25.3实际问题与一元二次方程 分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层设计清晰（A/B/C三层），知识巩固路径从单一知识点应用到综合实践创新，强化几何直观与模型意识，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|几何图形问题、边框甬道问题|以选择、填空为主，如矩形菜地方程题，夯实模型构建基础，培养抽象能力| |B层|图形组合、动点问题、数学文化|综合几何与代数，如窗框等腰直角三角形与矩形结合题，发展推理意识| |C层|实践操作应用|无盖纸盒制作题，跨情境综合几何直观与应用意识，提升创新能力|

　传播类及球赛(握手)问题 【A层基础夯实】 知识点1　传播类问题 1.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则下列结论不正确的是( ) A.第一轮后共有(x+1)个人患了流感 B.第二轮后又增加x(x+1)个人患流感 C.依题意可以列方程1+x+x(1+x)=121 D.按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有1 000人患流感 2.元旦当天,小明将一条短信发送给若干人,每个收到短信的人又给相同数量的其他人转发了这条短信,此时手机上存有这条短信的人共157人,问小明给 人发了这条短信.  知识点2　球赛(握手)问题 3.(2025·惠州模拟)在某次女子冰壶比赛中,有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场),单循环比赛共进行了45场,共有多少支队伍参加比赛?设共有x支队伍参加比赛,则所列方程为( ) A.x(x+1)=45 B.=45 C.x(x-1)=45 D.=45 4.初三6班学生毕业时,每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念,全班学生共写了930份留言.如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( ) A.=930 B.=930 C.x(x+1)=930 D.x(x-1)=930 5.(易错警示题·概念不清)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间需比赛两场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排56场比赛,比赛组织者应邀请 个队参赛.  6.为了陶冶情操、开发智力、丰富课余生活,市实验学校成立了课外“象棋特长班”.开班仪式上,班内同学一一握手自我介绍(即每位同学都和班内其他同学握手).老师对握手次数进行了统计,全班共握手105次,问:该象棋特长班共有多少名学生? 【B层能力进阶】 7.(2025·成都期中)某地区有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了28条航线.设这个地区共有n个飞机场,下面所列方程正确的是( ) A.n(n+1)=28 B.n(n-1)=28 C.n(n+1)=28 D.n(n-1)=28 8.春节期间,某微信群规定,群内的每个人都要发一个红包,并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包,若此次抢红包活动,群内所有人共收到90个红包,则该群一共有( ) A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 9.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4.设个位数字为x,则列方程为 .  10.已知两个数的和是6,积是,则这两个数分别是 .  11.某公司举办产品鉴定会,参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家,在专家到会时,林经理和每位专家握一次手表示欢迎;在专家离会时,林经理又和他们每人握一次手表示道别,且参加会议的每两位专家都握了一次手,所有参加会议的人共握手14次,则参加这次会议的专家的人数是 .  12.某农场出现猪瘟,第一天发现3头生猪发病,两天后发现共有192头生猪发病. (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪. (2)若猪瘟得不到有效控制,3天后生猪发病头数会超过1 500头吗? 13.(新考法·探究与运用)已知n边形的对角线共有条(n≥3,n为整数), (1)五边形的对角线共有_________ 条.  (2)若n边形的对角线共有35条,求边数n. (3)A同学说,我求的一个多边形共有10条对角线,你认为A同学说法正确吗?为什么? 【C层创新挑战(选做)】 14.(运算能力、推理能力)在一次象棋比赛中,实行单循环赛制(每个选手都与其他选手比赛一局),每局赢者记2分,输者记0分,如果平局,两个选手各记1分.今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总和,结果分别为2 025分、2 024分、2 070分、2 028分,经核实只有一位同学统计无误,这次比赛中共有多少名选手参赛? 学科网（北京）股份有限公司 $ 七　几何图形问题　 【A层基础夯实】 知识点1　几何图形问题 1.(2025·福建中考)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一边长为x米,根据题意可列方程(C) A.5x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 2.直角三角形两条直角边长的和为7,面积是6,则斜边长是(B) A. B.5 C. D.7 3.直角三角形的三边长是连续正偶数,则这样的直角三角形有　1　个,三边长分别是　6,8,10　.  4.