22.3 相似三角形 同步练习 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版（2024）九年级上册 22.3 相似三角形 同步练习 一、选择题 1．如图，为等边边上一点，，，，则的长为（ ） A． B．1 C． D．2 2．已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若=，则＝（　　） A． B． C．6 D．8 3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：1，则△ABC与△DEF对应的高线之比为（　　） A．1：3 B．3：1 C．9：1 D．1：9 4．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，通过测量AB，AC，AE的长度，可以推算出水面以上部分CD的高度，这种测量原理，就是我们所学的（  ） A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似 5．若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（　　） A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81 6．如图，有一锐角为30°的三角尺，它的内外两个三角形是相似的．三角尺的斜边长为12cm，其内部三角形的最短边长为3cm，则这个三角尺内外两个三角形的面积比为（　　） A． B．1：2 C．1：3 D．1：4 7．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（  ） A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定 8．如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是（  ） A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC C．△ABD∽△ACD D．以上都不对 9．如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE（C与E重合），当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（  ） A．3对 B．4对 C．6对 D．8对 10．如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（ ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形： ①△BEA与△ACD； ②△FED与△DEB； ③△CFD与△ABG； ④△ADF与△CFB． 其中相似的为（  ） A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③ 12．如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，李明用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角形纸板中DE＝16 cm，EF＝12 cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8 m，他与“步云阁”的水平距离CD为104 m，则“步云阁”的高度AB＝__________ m. 14．已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：DN=：3，那么△ABC和△DEF的面积比是__________． 15．如图，在中，．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于两点，直线分别交于点，则的长为 __________ ． 16．如图，在中，，点在边上，，， ，则的长是 __________ ，若点 在延长线上，连接，，则 的长是 __________ ． 17．如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为 __________  三、解答题 18．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，求△A'B'C'的周长． 19．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长． 20．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）若DE＝3，，求BC的长． 21．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少米？ 22．小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点，，小红要在直线上确定一点，使最短． (1) 请帮小红确定点的位置，并画出图形； (2) 解决该问题的依据是__________； 【问题探究】 (3) 如图②，在四边形中，点是边的中点，点是对角线上一个动点，连接，，，，当的值最小时，求线段的长； 【拓展延伸】 (4) 如图③，在四边形中，，，，垂足为，，，，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接，．确定点的位置使周长最小，并求出该周长的最小值． 华东师大版（2024）九年级上册 22.3 相似三角形 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．如图，为等边边上一点，，，，则的长为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴, 故选：C. 2．已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若=，则＝（　　） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，=， ∴△ABC，△A1B1C1的相似比为； ∴==； 故选：A． 3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：1，则△ABC与△DEF对应的高线之比为（　　） A．1：3 B．3：1 C．9：1 D．1：9 【答案】B 【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1， ∴△ABC与△DEF对应的高线之比3：1， 故选：B． 4．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，通过测量AB，AC，AE的长度，可以推算出水面以上部分CD的高度，这种测量原理，就是我们所学的（  ） A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似 【答案】D 【解析】由题意知：AB∥CD， 则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE， ∴△ABE∽△CDE（AA）， 故选：D． 5．若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（　　） A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81 【答案】C 【解析】∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方， 两个相似三角形的面积之比为1：9， ∴它们对应边上的中线之比为1：3． 故选：C． 6．如图，有一锐角为30°的三角尺，它的内外两个三角形是相似的．三角尺的斜边长为12cm，其内部三角形的最短边长为3cm，则这个三角尺内外两个三角形的面积比为（　　） A． B．1：2 C．1：3 D．1：4 【答案】D 【解析】如图，∵∠B＝30°，AB＝12cm， ∴AC＝AB＝6cm， ∵内部三角形的最短边长为3cm，即DF＝3cm， ∴＝＝， ∵△ABC∽△DEF， ∴＝（）2＝． 故选：D． 7．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（  ） A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定 【答案】C 【解析】解：∵一个三角形的两个内角分别是40°，60°， ∴第三个内角为80°， 又∵另一个三角形的两个内角分别是40°，80°， ∴这两个三角形有两个内角相等， ∴这两个三角形相似． 故选：C． 8．如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是（  ） A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC C．△ABD∽△ACD D．以上都不对 【答案】B 【解析】解：∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC． ∴A，C，D错误， 故选：B． 9．