浙江省上虞中学2027届高三上学期数学周练试题9.20

高三上学期数学周练试题（9.20） 班级 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( ). A. B. C. D. 4．已知函数有两条相邻的对称轴和，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若 ，则（    ） A． B．3 C． D．6 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．10 8．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题表述正确的是（    ） A．小于90°的角是锐角. B．三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac C．如果两条直线l1与l2平行，则它们的倾斜角相等 D．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 10.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下面结论正确的是（     ） A． B． C． D． 11.已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（   ） A．点M在双曲线C上 B．当P在圆T上时，的面积为8 C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D．双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 ． 13．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,三角形数中蕴含一定的规律性,则第2 016个三角形数与第2 015个三角形数的差为________. 14.点 P 在以为焦点的椭圆 上，若 ，且 ，则椭圆的离心率为 。 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求m的取值范围； 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点． (1)求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 17. （15分）已知函数（）的图象过点. (1)求的单调递增区间； (2)当，且时，证明：. 18．（17分）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 19.（17分）已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为． ①当四点共圆时，求直线的方程； ②求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省上虞中学高三上学期数学周练试题9.20 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的元素个数是一个，且，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 2．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由，得， 所以复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设5个人所得面包按从少到多成等差数列，其中公差为， 由题意可知即解得. 故选：A. 4．已知函数有两条相邻的对称轴和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两条相邻的对称轴和， 故的最小正周期为，故， 故，， 故，解得， 因为，所以只有当时，满足要求，其他均不合要求. 故选：B. 5．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若 ，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解析】依题意，， ，则， 则，故. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出的值. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 7．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．10 【答案】B 【详解】，故函数的周期为6， ， 又是定义在上的奇函数， ，即，故，， 又当时，， ， 故. 8．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】已知圆的方程为，将其配方可得. 可知该圆的圆心坐标为，半径. 因为点为线段MN的中点，根据垂径定理可知. 已知，则. 在中，根据勾股定理. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知点在直线上，可得圆心到直线的距离为： . 因为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，即， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题表述正确的是（    ） A．小于90°的角是锐角. B．三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac C．如果两条直线l1与l2平行，则它们的倾斜角相等 D．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 【答案】CD 【详解】选项A：锐角的取值范围是，A错误 选项B：若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，B错误；. 选项C：两条直线l1与l2平行，则它们的倾斜角相等，C正确； 选项D：圆的圆心为 ，半径 . 圆心到直线的距离， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 D正确. 故选：CD. 10.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下面结论正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意知：前项所占格子组成长为，宽为的矩形， 其面积为，A正确； ，以上各式相加得， ，化简得， 即，B正确； ，C错误； 易知，，D正确. 故选：ABD. 11.已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（   ） A．点M在双曲线C上 B．当P在圆T上时，的面积为8 C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D．双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 【答案】ABD 【分析】根据题意，求出双曲线方程，将点M代入方程验证A选项；联立求出点的横坐标值，根据三角形面积公式求解验证B选项；求出双曲线渐近线，利用点到直线距离验证C选项；利用点差法验证D选项. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴， 故，焦点坐标为， 因为圆过焦点，代入得，即，解得， 因此双曲线的方程为：. 对于A：点代入双曲线方程得左边右边， 因此在双曲线上，故A正确； 对于B：联立，消去得，故横坐标可以为 ， 中，，高为， 面积 ，故B正确. 