(2026·深圳期末)中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛F9A-A,F9A-B两个组别的冠、亚军.如图,矩形ABCD是F9A-B级别的比赛场地(半场)平面图,由操作区、起飞区、比赛区组成.矩形EFGH为起飞区,距场地左侧边界1 m,距右侧边界2 m,距上侧和下侧边界均为0.75 m,且长EF比宽EH多0.5 m. (1)设EH的长度为x m,则EF的长度为(x+0.5)m,AB=　　　m,BC=　　　m.(用含x的代数式表示)  (2)若矩形ABCD的面积为12 m2,求EH的长度. 【解析】(1)∵EF的长度为(x+0.5)m,起飞区距上侧和下侧边界均为0.75 m, ∴AB=x+0.5+0.75+0.75=(x+2)m. ∵EH的长度为x m,起飞区距场地左侧边界1 m,距右侧边界2 m, ∴BC=x+1+2=(x+3)m. 答案:(x+2)　(x+3) (2)∵矩形ABCD的面积为12 m2, ∴(x+2)(x+3)=12, ∴x2+5x-6=0, 解得x1=1,x2=-6(舍去), ∴EH的长度为1 m. 知识点2　边框或甬道问题 5.(2025·广元中考)如图,在长为12 m,宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积为总面积的,那么花卉带的宽度应为多少米?设花卉带的宽度为x m,则可列方程为(D) A.(12-x)(10-x)=12×10× B.(12-2x)(10-x)=12×10× C.(12-x)(10-2x)=12×10× D.(12-2x)(10-2x)=12×10× 6.如图,学校将一面积为110 m2的矩形空地一边增加4 m,另一边增加5 m后,建成了一个正方形训练场,则此训练场的面积为　225　m2.  7.某小区有一块长12米、宽6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿化地,它们的面积之和为36平方米,两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路,求小路的宽度为多少米. 【解析】设小路的宽度为x米,根据题意得, (12-3x)(6-2x)=36, 解得x1=1,x2=6(不合题意,舍去). 答:小路的宽度为1米. 【B层能力进阶】 8.用总长10 m的铝合金材料做一个如图所示的窗框(不计损耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为3 m2(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为x m,则下列方程符合题意的是(D) A.(2-)x+3（）=10 B.(2+)x+3（+）=10 C.x·+x2=3 D.x·+x2=3 9.如图,在Rt△MNC中,∠C=90°,MC=6 cm,NC=8 cm,P,Q分别是MC,NC上的动点,若点P,Q同时从M,N两点出发分别沿MC,NC方向向点C匀速运动,它们的速度都是1 cm/s,则经过　　s后,Rt△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半.(A)  　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 10.(数学文化)《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如x(x+6)=16的方程的正数解,方法如下:如图,将四个长为x+6,宽为x的长方形纸片(每个长方形纸片面积为16)拼成一个大正方形,于是大正方形的面积为16×4+36=100,边长为10,故得x(x+6)=16的正数解为x==2.小明用此方法解关于x的方程x2+mx-n=0时,构造出同样的图形,已知大正方形的面积为14,小正方形的面积为4,则mn=　5　.  【C层创新挑战(选做)】 11.(几何直观、应用意识)综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.如图1,有一张长30 cm,宽16 cm的长方形硬纸片,裁去角上同样大小的四个小正方形之后,折成图2所示的无盖纸盒.(硬纸片厚度忽略不计) (1)若剪去的正方形的边长为2 cm,则纸盒底面长方形的长为_________cm,宽为_________cm;  (2)若纸盒的底面积为240 cm2,请计算剪去的正方形的边长; (3)如图3,小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分),经过思考他发现,再剪去两个同样大小的矩形后,可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412 cm2,请计算剪去的正方形的边长. 【解析】(1)由题意可知,30-2-2=26(cm),16-2-2=12(cm), 即纸盒底面长方形的长为26 cm,宽为12 cm; 答案:26　12 (2)设剪去的正方形的边长为x cm, 根据题意得:(30-2x)(16-2x)=240, 解得:x1=20(不符合题意,舍去),x2=3, 答:剪去的正方形的边长为3 cm; (3)设剪去的正方形的边长为y cm, 根据题意得:30×16-2y2-2·=412, 解得:y1=-17(不符合题意,舍去),y2=2, 答:剪去的正方形的边长为2 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $ 九　变化率(含利润)问题 【A层基础夯实】 知识点1　变化率问题 1.(2025·广东中考)广东省统计局的相关数据显示,近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元,预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为(A) A.2 500(1+x)2=9 100 B.2 500(1-x)2=9 100 C.2 500(1-2x)2=9 100 D.2 500(1+2x)2=9 100 2.