如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE（C与E重合），当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（  ） A．3对 B．4对 C．6对 D．8对 【答案】B 【解析】解：∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合）， ∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，即△ABC∽△ADE，∴∠3＝∠4， ∴△AFE∽△DFC；∴AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC， ∴△AFD∽△EFC； ∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合）， ∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，∴∠3＝∠5， ∴△ABD∽△AEC．∴图中共有4对相似三角形． 故选：B． 10．如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：以AB为直径画圆，G在圆O上， ∵∠AGB=90°， ∴当O，G，C共线时，CG有最小值， ∵CG= 又∵∠CGH=∠AGO=∠OAG=∠CBF， ∴∠CBF=∠CGH， 又∵∠BCD=∠BCD， ∴△CGH∽△CBG， ∴ ∴ 故答案为C． 11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形： ①△BEA与△ACD； ②△FED与△DEB； ③△CFD与△ABG； ④△ADF与△CFB． 其中相似的为（  ） A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【解析】解：（1）∵矩形ABCD，∴∠EAB＝∠CDA＝90°，∴∠BAF+∠CAD＝90°， 又∠BFA＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠CAD＝∠ABF， ∴△BEA与△ACD相似；故此选项正确； （2）△FED与△DEB相似．理由：DE2＝AE2＝EF•EB，∠DEF＝∠BED；故此选项正确； （3）△CFD与△ABG相似．理由：∠CDF＝90°﹣∠EDF，∠AGB＝90°﹣∠EBG， 由（2）的结论得：∠EDF＝∠EBD，故∠CDF＝∠AGB；∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠BAG；故此选项正确； （4）△ADF与△CFB不具备相似条件．故选：D． 12．如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方形边长为，则， 是边的中点， ． 在中，， 是的中点， ， 四边形为正方形， ∴ ， ， ， ， ，即， ，， ． 二、填空题 13．如图，李明用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角形纸板中DE＝16 cm，EF＝12 cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8 m，他与“步云阁”的水平距离CD为104 m，则“步云阁”的高度AB＝__________ m. 【答案】8 【解析】在△DEF和△DCB中，∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，∴△DEF∽△DCB， ∴，即，∴BC＝78(m). ∵AC＝1.8 m，∴AB＝AC＋CB＝79.8(m). 14．已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：DN=：3，那么△ABC和△DEF的面积比是__________． 【答案】2：9 【解析】∵△ABC∽△DEF，它们对应高的比是AM：DN=：3， ∴△ABC和△DEF的相似比是：3， ∴△ABC和△DEF的面积比是：32＝2：9． 故答案为：2：9． 15．如图，在中，．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于两点，直线分别交于点，则的长为 __________ ． 【答案】 【解析】中，， ． 由作图过程可知，的垂直平分线， ，且． ，即， ， ， ， ． 16．如图，在中，，点在边上，，， ，则的长是 __________ ，若点 在延长线上，连接，，则 的长是 __________ ． 【答案】； 【解析】过点 作于 ，过点作于 ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得（负值已舍去）， ， ，， 又，， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 17．如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为 __________  【答案】 【解析】解：如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接， ， ， 在中，，∴， ，，，， ，，， ∵平分，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴平分， ，∴， ∴，∴， 又∵，∴，，， ，，∴当的平分线恰好经过的中点时，． 三、解答题 18．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，求△A'B'C'的周长． 【答案】解　∵和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：10：30＝1：3， ∴另两条边的长分别为：6×3＝18，8×3＝24， ∴周长为：18+24+30＝72． 19．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长． 【答案】解　∵正方形ABCD的边长为2，AE＝EB， ∴AE＝×2＝1， 在Rt△ADE中，DE＝＝＝， ∵△ADE∽△CMN， ∴＝， 即＝， 解得CM＝． 20．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）若DE＝3，，求BC的长． 【答案】（1）证明 ∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高， ∴AF⊥BC，AG⊥DE， ∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°， ∵∠BAF＝∠DAG， ∴∠B＝∠ADG， 又∵∠EAD＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE； （2）解 ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∵，BC＝3， ∴， ∴BC＝． 21．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少米？ 【答案】解 由题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴∠ABH＝∠CDH＝∠EFH＝90°， ∵∠CGD＝∠AGB， ∴△CDG∽△ABG， ∴， ∴， ∵∠H＝∠H， ∴△EHF∽△AHB， ∴， ∴ ∴ 解得：BD＝200， ∴＝， 解得：AB＝70， ∴山峰的高度AB为70米，它和标杆CD的水平距离BD是200米． 22．小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点，，小红要在直线上确定一点，使最短． (1) 请帮小红确定点的位置，并画出图形； (2) 解决该问题的依据是__________； 【问题探究】 (3) 如图②，在四边形中，点是边的中点，点是对角线上一个动点，连接，，，，当的值最小时，求线段的长； 【拓展延伸】 (4) 如图③，在四边形中，，，，垂足为，，，，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接，．确定点的位置使周长最小，并求出该周长的最小值． 【答案】(1) 如图①，点即为所求． (2) 两点之间线段最短． (3) 如图，过点作的对称点，交于点，连接，交于点， ∴，， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值，如图，连接． ∵，点为中点，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (4) 如图，过点作于点，连接，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上， ∴， ∴， ∴当点在上时，取得最小值即为． ∵，不变， ∴周长的最小值为． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，． ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， 解得（舍负）． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $