22.3.4 第1课时 相似三角形在测量中的应用-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

22.3.4 相似三角形的应用 第1课时 相似三角形在测量中的应用 基础在线沙 :知识要点分类练 A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm 知识点1利用相似三角形测量高度 4.图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图② 1.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知 是它的侧面示意图，AD和CB相交于点O,点 标杆高BE为2m,测得AB=3m,BC=9m, A、B之间的距离为1.2米，AB∥CD,根据图 则建筑物的高CD是 ( ②中的数据可得点C、D之间的距离为() A.4 m B.9m C.6m D.8m A.0.8米 B.0.86米 D C.0.96米 D.1米 ..xD E 0.8米 米 第1题图 第2题图 1.2米 图① 图② 2.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小 5.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一 菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退 个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S (保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到 共线且直线PS与河岸垂直，然后在过点S且 她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的 与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定 眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜 PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R. 子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离 已测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,则 为10m,则旗杆高度为 河宽PQ= m. A.6.4m B.8m C.9.6m D.12.5m 知识点2利用相似三角形测量长度或宽度 3.(中考·内江)阿基米德曾说过：“给我一个支 点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠 2能力在线》 方法规律综合练 杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较 小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处 6.如图，图①是装满了液体的高脚杯（数据如 可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当 图)，用去部分液体后，放在水平的桌面上如图 用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙 ②所示，此时液面距离杯口的距离h=( 所示，动力臂OA=150cm,阻力臂OB= -6cm- 6cm 50cm,BD=20cm,则AC的长度是( 图① 图② A.8 B.2 cm cm c号 cm D.3 cm 第22章66 7.(中考·绵阳)如图，小明在课外实践活动中对 (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求 一棵大树的高度进行测量.他准备了一根竹 出纪念碑AB的高度约为18.5m.查阅资料得 竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处， 知，纪念碑的实际高度为19.64m.请判断小 然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平 红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分 直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F 析误差较大的可能原因（写出一条即可）. 视线恰好经过竹竿的顶端D,测得小明的眼睛 距地面的高度AB为1.6m,竹竿CD长3m, 则大树的高度EF为 m. 8.(中考·河南)焦裕禄纪念园是全国重点革命 烈土纪念建筑物保护单位，革命烈土纪念碑位 于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展 测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动 测量纪念碑的高度 主题 实物图 和测量 示意图 FMD 了拓展在线沙培优报尖提升然 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC 9.手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播 上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D 的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游 处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端 测量 E的影子落在点F处，位于点M处的观 戏.在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿 说明 测者眼睛所在位置为，点N,点N、E、A在 着的光源与小明的距离为2米，在小明不动的 一条直线上，纪念碑底部，点B在观测者 情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光 的水平视线上 源与小明的距离应 测量 DE=2.1 m,DF=2.1 m,DM=1 m, 数据 MN=1.2 m 备注 点F、M、D、C在同一水平线上. 根据以上信息，解决下列问题， (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相 A.减少米 B增加米 等，可得CD=CA,请说明理由； (2)求纪念碑AB的高度； C减少米 D增加米 67探究在线九年级数学（上）·HD:∠EAD=∠CFD=90°，∠ADE=∠DCF=60°， 22.3.4相似三角形的应用 .△EADO△DFC 第1课时相似三角形在测量中的应用 综上，与△CDF相似的三角形有△AFD、△AEF 基础在线 △ABD、△EAD. 1.D2.B3.B4.C5.90 22.3.3相似三角形的性质 能力在线 基础在线 6.A7.10 1.A2.C3.4:34.6 8.