(2025·凉山州中考)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,月平均增长率相同,第一季度共生产钢铁1 860吨,若设月平均增长率为x,那么可列出的方程是(C) A.560(1+x)2=1 860 B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1 860 C.560+560(1+x)+560(1+x)2=1 860 D.560+560(1+2x)2=1 860 3.为加快家电以旧换新速度,某商场对一台原价4 000元的电视进行调价,经过两次降价后,价格调整为2 560元,如果每次降低的百分率相同,则这个百分率为　20%　.  4.刘师傅开了一家商店,今年2月份盈利6 400元.4月份的盈利达到8 100元,且从2月到4月,每个月盈利的增长率相同. (1)求每个月盈利的增长率; (2)按照这个增长率,请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元. 【解析】(1)设每个月盈利的增长率为x,依题意得:6 400(1+x)2=8 100,解得:x1=0.125=12.5%,x2=-2.125(不合题意,舍去). 答:每个月盈利的增长率为12.5%. (2)8 100×(1+12.5%)=8 100×1.125=9 112.5(元). 答:按照这个增长率,估计这家商店5月份的盈利将达到9 112.5元. 知识点2　销售利润问题 5.为迎接端午促销活动,某服装店从6月份开始对春装进行“折上折”(两次打折数相同)优惠活动.已知一件原价500元的春装,优惠后实际仅需320元,设该店春装原本打x折,则有(C) A.500(1-2x)=320 B.500(1-x)2=320 C.500（）2=320 D.500（1-）2=320 6.某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润12元,为扩大销量,增加利润,超市准备适当降价,据测算,每箱每降价1元平均每天可多售出20箱,若要使每天销售饮料获利1 440元,则每箱应降价　3或4　元.  7.(2025·泉州期中)某汽车租赁公司共有汽车50辆,市场调查表明,当租金为每辆每日200元时可全部租出,当租金每提高10元,租出去的汽车就减少2辆. (1)若租金提高了40元,则租出去的汽车有_________辆,日收益为_________元.  (2)公司希望日收益达到10 160元,你认为能否实现?若能,求出此时的租金;若不能,请说明理由. 【解析】(1)根据题意知,每日可租出:50-=42(辆), 日收益为:240×42=10 080(元). 答案:42　10 080 (2)假设能实现,租金提高x元, 依题意,得(200+x)（50-）=10 160, 整理,得x2-50x+800=0, ∵Δ=(-50)2-4×1×800<0, ∴该一元二次方程无解, ∴日收益不能达到10 160元. 【B层能力进阶】 8.某品牌新能源汽车2022年的销售量为20万辆,随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量逐年递增,2024年的销售量比2022年增加了31.2万辆.如果设从2022年到2024年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为x,那么可列方程是(D) A.20(1+2x)=31.2 B.20(1+2x)-20=31.2 C.20(1+x)2=31.2 D.20(1+x)2-20=31.2 9.俗语有云:“一天不练手脚慢,两天不练丢一半,三天不练门外汉,四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后,如果不及时复习,那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的,根据“两天不练丢一半”,则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据:≈1.414)(C) A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50% 10.(易错警示题·忽略分类讨论)某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元,每星期可卖出1 000个.市场调查反映,每涨价1元,每星期要少卖出100个;每降价1元,则多卖出100个.已知进价为每个20元,当鼠标垫售价为　32或28　元/个时,这星期利润为9 600元.  11.(2025·沈阳期中)某中学建成了一处劳动实践基地,计划将其中1 000平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜,经调查发现:甲种蔬菜每平方米种植成本y(单位:元)与其种植面积x(单位:平方米)满足函数关系y=x+10,乙种蔬菜的种植成本为50元/平方米,若该学校今年这1 000平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜的总成本为42 500元,求种植甲种蔬菜的面积. 【解析】根据题意,甲的成本+乙的成本=42 500元,列方程得x（x+10）+ (1 000-x)×50=42 500, 整理得:x2-800x+150 000=0, 解得:x1=300,x2=500, 答:种植甲种蔬菜的面积为300平方米或500平方米. 【C层创新挑战(选做)】 12.(应用意识、运算能力)面对日益严峻的气候变化形势,以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识.我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动,新能源汽车的市场需求正在不断增加.