对于C：双曲线渐近线为， 设，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为， 因为在双曲线上，故满足，即， 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下， 为，故C错误； 对于D：设是位于双曲线上，关于原点对称，且异于的两个点， 则， 又①，②，由①②得到， 得到，所以， 综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称， 且异于的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值， 故当点坐标为时， 直线和的斜率之积为定值，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 ． 【答案】或 【分析】按截距相等是否为零进行分类讨论，设出方程，代入点坐标求得结果. 【详解】（1）当截距相等且不为零时，设直线的方程为：， ∴；∴直线的方程是：； （2）当截距相等且为零时，设直线的方程为：，∴； ∴直线的方程是：. 故答案为：或． 13．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,三角形数中蕴含一定的规律性,则第2 016个三角形数与第2 015个三角形数的差为_______________. 【答案】2 016 【详解】归纳可知,所以. 14.点 P 在以为焦点的椭圆 上，若 ，且 ，则椭圆的离心率为 。 A． B． C． D． 【分析】由同角三角函数关系式及两角差的正弦公式，求得各角的正弦值，根据正弦定理及比例的性质即可求得，即椭圆的离心率. 【详解】中，若 则，所以. 因为 ，所以； 因为所以， 因为，所以. 由，得. 所以. 由正弦定理，得， 设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求m的取值范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当，，定义域， 计算得，求导得​，切线斜率， 由点斜式得切线方程，整理得 . 6分 （2）恒成立等价于对任意恒成立， 设，则， 求导得​，令得， 当 时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 因此的取值范围是 . 13分 16．如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点． (1)求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示平面与平面夹角的余弦，从而求的长. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又在直三棱柱中，，，是中点， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面． 6分 （2）取中点，连接，， 由是中点，所以在直棱柱中，平面， 因为，所以， 所以． 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则， 所以． 9分 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 11分 设平面的一个法向量为， 则，令，则. 13分 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以， 解得，所以． 15分 17.已知函数（）的图象过点. (1)求的单调递增区间； (2)当，且时，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）代入点坐标，结合的范围，求出，再由正弦函数的单调性即可求得； （2）由条件化简得，再由和差公式求得，两式相比即可证明. 【详解】（1）将点代入函数解析式，得，即， 则有，解得，， 因为，令，则，所以， 由，，解得，， 故的单调递增区间为，. 7分 （2）由（1）知，则， ， 依题意，有，即， 因为，即， 代入得， 所以，即， 则有，得证. 15分 18．已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系得出是等差数列，结合通项公式可得答案，通过构造等比数列可求的通项公式； （2）利用分组求和的方法及错位相减法可求答案； （3）利用古典概率的求法可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，所以， 是首项为0，公差为2的等差数列，所以， 由，得，所以，所以， 故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以， 所以的通项公式为． 5分 （2），， 令， 则， 上两式相减，得， 所以，又， 所以． 12分 （3）因为，的前20项分别为， 由得， 又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项， 所以所求概率． 17分 19.已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为． ①当四点共圆时，求直线的方程； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据条件求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求解； （2）①联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，根据条件有，从而可得，即可求解；②根据条件求出的取值范围，求出的横坐标，再利用三角形的面积公式及弦长公式得，即可求解. 【详解】（1）因为点，则，又，则， 所以，代入抛物线，得到，解得， 所以抛物线的方程为. 4分 （2）①因为直线方程为， 设，联立，消得到， 则， 当四点共圆时，则有，故， 则，所以， 又， 所以，即， 整理得到，又，所以，故直线的方程为. 10分 ②当时，由，得，又直线的斜率，则， 由，得到直线， 由，得， 直线，联立方程，解得， 由，得， 所以， 又， 又，所以， 故的取值范围为. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $■13■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 可阿 高三数学周练9.20 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 [o] [0] [0] [0] [0] [o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [ [1] [1] [1] [1] [1] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 [21 [2] [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 5. 保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [61 [6] [6] 正确填涂 缺考标记 口 [7] [7] [7] [7] [ [ [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8l [ [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(1~8为单选题；9~11为多选题 1[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 填空题 12 13. 14 解答题 囚囚■ 第1页共4页 ■ 16. E A 17. 囚囚■ a 第2页共4页 ■ 18. I I 1 1 I ■ ㄖ■ㄖ 第3页共4页 逆并逆熊 ■ 囚■囚 61 ▣ ■