设微信群有名好友，，，，。 答：微信群一共有15名好友。 5. 解析：，，，。 6. 解析：，，，。 7.解：设企业家，，，，。 答：一共有12家企业参加交易会。 拔高题 8. 解析：，，，。 9. 解析：，，，。 10.解： (1)①； ②，，，。一共有9人。 (2)原边形对角线：；边数+1后： ，，化简，解得。 11.解：(1)； (2)，，，，共16个点； (3)内部条射线，总射线数量。角总数： ，，，，。 答：。 学科网（北京）股份有限公司 $