如表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况: 月份 7月 9月 销量/万辆 2.5 3.6 (1)求该款车销量的月平均增长率. (2)该品牌某4S店购进一批该款车型进行销售,已知进价为每辆6万元.经试销发现:当该款汽车售价为7.5万元时,平均每月销量为150辆;而当售价每降低0.1万元时,平均每月就能多售出15辆.为了扩大销量,该4S店决定降价促销,若该4S店想要维持利润不变,则该款车的售价应为每辆多少万元? 【解析】(1)设该款车销量的月平均增长率为x,根据题意得:2.5(1+x)2=3.6, 解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去). 答:该款车销量的月平均增长率为20%; (2)设该款车的售价为每辆y万元,则每辆的销售利润为(y-6)万元,平均每月可售出150+×15=(1 275-150y)辆, 根据题意得:(y-6)(1 275-150y)=(7.5-6)×150, 整理得:2y2-29y+105=0, 解得:y1=7,y2=7.5(不符合题意,舍去). 答:该款车的售价应为每辆7万元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 　变化率(含利润)问题 【A层基础夯实】 知识点1　变化率问题 1.(2025·广东中考)广东省统计局的相关数据显示,近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元,预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为( ) A.2 500(1+x)2=9 100 B.2 500(1-x)2=9 100 C.2 500(1-2x)2=9 100 D.2 500(1+2x)2=9 100 2.(2025·凉山州中考)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,月平均增长率相同,第一季度共生产钢铁1 860吨,若设月平均增长率为x,那么可列出的方程是( ) A.560(1+x)2=1 860 B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1 860 C.560+560(1+x)+560(1+x)2=1 860 D.560+560(1+2x)2=1 860 3.为加快家电以旧换新速度,某商场对一台原价4 000元的电视进行调价,经过两次降价后,价格调整为2 560元,如果每次降低的百分率相同,则这个百分率为 .  4.刘师傅开了一家商店,今年2月份盈利6 400元.4月份的盈利达到8 100元,且从2月到4月,每个月盈利的增长率相同. (1)求每个月盈利的增长率; (2)按照这个增长率,请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元. 知识点2　销售利润问题 5.为迎接端午促销活动,某服装店从6月份开始对春装进行“折上折”(两次打折数相同)优惠活动.已知一件原价500元的春装,优惠后实际仅需320元,设该店春装原本打x折,则有( ) A.500(1-2x)=320 B.500(1-x)2=320 C.500（）2=320 D.500（1-）2=320 6.某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润12元,为扩大销量,增加利润,超市准备适当降价,据测算,每箱每降价1元平均每天可多售出20箱,若要使每天销售饮料获利1 440元,则每箱应降价 元.  7.(2025·泉州期中)某汽车租赁公司共有汽车50辆,市场调查表明,当租金为每辆每日200元时可全部租出,当租金每提高10元,租出去的汽车就减少2辆. (1)若租金提高了40元,则租出去的汽车有_________辆,日收益为_________元.  (2)公司希望日收益达到10 160元,你认为能否实现?若能,求出此时的租金;若不能,请说明理由. 【B层能力进阶】 8.某品牌新能源汽车2022年的销售量为20万辆,随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量逐年递增,2024年的销售量比2022年增加了31.2万辆.如果设从2022年到2024年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为x,那么可列方程是( ) A.20(1+2x)=31.2 B.20(1+2x)-20=31.2 C.20(1+x)2=31.2 D.20(1+x)2-20=31.2 9.俗语有云:“一天不练手脚慢,两天不练丢一半,三天不练门外汉,四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后,如果不及时复习,那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的,根据“两天不练丢一半”,则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据:≈1.414)( ) A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50% 10.(易错警示题·忽略分类讨论)某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元,每星期可卖出1 000个.市场调查反映,每涨价1元,每星期要少卖出100个;每降价1元,则多卖出100个.已知进价为每个20元,当鼠标垫售价为 元/个时,这星期利润为9 600元.  11.(2025·沈阳期中)某中学建成了一处劳动实践基地,计划将其中1 000平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜,经调查发现:甲种蔬菜每平方米种植成本y(单位:元)与其种植面积x(单位:平方米)满足函数关系y=x+10,乙种蔬菜的种植成本为50元/平方米,若该学校今年这1 000平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜的总成本为42 500元,求种植甲种蔬菜的面积. 