(1)·太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻， 5.AD:DB=4:3, 竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， ∴.AD:AB=4:7 .DE∥BC, 0-膘 ∴.△ABCc∽△ADE :标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE= ,CF、EG分别是△ABC与△ADE的中线， DF,..CD=CA. 裙-器即号-年C=1即cF的长为7m (2)如图，令BN与DE的交点为H, 则四边形BCDH和MNHD是矩形， 6.B7.D8B9.号 .DE=2.1m,DF=2.1m, DM=1 m,MN=1.2 m 10.(1)证明：：DF∥AB,DE∥BC, .CD=BH,BC=DH=MN=1.2 m, MD .∠DFC=∠ABF,∠AED=∠ABF. NH=DM=1 m. .∠DFC=∠AED. .'EH=DE-DH=0.9 m. :DE∥BC,.∠DCF=∠ADE. 设AB=x,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, '.△DFC∽△AED. BH=CD=(1.2+x)m. (2).'CD= CD 1 3AC.DA-2 ∴.NB=BH+NH=(2.2+x). (R)-()- EH/AB△NEHA△NMB,器-沿， 能力在线 0.9=1 x=2.2十x解得x=19.8. 11.B12.A13.C 答：纪念碑AB的高度为19.8m. 14.设PD=x,则EF=x. (3)纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的 '矩形EFGH的周长为24， 高度约为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为19.8m,则 ∴.EF+EH=12,∴.EH=12-x. 小红的结果误差较大，理由是：纪念碑AB位于有台阶的 .EH∥BC,AD⊥BC, 平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存 .∴.△AEH∽△ABC,AP⊥EH. 在误差，影响计算结果.（理由不唯一，合理即可） 畏品即。= 16 拓展在线 9.A 解得x1=4,x2=一8（不合题意，舍去）， 第2课时利用相似三角形证明线段关系 ∴.x=4,即PD=4. 基础在线 ∴SAe=7BC.PD=2×10×4=20, 1.(1)△ABC和△GAF都是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，∠GAF=45°，.∠B=∠FAG. 15.(1)证明：，DE∥BC, '.△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC. :∠ADC是△ABD的一个外角， ∴.∠ADE=∠B+∠BAD=∠DAE+∠BAD=∠BAE. N别 .△ABEp△DCA. 器器 (2)'AABE∽△DCA,S-BE CD AC .AB·AC=BE·CD. 又，点M是BC的中点， ∴.BM=CM..DN=EN. 又：AB=AC=2BC, 2 (:DE/Bc△ONN则8器-8剂号， DE/BC△D0EO△C0B÷8器-8器-号 7BC=BE·CD. ∴.BC2=2BE·CD. DE∥BC,.△ADE∽△ABC. 2.B3.B4.B5.1cm DE24 6.连结BP并延长，交AC于点Q,如图所示： S△ABC BC)=25' 设S△ADE=4x(x>0),则S△ABc=25x, :点P是△ABC的重心影=2. PQ ,四边形BCED的面积为42， =2. .25x一4x=42.解得x=2. DE/AC小器- ..SAANC=50. 唧品 拓展在线 16.(1)(2)如图所示 DF/BC小瓷品安 即AF=合FC 能力在线 图② 7.488.√85 一探究在线·九年 9.(1)∠ADB=∠ACB,∠BDE=∠ACE. 2.如图，延长CE,交AM的延长线于点F. 又.'∠CEA=∠DEB,.△ACE∽△BDE. .'AB∥CF,∴.∠BAM=∠F, (2):△ACE∽△BDE, △BDM∽△CEM,△BAM∽△CFM, 品唧'隐 熙胱器驰 又：∠DEC=∠BEA,∴.△ECD∽△EAB. ÷器-铝即BE,CD=AB,DE CB-C8 又，BA=2BD,.CF=2CE 10DE明：A是0∠BAD=∠BCA, 又：AM平分∠BAC,∴.∠BAM=∠CAM. .∠CAM=∠F..AC=CF=2CE. ∴△BADn△ACE.∴.∠B=∠EAC. 3.(1)AB2=AD·AC, :∠ACB=∠DCA,.△ABC∽△DAC. S-器Ac=BCCD 铝器 '∠BAC=∠DAB, (2),△BAD∽△ACE,.∠BDA=∠AEC ∴.△ABC∽△ADB. ∴∠CDE=∠CED..CD=CE. .∠ACB=∠ABD, E是△ABC的重心， :∠BAE=∠CAF, BC=2BD=2CD,AE=号AD, .△ABE∽△ACF. (2)由(1)知，△ABC∽△ADB,△ABE∽△ACF, .AC=BC·CD=2CD2 △BAD△ACE,00 0肥0器肥器。 ∴号AD=BDCE∴AD=号CD. BF=CR,認-器，脚既-品 .'∠EBF=∠DBC,.△EBF∽△DBC, .∠BEF=∠BDC, ∴.EF∥AC. 拓展在线 11.(1)√2(2)16 4.“AD=号AB,点E,F把AB三等分， 12.(1)证明：在矩形ABCD中，∠C=∠ABG=90°， .AE=EF=FB=AD=(>0), AF⊥BE, 则AB=CD=3k. ,.∠GAB+∠AGB=∠CBE+∠AGB=90° :CD∥AB,∴∠DCG=∠FAG,∠CDG=∠AFG. ,.∠GAB=∠CBE,∴.△ABG∽△BCE. (2).∠FAB=∠CBE,∠AFB=∠C=90°， △AP0acG品-部号骆-号 六△BAF4△EBC,AS-BE 在Rt△AFD中，DF2=AD2十AF2=5k2,.DF=√5k. BE EC' 由题意可知，EC=AB, FG25k.G=256-5,EF-=5· =解得AB=2m AB 能器 又，∠AFD=∠GFE,∴△AFDO△GFE. 在Rt△BAF中， .∠EGF=∠DAF=90°..EG⊥DF AF=√AB-BF=√(2√/17)2-22=8. 微专题7证比例式或等积式的技巧 (3)证明：如图，延长AD和BE交点H, 1.过点D作DG∥BC,交AC于点G,则 l △DGF∽△ECF,△ADG∽△ABC. 器-器提品 ,∠CEB=∠DEH,∠C=∠HDE=9O°，DE=CE, AD=CE÷0-器即AB,DF '.△BEC≌△HED(AAS) BC·EF. .DH=BC=AD. 2.,四边形ABCD是平行四边形， 'AF⊥BE,∴.DF=AD=BC .AE∥DC,∠A=∠C 由(I)知，△ABGn△BCE,心BGEC, AB BC .∠CDF=∠E ,E是矩形ABCD的边CD的中点， AFCD△DAE.E- ∴AB=CD=2CE瓷8e 3..AD⊥BC,DE⊥AB, ∴.∠ADB=∠AED=90° ..2CE2=BG·DF 又∠BAD=∠DAE, 微专题6利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 .△ABD∽△ADE. 1.DE∥BC,∴△ADNO△ABM,招器-铝同理可得 ÷铝铝即AD=AE·AB AD_DEDE_DO DO_DNDN_DN 同理可得AD=AF·AC. AB BC'BC OC'OCMC'BMMC' ∴.BM=MC. ∴AE·AB=AP·ACA铝-S 及数学（上）·HD 23