【C层创新挑战(选做)】 12.(应用意识、运算能力)面对日益严峻的气候变化形势,以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识.我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动,新能源汽车的市场需求正在不断增加.如表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况: 月份 7月 9月 销量/万辆 2.5 3.6 (1)求该款车销量的月平均增长率. (2)该品牌某4S店购进一批该款车型进行销售,已知进价为每辆6万元.经试销发现:当该款汽车售价为7.5万元时,平均每月销量为150辆;而当售价每降低0.1万元时,平均每月就能多售出15辆.为了扩大销量,该4S店决定降价促销,若该4S店想要维持利润不变,则该款车的售价应为每辆多少万元? 学科网（北京）股份有限公司 $ 　几何图形问题　 【A层基础夯实】 知识点1　几何图形问题 1.(2025·福建中考)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一边长为x米,根据题意可列方程( ) A.5x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 2.直角三角形两条直角边长的和为7,面积是6,则斜边长是( ) A. B.5 C. D.7 3.直角三角形的三边长是连续正偶数,则这样的直角三角形有 个,三边长分别是 .  4.(2026·深圳期末)中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛F9A-A,F9A-B两个组别的冠、亚军.如图,矩形ABCD是F9A-B级别的比赛场地(半场)平面图,由操作区、起飞区、比赛区组成.矩形EFGH为起飞区,距场地左侧边界1 m,距右侧边界2 m,距上侧和下侧边界均为0.75 m,且长EF比宽EH多0.5 m. (1)设EH的长度为x m,则EF的长度为(x+0.5)m,AB= m,BC= m.(用含x的代数式表示)  (2)若矩形ABCD的面积为12 m2,求EH的长度. 知识点2　边框或甬道问题 5.(2025·广元中考)如图,在长为12 m,宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积为总面积的,那么花卉带的宽度应为多少米?设花卉带的宽度为x m,则可列方程为( ) A.(12-x)(10-x)=12×10× B.(12-2x)(10-x)=12×10× C.(12-x)(10-2x)=12×10× D.(12-2x)(10-2x)=12×10× 6.如图,学校将一面积为110 m2的矩形空地一边增加4 m,另一边增加5 m后,建成了一个正方形训练场,则此训练场的面积为 m2.  7.某小区有一块长12米、宽6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿化地,它们的面积之和为36平方米,两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路,求小路的宽度为多少米. 【B层能力进阶】 8.用总长10 m的铝合金材料做一个如图所示的窗框(不计损耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为3 m2(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为x m,则下列方程符合题意的是( ) A.(2-)x+3（）=10 B.(2+)x+3（+）=10 C.x·+x2=3 D.x·+x2=3 9.如图,在Rt△MNC中,∠C=90°,MC=6 cm,NC=8 cm,P,Q分别是MC,NC上的动点,若点P,Q同时从M,N两点出发分别沿MC,NC方向向点C匀速运动,它们的速度都是1 cm/s,则经过 s后,Rt△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半.( )  　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 10.(数学文化)《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如x(x+6)=16的方程的正数解,方法如下:如图,将四个长为x+6,宽为x的长方形纸片(每个长方形纸片面积为16)拼成一个大正方形,于是大正方形的面积为16×4+36=100,边长为10,故得x(x+6)=16的正数解为x==2.小明用此方法解关于x的方程x2+mx-n=0时,构造出同样的图形,已知大正方形的面积为14,小正方形的面积为4,则mn= .  【C层创新挑战(选做)】 11.(几何直观、应用意识)综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.如图1,有一张长30 cm,宽16 cm的长方形硬纸片,裁去角上同样大小的四个小正方形之后,折成图2所示的无盖纸盒.(硬纸片厚度忽略不计) (1)若剪去的正方形的边长为2 cm,则纸盒底面长方形的长为_________cm,宽为_________cm;  (2)若纸盒的底面积为240 cm2,请计算剪去的正方形的边长; (3)如图3,小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分),经过思考他发现,再剪去两个同样大小的矩形后,可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412 cm2,请计算剪去的正方形的边长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 八　传播类及球赛(握手)问题 【A层基础夯实】 知识点1　传播类问题 1.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则下列结论不正确的是(D) A.第一轮后共有(x+1)个人患了流感 B.第二轮后又增加x(x+1)个人患流感 C.依题意可以列方程1+x+x(1+x)=121 D.按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有1 000人患流感 2.元旦当天,小明将一条短信发送给若干人,每个收到短信的人又给相同数量的其他人转发了这条短信,此时手机上存有这条短信的人共157人,问小明给　12　人发了这条短信.  知识点2　球赛(握手)问题 3.(2025·惠州模拟)在某次女子冰壶比赛中,有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场),单循环比赛共进行了45场,共有多少支队伍参加比赛?设共有x支队伍参加比赛,则所列方程为(D) A.x(x+1)=45 B.=45 C.x(x-1)=45 D.=45 4.初三6班学生毕业时,每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念,全班学生共写了930份留言.如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为(D) A.=930 B.=930 C.x(x+1)=930 D.x(x-1)=930 5.(易错警示题·概念不清)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间需比赛两场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排56场比赛,比赛组织者应邀请　8　个队参赛.  6.为了陶冶情操、开发智力、丰富课余生活,市实验学校成立了课外“象棋特长班”.开班仪式上,班内同学一一握手自我介绍(即每位同学都和班内其他同学握手).老师对握手次数进行了统计,全班共握手105次,问:该象棋特长班共有多少名学生? 【解析】设象棋特长班共有x名学生, 则每人应握(x-1)次手, 由题意得:x(x-1)=105, 即x2-x-210=0, 解得x1=15,x2=-14(不符合题意,舍去). 答:该象棋特长班共有15名学生. 【B层能力进阶】 7.(2025·成都期中)某地区有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了28条航线.设这个地区共有n个飞机场,下面所列方程正确的是(D) A.n(n+1)=28 B.n(n-1)=28 C.n(n+1)=28 D.n(n-1)=28 8.春节期间,某微信群规定,群内的每个人都要发一个红包,并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包,若此次抢红包活动,群内所有人共收到90个红包,则该群一共有(B) A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 9.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4.设个位数字为x,则列方程为　x2+(x+4)2=10(x+4)+x+4　.  10.已知两个数的和是6,积是,则这两个数分别是 ,　.  11.某公司举办产品鉴定会,参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家,在专家到会时,林经理和每位专家握一次手表示欢迎;在专家离会时,林经理又和他们每人握一次手表示道别,且参加会议的每两位专家都握了一次手,所有参加会议的人共握手14次,则参加这次会议的专家的人数是　4　.  12.某农场出现猪瘟,第一天发现3头生猪发病,两天后发现共有192头生猪发病. (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪. (2)若猪瘟得不到有效控制,3天后生猪发病头数会超过1 500头吗? 【解析】(1)设每头发病生猪平均每天传染x头生猪,依题意,得3(1+x)2=192, 解得:x1=7,x2=-9 (不符合题意,舍去). 答:每头发病生猪平均每天传染7头生猪. (2)192×(1+7)=1 536(头),1 536>1 500. 答:若猪瘟得不到有效控制,3天后生猪发病头数会超过1 500头. 13.(新考法·探究与运用)已知n边形的对角线共有条(n≥3,n为整数), (1)五边形的对角线共有_________　条.  (2)若n边形的对角线共有35条,求边数n. (3)A同学说,我求的一个多边形共有10条对角线,你认为A同学说法正确吗?为什么? 【解析】(1)当n=5时,==5. 答案:5 (2)=35, 整理得:n2-3n-70=0, 解得:n=10或n=-7(舍去), 所以边数n=10. (3)A同学说法是不正确的,理由如下: 当n(n-3)=10时,整理得:n2-3n-20=0, 解得:n=, ∴符合方程n2-3n-20=0的正整数n不存在, ∴多边形的对角线不可能有10条. 【C层创新挑战(选做)】 14.(运算能力、推理能力)在一次象棋比赛中,实行单循环赛制(每个选手都与其他选手比赛一局),每局赢者记2分,输者记0分,如果平局,两个选手各记1分.今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总和,结果分别为2 025分、2 024分、2 070分、2 028分,经核实只有一位同学统计无误,这次比赛中共有多少名选手参赛? 【解析】设共有x名选手参赛,则共有x(x-1)局比赛,总得分为x(x-1)分, ∵(n-1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6, ∴只有2 070分是正确的统计结果, 根据题意得x(x-1)=2 070, 解得x=46或-45(舍去), 答:共有46名选手参赛. 学科网（北京）股份有限公司 $